MOISES VILLENA
9 CAMPOS VECTORIAL VECTORIALES ES EN n DEFINICIONES 9.2. 9.3. PROPIEDADES 9.3. 9.4. CAMPOS VECTORIAL VECTORIALES ES 9.4. CONSERVATIVOS 9.5. INTEGRAL INTEGRALES ES DE LÍNEAS LÍNEA S 9.6. TEOREMA DE GREEN 9.7. INTEGR INTEGRAL AL DE LÍNEA LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN REGIÓN PLANA 9.1. 9.1. 9.2.
Se persigue que el estudiante: • Calcule integrales de línea. • Aplique el Teorema de GREEN. • Calcule el área de regiones planas empleando integrales de líneas.
1
MOISES VILLENA
En el capítulo de funciones de variables se definió funciones vectoriales
generales de la forma
de la forma
F : U ⊆ → n
F : U ⊆ → n
m
, ahora trataremos con funciones
n
9.1. CAMPOS VECTORIALES EN
n
Sean f 1 , f 2 , , f n funciones escalares de las variables x1, x2 ,, xn definidas en una
región Ω de . La función F : U ⊆ n → n tal que F = ( f1 ( x x , , x ) , f 2 ( x x , , x ) , , f n ( x x , , x ) ) se llama Campo vectorial sobre Ω . n
1,
Si Si
F : U ⊆ →
2
F : U ⊆ →
3
2
3
2
1,
n
2
1,
n
2
n
se lo denota como
F = ( M ( x, y ) , N ( x, y ) ) .
se lo denota como:
F = ( M ( x, y , z ) , N ( x, y , z ) , P ( x, y , z ) )
F : U ⊆ 2 → 2 tal que F
= ( 2 x + y, x 2 − y 2 )
Algunos ejemplos físicos comunes comunes de campos vectoriales vectoriales son: • Campos de velocidades • Campos gravitacionales. • Campos de fuerzas eléctricas.
∇ f , de una función escalar f . ⎛∂ ∂ ∂⎞ ∇ = ⎜ , , ⎟ , operador NABLA , podemos ⎝ ∂ x ∂y ∂z ⎠
Un campo conocido es el Gradiente, Si llamamos el vector
obtener la definición del gradiente y otras definiciones más.
9.2 DEFINICIONES
Sea f una función escalar y F = ( M , N , P ) un campo vectorial. Se define: 1. El gradiente de f como el vector
2
MOISES VILLENA
⎛∂ ∂ ∂⎞ ⎛ ∂ f ∂f ∂f ⎞ ∇ f = ⎜ , , ⎟ f = ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂ x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 2. La Divergencia de F como ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ • F = ⎜ , , ⎟ • ( M , N , P ) ⎝ ∂ x ∂y ∂z ⎠ ∂ M ∂N ∂P = + + ∂ x ∂y ∂z 3. El rotacional de F como el vector
∇ × F =
i
j
k
∂ ∂ x
∂ ∂y
∂ ∂z
M
N
P
4. El Lapalciano de f como
⎛∂ ∇ f = ∇ • ∇f = ⎜ ⎝∂ ∂ 2 f = 2 ∂ x 2
∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ f ∂f ∂f ⎞ , , ⎟•⎜ , , ⎟ ∂ y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂ 2 f ∂ 2 f + 2 + 2 ∂y ∂z
9.3 PROPIEDADES
Sea f una función escalar y sean F y G campos vectoriales. Entonces: 1. ∇ • F + G = ∇ • F + ∇ • G
( ) 2. ∇ • ( f F ) = f ( ∇ • F ) + ( ∇f ) • F 3. ∇ × ( f F ) = f ( ∇ × F ) + ( ∇f ) × F 4. ∇ • ( F × G ) = ( ∇ × F ) • G + ( ∇ × G ) • F 5. ∇ × ( ∇ f ) = 0
(
)
6. ∇ • ∇ × F = 0
3
MOISES VILLENA
(
)
7. ∇ × ∇ f + ∇ × F = ∇ × ∇ × F Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector.
9.4 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS
Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe alguna función diferenciable f tal que F = ∇f . La función
f se llama función potencial de F .
9.4.1 Teorema.
Un campo vectorial F es conservativo y si sólo si ∇ × F = 0 .
Determine si F = ( 2 xy, x 2 − y ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. SOLUCIÓN:
El rotacional de F sería:
∇× F =
i
j
k
i
j
k
∂ ∂ x
∂ ∂y
∂ ∂ = ∂z ∂x
∂ = ( 0, 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂z
M
N
P
0
∂ ∂y 2 xy x 2 − y
Por tanto, F si es conservativo. 2
Note que para campos de , basta que
∂N ∂M para ser conservativos. ¿Por qué?. = ∂ x ∂y
Cuando el campo es conservativo la función potencial existe y además:
F
⎛ ∂ f ∂f ⎞ = ∇f = ⎜ , ⎟ = ( 2 xy, x 2 − y ) ⎝ ∂ x ∂y ⎠
Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces:
∂ f = 2 xy ⇒ f = ∂ x
∫ ∫(
∂ f = x 2 − y ⇒ f = ∂ y
2 xy dx ⇒ f ( x, y ) = x 2 y + g ( y ) + C 1 x
2
− y ) dy ⇒ f ( x, y ) = x2 y −
Haciendo superposición de soluciones, la función potencial sería:
f ( x, y ) = x y − 2
4
y 2
2
+ C
y 2
2
+ h ( x) + C 2
MOISES VILLENA
Determine si F = ( 2 xy, x2 + z 2 , 2 zy ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. SOLUCIÓN:
El rotacional de F sería:
∇× F =
i
j
∂ ∂ x
∂ ∂y
∂ ∂ = ∂z ∂x
M
N
P
k
i
j
∂ ∂y 2 2xy x + z 2
k
∂ = ( 2 z − 2 z ,0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂z 2zy
Por tanto, F si es conservativo. Ahora tenemos:
F
⎛ ∂ f ∂f ∂f ⎞ = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ( 2 xy, x2 + z 2 , 2 zy ) ⎝ ∂ x ∂y ∂z ⎠
Entonces
∫ ∫( ∫(
f = f = f =
2 xy dx ⇒ f ( x , y , z ) = x 2 y + g ( y , z ) + C 1
)
2 2 x + z dy ⇒ f ( x , y , z ) = x 2 y + z 2 y + h ( x , z ) + C 2
2 zy ) dz ⇒ f ( x , y , z ) = z 2 y + h ( x , y ) + C 3
Haciendo Superposición de soluciones:
f ( x, y, z ) = x 2 y + z 2 y + C
9.5 INTEGRALES DE LÍNEAS En los capítulos 6 y 7 tratamos integrales de funciones escalares sobre regiones de 2 o regiones de 3 , ahora trataremos integrales de funciones escalares y funciones vectoriales sobre curvas.
9.5.1 Integrales de líneas de func iones escalares. Sea f : U ⊆ n una función escalar de n variables definida en una región U que contiene una curva suave C de longitud finita, la integral de línea de f sobre C se define como:
∫ f (
x1 , x2 , , x n ) ds
C
n
= lim
Δ →0
∑ f (x ,x , 1
2
, x n
) Δs
i
i =1
Supuesto que este límite exista. 5
MOISES VILLENA
9.5.1.1 Teorema. Calculo de una integral de línea como integral definida. Sea f continua en una región que contiene una curva suave definida por C , r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,, xn ( t ) ) a ≤ t ≤ b, donde entonces:
∫ C
f ds =
∫
⎡ f r ( t ) ⎤ r´( t ) dt ⎣ ⎦
C b
∫
2
2
2
= f ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) [ x1´( t ) ] + [ x2´( t ) ] + + [ xn ´( t ) ] dt a
Si f = 1 entonces tenemos
∫
ds , la longitud de la curva.
C
Calcular
∫
( x
2
− y + 3 z ) d s donde C : segmento de recta desde el punto
C
( 0,0,0) al punto (1,2,1) . SOLUCIÓN:
⎧ x = 0 + t ⎪ La ecuación de C es ⎨ y = 0 + 2t ; es decir: r ( t ) = ( t , 2t , t ) . ⎪ z = 0 + t ⎩
6
MOISES VILLENA Entonces:
∫
∫
fds = ⎡ f r ( t ) ⎤ r´( t ) dt ⎣ ⎦
C
C
1
=
∫
(t
2
− 2t + 3t ) 1 + 2 2 +12 dt
0 1
= 6
∫
(t
2
+ t )dt
0 1
⎛ t 3 t 2 ⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝ 3 2 ⎠0 ⎛1 1⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝3 2⎠ =
Calcular
∫
5 6 6
xds donde C : es la curva que se presenta en el gráfico:
C
y
(1,1) y = x y = x
2
( 0,0 )
x
SOLUCIÓN: Por la forma de C debemos hacer dos integrales; es decir:
∫ C
xds =
∫ ∫ xds +
C1
Para la primera integral C 1
xds donde C1 : y = x y C2 : y = x2 .
C 2
⎧ x = t = ⎨ ⎩ y = t
7
MOISES VILLENA 1
∫ ∫ xds =
0
C 1
Para la segunda integral C 2
1
⎛ t 2 ⎞ 2 t 1 +1 dt = 2 ⎜ ⎟ = 2 ⎝ 2 ⎠0 2
2
⎧ x = t = ⎨ 2 ⎩ y = t
0
0
∫ ∫
2
xds =
2 t 1 + ( 2t ) dt =
1
C 2
∫
2 (1 + 4t
2
2 t 1 + 4t dt =
3
)
3
1 2
=
8
1
1
−
1
12 12
5
3
2
0
Por tanto:
∫ ∫ ∫ xds =
C
xds +
C1
xds =
2 2
+
1 12
−
1 12
5
3
2
C 2
9.5.2 Integrales de línea de Campos vectoriales.
Sea F : U ⊆ n → n un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,, xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . La
integral de línea de F sobre C se define como:
∫ F • d r = ∫ F • T ds C
r´( t )
Reemplazando
T =
∫
r´( t )
y
ds = r´( t ) dt b
C
∫
F • T ds = F •
C
a
r´( t ) r´( t )
r´( t ) dt
Entonces:
∫ C
8
∫
F • d r == ⎡( F ( x ( t ) , x ⎣ C
1
2
( t ) , , x ( t ) ) n
) • ( r´( t ) ) ⎤⎦ dt
MOISES VILLENA
Calcular
∫
F • d r
donde
F
= ( x, − xy, z 2 ) y C es la curva definida por
C
r ( t ) = ( cos t , sent , t ) desde el punto ( 0,0,0 ) hasta el punto (1,0,2π ) .
SOLUCIÓN:
∫
2π
F •dr =
∫ ∫( ∫(
( x, − xy, z ) • ( −sent , cos t ,1) dt 2
0
C
2π
=
cos t , − cos tsent , t 2 ) • ( − sent , cos t ,1 ) dt
0
2π
=
− cos tsent − cos 2 tsent + t 2 ) dt
0 2π
⎛ cos 2 t cos3 t t 3 ⎞ =⎜ + + ⎟ 3 3 ⎠0 ⎝ 2
⎛ 1 1 8π 3 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ =⎜ + + ⎟ − ⎜ + + 0⎟ ⎝2 3 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠ =
8π 3 3
La integral de línea que acabamos de definir se la puede interpretar
como el trabajo que tiene que realizar un campo F al desplazar una partícula sobre la curva C , si denotamos al trabajo como W , entonces:
∫
W = F • dr C
9.5.2.1 Forma Diferencial
En la integral
∫ ⎡⎣ F • r´( )⎤⎦ dt t
C
Suponga que
F = ( M , N, P)
entonces tenemos que
y que
C : r (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t ) )
⎛ dx dy dz ⎞ , , ⎟ ⎝ dt dt dt ⎠
r ´(t ) = ⎜
Reemplazando:
⎡ F • r´( t ) ⎤ dt = ⎡⎢( M , N , P ) • ⎛⎜ dx , dy , dz ⎞⎟ ⎤⎥ dt ⎣ ⎦ ⎝ dt dt dt ⎠ ⎦ C C ⎣
∫
∫
9
MOISES VILLENA
Entonces:
∫
∫
⎡ F • r´( t )⎤ dt = Mdx + Ndy + Pdz ⎣ ⎦
C
Calcular
C
∫
F • d r donde F = ( y , x
2
)
y
C : y = 4x − x
2
desde el punto ( 4,0 )
C
hasta el punto (1,3) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial
∫
F • dr
C
∫ ∫
=
Mdx + Ndy
C
= ydx + x 2 dy C
En este caso y
= 4 x − x entonces dy = ( 4 − 2 x ) dx 2
Reemplazando:
∫
1
ydx + x dy 2
∫ ∫( ∫(
=
( 4x − x ) dx + x ( 4 − 2x ) dx 2
2
4
C
1
=
4 x − x 2 + 4 x 2 − 2 x 3 ) dx
4
1
=
4 x + 3x 2 − 2 x 3 ) dx
4
1
3 4 ⎛ x 2 x x ⎞ = ⎜4 +3 −2 ⎟ 3 4 ⎠4 ⎝ 2
=
69 2
Veamos ahora que existen campos vectoriales que producen el mismo efecto independientemente de la trayectoria.
10
MOISES VILLENA
9.5.3 Independencia de la Trayectoria
Calcular
∫
F • d r donde F = ( 4 xy, 2 x 2 )
y
C : y = x 2 desde
el punto ( 0,0 )
C
hasta el punto (1,1) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial
∫
F •dr
∫ ∫
=
C
Mdx + Ndy
C
=
4 xydx + 2 x 2 dy
C
En este caso y
= x entonces dy = 2 xdx 2
Reemplazando:
∫
1
∫ ∫
4 xydx + 2 x 2 dy =
4 x ( x 2 ) dx + 2x 2 ( 2xdx )
0
C
1
=
8 x 3 dx
0
8 x 4 = 4
1
0
=2 •
Si empleamos la trayectoria y
= x3 entonces dy = 3x 2 dx
Reemplazando:
∫
1
∫ ∫
4 xydx + 2 x 2 dy =
4 x ( x 3 ) dx + 2x 2 ( 3x 2dx )
0
C
1
=
10 x 4 dx
0
=
•
10 x 5 5
1
0
=2 Si empleamos la trayectoria y = x entonces dy = dx
Reemplazando:
11
MOISES VILLENA
∫
1
∫ ∫
4 xydx + 2 x 2 dy =
4 x ( x ) dx + 2x 2 ( dx )
0
C
1
=
6 x 2 dx
0
=
6 x 3 3
1
0
=2
Note que se obtienen los mismos resultados para diferentes trayectorias,
además observe que el campo
F es conservativo debido a que: ∂ N ∂M
=
∂
∂ y
∂ ( 2 x 2 )
∂ ( 4 xy ) = ∂ x ∂y 4 x = 4 x
9.5.3.1 Teorema
Si F es continuo en una región abierta conexa,
entonces la integral de línea
∫ F • d r C
es
independiente del camino si y sólo si F es conservativo.
Calcular
∫
F • d r
donde
F
= ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1) y
C
desde el punto ( 0,0 ) hasta el punto ( 2,0) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial
12
C : r ( t ) = (1 − cos t , sent )
MOISES VILLENA
∫
F •dr
∫ ∫(
=
C
Mdx + Ndy
C
=
y
3
+ 1) dx + ( 3xy 2 + 1) d y
C
En este caso
⎧dx = sentdt ⎧ x = 1 − cos t entonces ⎨ ⎨ ⎩dy = cos tdt ⎩ y = sent
Reemplazando:
∫
( y
3
+ 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy =
C
∫
( sen t + 1) ( sentdt ) + ( 3 (1 − cos t ) sen t + 1) ( cos tdt ) 3
2
C
Se observa que a integral está difícil de evaluar.
Ahora veamos si F es conservativo: ∂ N ∂M
∂ x
=
∂y
∂ ( 3 xy 2 + 1)
∂ ( y 3 + 1)
=
∂ x
∂y
3 y 2 = 3 y 2
Como F si es conservativo, entonces es independiente de la trayectoria:
y 2
( x − 1) + y = 1 2
⎧ x = 1 − cos t ⎨ ⎩ y = sent x
( 2,0 )
( 0,0 )
Mejor empleemos una trayectoria simple: y = 0 entonces dy = 0 Reemplazando:
∫
2
( y
3
∫( ∫
+ 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy =
0 + 1) dx + ( 0 + 1)( 0)
0
C
2
=
dx
0 2
= x 0 =2
13
MOISES VILLENA
Sin embargo podemos evaluar la integral de línea de otra manera para campos conservativos.
9.5.3.2 Teorema Fundamental Sea C una curva suave a trozos situada en una R región abierta dada por dada por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,, xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . Si
F = ( M , N , P ) es conservativo en R ; y M , N y P
son continuas en R entonces:
∫ F • d r = ∫ ∇f •d r = f C
final
− f inicial
C
Siendo f una función potencial de F . Es decir:
⎛ ∂ f ∂f ∂f ⎞ F • d r = ∇f •d r = ⎜ , , ⎟ • ( dx, dy, dz ) ∂ x ∂y ∂z ⎠ C C C ⎝
∫
∫
∫
⎛ ∂ f ∂f ∂f ⎞ = ⎜ dx + dy + dz ⎟ ∂ x ∂y ∂z ⎠ C ⎝
∫ ∫
= df C
= f final − f inicial
En el ejemplo anterior, como F = ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1) es conservativo podemos encontrar su función potencial y aplicar el teorema anterior: Hallando la función potencial.
∂ f = y 3 + 1 ⇒ f = ( y 3 + 1) x + g ( y ) + C 1 ∂ x ∂ f = 3 xy 2 + 1 ⇒ f = xy 3 + y + h ( x ) + C 2 ∂ y Entonces: f ( x, y ) = xy3 + x + y + C
14
MOISES VILLENA
∫
F • d r = f final − f inicial
C
= ⎡⎣ 2 ( 03 ) + 2 + 0 + C ⎤⎦ − ⎡⎣0 ( 03 ) + 0 + 0 + C ⎤⎦ =2
Calcular
∫
F • d r
donde
⎛ z z
F = ⎜
,
⎝ x y
⎞
, ln xy ⎟ y
⎠
⎛ 1 ⎞ , t 2 + t + 1, t ⎟ 2 ⎝ 1 + t ⎠
C : r (t) = ⎜
C
−1 ≤ t ≤ 1 . SOLUCIÓN: Realizar el cálculo de la integral de lineal convencionalmente puede resultar complicado. Veamos
si F es conservativo:
i
j
∂ ∂ x
∂ ∂y
∂ ∂ = ∂z ∂x
∂ ∂y
M
N
P
z
z
x
y
∇× F =
k
i
j
k
⎛ x 1 y 1 ⎞ ∂ = ⎜ − , − , 0 − 0 ⎟ = ( 0, 0, 0 ) ∂z ⎝ xy y xy x ⎠ ln xy
Entonces F es conservativo y por ende independiente de la trayectoria; se podría utilizar una trayectoria simple, por ejemplo el segmento de recta que va desde el punto ⎛ ⎞ ⎛1 1 2 ⎞ r ( −1) = ⎜ , −1) + ( −1) + 1, ( −1) ⎟ = ⎜ ,1, −1 ⎟ 2 ( ⎜ 1 + ( −1) ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛1 2 ⎞ al punto r (1) = ⎜ , 1 + (1) + 1, (1) ⎟ = ⎜ , 3,1⎟ 2 ( ) ⎜ 1 + (1) ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ O mejor aún, se podría utilizar la función potencial, hallémosla:
⎛ ∂ f ∂f ∂f ⎞ ⎛ z z ⎞ = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ⎜ , ´, ln x y ⎟ ⎝ ∂ x ∂y ∂z ⎠ ⎝ x y ⎠
F
f
f
f
=
∫ ∫ ∫ =
=
z x
z y
dx = z ln x + g ( y , z ) + C 1
dy
= z ln y + h ( x, z ) + C 2
ln xydz = z ln xy + I ( x , y ) + C 3 = z ln x + z ln y + g ( x , y ) + C 3
Por tanto f ( x, y, z ) = z ln xy + C
15
MOISES VILLENA
∫
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ F • d r = f ⎜ ,3,1 ⎟ − f ⎜ ,1, −1⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
C
⎡ ⎛1 ⎞ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛1 ⎞ = ⎢1ln ⎜ ( 3) ⎟ + C ⎥ − ⎢( −1) ln ⎜ (1) ⎟ + C ⎥ ⎝2 ⎠ ⎣ ⎝2 ⎠ ⎦ ⎣ ⎦ 3
1
2 3
2
= ln + ln = ln
4
Si la trayectoria es cerrada y si el campo es conservativo y continuo dentro de la región que encierra la curva entonces:
∫ F • d r = 0 C
Calcular
∫
⎛
⎞ x − y y C : x 2 + y 2 = 1 , 2 2 2 ⎟ ⎝ x + y x + y ⎠
F • d r donde F = ⎜
2
C
SOLUCIÓN:
Veamos si F es conservativo. Como es un campo de 2 : 2 2 ∂ N ∂ ⎛ x ⎞ 1( x + y ) − x ( 2 x ) − x 2 + y 2
∂ x
=
⎜ ⎟= ∂x ⎝ x 2 + y 2 ⎠
∂ M ∂ ⎛ − y = ⎜ ∂ y ∂x ⎝ x 2 + y 2
=
2
2
( x + y ) (x + y ) ⎞ −1( x + y ) − y ( 2 y ) − x + y = ⎟= ⎠ ( x + y ) (x + y ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Por tanto F si es conservativo . Como la trayectoria es cerrada se podría pensar que el valor de la integral de línea debería ser cero, pero observe que el campo no es continuo en ( 0,0 ) , entonces debemos evaluar la integral de línea. ⎧ x = cos t La curva en forma paramétrica es C : ⎨ y en forma vectorial r ( t ) = ( cos t , sent ) ⎩ y = sent
La Integral de línea sería:
16
MOISES VILLENA
∫
F •dr
C
=
∫
2π
F • r´ dt
∫ ∫ ∫( ∫
=
⎛ − y ⎞ x , 2 −sent , cos t ) dt ⎜ 2 2 2 ⎟( ⎝ x + y x + y ⎠
0
C
2π
=
⎛ − sent cos t ⎞ ⎜ 1 , 1 ⎟ ( − sent , cos t ) dt ⎝ ⎠
0
2π
=
)
sen t + cos t dt 2
2
0
2π
=
dt
0
= 2π
Existe otro mecanismo para evaluar integrales de líneas en el caso de caminos cerrados.
9.6 TEOREMA DE GREEN
Sea F = ( M , N ) un campo vectorial de
2
. Sea
R una región simplemente conexa con frontera C suave a trozos orientada en sentido ∂N ∂ M antihorario. Si M , N , , son continuas en ∂ x ∂ y
una región abierta que contiene a R , entonces:
∫
F •dr
∫
∫∫
C
R
= Mdx + Ndy =
C
Calcular
∫
(
⎛ ∂ N ∂M ⎞ ⎜ ∂ x − ∂y ⎟dA ⎝ ⎠
F • d r donde F = y 3 , x 3 + 3 xy 2
) y
C : es
el camino desde ( 0,0 )
C
a (1,1) sobre SOLUCIÓN:
y = x
2
y desde (1,1) a ( 0,0 ) sobre y = x .
La evaluaremos primero empleando una integral de línea y luego por el Teorema de Green para comparar procedimientos y comprobar resultados.
17
MOISES VILLENA
y
(1,1) y = x
y = x
2
x
( 0,0 )
PRIMER MÉTODO: Por integral de línea:
∫
F •dr
=
∫
C
Mdx + Ndy
=
∫
C
(
y dx + x 3
3
+ 3xy 2 ) dy
3
+ 3x ( x 2 ) ( 2xdx )
C
Hay 2 trayectorias: C1 : y = x 2 entonces dy = 2 xdx
∫
1
(
y dx + x 3
3
+ 3xy 2 ) dy =
∫
(x ) 2
3
(
dx + x
0
C 1
1
=
∫ ∫(
( x
6
+ 2 x 4 + 6 x 6 )dx
0
1
=
7 x 6 + 2 x 4 )dx
0
=7 = C2 : y
18
= x entonces dy = dx
x
7 5
7
7
+2
x
5
5
1
0
2
)
MOISES VILLENA
∫
0
(
y dx + x 3
3
∫
(
3
2
)
+ 3xy 2 ) dy = ( x ) dx + x 3 + 3x ( x ) ( xdx ) 1
C 2
0
=
∫ ∫(
( x
3
+ x 3 + 3x 3 )dx
1
0
=
5 x 3 )dx
1
=5
x
=−
4
4
0
1
5 4
Por lo tanto:
∫
F •dr
C
=
∫
F • dr +
C1
∫
F • d r =
7 5
−
5 4
=
3 20
C 2
SEGUNDO METODO: Empleando el TEOREMA DEGREEN
∫ F • d r = ∫∫
C
⎛ ∂ N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA = ∂ ∂ x y ⎝ ⎠
R
∫∫ R
⎛ ∂ ( x 3 + 3xy 2 ) ∂ ( y 3 ) ⎞ ⎜ ⎟dA − ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠
La región R es:
y
(1,1) y = x
R
y = x
( 0,0)
2
x
19
MOISES VILLENA
∫∫
1
x
∫∫
⎛ ∂ N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA = ⎝ ∂ x ∂y ⎠ 1
=
2
+ 3y 2 − 3 y 2 ) dydx
x2
0
R
( 3x
x
∫∫
( 3 x ) dydx 2
x3
0 1
=
∫ ∫ ( ∫(
3 x 2 y
x x 2
dx
0 1
=
3 x 2 x − x 2 ) dx
0 1
=
3 x 3 − 3x 4 ) dx
0
=3
x
4
4
3
= − =
Calcular
∫
−3
x
5
5
3
4 5 3 20
(
F • d r donde F = arc senx + y 2 , cos y − x2
)
y
C : es
C
que se describe en la gráfica: y
2
x + y = 1 2
−2
2
−1
SOLUCIÓN: Aquí es mejor por GREEN, ¿Porqué?
20
x + y = 4 2
2
1
1
2
x
el camino
MOISES VILLENA
∫
F •dr =
C
∫∫ ( ∫∫ ∫∫(
⎛ ∂ N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA ∂ ∂ x y ⎝ ⎠
R
=
R
=
⎛ ∂ cos y − x 2 ) ∂ ( arc senx + y 2 ) ⎞ ⎜ ⎟dA − ⎜ ⎟ ∂ x ∂y ⎝ ⎠ −2 x − 2 y )dA
R
Pasando a Polares: 2
π
∫∫ (
∫∫( ∫∫( ∫(
−2 x − 2 y )dA = −2
0
R
π
= −2
r cos θ + rsenθ ) rdrd θ
1
2
cos θ + senθ ) r 2 drdθ
0
1
π
= −2
3 2
cos θ + senθ )
r
3
dθ 1
0
⎛ 23 13 ⎞ = −2 ⎜ − ⎟ ( senθ − cos θ ) 0 ⎝ 3 3⎠ ⎛8 1⎞ = −2 ⎜ − ⎟ ⎡⎣1 − ( −1) ⎤⎦ ⎝3 3⎠
π
=−
28 3
9.7 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA. Con integrales de líneas también podemos calcular el área de regiones planas. En la formula de Green, si tomamos M
∫∫ R
∫∫ R
∫∫ R
1
1
2
2
= − y y N = x entonces
⎛ ∂ N ∂M ⎞ ⎜ ∂ x − ∂y ⎟dA = Mdx + Ndy ⎝ ⎠ C
∫
⎛ 1 ⎛ 1 ⎞⎞ 1 1 − − = − + dA ydx xdy ⎜ 2 ⎜ 2 ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠⎠ ⎝ C
∫
dA =
1
xdy − ydx ∫ 2 C
21
MOISES VILLENA
9.7.1 Teorema Sea R una región plana limitada por una curva cerrada simple a trozos C . El área de R viene dada por: 1 A =
xdy − ydx ∫ 2 C
Emplear una integral de línea para calcular el área de la región limitada por ⎧ y = 2 x + 1 ⎨ 2 ⎩ y = 4 − x SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo de la región y
4
C2 : y = 4 − x
2
(1,3 )
3
R
−3
1
x
C1 : y = 2x + 1
( −3, −5 )
−5
La curva C que encierra R está compuesta por dos trayectorias diferentes, calcularemos la integral de línea por cada trayectoria, y luego sumaremos los resultados. Primero: C1 : y = 2 x + 1 entonces dy = 2dx Reemplazando y evaluando:
22
MOISES VILLENA
1 2
1
∫
xdy − ydx =
∫(
1
x 2dx ) − ( 2 x + 1) dx
2
−3
C 1
1
=
1 2
∫( ∫
2 x − 2 x − 1) dx
−3 1
=
1 2
− dx
−3
1
1
= − x −3 2 = −2
Segundo: C2 : y = 4 − x 2 entonces dy = − 2 xdx Reemplazando y evaluando:
1 2
∫
−3
xdy − ydx =
∫
1 2
(
x ( −2xdx ) − 4 − x
2
) dx
1
C 2
−3
=
1 2
∫ ∫(
( −2 x
2
+ x 2 − 4 ) dx
1
−3
=
1 2
− x 2 − 4 ) dx
1
−3
1 ⎛ x 3
⎞ = − ⎜ + 4 x ⎟ 2⎝ 3 ⎠1 =
38 3
Finalmente, sumando:
A = −2 +
38 32 = 3 3
Hallar el área de la elipse con ecuación
x 2 a2
+
y2 b2
=1
SOLUCIÓN:
⎧ x = a cos t Las ecuaciones paramétrica de la elipse son:C : ⎨ ⎩ y = bsent Entonces
⎧dx = − asent dt ⎨ ⎩dy = b cos t dt
Reemplazando en la formula anterior y luego evaluando, resulta:
23
MOISES VILLENA 2π
A =
1 2
∫ xdy − ydx = 2 ∫ (a cost )(b costdt ) − (bsent) ( −asentdt ) 1
0
C
2π
=
1 2
∫ ∫ ∫
ab cos tdt + absen tdt 2
2
0
2π
=
1 2
(
)
2 2 ab cos t + sen t dt
0
2π
=
1 2
abdt
0 2π
1
∫
= ab dt 2
0
1
2π
= ab t 0 2
= π ab
1. La fuerza ejercida por una carga eléctrica ubicada en el origen sobre una partícula cargada situada en un punto (x,y, z) , con vector posición r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) es
F ( r ) = k
r r
3
,donde k es una constante. Encuentre el trabajo realizado cuando la partícula
se mueve a lo largo de una recta de (2,0,0) a (2,1,5). 2
2
2. Dado el campo vectorial F ( x, y, z ) = (2 xyz + sen x )i + x zj + x yk , demostrar que F es un campo conservativo y encontrar su función potencial.
∫ F • dr siendo C la trayectoria C (t ) =
3. Calcular
(t − 1)3 + 1, cos 5 (πt ), − cos 8 (πt )
,
C
t ∈ [1,2] y F ( x, y, z ) = 2 xz 3 + 6 y, 6 x − 2 yz, 3 x 2 z 2 − y 2
∫
3
3
4. Calcular x dy − y dx
donde C es el círculo unitario centrado en el origen.
C
5. Sea F ( x, y ) = xe
− y 2
2
contorno del cuadrado determinado por: x 6. Evaluar la integral
∫ x
(
, − x 2 ye − y + 1 x 2 + y 2
2
ydx
) , calcular el trabajo de F en el
≤ a ; y ≤ a
− y 2 xdy ; donde C es la curva que consta del arco
C
3
4 y = x de (0,0) a (2,2) y del segmento de recta que va de (2,2) a (0,0) 7. Verificar el teorema de Green en la integral
∫ 2 ( x
2
)
+ y 2 dx + ( x + y )2 dy , siendo C el
C
contorno del triángulo con vértices en los puntos (1,1),(2,2), (1,3). 8. Hallar
∫ xydx + 2 x
2
dy donde C consta de los segmentos de recta que van desde (0,2) a (-
C
2,0) y de allí a (2,0) y luego la parte de la circunferencia x
24
2
+ y 2 = 4 para x>0 y y>0.
MOISES VILLENA 9. Una partícula empieza en el punto (-2,0), se mueve a lo largo del eje x hacia (2,0) y luego a lo largo de la semicircunferencia y
= 4 − x2
hacia el punto inicial. Encontrar el trabajo sobre
(
esta partícula por el campo de fuerzas F ( x, y ) = x, x
∫
10. Calcular:
⎡ ⎣
3
)
+ 3xy 2 . ⎤ ⎠⎦
2 2 ⎛ 2 2 ⎞ x + y dx + y ⎢ xy + ln⎜ x + x + y ⎟⎥ dy , donde C es la
circunferencia x
2
⎝
+ y 2 = a 2
11. Utilizando una integral de línea calcular el área de la región encerrada por la curva 2
x 3
+ y
2
3
=a
2
3
12. Empleando una integral de línea, encuentre el área de la región R limitada por las gráficas 2
y = x + 2 ; y = − x ; x = −2 ; x = 2 .
25
