Ejercicios Resueltos Resueltos de Cálculo Vectorial e Integrales de línea. 1.- Determine el valor de
Solución:
, si
y
.
2.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza partícula desde el punto
Solución:
al
a lo largo de la curva
, para mover una .
3.- Sea la trayectoria
Solución:
. Demuestre que que pasa por dos puntos dados.
es independiente de
4.- Verifique el Teorema de Green para
, donde
tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas
Solución:
es la frontera, y
.
5.- Demuestre que:
Solución:
6.- Sea el valor de la integral.
Solución:
, donde
y
. Determinar
7.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva:
Donde
consiste del segmento de recta que va desde
con
.
Solución:
Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:
Aquí:
Se tiene:
a
y de la curva
8.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.
Donde
es cualquier trayectoria que va desde –
hasta
.
Solución:
Es decir, existe
con
Integrando con respecto a
Se tiene:
. Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:
se tiene:
9.- Sea
un campo escalar y
un campo vectorial dado por
. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son continuas. Demuestre que:
Solución:
10.- Sea a) Demuestre que
es un campo conservativo
Solución:
b) Encuentran el potencial escalar
Solución:
c)
Calcule
Solución:
donde
está dada por:
11.- Calcule gráficas de
Solución:
, donde y
.
es la frontera de la región situada entre las
12.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:
Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa.
Solución:
Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:
13.- Calcule la integral de línea
∫ ye
xy
xy dx + xe dy , donde C es la curva formada por los
C
siguientes segmentos de rectas: Punto Inicial ( 2,1) → (1,2) → ( −1,2) → (−2,1) → (−2,−1) → (−1,−2) → (1,−2) → ( 2,−1) Punto Final
Solución:
Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que ∂ ∂ x
xy
( xe ) = e
xy
+ xye
xy
∂
=
∂ y
xy
( ye ), se tiene que la integral de línea es independiente de la
trayectoria, y por lo tanto:
∫ ye
xy
dx + xe dy = xy
∫ ye
xy
dx + xe dy
C +
C
1
= − ∫ 2e t dt = −e + 2
−1
2
1
e2
Donde C * : γ (t ) = ( 2, t ), − 1 ≤ t ≤ 1
xy
14.- Dado el campo vectorial afirmar que
Solución:
es nula si , definida por
. ¿Es posible es una curva simple cerrada?
15.- Si
calcule el trabajo realizado por
lo largo del segmento de recta que va desde el punto utilizar una función de potencial.
Solución:
al desplazar una particula a al punto
. Evalúe sin
