INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES RECTANGULARES z F(Xi)
Ancho=Xi – Xi-1 = ∆xi Altura = f(Xi) ( ( ) ) Area = ∑
INTEGRAL DOBLE MEDIANTE SUMAS DE RIEMAN
Xi-1 xi
2
El tipo mas simple de región cerrada en R es la región rectangular cerrada D= [a,b] x [c,d]. Sea f: [a,b]x[c,d]
R una función continua sobre el rectángulo:
D= [a,b] [a,b] x [c,d],
daremos las consideraciones necesarias para definir a la integral doble de funciones definidas en regiones rectangulares.
Definición 1)
Partición de un rectángulo
Al conjunto P = P 1 x P2 = {( x i, y j ): xi E P1, y j E P2} se llama partición de D= [a,b] x [c,d], donde P1 es una partición de [a,b] P1 = {a = X 0, X 1 ,X 2 ,…,X n = b} y P2 es una partición de [c,d] P2 = { c= Y 0 ,Y 1 , Y 2 ,…, Y m = d }
Ejemplo 1. Sea D= [0,10] x [0,8]. Si P1 = { 0, 1, 2, 3,…,10} y P2 = { 0,1, 2, 3,…,8} son particiones de [0,10] y [0,8] respectivamente, entonces P = P1 x P2 es una partición del conjunto D.
Definición 2)
Norma de Partición
ǁPǁ = max { l P 1 l, l P 2 l} se llama norma de la partición P.
Definición 3)
Sea Rij =
Suma de Riemann
(x,y): x E [ x i-1 , x i ], y E [ y j-1 , y j ]
Uno de los rectángulos originados por la partición P.
Mij = Sup { f (x,y): (x,y) mij = inf { f (x,y): (x,y) Se define la suma superior de Riemann a: n
U f (P) = ∑ i=1
m
∑ Mij ∆x i ∆ x j j=1
Se define la suma inferior de Riemann a:
n
Lf (P) = ∑ i=1
m
∑ mij ∆x i ∆ x j j=1
Definicion 3) Integrable Riemann La función f(x,y) es integrable Riemann sobre el rectángulo D si f es acotada sobre D, y si existe un único numero I tal que
Lf (P)≤ I ≤ U f (P), ᵿ P de D
n
n m
m
I = ∫ ∫ f(x,y) dA = lim ∑ ∑ Mij ∆ x i ∆ x j = lim ∑ ∑ mij ∆ x i ∆ x j i=1
i = 1 j = 1
j= 1
Teorema 1
Si f es continua en el rectángulo D, entonces f es integrable en sobre D.
Ejemplo 2 Hallar ∫ ∫ D dxdy, D = [a,b] x [c,d]
Solución La función se define, F (x,y) = 1
ᵿ (x,y) ε D.
Sean P1= {x 0, x 1 , …, x n } y P2 = {y 0, y 1, …, y m } particiones de [a,b] y [c,d] respectivamente, entonces P = P1 x P2 es una partición de [a,b] x [c,d]
Mij = 1,
mij = 1
Entonces n
U f (P) = ∑
m
∑ A(Rij ) = Area (D)
i=1
j=1
n
m
Lf (P) = ∑ i=1
∑ A(Rij ) = Area (D) j=1
Por lo tanto
∫ ∫ D
f(x,y) dxdy = Area(D)
Ejemplo 3. Hallar ∫ ∫ D (x+y) dxdy, D = [1,6] x [1,3]
Solución La función se define por f(x,y) = x+ y
P1 : x i = 1+
,
∆x i = ,
P2: y j = 1+ , ∆y j =
,
i= 0,1,2,….,n j = 0,1,2,….,m
P= P1 x P2 es una particion del conjunto D. Entonces
F(x i , y j ) = x i + y j = (1+ ) + (1+ )
a) Haciendo recorrer j,
∑ (
)
=
[ 2m + m + () ]
=4+
+
()
b) Haciendo recorrer i,
∑ (
)
=
+ ] [ 6n + ()
∫∫ (x+ y) dA = ∑ ∑( )
I=
D
= 30+ 25 +
+
