Univ Univer ersi sida dad d de San Santiag tiago o de Chile hile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y CC
1
Auto Autore res: s:
Migu Miguel el Mart Martín ínez ez Conc Concha ha Carlos Silva Cornejo Emilio Villalob os Marín
Inte Integr gral ales es de Líne Línea a
1.1 1.1
Prob Pr oble lema mas s
Calcular la integral de trayectoria entre los puntos (0; (0; 0) y (2; (2; 2) :
Z
x3 x2 ds; donde r es la trayectoria y = y 2
!
!
r
Solución
Primero, determinemos la ecuación paramétrica de la trayectoria x= t t2 t [0; [0; 2] r (t) = t; t2 2 y= 2 Derivando la expresión anterior, queda r (t) = (1; (1; t) = r (t) = 1 + t2 Además x3 f ( f (x; y ) = = f ( f ( r (t)) = 2t 2t y A partir de la de…nición de integral de trayectoria tenemos
!
9= ;
0
() !
2
k p ) k! ) ! 0
Z
!
r
2
x3 ds = y
Z p p
2t 1 + t2 dt
0
2 1 + t2 3
=
2 3
=
1.2 1.2
75
2
3=2
0
1
Prob Pr oble lema ma
Dada la función escalar f ( f (x; y ) = 2xy; calcular la integral de trayectoria a lo x2 y2 largo de la curva elipse + = 1 desde el punto (3; (3; 0) hasta (0; (0; 2). 2). 9 4 Solución
!
Observemos que r es el segmento de elipse que está en el primer cuadrante.Entonces al parametrizar la curva queda x = 3 co cos t t 0; 2 r (t) = (3 cos cos t; 2sent) sent) y = 2sent Derivando la trayectoria r (t) = ( 3sin t; 2cos t) r (t) = 5sen2 t + 4 Calculemos la función escalar f sobre la trayectoria f ( f (x; y ) = 2xy = f (x (t) ; y (t)) = 6 cos cos tsent Calculemos la integral
!
2 () !
0
k p () k! 0
)
1
Z
= 2
!
Z
2xyds =
r
0
4 5sen2 t + 4 5 76 5
= =
1.3 1.3
p
12cos tsent 5sen2 t + 4dt 4dt 3=2
=2 0
Prob Pr oble lema ma
Calcular la integral de línea x2 + 4y 4y2 = 4; 4 ; x > 0:
Z
!
!
xydx + x2 dy; donde r es la trayectoria
r
Solución
Primero, escribamos la ecuación paramétrica de la trayectoria orientada positivamente x = 2 co cos t t ;2 = r (t) = (2 cos cos t;sent) t;sent) 2 y = sent
2 ) ! ) !
!
F ( F (x; y ) = xy;x2
!
Determinemos el vector r = ( 2sent; cos t) Calculemos la integral
Z
F ( F (x (t) ; y (t)) = 2cos tsent; (2cos t)2
=
0
=2
2
!
xydx + x dy
=
r
Z Z Z
2cos tsent; (2cos t)
=2
=2
=
2
( 2sent; cos t) dt
( 4sen2 t cos t + 4 cos cos3 t)dt
=2
=2
=
( 8sen2 t cos t + 4 cos cos t)dt
=2
=
1.4 1.4
8 sen3 t + 4sent 4sent 3
2
=
2
8 3
Prob Pr oble lema ma
Calcular la integral de línea y 2 = 2x 2x
2
x ;
Solución
Z !
!
y 2 dx + xdy; donde r es la trayectoria
r
tal que x > 1; y > 0:
! ()
Observemos que r es el segmento de circunferencia: 2 y 2 = 2x 2 x x2 (x 1) + y2 = 1 tal que x > 1; y > 0:
2
Entonces: x = 1 + cos t t 0; 2 = r (t) = (1 + cos t;sent) t;sent) y= sent = r (t) = ( sent; cos t) Calculemos el campo vectorial F sobre la trayectoria F ( F (x; y ) = y2 ; x = F ( F (x (t) ; y (t)) = sen2 t; 1 + cos t Calculemos la integral
2
)! ! 0
) !
Z !
)! !
=2
2
y dx + xdy
=
r
Z Z
sen3 t + cos2 t + cos t dt
0
=2
=
1 + cos cos 2t cos t sent + ( ) + cos t dt 2 2
1
0
cos3 t t sen2 sen2t = cos t + + + + sent 3 2 4 1 = 1 + +1 3 4 5 = + 3 4
=2 0
1.5 1.5
Prob Pr oble lema ma
Calcular la integral de línea
Z
!
(8x (8x + z )dx + 2xz 2 dy
r
de…nida por las ecuaciones: z = 9 Solución
2
r la curva 4y dz; siendo ! 2
2
2x 4y ; z = 1:1 :
Observemos, que la curva contenida en el plano z = 1, 1 , es la elipse 2 2 2x + 4y 4y = 8; 8 ;con semi ejes a = 2 y b = 2; que se parametriza mediante. x = 2 co cos t t [0; [0; 2 ] = r (t) = 2cos t; 2sent; 1 t [0; [0; 2] y= 2sent z= 1 Calculemos el campo vectorial F sobre la trayectoria F ( F (x;y;z) x;y;z) = 8x + z; 2xz 2 ; 4y 2 = F ( F (x (t) ; y (t)) = (16 (16 cos t + 1; 1; 4cos1t; 4cos1t; 1) Evaluemos el vector r (t) = 2sent; 2cos t; 0 luego, obtenemos
p
p
!
9= ;
)! ! ) !
2
p
2
p ! F !(x (t) ; y (t)) ! r (t) = (16cos t + 1;1; 4cos t; 1) 2sent; p 2cos t; 0 F ( 0
0
Entonces la integral de línea es
Z
2
2
!
r
(8x (8x + z )dx + 2xz dy
2
4y dz =
Z
32sent 32sent cos t
0
3
2sent + 4
p
2cos2 t dt
=
2
16sen 16sen t + 2 cos cos t
p 4 2 p
=
t sen2 sen2t + 2 4
2 0
p
+4 2
2
Z 0
2
1 + cos cos 2t 2
dt
0
= 4 2
1.6 1.6
Prob Pr oble lema ma
!
Calcular el trabajo producido por campo de fuerzas dado por F = (3x (3 x +4y; +4 y; 2x + 2 3y ); a lo largo de la circunferencia C de radio 2 centrada en el origen y recorrida con orientación positiva Solución
De…nimos el trabajo mediante la integral de línea b
Z ! ! Z ! ! !
F d r =
r
!
0
F ( r (t)) r (t) dt
a
parametrizando la trayectoria tenemos: ! Luego, r (t) = (2cost; 2sent) sent); t 2 [0; [0; 2 ]: r (2(tcost; =) ! ) = (2sent; 2cos t) 0
Reemplazando el integrando, queda
W =
I Z Z
(3x (3x + 4y; 4y; 2x + 3y 3y 2 ; 0) (dx;dy;dz) dx;dy;dz)
2
=
(6cost (6cost + 8sent; 8sent; 4cost + 12sen 12sen2 t; 0) ( 2sent; 2cost; 0)dt 0)dt
0
2
=
0
=
[ 16sen 16sen2 2t + 8cos 8cos2 2t]dt
16 16 + 8 8 = 8:
Trabajo negativo signi…ca que el campo de fuerza disipa energía.
2
Campo Campo conser conserv vat ativ ivo o
2.1 2.1
Prob Pr oble lema mas s
Z ! !!
Sea el campo vectorial F : IR 3 la integral
!
F d r
! IR
3
!
dado por F ( F (x;y;z) x;y;z) = (x; y; z ):Calcular
r
a) Si C es la circunferencia x2 + y2 = 4 recorrida en el sentido positivo. 4
b) Si C es la recta que une P = (1; (1 ; 0; 0) con Q = (1; (1 ; 0; 4): 4): c) Si C es la helicoide r (t) = (cos(4 cos(4t t));sen(4 ;sen(4t t)); 4t); t [0; [0; 1] que une P = (1; (1 ; 0; 0) con Q = (1; (1 ; 0; 4): 4):
!
2
Solución
a) Las ecuación paramétrica de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen y recorrida en sentido positivo, es r (t) = (2 cos cos t; 2sent; 0) t [0; [0; 2] = r (t) = ( 2sent; 2cos t; 0) Entonces, la integral de linea queda
!
)!
0
2
Z ! ! Z Z Z !
F d r
=
!
r
(x; y; z ) (dx;dy;dz) dx;dy;dz)
r
2
=
(2cos t; 2sent; 0) ( 2sent; 2cot s; 0) dt
0
2
=
0
8cos tsentdt = 0
b) La ecuación paramétrica de la recta que une P = (1; (1 ; 0; 0) con Q = (1; (1 ; 0; 4) es: r (t) = P + ( Q P ) P )t = t(1; (1; 0; 4) t [0; [0; 1] = r (t) = (1; (1 ; 0; 4) : Entonces
!
! ! !
2
)!
0
1
Z ! ! Z Z !
F d r
=
r
0
(t; 0; 4t) (1; (1; 0; 4) dt
1
=
0
16tdt 16tdt = 8t2
1 0
=8
c) A partir de la ecuación de la helicoide se obtiene
! r (t) = (4sen(4 sen(4t t)); 4 cos(4t cos(4t)); 4) 0
Sustituyendo términos en el integrando, queda 1
Z ! ! Z Z Z !
F d r
=
r
(cos(4 cos(4t t)); sen(4 sen(4t t)); 4t) ( 4sen(4 sen(4t t)); 4 cos(4t cos(4t)); 4)dt 4)dt
0
1
=
( 8sen(4 sen(4t t)) cos(4 cos(4t t)) + 4t 4 t)dt
0
1
16tdt 16tdt = 8t2
=
1 0
=8
0
El valor de la integral de línea es el mismo por ambas trayectorias.
5
2.2 2.2
Prob Pr oble lema ma
Calcular la integral
!
r!
por r (t) = et
1
Z
!
r
;sen
Solución.
2x cos ydx
: t
r : [1; x senydy; donde ! [1 ; 2] ! IR 2
2
de…nida
Determinemos si el campo vectorial es conservativo, de modo que calculamos i j k @ @ @ F = = (0; (0 ; 0; 0) @x @y @z 2x cos y x2 seny 0 Como hallamos que F = 0 ; entonces F tiene una función potencial (x; y) tal que
! r !
!
@ (x; y) = 2x cos y @x @ (x; y ) = x2 seny @y Integrando la primera ecuación parcialmente con respecto a x, se tiene @ (x; y) = x2 cos y + h (y) = (x; y ) = x2 seny + h (y ) = x2 seny @y h (y ) = 0 h (y ) = c En consecuencia, la función potencial (x; y ) para F (x; y ) es
9>= >;
)
0
0
()
!
(x; y) = x2 cos y + c Entonces , podemos a…rmar que
Z
!
2x cos ydx
r
2
x senydy
=
Z r ! !
dr
r
!
= ( r (2))
r (1)) (!
donde
! r (1)) (!
= e2 + c 2 = (1; (1; sen sen)) = 1 + c
( r (2)) = e; sen sen
Por tanto. obtenemos:
Z
!
r
2x cos ydx
2
2
x senydy = e 1
6
2.3 2.3
Prob Pr oble lema ma..
!
Considere el campo vectorial F (x;y;z) x;y;z) en I R3 de…nido por :
! F (x;y;z) x;y;z) =
yz xz xy ; ; 1 + x2 y 2 z 2 1 + x2 y 2 z 2 1 + x2 y2 z 2
yzdx + xzdy + xydx ;donde r es: 1 + x2 y2 z 2 r a) el segmento rectílineo entre (0; (0; 0; 0) y (1; (1; 1; 1) : 2 2 2 b) la instersec instersección ción de x + y + (z (z 1) = 1; 1 ; con x2 + y 2 + z 2 = 1: 1:
Evaluar
Z
!
!
Solución
Se tiene que las componentes del campo vectorial son continuas (x;y;z) x;y;z) I R3 Primero, veri…quemos si el campo vectorial es conservativo o no. i j k @ @ @ F = = (0; (0 ; 0; 0) @x @y @z yz xz xy 1 + x2 y 2 z 2 1 + x2 y 2 z 2 1 + x2 y 2 z 2 Puesto Puesto que @ xy @ xz @ yz @ xy = ; = ; etc. @y 1 + x2 y2 z 2 @z 1 + x2 y2 z 2 @z 1 + x2 y 2 z 2 @x 1 + x2 y 2 z 2 = (0; (0 ; 0; 0) Como hallamos que F = 0 ; entonces F tiene una función potencial (x; y) tal que:
8
r!
2
! r!
!
@ yz (x; y) = @x 1 + x2 y 2 z 2 @ xz (x; y ) = @y 1 + x2 y 2 z 2 @ xy (x; y ) = @z 1 + x2 y 2 z 2 Integrando la primera ecuación parcialmente con respecto a x, se tiene
9> >= >>;
(x; y) = arctg (xyx) xyx) + h (y; z ) = @ xz xz (x; y) = + h ( y; z ) = @y 1 + x2 y 2 z 2 1 + x2 y 2 z 2
)
0
0
h (y; z ) = 0
()
h (y; z ) = g (x)
!
En consecuencia, la función potencial (x; y ) para F (x; y )es (x; y) = arctg (xyx) xyx) + g (z ) = xy xy (x; y) = + g (x) = 2 2 2 1+x y z 1 + x2 y 2 z 2 0
0
g (x) = 0
()
g (x) = c
7
)
Entonces Entonces , podemos concluir concluir que (x; y ) = arctg (xyx) xyx) + c En este caso hallamos , que el valor de la integral
Z
!
r
yzdx + xzdy + xydx 1 + x2 y 2 z 2
Z r !
=
!
d r = (1; (1; 1; 1)
r
= arctg (1) = 4
(0; (0; 0; 0)
arctg (0)
!
Si r es la intersec intersección ción de dos esferas la curva curva resultante resultante es cerrada, cerrada, en consecuencia
Z
!
3
r
yzdx + xzdy + xydx = 1 + x2 y 2 z 2
Z r !
dr =0
!
r
Teore eorem ma de Gree Green n
3.1 3.1
Prob Pr oble lema ma
!
Veri…car el teorema de Green para el campo vectorial F (x;y;z) x;y;z) = 2(x 2(x2 + y 2 ); (x + y )2 ;donde las curvas frontera de la región D corresponden al contorno del triángulo con vértices vértices en en los puntos puntos (1; (1; 1) ; (2; (2; 2) ;y (1; (1; 3) orientado positivamente. positivamente. Solución
!
Como el campo vectorial F (x; y ) es de clase C 1 ; y la región D conexa, entonces el teorema de Green a…ma que:
Z
P dx + Qdy =
C
Z Z D
@ Q @x
@ P dxdy @y
Identi…cando términos, tenemos que
) @P = 4y 4y @y @Q =) = 2(x 2( x + y) @x
P (x; y ) = 2(x 2(x2 + y 2 ) = Q (x; y) = (x + y )2 Entonces calculemos
Z Z D
donde D = (x; y )
f
@Q @x
2 IR
2
@P @y
:1
dxdy =
Z Z
D
2 (x
y) dxdy
x 2; x y 4 xg . Luego 8
4x
2
Z Z
2 (x
D
y) dxdy
=
Z Z Z Z Z 2 (x
2
=
y) dydx
x
1
y2 2
xy
1
4x
dx
x
2
=
2x(4
x)
2
(4
1
2
=
4
(x
2
x) 2x
2
2) dx =
1
4
"
(x
+ x2 dx
2)
3
3
#
2
1
4 = 3 Calculemos directamente la integral de línea, segmentando la frontera en tres curvas:
Z
P dx + Qdy
C
=
Z Z
P dx + Qdy +
C 1
+
Z
P dx + Qdy
C 2
P dx + Qdy
C 3
Parametricemos los segmentos de curvas que unen los puntos (1; (1; 1) y (2; (2; 2) ; (2; (2; 2) y (1; (1; 3);(1; 3);(1; 3) y (1; (1; 1) y
(1,3)
(2,2)
(1,1)
x
)!
Sea C 1 la recta y = x; 1 x 2 = r (t) = (t; t) ; t = r (t) = (1; (1; 1) ; t [1; [1; 2] entonces:
)!
0
Z
2
2 [1; [1; 2]
2
2
2
2
2(x 2(x + y )dx + (x + y ) dy
=
C 1
Z h i Z 2
2 t2 + t2 + (2t (2t)
1
2
=
1
= 9
t3 8t dt = 8 3
2
2
56 3
1
dt
)!
Sea C 2 la recta y = 4 x; 1 x 2 = r (t) = (4 = r (t) = ( 1; 1) ; t [2; [2; 3] ; entonces:
)!
0
Z
2
t; t) ; t 2 [2; [2; 3]
3
2
2
2
2(x 2(x + y )dx + (x + y) dy
Z h i Z Z Z " #
=
t)2 + t2 ( 1) + (4)2 dt
2 (4
C 2
2
3
=
8t + 2t 2t2 + 16 dt
2 16
2
3
=
3
2
4
t
4t + 4 dt =
4
2
=
4
)!
0
Z
2
2] dt
2
3
(t
3
2)
=
3
2
)!
Sea C 3 la recta x = 1; 1; 1 y 3 = r (t) = (1; (1; 3 = r (t) = (0; (0; 1) ; t [0; [0; 2] ; entonces:
2
[t
43
t) ; t 2 [0; [0; 2]
2
2
2
2
2(x 2(x + y )dx + (x + y ) dy
=
C 3
Z " #
t)2 ( 1)dt 1)dt
(4
0
=
(4
t)
3
3
2
=
0
8 3
643 = 563
Por lo tanto, al sumar los tres términos tenemos:
Z
2(x 2(x2 + y 2 )dx + (x + y )2 dy =
C
56 3
43 563 = 43
Lo que muestra la validez de la formula del teorema de Green.
3.2 3.2
Prob Pr oble lema ma
Veri…car el teorema de Green para
I
x2 ydx + xy2 dy; donde C es la frontera de
C
la region R en el primer cuadrante, limitada por las grá…cas de y = x; y 3 = x2 : Solución.
Primero, calculemos la integral de línea considerando la orientación positiva de la frontera, dividiendola en dos segmentos C 1 y = x y C 2 y 3 = x2 : Determinemos los puntos que se intersectan ambas curvas: y= x = x3 = x2 = x2 (x 1) = 0 x =0 y x =1 y 3 = x2 Luego, ambas curvas se intersectan en los puntos (0; (0; 0) y (1; (1; 1) :En consecuencia la región R queda delimitada por
)
)
10
()
R = (x; y ) IR 2 =0 x 1; x y x2=3 Parametrizando el segmento de curva C 1 tenemos: C 1 : r 1 (t) = (t; t) ; t [0; [0; 1] = r 1 (t) = (1; (1; 1) Calculemos el campo vectorial sobre la curva C 1
2
2 )!
!
0
! F ( r (t)) F (! ! F ( r (t)) ! r (t) F (! 1
0
1
!
C 2 : r 2 (t) = 1
t; (1
t3 ; t3
=
=
t3 ; t3
(1; (1; 1) = t3 + t3 = 2t 2 t3
) ! 2 ) )
1
Para C 2 encontramos
=
t)2=3 ; t
[0; [0; 1] =
r 1 (t) =
2 (1 3
1;
0
t)
1
=3
Luego, la función compuesta para el campo sobre C 2 es:
! F ( r F (!
2
! F ( r F (!
1
!
(t)) =
0
(t)) r 1 (t) =
(1
t)8=3 ; (1
t)7=3
(1
t)8=3 ; (1
t)7=3
=
1;
(1 t) = 23 (1 t) 8 3
=
2 (1 3
1
t)
=3
2
Entonces la integral de línea queda
I
1
2
2
x ydx + xy dy
=
C
Z
1
3
2t dt
0
= =
((1
0
t) =
8 3
2 + (1 3
t 3(1 t)11=3 2(1 t)3 + + 4 11 9 1 3 2 4 11 9 1 198 4
=
Z
2
t) )dt 11
0
!
Por otra parte el campo vectorial F (x; y) de clase C 1 ; es decir campo continuo con primera derivada continua,de…nido en la región R conexa,acotado por una frontera cerrada, entonces podemos aplicar el teorema de Green que a…ma:
I
2
2
x ydx + xy dy =
C
donde R = (x; y)
Z Z R
2 IR
2
=0
@ 2 (x y ) @x
x 1; x y x =
2 3
11
@ (xy 2 ) dxdy @y
,entonces:
Z Z R
@ 2 (x y ) @x
@ (xy2 ) dxdy @y
x2=3
1
=
Z Z Z Z y2
x
0
1
=
0
1
=
x2 dydx
0
x2=3
y3 3
x2 y
x2 3
2 8x8=3 + x3 dx 3
dx
x
1
x3 9
3 11=3 x4 = x + 11 6 0 1 3 1 1 = + = 9 11 6 198 Con esto,veri…camos el teorema de Green en este caso particular.
3.3 3.3
Prob Pr oble lema ma
x dy a lo largo de la curva C for3y 2x + 3y 3y2 C 2x + 3y mada por los lados del cuadrado con vértices en (1; (1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 1) ; (1; (1; 11) :
Calcule la integral
y
I
2
2
dx +
2
Solución.
!
Claramente vemos que el campo vectorial F (x; y ) en la región acotada por C no es continuo, con primeras derivadas parciales continuas en el origen (0; (0; 0) : Luego, vamos a excluir el origen de la región . Dado que la región envuelta por la curva C; que excluye la singularidad, no es simplemente conexa, se tiene que: @Q @P P dx + Qdy + P dx + Qdy = dxdy @x @y C C D donde la curva C 1 es la elipse con ecuación 2x2 + 3y 3y 2 = r 2 ; orientada en el sentido horario, con normal apuntando hacia fuera de la región D: Por otra parte. @Q 3y 2 2x2 = @Q @P @x (2x (2x2 + 3y 3y 2 )2 = =0 2 2 @P 3y 2x @x @y = 2 @y (2x (2x2 + 3y 3y 2 ) Entonces, tenemos
Z
Z
Z
C
Z Z
1
9> =) >;
Z Z ) Z )
P dx + Qdy +
P dx + Qdy =
C 1
=
Z Z Z Z D
@Q @x
P dx + Qdy =
C
=
@P dxdy = 0 @y
P dx + Qdy
C 1
P dx + Qdy =
P dx + Qdy
C
C 1
12
Parametrizando C 1 Se obtiene
Z
2
P dx + Qdy
=
C 1
p
r (t) = p r cos t; p r sent como ! 2 3
Z p
rsent 3r2
0
=
p 16 (2 (2)
=
r
r sent + 2
con 0
r cos t 2r2
p
t 2
p r cos t 3
2 3
Por lo tanto, la integral
Z
P dx + Qdy =
C
3.4 3.4
r
2 3
Prob Pr oble lema ma
Sea C una curva cerrada simple que encierra una región D=
(x; y )
2
x2 y 2 IR = + =1 4 5 2
:Calcular el área del interior de la elipse usando el teorema de Green. Solución.
A partir del teorema de Green tenemos 1 A (D) = 2
I
xdy
ydx
C
la ecuación de la elipse , mediante p ! Parametricemos r (t) = (2cos (2cos((t); 5sen( sen(t)); )); 0 tp 2: Entonces x(t) = 2cos( cos(t); p y (t) = 5sen( sen(t), luego dx = 2sen( sen(t); dy( dy (t) = 5cos(t 5cos(t) Reemplazando términos en el integrando 1 2
I
xdy
ydx
=
C
2
1 2
Z p Z
p
0
2
=
p
(2 5cos2 (t) + 2 5sen2 (t))dt ))dt
5
0
p
= 2 5
13
dt
dt
3.5 3.5
Prob Pr oble lema ma
Considere la región R del plano x2 + (y (y a)2 a2 ; x2 + y 2 2a2 y usando el teorema de Green, veri…que que el área de dicha región coincide con el área de un cuadrado de lado a.
Solución
La curva C1 descrita descrita por la ecuación x2 + (y (y a)2 = a2 ;corresponde a la circunferencia con centro en (0; (0; a) y radio a y la curva C 2 es la
ecuación x2 + y2 = 2a 2 a2 de la circunferencia con centro en (0; (0; 0) y radio a 2. Calculemos los puntos de intersección de ambas curvas, igualando
p
ambas ecuaciones, produce 2a2 2ay = 0 = y = a Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, obtenemos x2 = a2 x= a Por lo tanto, los puntos de intersección de ambas curvas son P 1 = ( a; a) y P 2 = (a; ( a; a) que tienen coordenadas polares (a 2; 3=4) =4) y (a 2; =4) = 4) respectivamente.
()
)
p
p
En consecuencia, la curva cerrada C que forma la frontera de R es la unión de la curva C 1 parametrizada por: x(t) = acost;y acost;y (t) = a + asent; asent; donde t
2 [0; [0; ]
y de la curva C 2 parametrizada por
p
p
x(t) = a 2cost; cost; y (t) = a 2sent;dondet sent; dondet El teorema de Green a…rma que 1 A (R) = 2
I
xdy
2 [=4 =4; 3=4] = 4]::
ydx
C
donde la orientación de C es positiva. 1 1 A (R) = xdy ydx + 2 2
I
C 1
I
xdy
ydx
C 2
Las orientaciones de C 1 y C 2 ; van en sentido opuesto a los punteros del reloj, para que C tenga orientación positiva. Entonces 1 2 1 =4 2 A (R) = (a sent + a2 )dt + (2a (2a )dt 2 0 2 3=4 1 2 =4 = a [ cos t + t]0 + 2a 2a2 [t]3=4 2 1 = 2a2 + a2 a2 = a2 2 Resultado que veri…ca que el área de la región R es igual a la de un cuadrado de lado a
Z
Z
14
