INTEGRALES DE LÍNEA En esta parte se define una integral que es similar a la integral simple, pero con la diferencia de que en lugar de integrar en el intervalo [ a , b] , se integra en la curva C . Estas integrales se llaman Integrales de Línea o también llamadas integrales curvilíneas. Estas integrales fueron inventadas para solucionar problemas relacionados con el flujo de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismo. Iniciaremos nuestro estudio con la definición de curvas, parametrizaciones y caminos
Definición 1.- Sea conjunto
C de
la gráfica de
n
r : [a ,b]
puntos r (t ) llamado GRAFICA de tal función. Si
C se
llama CURVA; específicamente,
Definición 2.- A la función PARAMETRIZACION de La
una función que toma valores en
circunferencia
C es
r
describiendo un
es continua sobre [ a, b] ,
la curva descrita por
que describe a la curva
r
n
C
r
.
se le llama una
C .
C : x2 y 2
9 puede
ser
descrita
por
la
parametrización
r (3 cos t , 3sen t ) ( x, y) , t [0, 2 ] ; es decir
C:
x 3 cos t y 3sent , t [0, 2 ]
De tal manera que la gráfica de
r
se encuentra sobre la circunferencia x 2 y 2 9 ,
recorriéndola en sentido antihorario.
Y se dice que la circunferencia
C ha sido
Esta primera circunferencia C : x 2 y 2
parametrizada por la función r dada. 9 puede
ser descrita por otra parametrización,
como v:
[0, ] t
2
( x, y) v(t ) (3 cos 2t, 3sen2t )
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1
De manera que la gráfica se encuentra sobre C : x 2 y 2
9,
recorriéndola toda la vuelta en
sentido anti horario, pero con mayor velocidad (doble) que con la parametrización r
(3 cos t , 3sen t ) , t [0, 2 ] , pues para dar toda la vuelta mediante v(t ) sólo dispone de la
mitad del tiempo
t [ 0, ]
que con la parametrización r (t ) ,
Si ahora quisiéramos que la misma curva C : x 2 y 2 podemos tomar una parametrización
w(t ) que
t [0, 2 ]
9 fuese
sentido ido hor hor ari o, recorrida en sent
INVIERTA la orientación anterior, esto
puede hacerse de diversas maneras como por ejemplo: w(t )
(3 cos(2
t
), 3sen(2 t )) ,
t [0, 2 ]
Definición 3.- Con respecto a la parametrización r (t ) de la curva dada C, a la función v(t ) pa ar ametr i zació ción n que pre prese serva rva la or or ien ienttació ción n; y a la función se le llama una p
w(t ) se
le
llama una p pa aram rame etri zació ción n que i nv nvii er te la or ien ienttació ción n. Al estudiar las integrales de línea nos interesa no solamente el conjunto de puntos de una curva C sino la manera como ha sido originada; es decir, la parametrización pa rametrización r (t ) .
cami no o Definición 4.- A una curva C con una parametrización r(t ) se le llama cami trayectoria. Las curvas que estudiaremos pueden ser cerradas o no. _______________________________________________________ ____________________________ _____________________________________________ __________________ Facultad de Estudios Generales
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2
Definición 5.- Una función r (a)
n
r : [a ,b]
, describe una curva cerrada C si se cumple
r (b) .
Definición 6.- Sea C: r : [a ,b]
n
n
, un camino continuo en
. Al camino
llama regular si existe el vector derivada (i.e la aplicación r es diferenciable) esta derivada es continua en el intervalo abierto
a b ,
r :
, la traza de
t
2
r '(t )
se le
0 y si
.
EJEMPLOS DE CURVAS PARAMETRIZADAS de 1.- La aplicación
r (t )
2
en
definido por r (t ) ( x0 ta1 , y0 ta2 ) es diferenciable en todo 2
es una recta en
que pasa por el punto ( x0 , y0 ) y su vector dirección
es ( a1 , a2 ) . 2.-La aplicación
r
2
:[0, 2 ]
definido por r ( )
en todo [0, 2 ] , por lo tanto,
( a cos , asen ) , a 0 es diferenciable
( ) es una curva parametrizada diferenciable. La traza
r
de r ( ) es una circunferencia de radio
a
3.- r (t ) (a cos t , bsen t ) ,
una curva parametrizada diferenciable cuya traza es
t [0, 2 ] es
en sentido antihorario.
una elipse. 4.- r (t ) (a cosh t, bsen h t ) es una curva parametrizada diferenciable cuya traza es una hipérbola. 5.-
r (t )
(t , t ) ,
t
es una parametrización de la recta y
parametrizada diferenciable, ya que y
x no es diferenciable en
EJEMPLOS DE CURVAS PARAMETRIZADAS de 1.-La
aplicación
r :
3
definido
r (t ) ( x0
por
en ta1
x 0.
3
, y0 ta2 , z0 ta3 ) es
una
3
parametrización diferenciable de la recta en 2.- (t ) (a cos t , asent , bt ), t
x , pero no es una curva
es una curva parametrizada diferenciable. Su traza es una
hélice enrollada alrededor del cilindro x
2
y
2
2
a .
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3
3.- (t ) '(t )
(3t ,3t 2 , 2t 3 ) es
curva
parametrizada
diferenciable.
Su
derivada
es
(3,6t ,6t 2 ) .
4.- (t ) ( t,0, e 5.- r (t ) 6.-
una
1 2
t
),
t 0
(4t ,3cos t , sent )
(t )
t
t
t
(e cos t , e sent , e )
7.- r (t ) (cos(at b),s en(at b), ct d ) 8.-
(t )
9.-
(t )
(t , sent , t )
2
(t , t 2 ,
t
2
)
Integrales de línea en el plano Definición 7.- Para f :
2
un
campo escalar, la integral sobre la curva
C (llamada
también integral de línea o de trayectoria), parametrizada como r ( x) x(t ) i y( t) j con t [ a, b] esta
definida como:
C
f ( x, y) ds lim
n
n
f ( x , y )s * i
* i
………. (1)
i
i 1
Se puede demostrar que si f es una función continua, entonces el límite de la definición 1 siempre existe y la fórmula siguiente se puede usar p ara evaluar la integral de línea
C
Donde
r
f ( x, y ) ds
b
a
f (r (t )) r '(t ) dt
b
a
2
2
dx dy f ( x (t ), y (t )) dt …….. (2) dt dt
una parametrización biyectiva arbitraria de la curva :[a, b] C es
manera que r ( a ) y r (b) son los puntos iníciales y finales de
C
de tal
C respectivamente.
Las integrales de línea son independientes de la parametrización r (t ) , porque solo depende de la longitud del arco
Nota.- Si cambiamos la orientación de la curva la integral de línea de la formula (2) cambia de signo. _________________________________________________________________________ Facultad de Estudios Generales
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4
Ejemplo 1.- Evalué x
2
y
2
C
(2 x 2 y) ds donde C es la mitad superior de un circulo unitario
1
Solución Para aplicar nuestra formula, primero necesitamos parametrizar a la curva C. Recordemos que el circulo unitario se puede parametrizar por medio de las ecuaciones x
cos
t
y
sent
y la mitad superior del circulo se describe por el intervalo del parámetro tanto, la fórmula (1) proporciona
C
(2 x 2 y ) ds
0
0
0
(2 cos 2 t.sen t ) ( sent ) 2 (cos t ) 2 dt (2 cos 2 t.sent ) dt
2
0
2 3
Ejemplo 2.- Calcular la integral curvilínea
a cos t , y
Por lo
(2 cos 2 t.sent ) [ x '(t )] 2 [ y '(t )] 2 dt
(2t cos3 t )
x
0 t .
C
( x 2 y 2 ) n ds, donde C es la circunferencia
a sent .
Solución La curva C en forma paramétrica es dado por: C : (t ) (a cos t , a sent )
C
n
( x 2 y 2 ) ds
2
0
, 0 t 2
'(t) ( a sent, a cos t)
((a cos t )2 (a sent )2 ) [a sent ] 2 [a cost ] 2 dt
2
2
(a 2 )n adt a 2 n1dt 0
2 a
0
2 n 1
Ejemplo 3.- Calcular
xy ds donde es la cuarta parte de la elipse
,
x 2 a2
y2 b2
1
situado
en el primer cuadrante. Solución _________________________________________________________________________ Facultad de Estudios Generales
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5
x a cos t Primero parametrizamos a la elipse t [0, ] 2 y b sent
El camino sobre la cual se pide integrar es el arco de elipse AB cuya ecuación [0, ] donde '(t ) ( a sent, b cos t) . Luego, la paramétrica es (t ) ( a cos t , bsen t ) , t 2 integral de línea es:
xy ds
a cos t b s en t a 2 sen2 t b2 cos 2 tdt
2
0
2 ab cos t s en t a 2 sen2 t b2 (1 sen2 t) dt 0
2 ab cos t s en t b2 ( a 2 b2 ) sen2 tdt 0
Para calcular esta integral, hacer el siguiente cambio de variable b2 (a 2 b 2 ) sen2 t , d
2(a 2
b
2
) sen t cos t dt .
xy ds
ab 3(a b ) 2
2
[b 2 (a 2 b 2 )sen 2t ]
3 2 2 0
3 2 2 2 2 2 2 [ b ( a b )] [ b ] ) 3(a 2 b 2 ) 3
ab
ab 3(a b ) 2
2
( a 3 b3 )
Suponga que C es una curva suave por segmentos; es decir, C es una unión finita de curvas suaves C1 , C2 , ..., C n donde, de acuerdo con la figura de abajo
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6
El punto inicial de C como
largo de
C i 1 es
el punto final de
C i
.Entonces, se define la integral de f a lo
la suma de las integrales
C
f ( x, y) ds
n
1
C i
f ( x, y) ds
Con frecuencia se necesita parametrizar un segmento rectilíneo, de modo que es útil recordar que una representación vectorial del segmento rectilíneo que inicia en en
r
1
r
0
y termina
se define con r (t )
Ejemplo 4.- Evalúe
C
2 x ds ,
(1 t )r0 t r1
donde
C consta
a (1,1) seguido por el segmento rectilíneo
,
0 t 1
del arco
C 2 desde
C 1 de
la parábola
y
x
2
desde (0,0)
(1,1) hasta (1, 2) .
Solución La curva
El arco
C se
C 1 es
ilustra en la figura siguiente
la gráfica de una función de
las ecuaciones de
C 1 se
x
, de modo que elija x t como el parámetro y
vuelven x t
y t2
0 t 1
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7
Por lo tanto
2 x ds
C 1
En
2
1
1
3 2 5 5 1 1 2 dx dy 2 2 2t dt 2t 1 4t dt (1 4t ) 1 4 3 6 dt dt 0 2
C 2 parametrizamos
2
del siguiente modo x 1
C2 : r (t )
y 1 t
(1 t )(1,1) t (1,2)
0 t 1
2
2
1 dx dy 2 x ds 2(1) dt 2 dt 2 C 0 0 dt dt 1
2
Por lo tanto,
2 x ds
C
C1
Ejemplo 5.- Evalúe r
a ,
0 ,
2x ds
4
( r
C
,
2x ds
5 5 1
C 2
e
x 2 y 2
son
ds , donde
6
C es
2
un circuito limitado por las curvas
coordenadas polares)
Solución La gráfica de C es:
El circuito es C OA AB BO . A continuación, parametrizaremos cada uno de los caminos que forman toda la curva. a) La
parametrización
de
( ) (a cos t , a sen t ) , t [0,
AB ,
t
4
es
:
x
a cos t , y
a sen t , t [0,
4
] donde
] . De esto se tiene '(t ) ( a sent , a cos t ) y '(t )
a
.
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8
b) La
parametrización
'(t )
(a , 0) , '(t )
de
es
OA
'(t )
(
2
a
2
,
2
a
2
De
esto
se
tiene
a
c) La parametrización de OB es (t ) (
(t ) ( at, 0) , t [0,1] .
),
'(t)
a 2t a 2t , ) , t [0,1] , de donde se tiene 2 2
a
Luego la integral será:
C
e
x2 y2
ds
OA
x2 y2
e
AB
x2 y2
e
ds
BO
x2 y2
e
1
e
a 2t 2 0
0
1
ds
at
4
0
e
a2 cos2 t a2 s en2 t
at
1
e
ds
a 2t 2 2
a2 t2 2
at
0
BO
ds
OB
ds
1
e at 4 e a at e at at at
0
0
(ea 1)
0
4
ae a (e a 1)
4
ae a
Integrales de línea respecto de coordenadas variables Se obtiene una clase diferente de integral de línea si en la ecuación (1) de la definición 1 se reemplaza
si por
xi xi xi 1
integrales de línea de
f
o
yi
yi
yi 1 . A estas integrales se les llama
a lo largo de C con respecto a x
C
C
f ( x, y )dx lim
n
f ( x, y )dy lim
n
y y
y se definen como:
n
f ( x , y ) x * i
* i
i
i 1 n
f ( x , y ) y * i
* i
i
i 1
Las fórmulas siguientes establecen que las integrales de línea con respecto a también se pueden evaluar expresando todo en términos de dx
x '(t ) dt , dy
t : x
x
x(t ) , y
y ay
y(t )
y '(t ) dt .
C
C
f ( x, y )dy f ( x, y )dx
b
a b
a
f ( x(t ), y(t)) x '(t) dt f ( x(t ), y(t )) y '(t) dt
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9
A menudo sucede que las integrales de línea con respecto a
x
y
y
se presentan juntas.
Cuando esto sucede, se acostumbra abreviarlas escribiendo
P( x, y)dx Q( x, y) dy C
C
Ejemplo 6.- Calcular la integral de línea 3 astroide x R cos t , y
P( x, y) dx
x 2 dy y 2 dx
C
x5/3 y5/3
C
Q( x, y) dy
, donde C es la cuarta parte de la
R sen3t , desde el punto ( R, 0) hasta el punto (0, R)
Solución La curva parametrizada es dado por:
r :[a , b ] R
2
3
3
/ r (t ) ( R cos t , Rsen t ) , 0 t
2
x R cos3 t dx 3R cos2 t.sent dt C : 3 2 y Rsen t dy 3Rsen t.cos t dt
C
x 2 dy y 2 dx x 5/3 y 5/3
2
R2 cos 6 t(3 Rsen2 t.cos t) R2 sen6 t( 3 R cos 2 t sent ) R5/3 cos5 t R5/3 sen5t
0
3 R
4/ 3
/2
0
/2
cos 7 t.sen 2t sen 7 t cos 2 t dt cos5 t sen5t
(cos 5 t sen5t ) sen 2 t cos 2 t cos t sen t 5
0
dt
5
dt
3 R 4/3 8
(t
sen4 t /2 ) /0 4
4/ 3
3 R 16
Ejemplo 7.-Calcular la integral de línea parábola
y
x
C
x 2 dx x y 2
2
2 ydy 4 x
2
y
2
, donde C es el arco de
2
2
de (0,0) hasta (2,2). Solución
Sea C : y
x
2
2
, 0 x 2 una curva plana
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10
x 2 dx
C
x y 2
2
2 ydy 4 x y 2
2
2
0
2
0
x 2 dx x 2
x2
x
4
2 4 x
.
2x
dx
4 x
x
4x
dx [2 4 x 2 ln 16 x ]
2
16 x 2
2
4
4
2 x
4
2
2
2 0
5
4 2 ln
4
INTERALES DE LINEA EN EL ESPACIO Definición 1.- Ahora suponga que C es una curva en el espacio que definen las ecuaciones paramétricas x x (t )
y
y (t )
z
z (t )
a t
b
o la ecuación vectorial r (t ) x(t ) i y(t ) j+z( t) z . Si f es una función de tres variables que es continua en alguna región que contiene a C, entonces defina la
integral de línea de f a
lo largo de C (con respecto a la longitud de arco), de manera similar a la de las curvas planas:
C
f ( x, y, z) ds lim
n
n
f ( x , y , z )s * i
* i
* i
………. (4)
i
i 1
La cual se evalúa usando la siguiente formula
C
f ( x, y, z) ds
b
a
f ( r( t)) r '( t) dt
b
a
2
2
2
dx dy dz f ( x( t), y( t), z( t)) dt .. (5) dt dt dt
Nota.- Aquí sucede lo mismo que para el caso de un campo escalar en dos variables, es decir, si cambiamos la orientación de la curva, la integral de línea de la formula (5) cambia de signo. En el caso especial de f ( x, y, z ) 1 , se obtiene
C
ds
b
a
f ( r (t )) r '( t) dt L
Donde L es la longitud de la curva C. Las integrales de línea a lo largo de C con respecto a
x, y y z también
se pueden definir de
forma similar. Por ejemplo _________________________________________________________________________ Facultad de Estudios Generales
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11
C
n
f ( x, y , z )dz lim f ( xi* , yi*, zi* ) z i n
i 1
b
f ( x(t ), y (t ), z (t )) z '(t )dt a
Por lo tanto como sucede con las integrales de línea en el plano, evalúe las integrales de la forma
P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz C
……………… (6)
Expresando todo ( x, y, z , dx, dy , dz ) en términos del parámetro t .
Ejemplo 8.- Evalúe
ysen z ds , donde C es la hélice circular dada por las ecuaciones C
x cos t , y sent , z t , 0 t 2 .
Solución
El resultado con la fórmula (5) es
ysen z ds
2
0
C
2
2
2
dx dy dz (sent )sent dt dt dt dt
2
2
1
0
0
2
sen2t sen2t cos 2t 1dt 2
(1 cos 2t )dt
2
Ejemplo 9.- Evalúe
y dx z dy xdz , donde C consta del segmento rectilíneo C desde 1
C
(2,0,0) hasta (3,4,5) seguido por el segmento vertical
C 2 desde
(3,4,5) hasta (3,4,0) .
Solución _________________________________________________________________________ Facultad de Estudios Generales
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12
La curva C se ilustra a continuación
Al aplicar la ecuación de la recta se tiene que r (t ) (1 t ) 2, 0, 0
t
C 1 se
puede expresar como
3, 4, 5
2 t, 4 t, 5t
O bien, en forma paramétrica, como x(t ) 2 t
y( t )
4t
z( t)
5t
0 t 1
Por lo tanto,
C 1
y dx z dy xdz
1
(4t )dt 5t.4.dt (2 t )5dt 0
1
1
t 2
0
2 0
(10 29t )dt 10t 29 De manera similar,
C 2 se
24.5
puede expresar en la forma
r (t ) (1 t ) 3, 4, 5 3, 4, 0 3, 4, 5 5 t
O bien, en forma paramétrica x (t )
3
y( t )
4
z( t)
5 5t
0
t 1
Entonces dx 0 dy , de modo que
C 2
y dx z dy xdz
1
3(5)dt 15 0
Al sumar los valores de estas integrales
y dx z dy xdz 24.5 15 C
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13
Ejemplo 10.- Hallar x(t ) a cos t , y(t)
C
( x 2 y 2 z 2 )ds , donde C es la parte de la hélice circular
asent , z( t)
(0
bt
t 2 )
Solución Si hacemos
(t ) ( a cos t, asen t, bt ), 0 t
2
,
'( t)
( a sent, acos t, b)
'(t )
2
a b
2
Entonces la integral se calcula de la siguiente forma:
C
( x 2 y 2 z 2 )ds
2
0
(a 2 cos 2 t a 2sen 2 t b 2t 2 ) a 2 b 2 dt 2
a 2 b 2 (a 2 b 2t 2 ) dt 0
2 3
(3a 2 4 2b 2 ) a 2 b 2
Aplicaciones de la integral curvilínea Cualquier interpretación física de una integral de línea interpretación física de la función f . Suponga que
( x, y)
P i de
f ( x, y ) ds depende de la
representa la densidad lineal en
un punto ( x, y) de un alambre delgado con forma de la curva parte del alambre desde P i 1 hasta
C
C .
Entonces la masa de la
la figura
Es de alrededor de ( xi* , yi* )si y entonces la masa total del alambre es de casi
( x , y * i
* i
)si . Al considerar más y más puntos de la curva se obtiene la
masa
del
m
alambre como el valor límite de estas aproximaciones, es decir: m lim n
n
( x , y )s * i
i 1
* i
i
C
( x, y ) ds
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14
El
centro de masa del alambre con función de densidad
se
sitúa en el punto ( x, y) ,
donde: x y Ahora si
: C
3
1 m 1 m
C
C
x ( x, y ) ds ……………………………… (3) y ( x, y ) ds
, es la función densidad de la masa del alambre, entonces la masa
del alambre recorrido por la curva
C es
m
( x, y, z)ds , de donde el centro de masa del C
alambre es el punto ( x, y, z ) siendo:
x
x ( x, y, z )ds C
m
;
y
C
y ( x , y , z )ds m
;
z
Ejemplo 11.- Hallar la masa de una cuarta parte de la elipse
C
z (x , y , z )ds m
x 2
y2
1 , situada en el a 2 b2 primer cuadrante si la densidad en cada punto es igual a la ordenada de ese punto
Solución Se pide hallar m
( x, y) ds . Primero parametrizamos a la elipse. Como ya hemos visto C
anteriormente, la parametrización de esta curva es
(t ) (a cos t , b sent ) , t [0,
2
] . Luego
'(t ) ( a sent , b cos t ) . Del problema se tiene que la densidad es ( x, y ) y .
Ahora reemplacemos nuestros datos en la formula m
( x, y) ds C
C
y ds
2 b sent a 2 sen 2t b 2 cos 2tdt 0
b 2 sent a 2 (b 2 a 2 )cos 2tdt 0
b2 2
a 2b
c sin 1 ( ) donde c = 2c a
Nota.- Aquí se ha hecho el cambio u=e.cost , e=
a 2 b2 c a
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15
Ejemplo 12.- Un alambre toma la forma de un semicírculo
2
x y
2
1
,
y
0 y es más
grueso cerca de la base que cerca de la parte superior. Calcule el centro de masa del alambre si la densidad lineal en cualquier punto es proporcional a su distancia desde la recta y 1 .
Solución Como en el ejemplo 1, use la parametrización x cos t , y sen t , 0 t , y determine que ds
dt .
La densidad lineal es ( x, y )
k (1
y)
Donde k es una constante, y entonces la masa del alambre es m
C
k (1 y) ds
0
k (1 sen t)
k t cos t 0 k ( 2)
Ahora, utilizando las ecuaciones 2 y
1 m
C
y ( x, y ) ds
1
( 2)
C
1 k ( 2)
( sent sen2t ) dt
C
yk (1 y ) 1
( 2)
[ cos t
1 4
sen2t ] 0
4 2( 2)
Por simetría
x
0, de modo que el centro de masa es
(0,
4
2( 2)
)
(0, 0.38)
Ejemplo 13.- Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hélice circular. r (t )
1 2
(cos ti + sentj + tk ) ,
0 t 6
Donde la densidad del resorte es ( x, y, z ) 1 z , como se muestra en la figura
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Solución Como Se sigue que la masa del resorte es Masa
C
(1 z ) ds
6
0
(1
t
2
) dt
6
2 t t 2 2 0
6 (1
3 2
) 144.47.
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Integral de línea de un campo vectorial Sea F un campo vectorial continuo sobre una curva suave C dada por una función vectorial r (t ) , a t b . Entonces la integral de línea de F a lo largo de C es
C
Debemos de tener en cuenta que modo que evalué expresión para
F dr
b
a
F (r( t )) es
F (r (t )) haciendo
F ( x, y, z ) .
F(r (t )) r '(t ) dt
sólo una forma de abreviar
F ( x (t ),
simplemente x x(t ) , y y(t ) ,
Observe también que puede escribir formalmente
z
y (t ), z (t )) , de
dr
z( t )
r
en la
'(t )dt .
Observación.- Una de las aplicaciones más importantes de las integrales de línea es la de hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas a lo largo de una curva o trayectoria r (t ) .
Ejemplo 14.- Determine el trabajo efectuado por el campo de fuerza
F ( x, y )
cuando mueve una partícula a lo largo del cuarto de circulo r (t ) (cos t, sent )
2 x i -xyj
0 t
2
.
Solución Puesto que x
cos t ,
y
sent se tiene que
F(r(t )) cos 2 t i cos t sen t j y
r '(t ) sen t i cos tj
Por lo tanto el trabajo hecho es
C
F dr
2
0
F(r (t )) r '(t ) dt
2
0
2
2 cos 2 t .sent dt
cos3 t 3
2
0
2 3
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Ejemplo 15.- Evalúe
C
F d r
2 definida por x t , y t ,
es la cúbica torcida , donde F( x, y, z ) x 2i -xyj+zx k y C z
t
3
0 t 1
Solución Tiene r (t )
ti + t 2 j+t 3k y
r '(t )
i +2t j+3t 2k , F(r( t))
t
3
i +t 5 j+t 4k .
Por lo tanto,
C
Fdr = =
1
F(r (t ))r '(t )dt
0
1
0
(t 5t )dt 3
6
t
4
4
1
5t 7
27
7 0 28
Ejemplo 16.- Hallar el trabajo realizado por el campo fuerzas F ( x, y, z ) =-
1 2
xi -
1 2
yj +
1 4
k (campo de fuerzas F)
Sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por _________________________________________________________________________ Facultad de Estudios Generales
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r (t )=(cos t) i sentj+tk
(Curva C en el espacio )
Solución Como r (t ) =x(t ) i y( t) j+z( t) k = (cos t) i sentj+tk se sigue que x(t ) z (t )
t .
cos t , y(t )
sen t ,
Por tanto, el campo de fuerzas puede expresarse como 1 1 1 F ( x (t ), y(t ), z( t )) = - cos ti - sen t j+ k 2 2 4
Para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas al moverse la partícula a lo largo de la curva C, se utiliza el hecho de que r '(t ) = sen ti cos tj+k
y se escribe lo siguiente: W
C
F dr =
3
1
0
2
0
a
F( x(t ), y(t ), z(t )) r '(t ) dt
1 1 1 - 2 cos ti - 2 sen tj+ 4 k ( sen ti cos tj+k )dt
3
=
b
cos t sen t -
1 2
sen t cos t
1 4
dt
3
1 3 t 4 0 4 Para finalizar se hace notar la relación entre las integrales de línea de los campos vectoriales y las integrales de línea de los campos escalares. Suponga que el campo vectorial F sobre F= Pi+Qj+Rk .
3
está definido en la forma de componentes mediante la ecuación
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C
Fdr =
=
b
b
a
a
F(r (t )) r '(t )dt
( Pi+Qj+Rk ) ( x '(t )i+y '(t ) j+z '(t )k ) dt
b
[ P( x( t ), y (t ), z (t )) x '(t ) +Q( x( t ), y(t ), z (t )) y '(t ) R( x( t ), y (t ), z (t )) z '(t )]dt a
b
b
b
a
a
a
P( x(t ), y(t ), z (t )) x '(t ) dt Q( x(t ), y(t ), z (t )) y '(t )dt R ( x(t ), y (t ), z (t )) z '(t )dt Pdx Qdy Rdz C
ydx zdy xdz se
Por ejemplo, la integral
C
podría expresar como
C
F d r
donde
F= yi+zj+xk
Notación.- Cuando C es una curva cerrada, a la integral de línea del campo vectorial largo de C se le denota por
Fa
lo
F.Tds . En este caso algunos problema se resuelven fácilmente C
aplicando el Teorema de Green o el teorema de Stokes, según estemos en
2
o
3
,
respectivamente. Esta última observación la aplicaremos en las sesiones siguientes.
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