INTEGRALES INTEGRALES POR PARTES
ANÁLISIS MATEMÁTICO I – Prof. Gabriel Gabriel A. Leon
Este método métod o se aplica por lo general en el produc pro ducto to de dos funciones funciones distintas. dis tintas. Consiste en llamar l lamar a una de las funciones, funciones, y el resto del integrando integrando será . Calculo , derivando ; y calculo , integrando a .
Estos datos se reemplaza r eemplazarán rán en la siguiente fór mula: mula:
= .. Para saber a cuál de las dos funciones llamaremos , usaremos usaremos un método que por lo general se cum c umple. ple. (inversa) como ();arccos() ,() (logarítmica) como ln() ; () (polinómica) como − ⋯ (exponencial) como ; (trigonométrica) como ();cos() ,() La regla ILPET me indica el orden que debo de bo considerar para elegir a lo que que llamaré llamaré . Por ejemplo, si tengo una función exponencial y una una función trigonométr tr igonométrica, ica, llamaría l lamaría a la función exponencial, ya que
es la primera que aparece aparece según el orden de las letras de ILPET.
Utilizando la fórmula y la regla regl a podemos pod emos resolver resolver integrales integrales usando usando el método mét odo de integració i ntegración n por partes. partes . Ejemplo 1:
Calcular
∫ .(1 )
El producto es entre una función exponencial y una polinómica. Por regla ILPET, la función polinómica será . El resto del de l integrando será .
= 1 =
= =
Una vez hallado los l os datos, reemplazo re emplazo en la fórmula.
. (1 ) ) = (1 ). .() .(1 .(1 )= ) = (1 ). .(1 .(1 )= ) = (1 ). Ejemplo 2:
Calcular
∫( 2 1).cos()
El producto es de una función polinómica y una función trigonométrica. Por regla ILPET, la función función polinómica será , y el resto del d el integrando .
= 2 2 1 = (2 2 2)
= cos() = ()
1
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Reemplazo Reempl azo en la fórmula los datos dato s anteriores.
∫( 2 2 1).cos() = ( 2 2 1).() ∫ ∫(). (2 2)
(1)
Observamos que la integral inte gral a resolver reso lver es un producto pro ducto de dos d os funciones, por lo cual volvemos aplicar aplicar el mismo método.
= 22 2 2 = 2
= () = cos()
Reemplazam Reempl azamos os en la fórmula.
(). (2 2 2) = (2 2). cos() cos() . 2 (). (2 2 2) = (2 2). cos() 2 cos() ∫(). (2 2 2) = (2 2 2). cos() 2.()
(2)
Reemplazo Reempl azo (2) en (1): (1):
( 2 1).cos() = ( 2 2 1).() (2 2 2). cos() 2.() Aplico Apli co propiedad propiedad distributiva
( 2 1).cos() = ( 2 2 1).() (2 2 2).cos() 2 2 () Ejemplo 3:
Calcular
∫ln() ∫ln()
Aunque no parezca, existe un producto prod ucto de dos funciones. Se puede pensar como:
1.ln() 1.ln() El producto pr oducto es entre e ntre una función función polinómi po linómica ca y una funció función n logarítmica. Por regla re gla ILPET, la función función logarítmica es , y el e l resto del integrand integrandoo es .
= ln() ln() =
= =
Reemplazo Reempl azo los datos en la fórmula, resulta:
ln( ln()) = lnln() . . 1 ln() ln() = .. ln() 1 ln() ln() = .. ln()
2
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Calcular
Ejemplo 4:
∫()
Como en el ejemplo ejempl o anterior, pensamos la integral como:
1.() El producto es entre una función polinómica y una función inversa. Por regla ILPET, la función inversa es , y el resto del d el integrando, .
= () = +
= =
Reemplazo Reempl azo en la fórmula los datos dato s obtenidos resultand resultando. o.
() = (). . 1 1 () = . . () 1 En la integral a re solver, aplico el método por sustitución. sustitución.
= 1 = = 22 =
(1)
(2)
Reemplazo Reempl azo (1) y (2) (2) en la integral: i ntegral:
() = . . () 1 2 () = . . () 12 1 () = = . .() 12 ln|| () = = . .() 12 ln|1 | Nota: Con Con el mismo mismo procedimiento, proc edimiento, podemos hallar hallar las siguientes integrales:
() = .. () √ 1 () () = .() √ 1
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Integrales Integrales Cíclicas Cíclicas Estas integrales aparecen cuando se aplica varias veces el método de integración por partes, y en un determinado paso se empieza a repetir la integral a calcular. Una vez que distinguimos cuando es ese instante instante de d e iteración, ite ración, se despeja de speja la integral mediante mediante operaciones op eraciones algebraicas. algebraicas. Ejemplo 1:
Calcular
∫ cos ()
El producto pro ducto es e s de una función exponencial exponencial y una una función función trigonométrica. tr igonométrica.
= = 2
= cos() = ()
Reemplazan Reempl azando do en la fórmula:
cos() = .() (). 2 ∫ cos() = .() 2∫().
(1)
En la integral a resolver, hay un producto de una función trigonométrica y una función exponencial. Aplico partes nuevamente. nuevamente.
= = 2
= () = co coss()
Reemplazo Reempl azo los datos obtenidos obtenidos en la fórmula.
(). = . cos() cos() . 2 ∫(). = .cos() 2 2 ∫cos ∫cos() .
(2)
Reemplazo Reempl azo (2) en (1): (1):
cos() = .() 2. [ .cos() 2 2 cos() . ] Se observa claramente que la integral a resolver es la misma que la integral de origen. Aplico propiedad distributiva. distributiva.
cos() = .() 2 .cos() 4 4 cos() . Sumo Sumo 4 veces vece s la integral en ambos ambos miembros. miembros.
cos() 4 cos() . = .() 2 2 .cos() 5 cos() . = .() 2 2 .cos() cos() . = .() 5 2 .cos()
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Ejemplo 2:
Calcular
∫ ln() ln()
Si bien hay un producto prod ucto de una función polinómic pol inómica a y una función tri gonométrica gonométrica (compuest (co mpuesta), a), no no se puede aplicar la regla ILPET, ya que no se pueden hallar los datos que necesitamos.
= ln() = ? ?? ¡Es la integral que necesito necesi to resolver! Ante una función función compuesta, co mpuesta, nos conviene llamar l lamar a esta función, y al resto del integrando. integrando. = ln () = = cosln() . = =1 =0
Reemplazo Reempl azo los datos en la fórmula.
ln() ln() = ln(). .cosln() . 1 ∫ln() ln() = = . .ln() ∫cosln()
(1)
En la integral a resolver, reso lver, aplico aplico partes.
= cosln cosln() = ln().
= =
Reemplazo los datos en la integral. i ntegral.
cosln() = cosln() . .ln(). 1 ∫cosln() = .cosln() ∫ ∫ln()
(2)
Reemplazo Reempl azo (2) en (1): (1):
ln() ln() = .ln() {.cosln() ln() } Como la integral integral a resolver es la misma que la de inicio, aplico propiedad distributiva y despe jo la integral.
ln() ln() = .ln() .cosln() ln() ln() ln() ln() = . . ln() . cos cosln() 2 ln() = . . ln() . cosln() ln() = .ln() 2 .cosln()
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