Integrales Curvilineas o de Linea

INGENIERIA METALURGICA

INTEGRALES CURVILINEAS CURVILINEAS O DE LINEA INTRODUCCION f : : [ a , b ] → R , es

Si

una

función

continua

en

[ a , b]

entonces

b

∫ f ( ( x ) dx = F ( b )− F (a )

donde

a

F ´ ( x )= f ( ( x ) ∀ x ∈ [ a , b ] integral indefinida, es decir que, la integral se realiza sobre el intervalo cerrado [ a , b] . Ahora generalizaremos esta integral, en nde la α⃗ ( t ) y a función f sea continúa sobre la curva C : α esta integrales le llamaremos integrales curvilíneas curvilíneas o de línea línea y denotaremos ❑

por

∫ fds,

es decir:

S

onsidere onsideremos mos una curva regular

⃗α . Se Sea

es su image imagen n de

curva

3

C ⊂ R

3 ⃗α α : [ a , b ] → R , tal que: que: 3

f : : C ⊂ R → R , una función definida sobre la

. uya representación grafica haremos de la siguiente manera.

onsideremos una partición del intervalo !al que

[ a , b] ,

P= {t 0 , t 1 , t 2 , … , t n }

a =t 0 < t 1 < t 2 < … < t n=b , estos puntos determinan una paren la curva 

por medio de los puntos: subintervalo tal que

3 ⃗α α : ( [ a , b ] ) =C ⊂ R

[ t i− , t i ]

,

1

⃗α ⃗ ( t 1 ) , ⃗α α ( α )=α α⃗ ( (t 0 ) , α α α ( t 2 ) , … , α α⃗ ( t n ) =⃗ α α ( b ) . Ahora en cada i=1,2,3, … , n , tomamos un punto arbitarario arbitarario

⃗α α ( t ) =( x , y , z ) ∈ C , en seguida foremos la suma ' i

' i

' i

' i

t i '

n

f ( x , y , z ) ∆ S ∑ = ' i

' i

' i

i

i 1

ANALISIS ANALISI S MATEMATICO MATEMATICO III


∆ Si es la longitud del arco de la curva  de

, donde

|∆ Si|

⃗α ( t ❑i−1 ) a ⃗α ( t i ) y sea

la m"#ima longitud de arco correspondiente a la partición considerada.

DEFINICION: ∀ ε > 0, ∃ δ > 0

Si e#iste un número $ tal que

❑

|

n

' i

' i

' i

i

i 1

f ( x , y , z ) ∆ S = L ∫ f ( x , y , z ) dS =| lim| ∑ = ∆ Si →0 i

C

partición

' i

i

1

|∆ Si|< δ

con

' i

,

para toda

n

' i

|

f ( x , y , z ) ∆ S − L < ε ∑ =

y

, entonces e#iste la integral curvilínea de f con ∆ Si y lo representaremos por:

respecto a la longitud del arco

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL CURVILINEA

1. onsideremos una curva regular α (¿¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t )) tal que ⃗α ( t )=¿

α : [ a , b ] → R

3

definida por

⃗α ( [ a , b ] ) =C ⊂ R es la imagen de ⃗α si 3

3

f : C ⊂ R → R , una función continua sobre , entonces: α b

b

∫ f ( ⃗α ( t ) ) .‖⃗α ' (t )‖dt =∫ f (¿ ¿ 1 ( t ) , α ( t ) , α ( t )) .‖⃗α ' ( t )‖dt

f ( x , y , z ) dS =

2

3

ANALISIS MATEMATICO III


t

¿ ¿

t

¿ ¿

%onde:

t

¿ ¿ '

α 1 ¿ ‖α⃗ ' (t )‖=√ ¿

&sta integral recibe el nombre de integral curil!nea "e #ri$era e%#ecie.

( x 2+ ¿ y 2 + z 2) dS ❑

∫¿

Ejemplo: calcular la integral curvilínea

donde la curva es

C

⃗ ( t )=( cost,sent ,t ) , 0 ≤t ≤ 2  . C : α

definida por Solución:

C : α⃗ : [ 0,2  ] → R

omo:

3

es una curva regular definida por:

⃗α ( t )=( cost , sent , t ) ⇒ ⃗α ' ( t )=(− sent, cost , 1 ) ⇒‖⃗α ' ( t )‖= √ 2 omo

dS =‖⃗ α ' ( t )‖dt ⇒ dS = √ 2 dt , entonces 2 

2 

( x +¿ y + z ) dS =∫ ( cos t + sen t + t ) √ 2 dt =√ 2∫ ( 1 +t )2 dt = 2 √ 2  ( 3 + 4  2) 2

2

2

2

2

2

0

0

3

❑

∫¿ C

O&SERVACION: cuando se tiene una curva plana

y = ! ( x ) ,

a≤x≤b

y

f ( x , y )

&s una función continua, entonces la integral curvilínea se calcula mediante la fórmula. x , f (¿¿ ! ( x )) √ 1 + ! ' ( x ) dx b



'. onsideremos una curva regular α (¿¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t )) !al que ⃗α ( t )=¿

⃗α : [ a , b ] → R3 definida por ⃗α : ( [ a , b ] ) =C ⊂ R3 es la imagen de α⃗ .

3

Si P ," , R : C ⊂ R → R son funciones continuas sobre , entonces: α α α (¿ ¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t )) α ' 3 ( t )

(¿ ¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t ) ) α ' 2 ( t ) + R ¿ ' P (¿ ¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t ) ) α 1 (t ) + " ¿ dt ¿

b

∫

P ( x , y , z ) dx + " ( x , y , z ) dy + R ( x , y , z ) dz = ¿ &stas integrales reciben el nombre de integrale% "e %egun"a e%#ecie. ❑

Ejemplo: calcular la integral curvilínea

C

x = Rcost ,

cuadrante de la circunferencia t 2 =

∫ ydx + xdy

, donde  es el

y = Rsent desde

'(

t 1 =0 hasta

 2

.

Solución: α ( t )=( Rcost , Rsent ) para α : ( [ a , b ] ) =C ⊂ R tal que ⃗ Sea: ⃗ 2

0 ≤t

≤

 2

la curva

parametrizada

{ ==

{

x Rcost ⇒ x =− Rsent dt y Rsent y = Rcost dt

cos2 t dt = R

2

sen 2 t 2



/¿ 2 = R 2 ( 0 −0 ) =0 0



❑



2

2

∫ ydx + xdy=∫ Rsent (− Rsent )dt + Rcost . Rcost dt = R ∫ ¿ 2

C

0

0



O&SERVACION: si y = ! ( x ) ,

a≤x≤b

P ( x , y )

y

" ( x , y )

son funciones continuas e

es la ecuación de una curva plana , entonces la

integral curvilínea se calcula mediante la fórmula: ❑

b

C

a

∫ P ( x , y ) dx + " ( x , y ) dy =∫ [ P ( x , ! ( x )) +" ( x , ! ( x) ) . ! ' ( x )] dx

(. Si la curva

α (¿¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t )) para ⃗ ( t )=¿ C : α

regular, entonces una partición

t ∈ [ a ,b ] una curva seccionalmente

a =t 0 < t 1 < t 2 < … < t n=b , e#iste para

que , resulta ser la unión de las curvas regulares

%onde

[ a , b]

tal

C =C 1 ∪ C 2 ∪ … ∪ C n ,

C 1 : α 1 ( t ) , t ∈ [ a , t 1 ] ,C 2 : α 2 ( t ) , t ∈ [ t 1 ,t 2 ] ,C n : α n ( t ) , t ∈ [ t n−1 ,b ] , y sea ⃗

⃗

⃗

3

f : C ⊂ R → R , una función definida en , entonces se tiene que: x , y , z f (¿ ¿) dS ❑

∫¿ C 1 n


INGENIERIA METALURGICA ❑

∫ ydx +2 xdy

Ejemplo: encontrar la integral curvilínea

, si  es el contorno de

C

un rombo en sentido inverso al de las agu)as del relo) y cuyos lados son las rectas x y

x y

x

y

x

y

3

3

3

2

3

2

+ =1, + =−1, − =1 , − =1 2

2

Solución:

Sea

C =C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 ,

tomemos

x y C 1 : + =1 parametrizando 3 2

ahora

⃗α 1 ( t )=( 3− 3 t , 2 t ) , 0 ≤ t ≤ 1 x y C 2 : − =−1 , *arametrizando se tiene: 2

2

⃗α 2 ( t )=( 3 t , 2−2 t ) , 0 ≤ t ≤ 1 x y C 3 : + =−1 , *arametrizando se tiene: 3 2

⃗α 3 ( t )=( 3 t − 3,−2 t ) , 0 ≤ t ≤ 1

x y C 4 : − =1 , *arametrizando se tiene: 3 2

⃗α 4 ( t )= ( 3 t , 2 t −2 ) , 0 ≤t ≤ 1 ❑

❑

❑

❑

∫

∫

∫

∫

C 1

C 2

C 3

C 4

ydx + 2 xdy = ydx + 2 xdy +¿ ydx + 2 xdy + ydx + 2 xdy + ydx + 2 xdy ❑

∫¿ C



1

1

1

0

0

[ 2 t (−3 )+ 2 ( 3 −3 t ) 2 ] dt +∫ [ ( 2−2 t ) (−3)+ 2 (−3 t ) (−2) ] dt +∫ [ 2 t (−3 )+ 2 ( 3 t −3 ) (−2 )] dt +¿∫ [ ( 2 t −2 ) 3 + 6 t 0 1

¿∫ ¿ 0

1

1

1

1

0

0

0

0

¿∫ ( 12−18 t ) dt +∫ (18 t −6 ) dt +∫ ( 12−18 t ) dt +∫ (18 t −6 ) dt 1

¿∫ 12 dt =12 t / 1=12 0

0

FORMULA DE GREEN. *ara la fórmula de +reen se considera curvas cerradas simples seccionalmente regular, parametrizada en sentido anti horario, que constituir"n la frontera o borde- de una región acotada  del plano, como en la figura.

C

$a fórmula de +reen es un resultado que e#presa una integral doble sobre  como una integral de línea a lo largo de la curva cerrada  que construye

R

!odo esto lo e#presamos en el siguiente teorema.



TEOREMA DE GREEN. Sea  una región simplemente cone#a, con frontera C suave a trozos, orientados en sentido contrario al de las agu)as de un relo) esto es, C recorre una vez de manera tal que R quede siempre a la izquierda- si /, 0, # $ # % y son continuas en una región abierta que contiene a , entonces: #y #x

# % # $ − #x # y ¿ ¿ d

%aremos una demostración solamente para una región que es a la vez verticalmente simple y horizontalmente simple. $uego la región R se describe en las dos formas. PARA VERTICAL SIMPLE:

Y C2: f2(x)

R

C1: f1(x)

a

0

b

X

1' 23,  verticalmente simple.

❑

∫

&ainte(a& de&inea $ ( x , y ) dx )*ede esc(ibi(se co+o C

❑

❑

❑

b

C

c1

c2

a

a

∫ $ ( x , y ) dx =∫ $ ( x , y ) dx +∫ $ ( x , y ) dx=∫ $ ( x , f ( x ) ) dx +∫ $ ( x , f ( x ) ) dx 1

2

b

b

1

∫ [ $ ( x , f ( x ) ) − $ ( x , f ( x) ) ] dx 1

a

2

, por otra parte, tenemos:


INGENIERIA METALURGICA f 2 ( x )

b

# $ f ( x ) dy = $ ( x , y ) / 2 dx # y ( ) f 1 x f ( x ) a

∫ 1

∫

¿ ¿

b

# $ d = ¿ #y a

∫

❑

∬¿ R

b

b

a

a

¿∫ [ $ ( x , f 2 ( x ) )− $ ( x , f 1 ( x ) ) ] dx =−∫ [ $ ( x , f 1 ( x ) ) − $ ( x , f 2 ( x ) ) ] dx &n consecuencia se tiene:

❑

❑

C

R

∫ $ ( x , y ) dx =−∬ ##$ y d

44.. '-

&n forma similar para el caso: )ORI*ONTAL SIMPLE

5 d C`2: C`1: R



6

#

1' 2 3,  es horizontal simple.

❑

❑

❑

c

C

C 1

C 2

d

d

∫ % ( x , y ) dy =∫ % ( x , y ) dy +∫ % ( x , y ) dy =∫ % (  ( y ) , y ) dy +∫ % (  ( y ) , y ) dy 1

2

c



% [¿ (  2 ( y ) , y )− % ( 1 ( y ) , y ) ] dy , por otra parte tenemos.

d

¿∫ ¿ c

# % dx #x [ % 2 ( y ) , y ) − % ( 1 ( y ) , y ) 2 ( y )

d

d

¿ dy = % ( x , y )/ 2 ( y ) dy = ¿ dy 1 ( y ) c c  ( y )

∫

∫

∫

1

¿ ¿ ¿

d

# % d = ¿ #x c

∫

❑

∬¿ R

&n consecuencia.

∫ % ( x , y )=−∬ ## % x d C

4444444..3-

R

Ahora sumamos '- y 3- obteni7ndose: $uego:

❑

❑

C

R

∫ $ ( x , y ) dx + % ( x , y ) dx =−∬

❑

∬

❑

∬ ( ## % x − ##$ y ) d

# $ # % d + d = #y #x R

R

Ejemplo: /ientras esta ba)o la acción de una fuerza

→ F

( x , y )= y 3 →i( x3 + 3 xy 2) → -, en una

partícula de una vuelta a la circunferencia de radio 8 que se muestra en la figura, usar el teorema de +reen para hallar el traba)o realizado por

→ F

.


INGENIERIA METALURGICA ❑

∫

 =

Solución:

c

❑

( x , y ) d (¿ ∫ ( y , x + 3 xy ) . (dx,dy ) F

→

→

3

3

2

C

❑

❑

¿∫ y dx + ( x + 3 xy ) dy =∬ 3 x 2 dxdy 3

3

2

C

/

*or el e)ercicio anterior.

*asando a coordenadas polares r18, 6 ≤0 ≤ 2  2

2

3 ( cos 0.(d( 3

∫ 0

¿ d0 = 3 4

2 

∫( 0

4

2 3 cos 0 / d0 0

¿ ¿

2 

∫¿

2

3 x dxdy =

0

❑

∬¿

1=

R

¿ 243 4

2 

∫ cos 0d0= 243 8 2

0

[

0+

]

sen 2 0 2  243 / = [ 2  + 0 ]= 243  2

0

8

4

TEOREMA DE STO+ES

Sea S una superficie orientada con vector normal unitario es una curva cerrada simple C, suave a trozos, si

→ %

, cuyo contorno

→ F

, es un campo vectorial

cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta D, que contiene S , C entonces. → F

→ ¿.→ % d s. ¿ → (¿

onsideremos una superficie S limitada por una curva cerrada simple. Se divide S en 0 sub9regiones tan pequeas que pueden considerarse planas con



∆ S1 , ∆ S 2 , … … … … , ∆ S n ,

"reas

en los puntos #i, yi, zi- de →

definición del rotacional de ;.'<- de:

εi

%onde

→

%

∑ = i 1

→

. ∆ x F ∆ S1=

%

∮

→ %

→ F

→

. d (+ ε i ∆ S i

C i

es el vector normal unitario

ver figura-. $a suma sobre la superficie total S da:

% ❑

→

❑

. ∆ x F ∆ S i =

%

∆ S1 → 0 y

6, cuando

∆ S1

asociado con

→

∑ ∮ = i 1 C i

→

%

ε ∆S ∑ =

→

. d (+

F

i

i

i 1

Ahora consideremos el límite de esta e#presión cuando C i de cada

∆ S1 de la

% → ∝ . la frontera

∆ Si consiste en pedazos que son o parte de la frontera  o

parte de las fronteras de las dos sub9regiones adyacentes. $as integrales de línea a lo largo de curvas fronteras adyacentes se cancelan, pues los vectores d

→ (

tienen direcciones opuestas, asi queda sobre la integral de línea a lo

largo de  por consiguiente. lim ¿ ¿

%

∑ =

% → ∝

i 1

→

→

❑

∬

. ∇ x F ∆ S i =

%

s

→

∇

%

→

❑

∬ ∇ x

. ds =

F

→ F

→

. d s.

S



lim ¿ 2 asic*ando % → ∝ ¿ % → ∝

% ❑

→

❑

→

¿ ∑ ∮ F ( t ) . d (¿ ∮ → F .d →( i =1 C 1

C

( ∇ x d

❑

→

→

→

¿ . d F + F ∬ S

lim ¿

%

ε ∆ S → 2 )a(ae& te(+ino(estante ∑ =

¿

S

i

i

i 1

❑

∬¿ S

|∑ | ∑| | %

%

i= 1

εi ∆ S i ≤

i =1

%

∆ S =ε ∑ =

ε i ∆ S i ≤|ε +|

i

+

S , donde ε + =+ax { ε 1 } )e(o ε + → 0

i 1

lim ¿ → 0 ¿

%

ε ∆S ∑ =

ca*ndo % → ∝ , ∆ S i ,→ 0 ,entonces % → ∝

∬∇

∴

S

→

→

d s¿ F

∮

→ → F (

→

i

i

i 1

→

. , d s¿ % ds

C

2 ⃗ ⃗ Ejemplo: comprobar el teorema de Sto=es para F ( x , y , z ) =2 z i + x - + y 3 , ⃗

⃗

2

donde S es la superficie del paraboloide z =4 − x − y

2

y  es la traza de S

en el plano >5. Solución: z =  ( x , y )= 4 − x − y 2

% =( ⃗

2

, como el vector normal % es orientado hacia arriba

−# z ⃗ # z ⃗ i− - + 3 ) ⃗

#x

#y

% =2 x i + 2 y - + 3

|

i⃗ # (ot F = #x 2 x ⃗

# #y 2 y ⃗

⃗3

|

# =2 y i⃗ + 2 - + ⃗3 #z 1

⃗



¿ 4 xy + 4 y (¿+ 1 ) dxdy ❑

( 2 y i⃗ + 2 - + ⃗3 )(¿ 2 x i⃗ + 2 y -+ ⃗3 )d =∬ ¿ ⃗

⃗

C

❑

∬¿

(ot F . % . ds = ⃗

⃗

S

❑

∬¿ S

√ 4− y

2

2

∫ ( 4 xy + 4 y +1 ) dxdy=∫ [ 2 x y +( 4 y +1 )] / √ 4− y −√ 4 − y − −√ − y

2

2

4

2

2

2

¿ ¿ 2

¿∫ ¿ −2

√

8 y 4 − y

(¿ + 2 √ 4 − y ) dy = 2

[

−8 ( 3

4 − y

2

3 2 2

]

) + y √ 4 − y 2+ a(ct y / 2 = 4  2

−2

2

¿∫ ¿ −2

*ara la integral de línea, parametrizando la línea: C : a⃗ ( t )=2cos ( t )⃗ i + 2 sen ( t ) - + 0 ⃗3 , 0 ≤t ≤ 2  t,0 −2 sen t , 2cos ¿ dt

¿ ¿

( 0,2cos t , 4 sen2 t ) . ¿ 2 

∫¿

F ( α⃗ (t ) ) ⃗ α ( t ) dt = '

⃗

❑

0

∫

F . d ( = ¿ ⃗

⃗

❑

C

∮¿ C



2 t

( =

2 t +

1 + cos ¿ dt

¿ ¿

)=

sen 2 t 2

2  0

4 

2 

( 0 + 4cos t +0 ) =2 ∫ ¿ 2

0 2 

¿∫ ¿ 0

&I&LIOGRAFIA: &duardo &spinoza amos. An-li%i% Mate$-tic III. ?ta &dición. &d. &du=peru. $ima @ *erú. 36'3


Integrales Curvilineas o de Linea

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