CALCULO VECTORIAL
CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO IV
INTEGRAL DE LÍNEA INTEGRAL SOBRE UN CAMPO VECTORIAL
F d r
INTEGRAL INTEGRALES ES DE LÍNEA SOBRE CAMPOS VECTORIALES
C
C : es una curva suave o seccionalmente suave definida por r(t ) F : es un campo vectorial diferencial cial de r(t ) d r : diferen
F d r C
Rosa Ñique Alvarez
2
F d r r
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
Proyección de vector u sobre v
Proyección de vector F sobre T proyT F
u v v proy v u v v
u
v
F proy proyT F
uv
Proy v u
comp v
C
T
u v
F T T
F
T T
T T
Proy T F
C
Rosa Ñique Alvarez
3
Rosa Ñique Alvarez
4
INTRODUCCIÓN
Proyección de vector F sobre T proyT F
F T T
F
W
F d r C
C
T T
F Q
compT F
T
TRABAJO
Proy T F
F T
compT F
T F
T
P
F T
C Rosa Ñique Alvarez
5
Rosa Ñique Alvarez
6
1
CALCULO VECTORIAL
TRABAJO (W) W i
TRABAJO (W)
( fuerza) ( dis tan cia)
W
comp F ( P) si
W i F ( P ) T ( P) si
T
F ( P) T ( P) ds comp C
Q
F
P ds C
F
Q
Δ s i
Δ s i
T
C
Q T F
(F .T) T
T
F
P
P
P
proy proyT F
F
T T Rosa Ñique Alvarez
7
Rosa Ñique Alvarez
TRABAJO (W) W
F ( P) T ( P) ds comp C
T
F
TRABAJO (W)
P ds
F T ds C W comp F ds C F d r C
C
C
F
F T ds F
F T ds F
r (t )
Q
r (t ) d t
r (t )
T
T
F
d r (t )
8
P
d t
d t
F T ds F d r Rosa Ñique Alvarez
9
Rosa Ñique Alvarez
INTERPRETACIÓN
F ( x, y )
x
2
i
INTERPRETACIÓN
F ( x, y) d r
xy j
10
F ( x, y)
C
x
2
i
F ( x, y) d r
xy j
C
CAMPO VECTORIAL Y CURVA CAMPO VECTORIAL Y CURVA
1.2 1.2
C
1
C
1 0.8 0.8 0.6 0.6
Y Y Y
0.4
0.4 0.2 0.2 0 0 -0.2 0
0.2
0. 4
0. 6
0.8
1
1. 2
1. 4
-0.2 0
X
campo2NC10
Rosa Ñique Alvarez
11
campo2NC11
0.5
1
1.5
X
Rosa Ñique Alvarez
12
2
CALCULO VECTORIAL
INTERPRETACIÓN
F ( x, y, z )
1
x
i
y
y
2
INTERPRETACIÓN
F ( x, y, z) d r
j (2 z 1) k
1
F ( x, y, z )
C
x
i
y
y
2
F ( x, y, z) d r
j ( 2 z 1) k
C
1.4 1.5
1.2 1
1 0.8 Z
Z
C
0.5
0.6 0.4
2.5
0
0.2
2
2
0
1.5
1.5
2
0.5
0.5
campo3C12
C
3
1
1
0
Y
0
X
2
campo3C13
0
Y
Rosa Ñique Alvarez
13
DEFINICIÓN
1.8
1.6
1 1
1.2
1.4 X
Rosa Ñique Alvarez
14
CÁLCULO DE
d r
F C
Sea F un campo vectorial de componentes continuos y definido sobre una curva suave C dada por r(t ); a ≤ t ≤ b. La integral de línea de F sobre C se define como
FORMA BÁ SICA Paso 1 C : r (t ) x(t ) i
F d r F T d s C
F ( r (t ))
F
y(t ) j
t b
( x(t ), y (t ), z (t ) )
C
Rosa Ñique Alvarez
15
FORMA BÁSICA
F
Rosa Ñique Alvarez
16
FORMA BÁSICA
d r
C
F
d r
C
Paso 2
Paso 3
C : r (t ) x(t ) i
y(t ) j
z(t ) k ; a
t b
F d r F ( r (t )) d r
z(t ) k ; a
d r dt
dx dy dz dt dt dt dt
dt
,
,
Rosa Ñique Alvarez
d r d t
dt
F d r F ( x(t ), y (t ), z (t ) )
17
Rosa Ñique Alvarez
d r d t
dt
18
3
CALCULO VECTORIAL
FORMA BÁSICA
EJEMPLO 1
d r
F C
Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza F ( x, y) = ( x2 , - x y ) al mover una partícula a lo largo del arco de circunferencia en el primer cuadrante
Paso 4
b
F d r
C
F (r( t))
a
d r d t
dt
b
F d r
C
F ( x(t ), y (t ), z (t ) )
a
C : r (t ) cost , sent ; 0 t / 2 d r d t
Rosa Ñique Alvarez
dt
Punto inicial : A Punto final : B 19
F ( x, y) = ( x2 , - x y )
r
(
1, 0 / 2) 0, 1
(0)
r
Rosa Ñique Alvarez
F ( x, y) = ( x2 , - x y )
W
20
F T ds F . d r C
C
CAMPO VECTORIAL Y CURVA 1.2
1
C
0.8
0.6 Y
0.4
0.2
Punto inicial : A r (0) 1, 0 Punto final : B r ( / 2) 0, 1 Rosa Ñique Alvarez
0
-0.2 0
21
F ( x, y) = ( x2 , - x y )
W F . d r C
F ( r (t )) .
0
Rosa Ñique Alvarez
d r
1.5
Rosa Ñique Alvarez
dt
22
SOLUCION C :
cost , sent ; 0 t / 2 / 2
1 X
Solución: usando la forma básica
C : r (t )
0.5
r
(t )
cost ,
F ( x, y )
F ( r (t ))
x
2
,
sent
x y
0
t
/2
F ( x(t ), y (t ))
cos
2
t ,
cos t sen t
dt
23
Rosa Ñique Alvarez
24
4
CALCULO VECTORIAL
Solución: d r
d t
F ( r (t ))
C :
sen t ,
r
(t ) cost ,
0 t / 2
W
cos t
cos2 t ,
;
sent
F . d r C
Solución: usando la forma básica
W
d t
2 cos 2 t
sen t
Rosa Ñique Alvarez
W
b
d r
F ( x(t ), y(t ), z(t ) ) d t d t
C
a
INTEGRAL DE LINEA
INTEGRAL DEFINIDA
/2
2 cos
Rosa Ñique Alvarez
C
C : r (t ) x(t ) i
d r (t ) x (t ) i F ( x, y)
C
F
P dx Q dy
Q( x, y) j
d x d y dt d t d t ,
28
y(t ) j z (t ) ; a
y (t ) j
P( x, y, z) i
t
b
z (t ) d t
Q( x, y, z) j
R( x, y,z) k
F d r P, Q, R x(t ), y(t ), z(t ) d t C
C
Rosa Ñique Alvarez
y (t ) j d t
Q
C
d r (t ) x(t ) i
,
,
t b
Rosa Ñique Alvarez
F ( x, y, z)
d r
P( x, y) i
F d r P
C : r (t ) x(t ) i
C
y (t ) j ; a
OTRA FORMA DE REPRESENTAR LA INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPO VECTORIAL
d x d y dt P Q d t d t ,
26
OTRA FORMA DE REPRESENTAR LA INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPO VECTORIAL
27
OTRA FORMA DE REPRESENTAR LA INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPO VECTORIAL
d r
t sen t d t
Rosa Ñique Alvarez
C
F
2
dt
dt
2/3
LA FORMA BÁSICA SE USA TANTO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS COMO NO CONSERVATIVOS, ES MUY UTIL CUANDO LA INTEGRAL DEFINIDA ES FACIL DE EVALUAR.
d r
0
25
FORMA BÁSICA
F ( r (t )) .
0
d r
F d r
C
cos t sent W
F ( r (t ))
F . d r
/2
29
C
Rosa Ñique Alvarez
30
5
CALCULO VECTORIAL
OTRA FORMA DE REPRESENTAR LA INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPO VECTORIAL
F
d r
C
CONCLUSIONES
P, Q, R x (t ), y (t ), z (t ) d t
F d r F T ds comp C
C
C
F
d r
C
C
C
P dx Q dy
F ds
C
F d r F T ds comp
P dx Q dy R dz
T
C
T
F
ds
C
P dx Q dy R dz C
C
Rosa Ñique Alvarez
31
Una integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de una curva cerrada simple C se dice que será la circulación de F alrededor de C ; esto es
F dr F T ds C
32
CIRCULACIÓN
CIRCULACIÓN
circulació n
Rosa Ñique Alvarez
F T ds
C
C
Considere un fluido ( líquido o gas) que circula so bre una porción del plano XY . Sean su densidad y velocidad en el punto P dados por ρ (P) y V (P), respectivamente. El producto
F (P)
C
circulació n F dr
( P)V (P)
representa la velocidad y dirección del fluido en P
Rosa Ñique Alvarez
33
Rosa Ñique Alvarez
34
F (P) ( P)V (P)
C
C
circulació n F dr F T ds Si F es el campo de velocidades de un fluido (liquido o gas), entonces la circulación es una medida de la cantidad por la cual el fluido tiende a girar por la curva rotando, o C circulando, alrededor de ella.
Rosa Ñique Alvarez
C
C
circulació n F dr F T ds
35
Gran circulación a lo largo de C
Pequeña circulación a lo largo de C Rosa Ñique Alvarez
36
6
CALCULO VECTORIAL
C
C
circulació n F dr F T ds
0
C
C
circulació n F dr F T ds
0
CIRCULACIÓN POSITIVA CIRCULACIÓN NEGATIVA Rosa Ñique Alvarez
37
F dr F T ds 0 C
38
CAMPOS VECTORIALES
Si F es perpendicular a T para todo punto sobre C , entonces circulació n
Rosa Ñique Alvarez
CONSERVATIVO
C
F f
NO CONSERVATIVO
F
F f
C
Rosa Ñique Alvarez
39
TEOREMA FUNDAMENTAL PARA LA INTEGRAL DE LÍNEA EN R2 y(t ) j ; a
40
y(t ) j ; a
A : punto inicial de la curva; A
t b
t b ( x(a), y(a))
( x(b), y(b))
D
Si F (x, y) = (P, Q) es conservativo en D con P y Q continuas en D y, entonces
F d r f d r f ( x(b), y (b)) f ( x(a), y (a)) C
C : r (t ) x(t ) i
B : punto final de la curva; B
Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta D y dada por C : r (t ) x(t ) i
Rosa Ñique Alvarez
A
C
B
C
Rosa Ñique Alvarez
41
Rosa Ñique Alvarez
42
7
CALCULO VECTORIAL
EJEMPLO 2
F d r f d r f ( B) f ( A) C
C
F d r
Evalúe
C
D
C3
donde:
A=(1,2)
A
F( x, y) = ( 2 xy, x2 )
Rosa Ñique Alvarez
F
d r
C
F( x, y) = ( 2 x y, x2 ) P( x, y )
Rosa Ñique Alvarez
44
Solución = ( 2 xy, x2 ) es un campo vectorial conservativo, es decir, F( x, y) = grad f ( x, y)
F( x, y)
Q( x, y ) x 2 continuas
2 x y ,
C1
43
Solución
B=(3,2)
y C es cada una de la curvas del gráfico que va deAhaciaB.
B
C
C2
f
en alguna región abierta D que contiene a C
x
2 xy
f
y
x
2
Función Potencial Q x
2 x
P
2
f ( x, y) x y K
y
Rosa Ñique Alvarez
45
Solución
Rosa Ñique Alvarez
46
Solución Usando el Teorema Fundamental A=(1,2)
2
B=(3,2)
f ( x, y ) x y K
Punto inicial de C : A= (1,2) Punto final de C :
f ( A) f (1, 2) 2 K ,
Rosa Ñique Alvarez
f ( B) f (3, 2) 18 K
F d r f d r f ( B) f ( A)
Punto inicial de C : A= (1,2) Punto final de C :
B= (3,2)
C
B= (3,2) 47
C Rosa Ñique Alvarez
48
8
CALCULO VECTORIAL
Solución
SOLUCIÓN C3
2
f ( x, y ) x y K
Función Potencial
F( x, y) = ( 2 x y, x2 )
F d r f d r f ( B) f ( A) C
C
F d r 18 K (2 K ) 16
F d r
A(1,2)
B(3,2)
C2 C1
16
C
C
F dr
C1
Rosa Ñique Alvarez
F dr = F d r C2
C 3
49
Rosa Ñique Alvarez
Solución
EJEMPLO 3
16 50
y 2 2 y i j 2 x x
F ( x, y)
Campo Vectorial y la Curva
Evalúe
1
F d r
A=(1,1)
C1
( 4,1)
0.5
C 0
C2
y 2 y i j 2 x x
F ( x, y)
2
Y-0.5
sobre curva C = C1UC2 de la figura adjunta.
-1
B=(4,-2)
F (0, y )
-1.5
NO EXISTE
-2
Rosa Ñique Alvarez
Solución
51
y 2 2 y i j 2 x x
F ( x, y)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
X
Rosa Ñique Alvarez
52
Solución y 2 2 y i j 2 x x
F ( x, y)
D A=(1,1)
campo2C6
C1
( 4,1)
P ( x, y )
y
2
F
2
,
Q( x, y )
2 y
continuas x x en alguna región abierta D que contiene a C
C2
continuo B=(4,-2)
Rosa Ñique Alvarez
53
Rosa Ñique Alvarez
54
9
CALCULO VECTORIAL
Solución
Solución y 2y i j 2 x x 2
F ( x, y )
P ( x, y)
y
2
x 2
,
El campo vectorial y 2 2 y i j 2 x x
F ( x, y )
2y
Q( x, y)
x
es conservativo de componentes continuas en D tiene la siguiente función potencial
P Q 2y 2 x y x F ( x, y ) campo vectorial conservativo en D
Rosa Ñique Alvarez
Solución
f ( x, y )
f ( x, y ) 55
y
2
x
y
2
x
K
Rosa Ñique Alvarez
56
SOLUCIÓN
K
Usando el teorema fundamental , se tiene
f (1,1) = -1 + K
Punto inicial A = (1,1) ; Punto final B = (4,-2); f (4,-2) = -1 + K
F d r
C1
A=(1,1)
0
( 4,1)
C
C2
F
d r f (4,2) f (1,1) 0 B=(4,-2)
C Rosa Ñique Alvarez
57
Rosa Ñique Alvarez
Solución
EJEMPLO 4
x
x y 1 , x 2 ( y 1) 2 x 2 ( y 1) 2
Campo Vectorial y Curva
Evalúe
C
F ( x, y )
58
2.5
x 2
( y 1) 2
d x
y 1 2
x ( y 1)
2
2
d y 1.5
T.F (0,1)
Y 1
donde la curva C es el cuadrado de vértices (1,0), (1,2), (-1,2), (-1,0).
0.5
0
-0.5 -1.5
Rosa Ñique Alvarez
59
campo2C7
-1
-0.5
0
0.5
Rosa Ñique X Alvarez
1
1.5
60
10
CALCULO VECTORIAL
Solución
F ( x, y )
x , x 2 ( y 1) 2
(-1, 2)
2 2 x ( y 1) y
1
Solución F ( x, y )
(1, 2)
(0,1)
x , x 2 ( y 1) 2
2 2 x ( y 1) y
1
Q 2 x y 1 P 2 2 x x ( y 1) 2 y
C
El campo vectorial es conservativo para todo (x,y) ≠ (0,1). Rosa Ñique Alvarez
61
Solución
Rosa Ñique Alvarez
Solución
Campo vectorial conservativo para todo (x, y ) ≠ (0,1)
F ( x, y )
no es continua en el punto (0,1) que esta encerrado por C.
62
x , 2 2 x y 1) (
x y 1 , x 2 ( y 1) 2 x 2 ( y 1) 2
(-1, 2)
1 2
(0,1)
63
Solución
Rosa Ñique Alvarez
64
Solución: Teorema Fundamental en cada segmento de la curva
Las funciones x x
C
ln x 2 ( y 1) 2 C
Rosa Ñique Alvarez
P( x, y )
y 1 ( y 1) 2
(1, 2)
Función Potencial para todo (x, y) ≠ (0, 1)
f ( x, y )
2
D
F F ( x, y )
x
2
( y 1)
2
,
F ( x, y )
y 1
Q( x, y ) x
2
( y 1) 2
B(1, 2)
D
no son continuas en el punto (0,1) y la curva C encierra a dicho punto (NO cumple con el teorema fundamental para integrales de línea). Para evaluar la integral se usa el teorema fundamental en cada segmento que forma la curva C . Rosa Ñique Alvarez
x y 1 , x 2 ( y 1) 2 x 2 ( y 1) 2
(0,1)
C 1
A=(1,0) 65
Rosa Ñique Alvarez
Para el segmento C 1 El campo vectorial F tiene componentes continuas y es conservativo en D 66
11
CALCULO VECTORIAL
Solución: Teorema Fundamental para el segmento C1 1 ( , ) , x
F x y
x 2 ( y 1) 2
f ( x, y )
B(1, 2)
(0,1)
C 1
F
2 2 x ( y 1)
Solución
y
1 2
ln x 2 ( y 1) 2 C
d r
C 1
Se aplic a el teorema fundamental en cada segmento y repite el procedimiento anterior con cada una de los otros segmentos que forman la curva C
F d r F d r F d r F d r F d r
f d r
C
C 1
F d r f (1,2) f (1,0) C 1
C1
C2
C 3
C 4
F d r 0 0 0 0 0 C
F d r 0
A=(1,0)
C 1
Rosa Ñique Alvarez
Solución x
x 2
C
( y 1)
2
67
d x
(-1, 2)
y 1 2 x ( y 1) 2
d y 0
68
Solución: usando forma básica Las funciones x
P( x, y )
(1, 2)
x
2
( y 1)
2
,
y 1
Q( x, y ) x
2
( y 1) 2
no son continuas en el punto (0,1) y la curva C encierra a dicho punto. Para evaluar la integral se usa la forma básica sobre curva C .
C
(0,1)
Rosa Ñique Alvarez
Rosa Ñique Alvarez
69
Solución
Rosa Ñique Alvarez
70
Solución
Para evaluar esta integral
x
C
x 2
( y 1)
2
d x
y 1 2
x ( y 1)
2
se tendría que hacer usando la forma bási ca b
C 2
(-1, 2)
d y
(1, 2)
(0,1)
C 3
C 1
d r
F d r F ( r (t ) ) d t d t C
a
Rosa Ñique Alvarez
C 4 71
Rosa Ñique Alvarez
72
12
CALCULO VECTORIAL
F d r F d r F d r F d r F d r C
C 1
x 1
C 2
x t
C 1 y t
d t
C 4
x 1
, C 2 , C 3 y 2 y t
0 t 2 , d r
C 3
1 t 1,
(0,1),
d r d t
x t
, C 4 y 0
0 t 2, d r
(1, 0),
d t
(0,1),
1 t 1
d r d t
(1, 0)
Rosa Ñique Alvarez
Solución
F d r F d r F d r F d r F d r C
2
x
C
( y 1)
2
d x
t 1
2
C 3
C 4
dt ..........
0
C
F d r 0 C
73
Rosa Ñique Alvarez
74
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE LINEA EN R 3
Evalúe 2
C 2
F d r 1 (t 1)
COMENTARIO
x
C 1
y 1 2
2 x ( y 1)
Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta D y dada por
d y
C : r (t ) x(t ) i
y(t ) j
z(t ) k ; a
t b
donde la curva C es el cuadrado de vértices (1,0), (1,2), (-1,2), (-1,0). Para mejorar el calculo de esta integral de línea se debe usar el Teorema de Green.
Si F (x, y, z) = (P, Q, R) es conservativo D con P, Q y R continuas en D, entonces
Rosa Ñique Alvarez
Rosa Ñique Alvarez
A
y(t ) j
x(a), y(a), z(a),
B
z(t ) k ; a
EJEMPLO 5
t b
x(b), y(b), z(b)
76
W
F d r C
Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas F ( x, y, z) y z (2 x y) i x z ( x 2 y) j x y ( x y) k
F d r f d r f ( x(b), y (b), z (b)) f ( x(a), y(a), z (a)) C
C
75
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE LINEA EN R3 C : r (t ) x(t ) i
F d r f d r f ( x(b), y(b), z(b)) f ( x(a), y(a), z(a)) C
al mover un objeto a la largo de la curva 2
C
C : r (t ) (1 t ) i (1 2 t
) j (1 3 t 3 ) k ; 0 t 1
F d r f d r f ( B) f ( A) C
C
Rosa Ñique Alvarez
77
Rosa Ñique Alvarez
78
13
CALCULO VECTORIAL
F ( x, y, z) y z (2 x y) i x z ( x 2 y) j x y ( x y) k
Solución F ( x, y, z) y z (2 x y) i x z ( x 2 y) j x y ( x y) k
El campo vectorial F tiene componentes continuas en D y además es conservativo, porque rot F
0
2 3 C : r (t ) (1 t ) i (1 2 t ) j (1 3 t ) k ; 0 t 1 CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA
4.5
4
3.5
3
Z
2.5
2
1.5
Es decir F = grad f.
1 3.5 3 2.5
2.5 2
2
Rosa Ñique Alvarez
2
C : r (t ) (1 t ) i (1 2 t
1
Y
79
F ( x, y, z) y z (2 x y) i x z ( x 2 y) j x y ( x y) k 3
) j (1 3 t ) k; 0 t 1
1.5
1.5
campo3C14
1
Rosa Ñique AlvarezX
80
Solución Para el campo vectorial conservativo
CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA
F ( x, y, z) y z (2 x y) i x z ( x 2 y) j x y ( x y) k 5
Es decir F = grad f.
4
Z
3
Función potencial f es:
2
1 4
f ( x, y , z )
3
3 2.5 2 1
Y
1
X
81
Solución
x y 2 z
K
W
Función potencial :
f ( x, y, z ) A r (0) (1,1,1)
(2, 3, 4)
Rosa Ñique Alvarez
82
Solución: Teorema fundamental
C : r (t ) (1 t ) i (1 2 t 2 ) j (1 3 t 3 ) k ; 0 t 1
(1)
2
Rosa Ñique Alvarez
r
x 2 y z
1.5
campo3C15
B
F d r f d r C
2
x y z
2
x y z
f ( A) f (1,1,1)
K
Rosa Ñique Alvarez
W f ( B) f ( A)
2 K
f ( B) f (2, 3, 4) 120
C
W 120 K 2 K 118
K 83
Rosa Ñique Alvarez
84
14
CALCULO VECTORIAL
REGION ABIERTA Y CONEXA
REGION ABIERTA Y NO CONEXA
D
A
A
B
C
B Rosa Ñique Alvarez
85
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN R2 Y R3
Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas: F ( x, y, z )
1 y
i
x y
2
j (2 z 1) k
sobre una partícula que recorre una curva C que va del punto A(0,1,0) al punto B(1,2,4).
d r
C
es independiente de la trayectoria si y solo si
F es conservativo
Rosa Ñique Alvarez
SOLUCION
86
EJEMPLO 6
Si el campo vectorial F tiene componentes con primeras derivadas parciales continuas en una reg ión abierta conexa D, entonces la integral de línea F
Rosa Ñique Alvarez
W
87
Rosa Ñique Alvarez
88
SOLUCION: Independencia de la trayectoria
F d r C
El trabajo se puede calcular, usando: • La forma Básica e independencia de la trayectoria. En este caso elegimos una curva C que va de A(0,1,0) hacia B(1,2,4), con la finalidad de simplificar los cálculos elegimos un segmento recto que va de A hacia B. ó • Teorema Fundamental. Rosa Ñique Alvarez
Nota: El campo vectorial F no esta definido en el plano XZ
89
F ( x, y, z )
1 x i 2 j (2 z 1) k y y
rot F ( x, y, z) = 0
El campo vectorial F es conservativo para todo ( x, y, z) ≠ ( x, 0, z) Rosa Ñique Alvarez
90
15
CALCULO VECTORIAL
Solución
F ( x, y , z )
1
i
y
x y
2
Solución
j ( 2 z 1) k
CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA
CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA 4.5 4 3.5 3
6
2.5
(0,1,0)
2
Z
4
1.5 1
Z
0.5 0
2 0
-0.5 2.2
-2 2.5
2 1.8
2
1.6 1.4 1.2
1.2
1
1 1
0.6
1.5
(0,1,0) 1.5
1.4
1
0.8
0.5
0.4 0.8
Y
0.2
Y
0
X
campo3C17
Rosa Ñique Alvarez
91
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA F ( x, y, z )
1
i
y
x y
2
0.5
j (2 z 1) k
0
X
Rosa Ñique Alvarez
92
Solución Forma Básica e independencia de la trayectoria: evaluamos la integral sobre la recta
B(1,2,4)
C : r (t )
Parametrización de la curva
t , 1 t , 4 t ; t 0, 1
C
x t C : y 1 t : t 0, 1 z 4 t
W
A(0,1,0)
1
F d r
F ( r (t )) 0
C
d r
d t
d t
FORMA BASICA
Rosa Ñique Alvarez
93
Solución: Forma básica Independencia de la trayectoria 1
e
F d r F (r (t )) d t d t
W
1 t 4 (8 t 1) 2 1 t 1 t 0
C
94
Solución: Teorema fundamental F ( x, y , z )
d r
W
Rosa Ñique Alvarez
1 y
i
x y
2
j ( 2 z 1) k
B(1,2,4)
0
1
C
dt
A(0,1,0) W
25 / 2 Rosa Ñique Alvarez
95
Rosa Ñique Alvarez
Y 96
16
CALCULO VECTORIAL
SOLUCION: Teorema fundamental F ( x, y , z )
1
x
i
y
y
2
Solución: Teorema fundamental
j (2 z 1) k
F ( x, y, z )
f ( x, y, z )
F ( x, y, z ) f ( x, y, z )
Rosa Ñique Alvarez
Función Potencial f ( x, y , z )
y
z
z
Además: A=(0,1,0),
f (0,1,0) = K
B=(1,2,4),
f (1,2,4) = 25/2 + K
1
F ( r( t))
0
C
W
C
F . d r
y
z
2
z
K
98
f d
r
C
d r
25 2
K K
99
25 2
Rosa Ñique Alvarez
100
EJEMPLO 7 dt
d t
25
2
TEOREMA FUNDAMENTAL
C
x
W f (1,2,4) f (0,1,0)
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y FORMA BÁSICA
F d r
C
CONCLUSIONES:
j (2 z 1) k
SOLUCION: Teorema fundamental
K
Rosa Ñique Alvarez
W
2
Rosa Ñique Alvarez
W
y
97
Solución: Teorema fundamental 2
x
Función Potencial
El campo vectorial F es conservativo para todo ( x, y, z) ≠ ( x, 0, z)
x
i
y
rot F ( x, y, z) = 0
Es decir
1
W F . d r f d r Rosa Ñique Alvarez
Un ciclista sube una montaña a lo largo de la trayectoria que se muestra en la figura. Realiza un giro alrededor de la montaña para alcanzar la cima, mientras que su ángulo de subida es constante. Durante el viaje, el ejerce un a fuerza descrita por el campo vectorial
x
2
y
2
z
9
F ( x , y, z) x i y j z k
25
¿Cuál es el trabajo realizado por el ciclista al viajar de A a B?
2 101
Rosa Ñique Alvarez
102
17
CALCULO VECTORIAL
SOLUCION: Teorema fundamental
Solución: Teorema fundamental
F ( x, y, z ) x i y j z k
El campo vectorial
El campo vectorial F tiene componentes continuas en D y además es conservativo, porque rot F Es decir
0
F ( x , y, z) x i y j z k es conservativo de componentes continuas en D tiene la siguiente función potencial
F ( x, y , z ) f ( x, y, z )
Rosa Ñique Alvarez
f ( x, y, z ) 103
Solución: Teorema fundamental f ( x, y, z )
Además: A=(3,0,0),
2
x
2
2
y 2 z 2 K 104
f d
F . d r
C
r
C
f (3,0,0) = 81/2 + K
W B=(0,0,9),
2
SOLUCIÓN: Teorema Fundamental W
y z K 2
x
2
Rosa Ñique Alvarez
Función Potencial 1
1
f (0,0,9)
f (3,0,0)
36
f (0,0,9) = 9/2 + K
Rosa Ñique Alvarez
105
Rosa Ñique Alvarez
106
TEOREMA 1:
EJEMPLO 8
Sea F campo vectorial conservativo, donde sus componentes tienen derivadas de primer orden continuas en una región abierta y conexa D y C es una curva suave
Calcule la integral de línea del campo vectorial dado por: F ( x, y, z)
y cerrada en D.
e
y
2 z
i
x e
y
2 z
j 2 x
e
y
2z
k
A lo largo de la curva C para 0 ≤ t ≤1
F d r 0
r (t ) ln (t 2 t 1) i
3
sen (t
3 t 2 4t ) j
C
Rosa Ñique Alvarez
107
Rosa Ñique Alvarez
cosh (t 5 t ) 1 (t 2 t 1)
4
k
7
108
18
CALCULO VECTORIAL
Solución
Solución
Punto inicial A = (0, 0, 0) = B punto final
para 0 ≤ t ≤1
CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA
C : r (t )
ln (t 2 t 1) i
sen ( t
3
3 t 2 4 t) j
cosh (t (t
2
5
) 1
t
t
1)
4
k
0.1
7
0.08
0.06
0.04
Z
Punto Inicial
A
r
(0)
(0,0,0)
0.02
0
-0.02
Punto Final
B
r
(1)
(0,0,0)
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
La curva es cerrada porque A=B
-0.6
campo3C16
-0.8 -1
Y
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
0
-0.05
0.05
X
Rosa Ñique Alvarez
109
Solución F ( x, y, z)
e
y
2 z
i
x e
y
2 z
j 2 x
e
y
La curva C es cerrada , el punto inicial A y final B son iguales A = B = (0,0,0)
2z
k
El campo vectorial F conservativo y de componentes con derivadas parciales de primer orden continuas en D.
Rosa Ñique Alvarez
F d r f d r C
C
F d r f (0,0,0) f (0,0,0) 0
111
EJEMPLO 9
110
Solución
rot F = 0
Evalúe
Rosa Ñique Alvarez
Rosa Ñique Alvarez
112
F ( x, y, z ) 2 y sen 1 xi e y j 2
x
ln( z
2
4) k
CAMPO VECTORIAL
F . dr si
C
1.5
F ( x, y, z) 2 y sen 1 xi e y j
2
x
ln( z
2
4) k
1
0.5
Z 0
-0.5
donde C es el triángulo con vértices en los puntos: A=(1, 0, 0), B=(0, 1, 0) y D= (0, 0, 2).
-1 1.5 1
1.5 1
0.5 0.5 0
0 -0.5
-0.5
campo3NC9 Rosa Ñique Alvarez
-1
Y
-1
-1.5
X
113
19
CALCULO VECTORIAL
F ( x, y, z) 2 y sen
1
x
i
e
y
2
j
x
ln( z 2 4) k
F ( x, y, z) 2 y sen
2
F d r
Solución 1
x
i
e
y
2
j
x
ln( z 2 4) k
C
C
( ) 0, 1, 2 0
rot F
1
El campo vectorial F no es conservativo.
1 Rosa Ñique Alvarez
F ( x, y, z) 2 y sen 1 x i e y j
115
2
x
ln( z 2 4) k
Rosa Ñique Alvarez
116
Solución: Forma Básica
rot ( F ) 0, 1, 2
El campo vectorial F no es conservativo.
CAMPO VECTORIAL Campo Vectorial Rotacional
b
1.5 1
F
d r
C
F ( r (t ))
a
d r
d t
d t
2
0.5 0 Z
C
-0.5 -1 -1.5 -2 1.5
1
1 1.5
0.5 1
0
0.5 0
-0.5 -0.5
-1
campo3NC9
Y
-1.5
X
Rosa Ñique Alvarez
117
Rosa Ñique Alvarez
El campo vectorial F no es conservativo.
C
b
C
d r
F ( r (t ))
a
d r
F d r
F d r
C 1
F d r
C 2
F d r
C 3
2
d t
d t
C 3
C 2
Para evaluar esta integral se tendría que usar la forma básica en cada segmento que conforma el triángulo, haciendo los cálculos muy complicados. Rosa Ñique Alvarez
118
Forma Básica
Solución: Forma Básica
F
1
-1 -1.5
119
1 1
C 1
Rosa Ñique Alvarez
120
20
CALCULO VECTORIAL
Solución
RESUMEN
El campo vectorial F no es conservativo.
´FORMA BÁSICA b d r F r (t ) dt dt a TEOREMA FUNDAMENTAL C F d r f d r f ( B) - f ( A) C INDEP. TRAYECTORIA Y FORMA BÁSICA b1 F d r F r (t ) d r dt C dt a1 1
F d r C
Para evaluar esta integral de línea se recomienda usar el Teorema de Stokes.
Rosa Ñique Alvarez
121
Rosa Ñique Alvarez
122
RESUMEN TEOREMA 1
F d r 0 C
Rosa Ñique Alvarez
123
21
