1. FUNCIONES
VECTORIALES
¿Qué son? ¿Cómo se representan? ¿Qué elementos matemáticos se estudian de ellos? Una Una func funció ión n vect vector oria iall es una una func funció ión n que que tran transf sfor orma ma un núme número ro real real en un vect vector or:: F : R R 3 , definida definida como
F ( t )=( )=( x ( t ) , y (t ), z (t )) , Donde x (t ) , y ( t ) y z (t ) son funciones
reales de variale real. !"##$% !"##$% &a &amién 'e llama función vectorial vectorial a cualquier función de la
( t ) i + g (t ) j lo cua forma : r ( t )= f ( cual es un plan lano o espacio( Donde las funciones componentes
f ,g
r ( t )= f ( ( t ) i + g (t ) j + h (t ) k lo que es un
)
h son funciones del parámetro t con
valores reales. *as funciones vectoriales se denotan con frecuencia por: r ( t )=¿ )= ¿ f ( ( t ) , g (t )>¿ )> ¿
r ( t )=¿ )= ¿ f ( ( t ) , g (t ), h ( t )>¿ )> ¿
+,iste +,iste una -ran diferenc diferencia ia entre entre la función función vectorial vectorial f ,g
y
h.
mientras que
r
&odas das son funcion funciones es de la varia varial le e real real
f ( ( t ) , g ( t )
)
) las funciones de variale real t , pe pero
r ( t ) es un vector
h ( t ) son números ! para cada valor especificado de t %. %.
Figura 1 :curva en el plano.Fuente plano. Fuente : /&+/&0C/'(U2C032+' 4+C&350/*+'
*as funciones vectoriales 6ue-an un dole papel en la representación de curvas. &omando como parámetro t el tiempo( las podemos usar para descriir el movimiento a lo lar-o de una curva. ás en -eneral( podemos usar una función vectorial para tra7ar la -ráfica de una
curva. +n amos casos( el punto final del vector posición r ( t )
coincide con el punto
( x , y ) o ( x , y , z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas como se muestra en la figura 2 *a flec8a sore la curva indica el sentido de recorrido( es decir( el sentido de valores crecientes de t. 'alvo que se especifique otra cosa( se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f , g y h . Figura 2: curva en el espacio( la curva c tra7ada por el punto final del vector posición r !t%
Figura 3: Curva en el espacio( 8élice fuente: &raficación de curvas en el espacio usando derive
'e dice que F es continua( derivale o inte-rale( si lo son
x ( t ) , y ( t ) y z ( t ) ; ) además
su derivada ) su inte-ral se calculan del si-uiente modo: z (t ) dt b
b
a
a
b
∫ x (t ) dt , ∫ y (t ) dt , ∫ ¿ F ’ ( t )=( x ’ ( t ) , y ’ ( t ) , z ’ ( t ))
Y
¿
a
F ( t ) dt =¿ b
∫¿ a
/l-unas re-las de derivación de estas funciones relacionadas con las operaciones entre vectores son las si-uientes !suponemos que ) 9 son dos funciones vectoriales( u es una función real de variale real ) 5% !'u-er( "#1"%: ∈ 1.
2.
( F ( t )+ G (t )) ’ = F ’ (t )+G ’ (t ) .
( λF (t )) ’ = λF ’ (t ).
3. ( u ( t ) F ( t )) ’ =u ’ ( t ) F ( t )+u ( t ) F ’ ( t ) .
4.
( F (t ) G˙ ( t )) ’ = F ’ (t )G (t )+ F (t ) G’ (t ).
5. ( F ( t ) × G ( t )) ’ = F ‘ (t ) ×G ( t )+ F ( t ) ×G ’ ( t ) .
6.
( F o u ) ’ ( t )=( F ( u (t ))) ’ = F ’ ( u (t )) u ’ (t ) .
;ara las inte-rales
F ( t ) G ( t )
1.
2.
b
b
b
a
a
a
∫ ¿ dt =∫ F (t ) dt +∫ G (t ) dt ¿ b
b
a
a
∫ λ F ( t ) dt = λ ∫ F ( t ) dt
n Representación fsica !e funci"nes #ect"ria$es l F : A c R → R :
*as funciones vectoriales se pueden representar de manera -ráfica. &al que la función vectorial r ( t ) =3 !n ( t ) i + 3cos ( t ) j , t ∈ [ 0,2 " ]
Dic8a función representa una familia de vectores que parten del ori-en( con dirección variale ) modulo constante de tres unidades. /l-unos de estos vectores se evidencian en la fi-ura <
Figura %: fuente: calculo vectorial ;uede oservarse( que las puntas de los vectores descrien una curva. +sa es una aplicación de las funciones vectoriales( donde dic8as funciones pueden representar el movimiento de una part=cula a lo lar-o de una curva( o ien pueden representar la -ráfica de una curva( por e6emplo( la función anterior descrie una circunferencia con centro en el ori-en ) radio tres !>auelos%.
+sta última representación para funciones vectoriales de variale escalar es la más común( ) por ello como e6emplo de función vectorial se mencionó la ecuación vectorial de una recta en el espacio( as= como la ecuación vectorial de una curva en el espacio Una función que va de 5 a 5 n puede representar por lo -eneral una curva en el espacio( por e6emplo la función r (t ) =3 !n ( t )i + 3cos ( t ) j + t k , t ∈ [ 0,2 " ]
5epresenta una porción de 8élice
Figura &: porción de 8élice fuente: Calculo vectorial 2 3 Representación gr'fica !e funci"nes #ect"ria$es F : A c R → R
*a función vectorial proporciona el vector de posición en el punto 5 @( entonces la función 2
F : A c R → R
3
puede representar( en -eneral una superficie en el espacio. ;or e6emplo la
función r (t , )=t i + j + t k
vectorial
!>auelos%:
5epresenta un paraoloide 8iperólico rotado
2(CA)*OS VECTORIALES /ntes de adentrarnos en el concepto de campos vectoriales( es necesario definir previamente otros términos como lo son: campo f=sico( campo escalar ) finalmente campo vectorial( en este último centraremos nuestra ma)or atención.
1(1CA)*O F+SICO( 'e dice que en una determinada re-ión del espacio se tiene un campo f=sico cuando en ella( se presentan u oservan propiedades f=sicas espec=ficas( las cuales pueden tener carácter escalar( vectorial o tensorial. !>elende7( ) otros( "##1%. /s= mismo( se ase-ura que en una re-ión del espacio e,iste un campo creado por una ma-nitud f=sica si es posile asi-nar en cada instante un valor a dic8a ma-nitud para todos los puntos de ésta re-ión( esta asi-nación de valores se dará se-ún el tipo de campo f=sico que represente. /l-unas propiedades de los campos f=sicos: • • •
•
Un campo es estacionario si no depende del tiempo. 'i la ma-nitud que define al campo permanece constante el campo es unifome. 'i la ma-nitud que define al campo es un escalar decimos que es un campo escalar ) si es vectorial que es un campo vectorial. !>autista%. 'u dominio podr=a ser multidimensional( mientras que su ran-o unidimensional o multidimensional
1(2CA)*O ESCALAR( 'i a cada punto !,()(7% de una re-ión del espacio se le puede asociar un escalar E!,()(7% en la re-ión E( se dice que 8a) un campo escalar. Donde la función E depende( del punto ) por eso se llama una función escalar de punto, donde su ran-o es unidimensional. !acultad 0n-enier=a% Un campo escalar se puede representar mediante superficies isoescalares( conocidas comúnmente como superficies o curvas de nivel( un e6emplo de ello( son las
superficies isoaras( que miden la presión atmosférica. +l corte de estas superficies con planos paralelos a la superficie de la tierra definiendo las l=neas isoaras( como se puede oservar en la fi-ura 1. !>autista%.
Figura1: 5elieve campo isoárico. Fuente: 9u=as masmar.
+stas superficies no pueden tener puntos comunes por la imposiilidad de que la función escalar en un mismo punto ten-a diferentes valores.
1(3CA)*O VECTORIAL( 'i a cada punto !,()(7% de una re-ión del espacio se le puede asociar un vector 4!,()(7% en la re-ión 4( se dice que 8a) un campo vectorial. Donde la función 4 depende( del punto ) por eso se llama una función vectorial de punto, donde su ran-o es multidimensional. !acultad 0n-enier=a%. Un campo escalar se puede representar mediante líneas de campo, como las curvas tan-entes en cada punto a los vectores definidos en ellos. /l-unas propiedades de las l=neas de campo son: •
• •
• •
'u sentido de recorrido ) el vector que representa el campo coinciden en cada punto. ;ueden ser cerradas !campo ma-nético% o aiertas !campo -ravitatorio ) eléctrico% +n cada punto de la l=nea el campo solo puede tener una dirección por lo que las l=neas de campo no se pueden cortar. ;arten de manantiales o fuentes ) lle-an o conver-en en sumideros. 'i el campo es uniforme( las l=neas de campo son rectas paralelas.
•
•
•
+n los puntos o 7onas donde las l=neas están más 6untas o tienden a conver-er el campo es más intenso. !>elende7( ) otros( "##1%. /l-unos e6emplos de campos vectoriales son: Un electrón se lan7a 8ori7ontalmente en un campo eléctrico uniforme producido por dos placas car-adas . +l electrón e,perimenta una aceleración descendente opuesta a + ) su movimiento es paraólico mientras está entre las placas. !i-ura "%. !acultad de 0n-enier=a de 'istemas%. +l campo -ravitatorio de la tierra !i-ura @%(. +l primero es un campo uniforme ) el se-undo uno central.
Figura 2. Campo eléctrico uniforme.
Figura 3 .
Campo gravitacional.
*os campos vectoriales se sudividen en: a% Campos de fuer7as Campos eléctricos. Campos -ravitatorios. % Campos de velocidades ovimiento del viento 6unto a una superficie aerodinámica. Corrientes océanicas. • •
• • •
Cuando la ma-nitud que define el campo es una fuer7a( se llaman campos de fuerza.
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