UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III I II
DIRIGIDA 3 P RÁCTICA Integrales dobles 1. Determine
[ xy]d xdy ,
= ( x , y) 1
| ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2}
{
Ω
Ω
y x= 2
x= 1
y= 2
2 2
[ xy ]d xd y =
xy dxd y
0 1 2
Ω
=
2
x x =
y y
0
2. Evalúe
2 2 y2 x2
d d
2
1
| |
( x + y) d xdy ,
Ω
= ( x , y)
Ω
{
0
2
1
Ω = 3 y= 0
x
| − 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2} y
2
| |
( x + y ) dxd y =
0
2
2
3 y +
0
3. Calcular
| |
2
+ yx
( x + y
Ω
+
0
5 d y = 2
| − x|) d xdy
| |
,
Ω
x2
y=2
2
0
+ yx
3 y2 5 y + 2 2
= ( x , y)
{
1
| − x|) dxd y =
0
z=x+y
x x= 2
x=-1
| − 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2}
2 − ( x
2 2
y)dxd y +
0 y
2 0
( y)d yd x +
0 x
2
2
( y
0
2 y2
2
−1
− d d 2 4 − 2 d 2 − d ( x2
xy )
y
y + 2
(
= (4 y
− y2 ) 20 +
1
2 y
3
− x6
− 2x)dxd y
− x2 ) 0−1
2
( y + 1)d y
x +
2
0
( xy
0
x2
y) y +
0
x +
x
0
2
CICLO 2011-3
Ω2
y=0
= 11
0
=
2
2
=
Ω1
z=y-x
d y
2 2
y ( x + y
Ω
−
( x + y)dx d y
1
x2
0
=
−
− − 2
=
0
( x + y )d x +
0
Ω
2
0
2
y2
+
0
2
+ y
2
= 0
32 3
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E 4. Calcular
M ATEMÁTICA III
xy2 + y d xdy ,
Ω
Ω
= ( x , y) 1
| ≤ xy ≤ 2 , 0 ≤ x − y ≤ 2}
{
√
√ 2+1
2 x
xy 2 + y d xd y =
Ω
x
√
xy 3
=
√
x4
3
1
2
=
+
3
1
+
x
2
1
x2
+
2
√ 3+1 +
y 2
−
x4
3
√ 2+1
5
6x2
3
+ 2x3
+
y2
2
√ 2+1
23 dx 6 √ x2
dx +
2
x
xy 2 + y d ydx +
xy 3
√ 2
x
√ 2+1 x−2 √ 3+1
2
x
dx +
1
xy 3
3
√ 2+1
x
−
xy 2 + y d yd x
+
2
y 2
2
x
x 2
dx
2
− 5x2 + 203x − 4 + 314x2
y y =
y =
x
√ 2 1 x √ 2+1 dx +
√ 3+1
2
xy 2 + y d yd x +
1 1 2
dx = 0.930153
2 x
1
√ √
( 2,
x
2)
Ω1
(1, 1)
√
( 3 + 1,
Ω2
√
3 − 1)
Ω3
y = x
√
( 2 + 1,
√
2 − 1)
x y = x
5. Determinar
x2 + xy + 2y2 d xdy ,
Ω
1 2
x2 + xy + 2 y2
Ω
dxd y =
−
− 32 − 12 =
CICLO 2011-3
{
| − 1 ≤ x + y ≤ 2 , 0 ≤ y − x ≤ 2} 0 2+ x
x2 + xy + 2 y2
x2 y +
10
− 32
= ( x , y)
2+ x
− 32 −1−x − 12 =
Ω
x3
3
−2
x y2
2
+
2 y3 3
d ydx +
− 12
x
0
2+ x
− − − 1 x
23 x + 10x2 + + 6 2
1 2 x
x2 + xy + 2 y2
dx +
1 2
0
dx +
− 12
2
x2 y +
xy 2
2
+
d ydx +
0
2 y3 3
16 8x2 + 10x + 3
−
x2 + xy + 2 y2 d ydx
x
1
2+ x
dx + x
0
1
− dx +
0
x2 y +
x y2
2
+
2 y3 3
2 x
−
dx
x
10x3 16 23 dx = + 4x2 − 6x + 3 3 4
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
y = 2 + x
y
y
=
x
Ω3
Ω2 Ω1
= 2 −x
y
x
y
6. Calcular
x2 + xy + 2y2 d xdy ,
Ω
Ω
| ≤ 1 − x2 , 0 ≤ y − x
= ( x , y) y
√ 5−1
Ω
dxd y =
−√ 5−1 2 √ 5−1 2
=
x2 + xy + 2 y2 d yd x
x
2 x x2 y + y2 + y3 2
−√ 5−1
3
2
2
−√ 5−1
3
+
1 x2
−
dx
x
2
√ 5−1 =
1 x2
− 2
x2 + xy + 2 y2
= −1 − x
5
− x2 − 196 x3 + x4 + x2 − 23 x6 2 x
2
dx = 2.728535
y y =x
√ − 5−1
Ω
2
√
5 1 2
x
−
2
y =1−x
CICLO 2011-3
3
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E 7. Determine
M ATEMÁTICA III
( x + y + x
| − y|) d xdy
Ω
,
Ω
= ( x , y) x2 + y
| − y|) dxd y =
( x + y + x
√
1− 5 2
| |≤1 5 1 2
1 x2
√
−1
√ 5−1 2
−1 1 − x2
−1
√ 5−1 2
1 x2
x2 1
1
2 d d − √
√ 5−1
1
2
x
1
x y x =
√ 5−1
x2 1
−
(1
√
1− 5 2
− 3x2 + x4 )dx = 0.8
√ 5−1
xy
|
x x2 1 d x =
−
2
(2x + 2x2
√ 1− 5
− 2x3 )dx = 0.314757
2
2 d d 2
√ 5−1
2
dx =
2
√ 1− 5
x2 1
− 1− x 2
√ 5−1
x2
2
x y x =
2
−1
√ 5−1
2 d d 2
√ 1− 5
−
(0)d x = 0
x =
1− 5 2
x
2
y2
√
x
1− 5 2
2
x2 1
√
y2
y y x =
x y x
√ 5−1
−1
1− 5 2
− 2 d d − d − x2
1 x2
x y x +
√
1− 5 x 2 2
x
1− 5 2
−
1
x
y y x +
√
x2 1
y y x =
5 1 2
1 x2
y y x +
−1
1− 5 2
1 x2
√ − 2 d d √ − − 2 d d √ − 2 d d − 2 d d
1− 5 2
Ω
|
x2 xy 1x− 2 −1 d x =
|
2
1
(4 x
√ 5−1
− 4x3 )dx = 0.381966
2
| − y|) dxd y = 1.496723
( x + y + x
Ω
2
y =x
y
−1
y =x z =2y
√
5 1 2
Ω2
Ω1
−
Ω4
x
Ω3 √ − 5
1
2
z =2x 2
y =1 −x
8. Determine
− − e
Ω
x2
y2
d xdy ,
Ω
= ( x , y) x
| ∈ [0, 1] , y ∈
+
R0
Analicemos los límites de la región Ω: 0 ≤ x ≤ 1 y y ≥ 0. Cuando se efectúa la transformación a coordenadas polares: 0 ≤ r cos θ ≤ 1
CICLO 2011-3
4
→
0 ≤ r ≤ sec θ
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
π
− − e
x2 y2
dxd y =
Ω
−
r2
e
rdrdθ =
π
2
=
1 e 2
− − 0
r2
r dr d θ
0
Ω
π
2
sec θ 0
r2
e
0
Ω
y
sec θ
2
−
− 1 −
dθ =
2 e sec θ
2
0
−1
dθ
π
1 =− 2
9. Encontrar
|
2
2 1 e sec θ dθ +
−
( 0
4
0
( x + y + x
| | − y|) d xdy
Ω
1 2 y
1
,
x x y =
0
y y x =
0 x 0 x+2
y2
y y x =
−1 −x 1 − y
−1
0
0
0
y
x2
−1 − y−2 0
−1
0
x
y
( x + ) x = 2
−1
y
y = − d
y 2
z =2 y
y =−x
− y−2
y =x
1
4 − 4
y)d y = 2
(
y = x +
z = −2 x
4
d y =
Ω3
2
0
0
y
−2 d d − x x y =
x) x = 2
x =
−x
1
0 y−2
(
0
x +2
x2
y) y = 2
0
−2 d d − − x x y =
(
1
x
0
( y + 4)d y = 2
y2
1 2 x 1 x
Ω5
Ω8 Ω6
y2
y y x =
0 x−2
0
0 y+2
|
2 x
−1 − y
y = x − 2
z = −2 y
1
1
x
x =
x 2
−
x) x = 2
(
0
0
x2
z =2 x
( x + ) x = 2
x =
0
2 d d − x x y =
Ω7
−x
0
x
1 1
y =2
Ω1
y = −x − 2
−1
Ω2
Ω4
−2 d d − d 4 4 d −− − −− − − − −2 d d − − d 4 − 4 d y y x =
x
0
2 x y2 x =
0
1
1
y
1
=
x
| | | | | ≤ 2}
{
2 y x2 y =
0
1 2 x
0 )
= ( x , y) x + y
Ω
− 2 d d − d 4 − 4 d − 2 d d − d 4 − 4 d 2 d d d 4 4 d y
,
y y+2 d y =
−1
4
( y + 4)d y = 2
−1
| | − y|) dxd y = 16
( x + y + x
Ω
10. Determine
Ω
1 d xdy 2 ( x + y2 + 1)2
Ω
,
Ω
∞
1
dxd y = ( x2 + y2 + 1)2
= ( x , y ) x
1
2 0 0 ∞
=
0
0
= l´ım b
11. Determine
Ω
CICLO 2011-3
x + y | | x − y| d xdy
|
,
Ω
→∞
1
1 x arctan + 2 2 2 ( y + 1)( x + y + 1) 2 y2 + 13 1
2( y2 + 1)2
+
1 2 y2 + 1
||
arctan
1
| |
5
| ≤ 1}
3
y2 + 1
y y arctan + 2 4( y + 1) 2 y2 + 1
= ( x , y ) x + 4 + y + 4
{
+
R0
dxd y ( x2 + y2 + 1)2
∞
=
| ∈ [0, 1] , y ∈
1
y2 + 1
x
y2 + 1
1
d y 0
d y
+
√ 2 4
arctan
√ y
2
b
= 0
√ 2
π
8
Luighi A. Vitón Zorrilla
x
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
Realizamos una transformación conveniente: y
, y + x = v
− x = u
J (u, v) =
| Ω
−
1 2
x + y 1 dxd y = 2 x y
| | − |
=
1 2
1 2
1 2 = 1 2
v +u 2 + 2
v u
− − v u
2
1
7
1
2
0
−7
u
u
0
−9
− 12 l´ım ln u 0
−9
=
− 16
2 1 v
2
l´ım ln
12. Evalúe
0 0
d xdy
,
−
x x = y y
13. Encontrar el volumen encerrado por
v v
−9
1 2 →0
7
− 1 d − d
u
−1
u
v v
−9 2 −7 1 v + l´ım ln |u||− −1 2 −9 2 →0 9 7
y = x
1
y =−x −7
( −3, −4)
Ω2
−x
y = x −1
( −4, −5)
u
Ω1
y =−9
x y
−1
u
( −4, −3)
( −5, −4)
1 1
1 d − d
x −y y = x +
v u
esta integral diverge
→0
x+ y
v u
|| −1 −9
v v + l´ım
u
7
7
7
1
0
− | || → −
=
7
−1 −9
1 v v + 2
u
2
− | | d d
v d vd u u
− − 1 l´ım 1 d d 2 →0
v + u
, y =
−
1 d d 1
z =
v +u
1 dvdu = 2
1 v v u + 2 u
−9
1 =− 2 =
− − d d 0
2
− 12 → | J (u, v)| = 21
−
Ω∗
−u
v
x =
→
z =
x+ y y
−x
x y
z = 1 = z =
4 ( x 1)2 (y 1)2 ( x 1)2 + (y 1)2 5
− − −
− − −
Realizamos una adecuada transformación: x
− 1 = r cos θ
, y − 1 = r sen θ
J (r, θ ) =
cos θ sen θ
→
−r sen θ r cos θ
= r
x = r cos θ + 1,
y = r sen θ + 1
→ | J (u, v)| = r
De esta manera el volumen que se requiere encontrar se encuentra acotada por las superficies: z = 5 y z = 4 − r2 y la región sobre la cual se levanta el sólido es: 0 ≤ r ≤ 1.
CICLO 2011-3
6
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
La integral quedaría expresada de la siguiente manera: 2π 1
2π 1
5 − 4 − d d d d r2 ) r r θ =
(
0 0
r + r 3
0 0 2π
=
0
r2
2
+
r θ
1
r 4
=
4
0
3π 2
5
4
3
2
1 3 2
3 2
1 1
0
0 −1
−1
14. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del sólido al rotar la región y = 3 x , y = x 2 alrededor de y = 4 x 15. Demuestre que
f ( x , y )d xdy
E
16. Encontrar
Ω
≤ |
f ( x , y) d xdy
|
E
|
( x2 + y2 + 1)4
d xdy
,
Ω
= ( x , y) x2 + y2
|
≥ 16
Ω
y
Haciendo la transformación a coordenadas polares la integral queda expresada como: 2π ∞
0 4
1 (r2 + 1)
b
4 rdrdθ = 2π l´ım b
→∞
=2π l´ım b
CICLO 2011-3
→∞
4
1 (r2 + 1)4
1
rdr
− 6(r2 + 1)3
x
b
= 4
x
π
2
+
y
2
=
1 6
3(17)3
7
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E 17. Calcule
M ATEMÁTICA III
x2 y2 d xdy ,
Ω
= ( x , y) 1
| ≤ xy ≤ 2 , y ≤ 4 x , y ≥ x , x ≥ 0 , y ≥ 0}
{
Ω
Hacemos el cambio a coordenadas polares, así:
→ √ sen1θ cos θ ≤ r ≤ √ sen2θ cos θ
1 ≤ r2 sen θ cos θ ≤ 2
π
≤ θ ≤ arctan4
4 Por consiguiente la integral se expresaría de las siguiente forma: 2 sen θ cos θ
√
arctan4 π
4
r4 sen2 θ cos2 θ rdrdθ =
1
arctan4 6 r
6
π
√ sen θ cos θ
sen2 θ cos2 θ
4
arctan4
=
π
4
√ sen2θ cos θ √ sen1θ cos θ
dθ
arctan4 21 21 21 dθ = ln | tan θ | ln 4 = 2sen θ cos θ 2 2 π 4
y
y
=
4
x
=
y
Ω
y
x
2
=
x
y
1
=
x
x
18. Calcule
x2 + 5y2 d xdy ,
Ω
Ω
| ≤ y , 4 ≤ x 2 + y2 ≤ 16
= ( x , y ) 0
y
Haciendo el cambio a coordenadas polares: x2 + 5 y2 = r 2 + 4r2 sen2 θ = r 2 (1 + 4sen2 θ ) = r 2 (3
− 2cos2θ)
r
Ω
La integral del volumen sería: π
4
r2 (3
0 2
CICLO 2011-3
− 2cos2θ)rdrdθ =
r3
3
θ
4 2
(3 θ
=
π
=
4
r
=
2 θ
=
0
x
π
− 2sen θ cos θ)|0 = 56π
8
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
19. Determine el centroide de una lámina delgada de densidad uniforme ρ si ocupa la región 1 x y , x2 + y2 Ω = ( x , y) 0
| ≤ ≤
≤
y θ
Ω
r
=
π
=
4
1
θ
=
0
x
El centroide de una región esta determinado por: xd A
x =
yd A
A
A
, y =
A
A
Calculando el área de la región:
d d d √ √ − d d √ 1 − 2 2
A =
A
2 2
1 x2
x y =
y x =
0
A
(
0
x
1 arcsen x + x 1 − x2 − x2 = 2
Calculando la posición del centroide en el eje x: x
d d √ √ − 2 2
0
A
√ 1 −
− x )d x √ 2 2
=
0
π
8
2 2
1 x2
xd yd x =
x x y =
x2
x(
0
x
3 1 = − ( 1 − x2 + x 3 ) 3 √ 8−4 2 x = 3π
√ 2 2
=
0
x2
− x )d x √ 2− 2 6
Calculando la posición del centroide en el eje y: y
d d √ √ − 2 2
yd ydx =
y x y =
0
A
x 3 1 = x− 2 3 √ 4 2 y = 3π 20. Calcular
x2 + y2
Ω
5 2
d xdy
,
Ω
= ( x , y) x2 + y2
|
2
0
x
√ 1 − d 2 2
1 x2
√ 2 2
=
x
√ 2 6
0
≤ 1 , x + y ≤ 1
x2
Dividimos la región en dos e integramos una de ellas mediante un cambio a coordenadas polares: 2π 1
π
2
CICLO 2011-3
r7 r5 .rdrdθ =
7
0
9
1 0
3π 3π = 2 14
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
La otra región mediante con coordenadas rectangulares: 1 1 x
− 0
x2 + y2
0
5 2
d ydx
21. Calcule mediante una integral doble el área de la región limitada por y2 = 2 x , 2 x + y = 20 , y = 0
y
La integral del área encerrada por las curvas está dada por la integral: 20 y 2
d d − d d 10 − 4
x y =
x y =
0
A
=
4
0
y2
2
10 y −
y 2
4
3
− y6
4
= 0
y
2
−
y 2
2
( 8
,
4 )
2
x
=
2
y
Ω
d y
x
76 3
( −
2
x
5
=
,
1 2
.
5 )
2 0 −
22. Cambiar el orden de itegración de las siguientes integrales:
−
1 2 x
f ( x , y)dyd x
x
0
2 2 y
1 2 x
− 0
f ( x, y)d yd x =
−
f ( x, y)d xd y +
0
1
x
1 y
f ( x, y)dxd y
0 0
−| | 1 1
x
f ( x , y)dyd x
−1 | x|−1
1 1 y
1 1 x
−| |
f ( x, y)d yd x =
−1 |x|−1
1 1 y
−| |
f ( x, y)d xd y =
−1 | y|−1
−
0 1+ y
f ( x, y)d xd y +
0 y−1
f ( x, y)d xd y
−1 − y−1
2 2 cos θ+sen θ
π
0
− | π
0
f (r cos θ , r sen θ)dr dθ
0
|
2 r cos θ
f (r cos θ , r sen θ)dr dθ
0
23. Determine el centroide de una lámina delgada Ω , donde: 2 1 Ω = ( x , y) x + y
|| |
≤
El centroide de una región esta determinado por: xd A
x =
yd A
A
, y =
A
A
A
Calculando el área de la región: 1 1 y2
1
d d d − d d 2 − 2 A =
A
x y =
−1 y2 −1
A
=
CICLO 2011-3
x y =
2 2 y − y3 3 10
(
y2 )d y
−1
1
−
1
=
8 3 Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
Calculando la posición del centroide en el eje x: x 1 1 y2
d d − x x y =
xdxd y =
−1 y2 −1
A
y
1
0 d
( ) y = 0
(0, 1)
−1
x =1
−y2
x = 0
Ω
Calculando la posición del centroide en el eje y: y (−1, 0)
1 1− y2
d d
yd xd y =
y x y =
A
1
−1 y2 −1
− −
= y
2
y3
y
1
x
y 2
x =y
−1
1
y4
2 − 2 d
(1, 0)
−1 (0, −1)
= 0
y = 0
24. Mediante un cambio de variable, encontrar
( xy + x + 5y) d xdy ,
Ω
Ω
| ≤ y ≤ 2 , − 1 − y2 ≤ x ≤ −y2
= ( x , y) 0
Hacemos un cambio de variable conveniente: x + y2 = u
, y = v
1 J (r, θ ) = 0
−2 v
1
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
( xy + x + 5 y) d xd y =
Ω
Ω
= 1
, y = v
→ | J (u, v)| = 1
( xy + x + 5 y) dudv =
−1
− v2
0 2
uv 2
−1 =
x = u
∗
0
=
→
5 v2 v 3 + + uv − 2 2 3
2 u2 +
19 u 3
0
−
1
=
−
uv + 5v + u
0
v 4
4
13 3
− v2 − v3
0
2
4
du = 0
u +
−1
d v du
19 du 3
y
y
= 2 x
x
= −1 −
= −y
y
2
2
Ω y
CICLO 2011-3
11
= 0
x
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
25. Encuentre el volumen del sólido encerrado por x + y + z = 4 , z = 6 x2 y2
− −
Encontremos la proyección de la curva de intersección de las dos superficies sobre el plano xy:
− x − y = 6 − x2 − y2 x2 − x + y2 − y = 2 1 2 1 2 5 x− + y − = 2 2 2
z = 4
De lo anterior podemos concluir que la curva se proyecta como una circunferencia con centro trasladado al punto ( 12 , 12 ). Es por ello que se requiere hacer una transformación de coordenadas. , x − y + 1 = v
x + y = u
−
J (u, v) =
1 2
Así la integral quedaría expresada como: 1 2
6 −
x2
Ω
1 2
1 2 = 1 2
− 12
− y2 − 4 + x + y
− u + 1
v
x =
→
2
1 2
2
| J (u, v)| = 21
→
dudv =
u + v + 1
, y =
5 − Ω
2
v 2
2
2
− u2
d ud v
La proyección de la curva de intersección quedaría como: 2
1 2
1 2
− − x
+ y
2
=
5 2
→
u2 + v2 = 5
Por la forma que adopta la expresión consideramos conveniente hacer una transformación a coordenadas polares:
− 1 5 2
2
Ω
v 2
2
−
u 2
2
√ 1 5− 2π 5
dudv =
=
4
(
r 2 ) r dr d θ
0 0
π
2
√ 5 − 5
( r
r3 )dr =
0
5 r2 2
r 4
−4
2
= 2 π 0
6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −5 0 5 10
6
4
2
0
−2
−4
26. Encuentre el volumen del sólido encerrado por ( x2 y2 + z2 )2 = x 2 + y2 + z2
−
CICLO 2011-3
12
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E 27. Calcular
M ATEMÁTICA III
sen
x2 + y2 d xdy ,
Ω
| π 2 ≤ x 2 + y2 ≤ 4π 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0
= ( x , y)
Ω
y
Hacemos la transformación a coordenadas polares, quedando la integral expresada de la siguiente manera: π
sen
x2 + y2 d xd y =
Ω
2
sen
Ω
rr drdθ =
θ
2
2π
sen d d r
Ω
r r θ
0 π
∗
π
=
r
=
π
r
=
2 π
π
2
=
sen − cos (
r
r
0
28. Encontrar
x2
−y2
e x− y d xdy ,
π r) 2π π dθ = ( 3π ) =
|
= ( x , y) x + y
{
Ω
Ω
−
2
|
− 32 π 2
θ
=
0
≤ 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0}
Al analizar la función podemos notar que no está definida para x = y , sin embargo al restringir la región Ω, retirando este conjunto de puntos del dominio, se aprecia que no afecta en gran medida al resultado de la integral, permitiendo ignorar esta discontinuidad en el cálculo de la misma. Así la integral doble sería:
x2 y2 e x y
− − dxd y =
2 2 x
− 0
Ω
e
d ydx =
0
= e2 x 29. Calcular el área acotada por las curvas xy = 1 , xy = 2 , xy3 = 1 , xy3 = 2
2
x+ y
2
x y 2 x
e e
0
− ex
2 0
|0− dx =
e2
0
− ex
dx
= e 2 + 1
La integral que expresa el área de la región acotada por las curvas indicadas es: 2
d d √ d d d d 2 y3
x y =
y
x y +
x y
√ 2
1 1
Ω
2
1
1 2 y3
y
√ 2 − 1 d 2 − 1 d 2
=
1
y3
1
=
30. Calcular
e
2 x2 + xy y2 x +y
−
d xdy
,
Ω
Ω
√ 2
y
y3
y
2
−
√ 2
4
− ln y y2
= ( x , y) 0
{
y +
y
+
2 ln y +
1
2 y2
1
1
√ 2 = 3 + 2 ln 2 2
| ≤ 2 x − y ≤ e , 0 ≤ x + y ≤ π }
Tomamos en consideración que el dominio sobre el cual se requiere encontrar la integral no es continuo, m as la ausencia de algunos puntos del mismo no afectan considerablemente al resultado, de talmanera que no se toma en cuenta la discontinuidad para efectuar las operaciones y calcular la integral. Hacemos un cambio de variable adecuado: 2v − u u + v 2x − y = u , x + 1 = v → x = , y = 3 3 1 1 1 1 3 J (u, v) = 3 1 − 3 23 = 3 → | J (u, v)| = 3
La integral expresada en función de las nuevas variables es:
Ω
CICLO 2011-3
e
2x2 +xy − y2 x+ y
1 dxd y = 3
e π
0 0
1 e dvdu = 3 u
13
e
π
d e
0
u
u
0
eu du =
π
3
( ee
− 1) Luighi A. Vitón Zorrilla
x
UNI- F IE E 31. Calcular
M ATEMÁTICA III
( x + y + 1) d xdy ,
Ω
=
Ω
2
( x , y )
Efectuamos un cambio de variable adecuado: J (r, θ ) =
Luego la integral quedaría expresada como:
2
| ax2 + yb2 ≤ 1
x = ar cos θ
a cos θ b sen θ
, y = br sen θ
−ar sen θ b cos θ
( x + y + 1) d xd y = ab
0 2π
= ab
= ab
− − ∞
r3
3
cos θ + b
a
3
θ +
a
b
3
r3
3
sen θ +
sen θ +
b
θ
e( x−y)
∞
2
( x + y)2 + 1
−
1
r 2
2
1 dθ 2
sen θ − cos θ + 3 3 2
∞
= ( x , y) x
{
a
cos 0
Ω
r (ar cos θ + b sen θ + 1)drdθ
0 0 2π
= ab
32. Calcular
→ | J (u, v)| = abr
= abr
2π 1
Ω
∞
1
dθ 0
2π
= ab π
0
d xdy. Calcula integral primero sobre:
| ∈ [−a , a] , y ∈ [−b , b]} y luego tomar límites
33. Hallar el volumen de intersección de los cilindros x 2 + z2 = a 2 y y 2 + z2 = a 2 , siendo a
0. Tomamos la parte de la intersección de los dos cilindros que a la vez se encuentra en el primer octante ( x ≥ 0 , y ≥ 0 y z ≥ 0) que representaría la octava parte del volumen total de la intersección. Esta sección del volumen está dividido por el plano x = y en dos zonas cuyos volúmenes son iguales, de tal forma que solo sería necesario calcular uno de ellas.
a x
f ( x, y)d xd y =
− a2
a
−
x2 d xd y =
a2
0 0
Ω
x2 xd x =
0
VolumenT = 8
2
f ( x, y)d xd y =
Ω
2 x
34. Demostrar
sen
1
√ x
π x
2y
4
d xdy +
2
sen
2
√ x
π x
2y
d xdy =
− 13
>
− a2
16 3 a 3
x2
3 a
0
=
a3
3
4(π + 2) π 3
35. Hallar el centroide de la región E en el primer cuadrante limitada por la parábola y2 = 4 ax , el eje x y el lado recto de esta parábola ( y 0).
≥
El centroide de una región esta determinado por: xd A
x =
yd A
A
, y =
A
A
A
Calculando el área de la región: 2a a
2a
y2 4a
d d d d d − d A =
A
x y =
0
A
=
CICLO 2011-3
x y =
ay
14
0
y2 4a
−
a
y3 12a
2a
= 0
y
4 2 a 3
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
Calculando la posición del centroide en el eje x: x 2a a
2a
x2
d d d d x x y =
x x y =
0
A
2
0
y2 4a
1 2 y5 a y − = 2 80a2 3 x = a 5
a
1 d y = 2
y2 4a
2a
= 0
2a
a2
0
−
y4 16a2
3
ay
− y4a
d y
4 3 a 5
Calculando la posición del centroide en el eje y: y 2a a
2a
2a
y 2 4a
d d d d − d y x y =
y x y =
A
=
0
y2 4a
a 2 y
y a
0
−
2
y4 16a
3 4
y = a
2a
y =
0
d y
= a 3
0
36. Hallar el volumen de la porción de la esfera x 2 + y2 + z2 = a 2 ,
( a > 0) , que se encuentra dentro del cilindro r = a sen θ.
Haciendo el cambio a coordenadas polares se obtiene: π a sen θ
π
d d − | cos − 1 a2
r r θ =
0
Ω
r2 rdrdθ =
0
=
3
a3
3θ
0
| − a3
π
=
=
− −
Volumen T = 2
a3
3 a3
3
a2
3
0
π
cos3 dθ +
0
dθ
− cos d − d
r r θ =
Ω
0
dθ
π
3 θ
θ
0
π
2
sen 3 θ sen θ − 3
d d
r2
π
2
3 a sen θ
− 1 −
π
2
− 0
sen 3 θ sen θ − 3
2 a3 (3π − 4) 9
π
π
π
2
− θ |0
=
a3 ( 3π
9
− 4)
37. Determinar el valor extremal de la funcional: 1
J [y] =
xy + y2 d x ,
0
y(0) = 0
y(1) = 2
,
Encontramos los valores necesarios para la ecuación de Euler: Fx = y
,
F y = 2 y
,
,
F y = x
F y x = 1
,
F y y = 0
, F y y = 0
Reemplazando en la ecuación de Euler se obtiene como unica solución: y =
1 2
Sin embargo esta función no cumple con las condiciones de frontera de la funcional, por lo tanto ésta no tiene valores extremales. 38. Determine la curva cuya longitud sea l , pase por los puntos ( 1, 0) y ( 5, 8) y determine la mínima área con el eje x . 39. Encontrar el valor de la integral:
|
x2
Ω
CICLO 2011-3
− y| + x2
d xdy
,
Ω
15
= ( x , y) x + y
{
| | | | | ≤ 1}
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
√ − 2
3− 5 2
( x2
√ y
0
√ 2
3− 5 2
1 y
− y)dxd y =
3
0
x3
1 y
− xy
√ 2 − 3
3− 5 2
=
d y
y
y + 3 y2
3
0
− √
√ − 23 y3 + y 3 y
d y
=0.099999
√
3− 5 2
−√ y
2
( x2
0
y 1
−
√ 2
3− 5 2
− y)dxd y =
3
0
√ 2
x3
y
− xy
3− 5 2
=
3
0
−√ −
+ y
−
y 1
y2
d y
√
− 23 y3 + y 3 y d y
=0.317491 0 y+1
0
(2 x 2
−1 − y−1
− y)dxd y =
2 3
−1
x3
y+1
− xy
0
=
4
−−
d y
y 1
y3 + 2 y2 + 4 y d y
3
−1
=1,666666
√ 5−1
− d d √ − − d 2
5 1 2
1 x
y x y =
0
2
0
x2
y2
1 x
y
x2
√ 5−1 2
=
1 1 − 2 2
0
x + x 2
− x4
d y =
− x4
d y =
0.148361 0
x+1
0
y2
d d y x y =
√ 1− 5 2
x2
√ 2 1− 5
x +1 x2
d y
2
0
=
1 1
√ 2 1− 5 2
+ 2x + x 2
0.148361
| Ω
CICLO 2011-3
x2
− y| + x2
dxd y = 2.380878
16
Luighi A. Vitón Zorrilla
UNI- F IE E
M ATEMÁTICA III
y y
z = y
y
=1 +
Ω3
x
Ω2
y
=x2
=1 − x
Ω1
Ω4
x
Ω5 y
= −1 − x
y
2
z =2 x
= −1 +
x
−y
40. Determine el calor de la siguiente integral cambiando el orden de integración: x
2 2 +1
x + y2 dyd x
−2 | x|
2 3 y
x
2 2 +1
f ( x, y)d yd x =
−2 |x|
0
2 3 y
x + y2 dxd y =
2
2
y
x + y2
−2 2 y−2
dxd y =
2 2 y 3 2 3
0
x + y2 dxd y =
2
y
x + y2 dxd y =
2 3
2 3
2 3
− − 2
0
y
−2
0
2
2 3
x
2 2 +1
−2 |x|
CICLO 2011-3
x + y2 d yd x =
2
f (x, y)dxd y +
8 9
x2
2 x2
2 x2
2 x2
2
+ y2 x
2 3
y
2 y3 d y =
d y =
0
2
y
d y =
2
− d d −
d y =
0 2
y
2 3
2 3
17
f ( x, y)d xd y
−2
8 81
2
−
2 d y =
2 y3 + 2 y2 − 4 y d y = − y3 +
d y =
y
f ( x, y) x y
2 3
2 y 2
2
2
−2
y 2 y3 + + 4 y
2 3
2
+ y2 x
0
− − − − − − − − 2 y 2
+ y2 x
f ( x, y) x y
−2
y
+ y2 x
2 3 2 y
− d d −
y
2 2 y 3
− y
2 3
− 0
5 y2 2
− y2
d y =
16 9
16 27
128 81
Luighi A. Vitón Zorrilla
