UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
PROYECTO DE INVESTIGACION CIENTIFICA Y TECNOLOGICA
I.ASPECTO INFORMATIVO 1.1 Título:
Integrales de Superficie
1.2. Autor(es): Gonzales Eneque Yuliana Pinedo Sempértegui Edgard Ulises
1.3. Asesor:
José Chiroque Baldera.
[email protected]
1.4. Área de Investigación:
Matemática. Sub área: Análisis Matemático. Línea: Representación de una superficie
1.5. Lugar de Ejecución: 1.6. Duración Estimada: Fecha de Inicio: Fecha de Culminación:
Ambientes de la FACFYM FACFYM – UNPRG
II.ASPECTO DE LA INVESTIGACION 2.1. Planteamiento del problema científico. El objeto del presente tema es el estudio de la integral de superficie. Podemos
considerar esta nueva integral como el equivalente bidimensional de la integral de línea, siendo la región de integración una superficie en vez de una curva.
Comenzaremos el tema abordando el estudio de los objetos matemáticos de R 3 conocidos como superficies. Estos objetos han aparecido ya con anterioridad, por ejemplo como gráficas de algunas funciones. El estudio de las superficies tridimensionales es interesante en sí mismo y su
análisis en profundidad corresponde a la rama de las matemáticas conocida como geometría diferencial. No pretendemos aventurarnos aquí en este análisis; simplemente daremos una definición formal, estudiaremos algunos casos
particulares y precisaremos la propiedad de orientabilidad que presentan algunas de ella s, limitándonos, en definitiva, a recopilar el material necesario para trabajar con las superficies como regiones de integración y establecer a su
debido tiempo los dos teoremas más importantes en este nuevo contexto: el teorema de Stokes y el teorema de Gauss.
2.2. REVISION BIBLIOGRAFICA: ANTECEDENTES:
BASE TEORICA: FUNCIONES O APLICACIONES: Una función
:: → consta de tres partes:
Un conjunto X llamado el dominio de la función: X=Dom(f) X=Dom(f) Un conjunto Y llamado el contra dominio de f: Y=Ran(f) Un regla de correspondencia que permite asociar, de modo bien definido a cada elemento un único elemento .
∈ ∈ : → esta bien definida si ∀ , ∈ , Es decir : .
II.ASPECTO DE LA INVESTIGACION 2.1. Planteamiento del problema científico. El objeto del presente tema es el estudio de la integral de superficie. Podemos
considerar esta nueva integral como el equivalente bidimensional de la integral de línea, siendo la región de integración una superficie en vez de una curva.
Comenzaremos el tema abordando el estudio de los objetos matemáticos de R 3 conocidos como superficies. Estos objetos han aparecido ya con anterioridad, por ejemplo como gráficas de algunas funciones. El estudio de las superficies tridimensionales es interesante en sí mismo y su
análisis en profundidad corresponde a la rama de las matemáticas conocida como geometría diferencial. No pretendemos aventurarnos aquí en este análisis; simplemente daremos una definición formal, estudiaremos algunos casos
particulares y precisaremos la propiedad de orientabilidad que presentan algunas de ella s, limitándonos, en definitiva, a recopilar el material necesario para trabajar con las superficies como regiones de integración y establecer a su
debido tiempo los dos teoremas más importantes en este nuevo contexto: el teorema de Stokes y el teorema de Gauss.
2.2. REVISION BIBLIOGRAFICA: ANTECEDENTES:
BASE TEORICA: FUNCIONES O APLICACIONES: Una función
:: → consta de tres partes:
Un conjunto X llamado el dominio de la función: X=Dom(f) X=Dom(f) Un conjunto Y llamado el contra dominio de f: Y=Ran(f) Un regla de correspondencia que permite asociar, de modo bien definido a cada elemento un único elemento .
∈ ∈ : → esta bien definida si ∀ , ∈ , Es decir : .
2.3FORMULACIÓN 2.3FORMULACIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO:
¿Cómo reconocer, conceptualizar y definir Integrales sobre superficies? 2.4 OBJETIVOS:
Conocer, demostrar y fundamentar las integrales integrales de superficie con sus respectivos conceptos, definiciones y teoremas de los cuales desarrollaremos el siguiente proyecto. Identificar físicamente f ísicamente las gráficas superficie interpretar analíticamente.
de
las
integrales i ntegrales
de
Estudiar en en que parte de las ramas de las ingenierías podemos aplicar las las integrales de superficie.
2.5 JUSTIFICACION E IMPORTANCIA: El trabajo de investigación a desarrollar a continuación sobre La Integral de Superficies se justifica ya que es un conocimiento interesante y abierto a muchas aplicaciones, mediante este nuevo e interesante tema se va a tratar de analizar el rol que cumple el gradiente en el cálculo vectorial. La Integral de Superficie, es de gran importancia, pues en el desarrollo de la noción de gradiente que es de naturaleza geométrica radica en que es la generalización de derivada a funciones de más de una variable es importante en el desarrollo de la temática de la cual la siguiente investigación tomaremos los diferentes teoremas como el de el teorema de Green, el teorema Gauss y también el teorema de Stokes. La Integral de Superficies tiene aplicaciones a nuevas ramas. Con respecto a la Física, el gradiente posee bastantes aplicaciones especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En química aparece el gradiente electroquímico que contiene una noción matemática de lo que es gradiente y básicamente indica cuál es la dirección en la que cambia más rápidamente la concentración y el potencial eléctrico de una solución no homogénea. En ingeniería aparece el gradiente geométrico y aritmético.
2.6 HIPOTESIS: Si estudiamos de manera adecuada y eficientemente las Integrales de Superficie podremos reconocer, demostrar y fundamentar sus conceptos y definiciones
dadas con respecto al tema. Tal que al conocer nuestro tema de manera adecuada podemos abrirnos de manera positiva a sus aplicaciones y utilidades en las ramas de otras ciencias.
APLICACIONES CONTINUAS
: ⊂ ℝ → ℝ, es continua ; || < → ‖ ‖ < . Sea
en
∈ ↔ ∀ > 0,∃ > 0: ∀ ∈
HOMEOMORFISMO
⊂ ℝ ⊂ ℝ, la aplicación : → es es biyectiva. es continua.− Su inversa :→ es continua.
Sea entre X e Y, si:
un homeomorfismo
LÍMITES: Introducción: El límite de la función f(x) en el punto x 0 , es el valor al que se acercan las imágenes ( y ) cuando los elementos del conjunto de partida( x ) se acercan al valor x 0 . Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los elementos del conjunto de partida tienden a x 0 .
Definimos: Se dice que la función f(x) tiene como límite número L, cuando x tiende a x 0 , si fijado un número real positivo mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , que, para todos los valores de x distintos de x 0 que cumplen condición |x − x 0 | < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε . Es decir:
el ε , tal la
Límites al Infinito: Límite al +∞: Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un
número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.
Ejemplo:
Límite al -∞: Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.
Ejemplo:
Propiedades de Límites: Límite
de una constante:
Límite
de una suma:
Límite
de un Producto:
Límite
de un Cociente:
Límite
de una Potencia:
Límite
de una Función: ; “g” puede ser una raíz, log, sin, coz,
tg, etc. Límite
de una Raíz:
Límite
de un Logaritmo:
Notas:
: ⊂ ℝ → ℝ :ℝ → ℝ ℝ → ℝ :ℝ : ⊂ ℝ → ℝ ↔ ∀ > 0,∃ > 0: ∀, ∈ ; || < → ‖ ‖ <+ |,:, ⊂ ℝ ℝ ≡ ℝ → ℝ
Toda aplicación continua lipschitziana es continua. Toda Transformación Lineal es lipschitziana, por tanto es continua. Toda aplicación bilineal es continua. Una aplicación , es uniformemente continua . La restricción es lipschitziana.
DERIVADA: Derivada de una función en un punto: La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Función Derivada: La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).
Interpretación Geométrica de la Derivada: Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β .
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto:
m t = f'(a)
Observación: Al derivar la derivada de una f unción (de la derivada primera) , obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x) . Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x) . Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f' v (x) y así sucesivamente hasta la que recibe el nombre de derivada enésima, f ( n ) (x) . Si una función es derivable en un punto x=a, entonces es continua para x=a. mas el reciproco es falso.
INTEGRACIÓN Integrar es el proceso recíproco del de derivar , es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) Integral Indefinida Es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee: integral de f de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración, f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. Donde C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar .
Propiedades de la Integral Indefinida: 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones: ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función: ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx Integral Definida Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
La integral definida se representa por
.
∫ es el signo de integración. a) límite inferior de la integración. b) límite superior de la integración. c) f(x) es el integrando o función a integrar. e) dx es la diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. Propiedades de la Integral Definida: 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración: 2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero: 3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la i ntegral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los i ntervalos [a, c] y [c, b]: 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales: 5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función:
Función Integral: Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral: Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
CONCATENACION DE CAMINOS:
:,→ℝ es la concatenación de dos caminos , si ∃ ∈< , > |, |,. Un camino
Observación:
∗ ∗ ↔ ∈< , > . Dado un camino :, → ℝ { < < < ⋯ < } un partición de [a,b]. es la concatenación de los caminos ,,…,,…, ∀ 1,2,…, , ⋯|[−,] ∗ ∗…∗. 3 Si es la concatenación denotaremos . 4 tiene sentido tienen un punto en común Esto significa que el orden de las “Parcelas” (tramos) es importante.
CAMPOS ESCALARES Y CAMPOS VECTORIALES: Introducción: En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones planas o del espacio.
Definición de un Campo Escalar y Campo Vectorial: Sea A un conjunto conexo. Un Campo Escalar es una función real de varias variables en la que a cada punto de su dominio se le asigna el valor que toma una determinada magnitud escalar sobre dicho punto:
: ⊂ ℝ → ℝ
Un Campo Vectorial es una función vectorial de varias variables en la que a cada punto de su dominio se le asigna el vector correspondiente a una determinada magnitud vectorial que actúa sobre dicho punto:
: ⊂ ℝ → ℝ
Ejemplos de Campos escalares y vectoriales: 1.
2 .
Campos escalares: a. Los que proporcionan la densidad. b. Los que proporcionan la temperatura. c. Los que proporcionan la altura, etc. Campos Vectoriales: a. Campos de Fuerzas: i. Campos Eléctricos. ii. Campos Gravitatorios, etc. b. Campos de Velocidades: i. Movimiento del viento junto a una superficie aerodinámica. ii. Corrientes Oceánicas. iii. Velocidad de un fluido, etc. c. Campos de Flujo: El que describe el flujo del Calor, etc.
SUPERFICIES Introducción: Informalmente hablando, una superficie es el lugar geométrico de un punto que se desplaza en el espacio tridimensional. Es decir una Superf icie es el gráfico de una ecuación de tres variables. Podemos representar una superficie de tres formas diferentes: o
o
o
Representación Implícita: Un superficie es el lugar tales que geométrico de los puntos para cierto campo escalar F. Representación Explícita: Es una ecuación de la forma , obtenida cuando podemos despejar una de las variables en función de las otras dos de nuestra expresión implícita. Representación Paramétrica o Vectorial: Es una terna de ecuaciones que podemos expresar vectorialmente en la forma: , tal que donde varia en un conjunto conexo son continuas en T.
,,∈ℝ
,
, ,,
,, 0
,; ,; , , ,, , ⊂ℝ
INTRODUCCIÓN A LAS INTEGRALES DE SUPERFICIES Abarcaremos el tema de Integrales de Superficie tratando de llevar nuestro estudio de una manera más adecuada y sencilla, por tanto decimos que dada una función vectorial arbitraria de parámetros la mapearemos para poder llegar a una Superficie, tal que dicha superficie al dividirla de manera adecuada según nuestras definiciones previas podemos definir lo que es la Integral de Superficie, tomando como bordes de la superficie la frontera de nuestra función de parámetros .
,
, , , , ,
Mapeando toda la región para poder llegar a nuestra superficie completa aleatoria.
Tal que para poder seguir y llegar a definir la Integral de Superficies hacemos uso del producto cruz de vectores para poder hallar el área del paralelogramo de la siguiente manera:
Tomando el producto cruz de ambos vectores: definido por tal que formamos rectángulos.
⃗ = Área del paralelogramo
⃗ Por consiguiente obtenemos infinitésimos rectángulos Pequeño cambio en la superficie de la cual podemos obtener el Área de la Superficie a través de la suma de todos los paralelogramos: Á ∬ ,
Cuya magnitud es:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Definiendo la Integral:
⃗ ⃗
Y al definir una función sobre nuestra Superficie dada tenemos la Integral:
,, ,,⃗ ⃗
Llegando a tener lo que llamaremos nuestra INTEGRAL DE SUPERFICIE.
INTEGRALES DE SUPERFICIE Al abordar nuestro tema podemos definir de la siguiente manera siendo más entendible y concreto nuestro entendimiento sobre lo que son las Integrales de Superficies, tal y como daremos a continuación:
Integral de Superficie para un campo Escalar: superficie :
,, sobre una
⃗, ∬ ∬ ⃗ ‖‖ Integral de Superficie para un campo Vectorial: ⃗ ,, sobre una superficie ⃗, : ∬ ⃗. ∬ ⃗ ‖ ‖ ‖‖ ∬ ⃗. ∬ ⃗ o
o
o
Definición Formal: Sea w una forma continua de grado m, con soporte compacto, definida en una superficie m-dimensional orientada M, de clase C 1. Si el soporte de w está contenido en la imagen de una parametrización positiva entonces:
φ: → , ∧…∧ φu ∊ U, ,
⊂ ⊂
Donde K es cualquier compacto J-mensurable tal que -1(supp.w) K U0, se
∫ . Considerando los abiertos ⊂ ⊂ como superficies, las cuales están definidas las formas ∧…∧ y ∗ ∧…∧ , tenemos define ambigua la integral
ahora:
∗. Si las formas w1, … , wr tienen soportes compactos, contenidos en una misma vecindad parametrizada U, resulta inmediatamente la aditividad de la integral en el espacio euclidiano que si w=w 1+…+wr , entonces:
∫ ∫ ∫ ∫ ∑ ∫ . Teorema:
∫ ∫ ∫ ; 2. ∈ ℝ ∫ . ∫ ; 3. ≥ 0 > 0 ∈ ∫ > 0; 4. :→ ∫ ∗ ∫ . 1.
⊂
Lema: Sea continua integrable en M y F M un subconjunto cerrado de medida nula. Para todo existe Z abierto en M, contenido en F, tal que .
∫ <
>0
Lema de Green: Si R es una región plana limitada por un número finito de curvas simples cerradas y si son continúas en todo punto de R y de su contorno,
,;,;
entonces:
Estas fórmulas determinan la relación entre la integral doble extendida en R y la integral curvilínea a lo largo de la frontera C de R .
Teorema de la Divergencia
,, ∇
Si la función vectorial son continuas sobre la superficie cerrada regular S y en su interior V, y si n es el vector unitario normal a S en cada punto y dirigido hacia el exterior de S entonces:
∬ . ∭ ∇ .
Sea una forma diferencial de clase , de grado m con soporte compacto, en una superficie orientada M, de dimensión m+1, cuyo bordo está en una orientación inducida. Entonces
∫ ∫ =
.
Demostración: En el siguiente enunciado,
∫
significa una integral
de una restricción de w en el borde esto tiene la forma i* i: esta es una aplicación de inclusión.
→ 12⋯ , ∑ ∫ ∑= ∫ ∑= ∫ ∫
Sea
=
este teorema vale para cada
para cada la suma de
donde
=
=
donde
entonces
y
.
Usando particiones de unidades, podemos escribir
como una suma
Finita de formas que tienen con soporte compacto, contenido en vecinda_
: → ∫
des paramé trizadas. Luego para una admitir que el soporte contenido en una imagen de parametrizacion positiva Sea
⋂ ∅
= entonces
∫ 0
en el teorema anterior,
esta .
=0.
⋂ ≠ ∅. ≥ ,, …, + , ≤ 0}
Basta considerar en el caso en que = Suponemos inicialmente que m>0, que la dim.M 2. Entonces una parametrizacion
puede ser admitida estandarizada, esto es, esto es definida en un abi_
⋂ . erto
del semi- espacio
={(
)
;
.
Por la definición de orientación inducida, una restricción de a = será una parametrizacion positiva en ,cuya imagen esta Para cada
χ φμϵU χ ∑=1 μ0 Λ… Λ̂..Λ escribimos
w( )=
donde
χ ∑+ = μ0 Λ … Λ. ∏=, − 0 ⊂ ≠ 0, 1 , … , m . sea ∏=, , − ,…, χ φμ φ ,…, χ ,…, Λ…Λdμ ∫ ∫ ∗ ∫ 0,,…, … dw( )=
]
Tomemos un bloque K= lo que garantiza que K cartesiano de intervalos este es un bloque en
contenido
.Para cada el producto ,con j .En particular, =
(=
) contenido
Consideremos las funciones los puntos de K- .Para todo evidente que ( *w)( )= =
(0,
=
(supp.w),con
(supp. *w).
definidas en K, el valor cero en = (0, ) , esto es
)d
,luego
d
d
.
Si para algún >0, a ,
Todas las funciones pertenece
–
φμ μ
esima coordenada del punto
es igual a
se anulan en el punto pues si
al interior de supp.w. Esto también ocurre se evidentemente,
no
, mas,
,…, ∫ ∑= ∫ μ …
nada se puede decir sobre (0, ).Reduciendo a la integral multiplica a las integrales repetidas, podemos escribir =
( )d
d
d
=
∑=∫ … ̂ … d ∑ ∫ ,,… …, ,,… …, … ̂ … ∫ 0,,…, … ∫
=
]d
=
= d
-
d
=
=
d
d
=
Resta considerar en el caso en que m=0, sea en que M es una superficie Orientada de dimensión 1 en w, teniendo grado cero, fse reduce a una
→
función :M
, de clase
.Debemos probar que
∫ ∫ =
.
Pero lo que significa una integral de una función sobre una superficie
de dimensión cero. Si
está en un conjunto de dos puntos aislados
,,… entonces ∫ ∑ ∫{} ∫{} ± =
compacto) y
(suma finita porque tiene soporte
, por definición se toma el signo +o el
signo- conforme a la señal atribuido a una orientación inducida por M. Mas explícitamente, si el vector de una base positiva de M en el punto apunta
para afuera de M entonces positiva
∫{}
. Si al contrario, una base
apunta para dentro de M entonces
∫{} ,
.
Una vez dada una definición, en la demostración anterior se adapta inmediatamente en el caso de M en el punto tomamos una parametrizacion positiva de una vecindad de U de en
φ:α,0→U ∫ ∫ () 0 () (0) ∫ . 0,β → φ: U, 0 () 0. ∫ ∫ ′() (0) () (0) ∫ .
M entonces, se supp. esta contenido en un compacto contenido en U, tenemos
=0, luego
Sin embargo las bases positivas de
apuntan para dentro de M en
el punto , las parametrizaciones positivas de las vecindades de con imágenes contenidas en el soporte de que tiene la forma con
y
Entonces, tenemos
Es instructivo reformular el Teorema de Stokes en los casos clásicos, Que se refieren a una integral de jun campo de vectores a lo largo de una hiperficie orientada.
,…, ⊂ + :→ ∑= …̂…
Sea entonces
,
en un campo de vectores de clase
definido en una abierto por sus propias m+1 de funciones coordenadas . En el campo asociaremos a una forma diferencial
,
,… + . ,…,
de clase en una abierto U. El desenvolmiento de una determinante en una relación en sus primeras columnas muestra que, para arbitrarios, donde
,…, ,…,. ⊂ ∫ ∫ <,>, ∈, , , {,…} ⊂ ,,…, ∫ → 〈 ,〉.. ∈, ,…, ⊂ ,:
donde tenemos un determinante de una matriz (m+1)* (m+1) cuyas columnas son los vectores X ( ), Sea M U es una hiperficie orientada en el campo X tiene soporte compacto, en la integral definido en la integral
como
donde
esta en la forma de elementos del volumen de M y está en el campo de vectores unitarios normales que define la orientación de M.(Esto es para cada 1
tiene un punto ) es una base po_
sitiva, se tiene que el det( se reduce una integral
)>0.Con esta definición
esta en una integral de forma diferencial
a una forma
Inicialmente, observamos que en cada punto igual a
esta forma
,conforme definida en la parte superior. Del da_
to dado cualquier base positiva {
para el producto vectorial
}
∗…∗ .
en una dirección normal positiva
es un vector normal a M Se sigue que
〈 ,〉.
a largo de M. Una notación tradicional para una forma de elementos del volu_
. 〈 ,〉. ∫ ∑=1Λ… Λ̂Λ…Λ.
men en una superficie M esta X=
Podemos decir entonces que si
En un caso particular importante, en el que X está en campo de clase
⊂ + Ω ⊂ ≥1 Ω , . Ω + Ω en + +
en un abierto U
y
en el que acostumbra a llamar
Un dominio compacto con frontera regular de clase de
.
Esto significa que esta en una superficie con borde,compacta,de dimensión m+1es de clase En el interior de esta un subconjunto abierto limitado en en el borde de
(que también es frontera del int.
es una superficie compacta, orientada, en
)
.Una diferencial
de forma
nida por:
Se llama divergencia del campo X.el teorema de Stokes nos permite, por tanto, afirmar que con estas condiciones, si M=
entonces:
Donde el segundo miembro, tenemos una integral ordinaria de una función continua div.X sobre el compacto J-mensurable
Ω ⊂ +.
Unos de los teoremas conocidos tenemos el teorema de divergencia, De Gauss y Ostrogradski. Sea ahora X=(a,b,c) en un campo de clase
en un abierto
⊂ ,
que contiene una superficie compactada orientada M de dimensión 2 cuyo borde C mínimos de orientación inducida .El campo X asociamos en forma
, ∫ ∫
En el teorema de Stokes
de grado 1 de clase
en U.
se escribe explícitamente:
Para reducir una de las desigualdades ya mencionadas anteriomente en términos de vectores, introducimos una rotacional del campo X, que el nuevo campo rot:
→ , :
En el primer miembro de una igualdad se escribe entonces
∫ 〈.,〉.,
donde está en campo de vectores unitarios norma_
∈ ,
les a M, definimos por la orientación de M, y
está en un elemento
de área. Cuando el segundo miembro, sea de esta forma de elementos de arco en C. Para tenemos
.±||,
conforme a apunta en el sentido positivo de C. Análogamente, si
representa un vector unitario tangente que apunta
en el sentido positivo de C, para todo
≠ 0 . ∫
cuestión es igual a
±
En el segundo miembro de la igualdad en .
(conforme a la orientación de ),
Este teorema de Stokes de análisis vectorial. El primer miembro representa el flujo del campo rot.X a través de la superficie M en el segundo miembro está en una circulación del campo Xa lo largo
del borde C=
.Una de las tres fórmulas más simples de las integra_
les del análisis vectorial clásica está el teorema de Green( a veces llamado del teorema de Riemann-Gauss).En este se refiere a una superficie con borde, compactada de clase de dimensión 2 en
⊂ ∈ , ∈ , ,
con un dominio compacto M
con frontera de clase
El dominio Mtiene orientación natural de
.
esta con borde
En una orientación inducida: en cada punto en un vector tangente no nulo apunta a una dimensión positiva Si, solamente si,{
} es una base positiva de
donde
esta en una normal unitaria que apunta para afuera de M.
,: →
Sean
funciones de clase
.
dice que:
Esto es simplemente del teorema de Stokes en una aplicación En una forma diferencial
,
definida en una super_
Ficie con borde M. El primer miembro es una integral doble so_ Bre un compacto J-mensurable M y en la segundo miembro es Una integral curvilínea. El teorema de Green puede ser considerado como en el caso par_ ticular del teorema de divergencia [tomamos el campo X=(g,-f)] en el teorema del rotacional [tomamos X=(f,g,0)].También del teo_
∫
rema fundamental del cálculo,
está en el
caso particular del teorema de Stokes. Para demostrar el siguiente ejercicio necesitaremos algunos teoremas: a)
b)
Como primera aplicación del teorema de Stokes, vamos demostrar
∞ +,
que no puede existir una retracción de clase orientada, compacta, M sobre el borde
está en reunión de clases
de una superficie
.En particular, una esfera o que nos da
una nueva demostración del argumento crucial para establecer el teorema del punto fijo de Brouwer(de este teorema Brouwer ya mencionada en la parte superior, de la cual tomaremos). Con efecto, admitimos, por el absurdo, la existencia de una retracción
: →
,tal que
∫ ≠0.
Por tener grado igual a una dimensión de esto es si d
|
0
,
está cerrada,
.Por el teorema de Stokes, el dato de que
Identidad, tenemos sucesivamente:
en el absurdo. Una aproximación de la aplicación del teorema de Stokes esta el teorema de abajo, que se extiende para una dimensión >1 del teorema 12 del capítulo IV ya mencionado, segundo en la cual la integral de una 1-forma cerrada sobre un camino cerrado es invariante por homotopia de ese camino.
,: → → ∈, ,1, . ≅ , ≅ ∈ , ℎ. ⊂ ∞ :∗→, , →0. Una homotopia entre aplicaciones Es una aplicación continua H:I*M todo
donde I=[0,1] es para
se tiene H(0, )=
Se escribe de la siguiente forma H:
simplemente
para indicar que existe una homotopia H entre Si H
Por ejemplo, si
.
son
es una bola cerrada unitaria, entonces
H(t, )=(1-t) es una homotopia aplicación de B en una aplicación constante
entre una
Se dice que un conjunto X Una homotopia H:I*X
→
⊂
esto se contradice cuando existe
entre una aplicación de la identidad de
X es una aplicación constante.
" ℎ" , ≅ : ≅ ℎ → , ℎ, ∈ ∈ , 0 ≤ ≤ ≤≤1. . ≥ 1 ≅ : ≅ ℎ → 0 < < ∈,, 0≤ < 1 < ≤1 ∈ 0, , ∈1.1 ∈ ≅ : ≅ ℎ → , ∈0, ∈ ,1, . → , ≅ :0,1 →0,1 Es evidente que una relación
Es reflexiva y simétrica. Si k=0, es también inmediato que la transiti_ va si H: son homotopicas de clase de la cual obtenemos una homotopia L:I*M ,de clase entre para todo
L(t, )=H(2t, ) si
y
L(t, )=k(2t-1, , ) cuando
Si H y K son homotopias de clase
,una homotopia L, asimismo
Definida, puede ser de clase
La transitividad de una relación de homotopia de clase de
.
Cuando suponemos que la homotopia H: de clase son adaptadas. Una homotopia H:I*M se dice cuando existe tal que para todo
intervalo
.En otras palabras H(t, )=
para todo donde
para la cual
.Cuando H:
de clase
es constante en el
son homotopias adaptadas
entonces es una homotopia L:I*M
L(t, )=H(2t, ) para
,
definida por
y L(t, )=K(2t-1, ) si
de clase
Resta mostrar que existe una homotopia H:I*M
existe también una homotopia adaptada K:
basta tomar una función
, de clase
de clase
entre
.Para esto,
)
∞, 0 0, 13, 1 23 ,1 , , ∈ ∈ 33 relación “existe una homotopia de clase ” es una Podemos usar
de la cual concluimos portanto que una entre equivalencia en el conjunto de las aplicaciones de clase de una superficie M en una superficie N.
EJEMPLOS:
1.- Una lámina superficial S tiene la forma de un cono dado por la fórmula entre los planos z=0 y z=4. En cada punto su densidad es proporcional a la distancia al eje OZ. Determine la masa de la lámina.
42√
21
2.- Obtener el flujo a través del trozo de plano que se obtiene cuando para el campo vectorial orientado según el vector normal ascendente.
0≤ ≤2 ∧ 0≤ ≤2 2 , ,4
⃗,,
Con estos dos ejemplos ilustrativos hemos visto cómo funcionan las integrales de superficie, viendo claramente que es distinto si el campo es escalar que si el campo es vectorial.
APLICACIONES FISICAS: FLUJO DE CALOR
,, la temperatura en un punto ,,∈⊂ℝ. Si ∈ , entonces: ∇ , , Es el gradiente de la temperatura, y el calor fluye según el campo vectorial k∇T, donde k es una constante positiva llamada conductividad. Nótese que el flujo de calor, como cabe esperar, se produce de las zonas calientes hacia las frías, pues ∇T apunta en la dirección donde T decrece. La tasa total de flujo o flujo de calor a través de la superficie S viene dada por ∬ .. Ejemplo: Supongamos que una función de temperatura está dada por ,, . Sea S la esfera unidad 1, orientada Sea
según la norma exterior. Hallar el flujo de calor a través de S, si k=1.
