ALGEBRA LINEAL. Ing. Jorge Sánchez M 1. En el conjunto se definen las operaciones siguientes: Suma: . Producto ¿Es un espacio vectorial sobre respecto de las citadas operaciones?
ℜ ( , ) + ( , ) = ( + , + ) ℜ ℜ
∗( , ) = ( ∗ , 0).
2. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales?. a. b.
c. d. e. f. g.
= { (,,) ∈ ℜ ∶ = 0} = { (,,) ∈ ℜ ∶ + + = 0} = { (,,) ∈ ℜ ∶ + ≤ 0} = { (,,) ∈ ℜ ∶ = 0} = {( {()) ∈ 3(ℜ 3(ℜ)) /() /() = 3+ 3 + + } = {( {()) ∈ 3(ℜ 3(ℜ ) /( /()) = 3 3 + } = { ( ,, ) ∈ ℜ ∶ || = ||}
()
3. Sea el espacio de las matrices de orden 2 ×2 sobre el cuerpo , estudiar si los siguientes conjuntos de matrices son subespacios vectoriales.
a. b. c. d.
4.
= { ∈ (): (): é} é} = { ∈ (): = } = { ∈ ():||=0} = { = 00 0 ∈ () ∶ ∈ }. Sea [] el conjunto de t odos los polinom p olinom ios de grado menor o igual ig ual a tres, indicar ∈ (): (2) (2) = (− (−2) = (0) (0) = 0} es un subespacio de si el conjunto = { ∈( []. []
5. Sea el conjunto de todos los polinom ios de grado menor o igual a tres, indicar si el conjunto es un subespacio de .
=
= { ∈( ∈(): (0 (0)) = 1}
[]
6. Sea espacio vectorial de todas las funciones de variable real, real, averiguar si el conjunto definido por: es un subespacio de V.
= { ∈ ∶ ( ( + ) = () + ( () ∧ () = ()}
= = { / ∶ → } y consideremos consideremos los siguientes: a. = { ∈ ∶ ∫ ( ) = 0} b. = { ∈ ∶ ∫ ( ) = 1} Averiguar si los subconjuntos y son subespacios de .
7. Sea
8. Sea = {/:[0,1] → } un espacio vectorial real y sean = { ∈ : (0) + () = 0} y = { ∈ : () > 0} . Determinar si los conjuntos T y H son subespacios d e V. 9. Base de un espacio vectorial a. Halle una base del espacio vectorial generado por el siguiente conjunto de vectores {v1 = (3, 2, 0, 5), v2 = (−1, 0, 3, −4), v3 = (2, 2, 3, 1), v4 = (0, 2, −9, 17)}. b. ¿Para qué valores del número real es base de ℜ el conjunto {(,1,0),(1,,1),(0,1,)} ?Halle las coordenadas del vector (−1,1,3) respecto del citado conjunto de vectores para = 2. c. En ℜ se consideran los vectores (1 + , 1 , 1 , 1), (1,1 + , 1,1), (1,1,1 + , 1) (1,1,1,1 + ). Determine según los valores del p arámetro a la dimensión y una base del subespacio vectorial que generan. 10. Comprobar que las siguientes funciones tiene estructura de espacio vectorial: a. El conjunto de todas las funciones con primera derivada. b. El conjunto de todos los polinomios con restos 3, al ser divididos para + + 1. c. El conjunto de las funciones de la forma ′′′ − · ′ + (()) · = , para todos los ∈ . 11. Cuál de los siguiente conjuntos es una base a. b.
= {(), (2), (3)}. = {(),( ), ( )}.
12. Sean , ∈ ,
= { /(−1) = (0) = (1) = 0} = { /() = · ′() + ′′()} Hallar: La base y la dimensión de U y V. 13. Sean , ∈
Hallar: U ⊕ V y U ∩ V . 14. Sea = { = [¡ ] / ¡ ∈ } el espacio vectorial de la matrices cuadradas sobre el campo R y consideremos = { ∈ / = } , el espacio de las matrices simétricas y = { ∈ / = − } el subespacio de las matrices antisimétrica. Demostrar que V = U⊕W. 15. Obtener una base para el subespacio intersección de los subespacios siguientes de ℜ . = {(, ,, ) | 2 − + + 2 = 0} , = 〈(1,1,2,2),(1,−1,1,−1)〉. 16. Calcular una base para el subespacio intersección de los subespacios siguientes de ℜ .
= 〈(1,2,4,8),(−1,1,1,−1)〉, = 〈(1,−1,2,1),(1,1,1,1) 〉.
17. Sean U y W dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V . Probar que U ∪ W es un subespacio de V si y sólo si U ⊆ W o bien W ⊆ U. 18. Estudiar si la unión de l os subespacios vectoriales siguientes de ℜ .
= {(,,,)|4 − 7 + − 9 = 0, 3 + 5 − 4 − 6 = 0}, = {(,, ,) | − 12 + 5 − 3 = 0, 2 + 17 − 9 − 3 = 0} es o no un subespacio de ℜ 19. Calcular unas ecuaciones implícitas para E1 + E2 y para E1 ∩ E2 siendo:
1 = 〈(1,1,1,1,1),(1,−1,1,−1,1) 〉 2 = 〈(1,2,0,2,0),(1,2,1,2,1),(3,1,3,1,0)〉 20. Dados los subespacios vectoriales = 〈(23, 12, −45, 17),(16,−32, 71, 11) 〉 = 〈(94, −72, 123, 67), (4,−240,606, −2)〉 de ℜ , ¿son iguales? . Proponer al menos dos métodos distintos para resolver este problema. 21.
Sea { , , , , } una base de ℜ y sea W el subespacio vectorial de ℜ generado por { + , − , + + , + 2 , , + }. Sea U el subespacio vectorial de
ℜ generado por { , , , + , + + + 2}. Calcular bases para ∩ y + .Calcular un subespacio ¬ de ℜ tal que = ⊕ ¬