INTEGRALES CURVILINEAS CURVILINEAS O DE LINEA
, , , - ∫ , - , -
INTRODUCCIÓN: si
Es Es una función continua en
, donde que la integral se realiza sobre el intervalo cerrado
entonces: entonces:
(integral (integral definida); es decir,
.
∫
Ahora generalizaremos esta integral, en donde la función f unción f sea sea continua sobre la curva estas integrales les llamaremos integrales curvilíneas o de línea y denotaremos por decir:
,
,-
Consideremos una curva regular . Tal que: . Sea una función definida sobre la curva es de la siguiente manera:
Z
a
ti-1 t’i
ti
X
b
es su imagen de . Cuya representación grafica
f
Y
0
, - * + , - ∑| | .
tal que
, estos puntos determinan una partición en la curva C por . Ahora en cada sub , tomamos un punto arbitrario , tal que:
, enseguida formemos la suma es la longitud de arco de la curva C de a y sea correspondiente a la partición considerada.
DEFINICION:
, es
Considerando una partición del intervalo medio de los puntos intervalo ,
y a
, donde la la máxima longitud de arco
| | ∑ ||
y Si existe un número L tal que , para toda partición con , entonces existe la integral curvilínea de f con respecto a la longitud de arco y se representa por:
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTREGRAL CURVILINIA
, ( ) ,- ‖ ‖ ‖ ( ⃗ ‖ ⃗ ‖ ‖ ( ) ‖⃗‖ ‖
1. Consideremos una curva regular definida por que es la imagen Si es una función función continua sobre C, entonces. entonces.
Donde
Esta integral recibe el nombre de integral curvilínea de primera especie:
Ejemplo: Calcular la integral curvilínea
∫
.donde C es la circunferencia
Solución
La curva C en forma paramétrica p aramétrica es dado por
⃗ ‖⃗‖ ‖ ‖⃗‖ ‖
tal
| | ∑ ||
y Si existe un número L tal que , para toda partición con , entonces existe la integral curvilínea de f con respecto a la longitud de arco y se representa por:
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTREGRAL CURVILINIA
, ( ) ,- ‖ ‖ ‖ ( ⃗ ‖ ⃗ ‖ ‖ ( ) ‖⃗‖ ‖
1. Consideremos una curva regular definida por que es la imagen Si es una función función continua sobre C, entonces. entonces.
Donde
Esta integral recibe el nombre de integral curvilínea de primera especie:
Ejemplo: Calcular la integral curvilínea
∫
.donde C es la circunferencia
Solución
La curva C en forma paramétrica p aramétrica es dado por
⃗ ‖⃗‖ ‖ ‖⃗‖ ‖
tal
, , ( ) , - [( ) ∫ ( ∫ ) ( )()( )] )] OBSERVACION
Cuando se tiene una curva plana entonces la integral curvilínea se calcula mediante la fórmula.
2. Consideremos una curva regular
que
es una función continua,
definida por
tal
es la imagen
Estas integrales reciben el nombre de integrales curvilíneas de segunda especie.
Ejemplo donde C es el primer cuadrante de circunferencia
∫ ⁄ , - { { Calcular la integral curvilínea
Sea
Tal que
OBSERVACION
Si son funciones continuas e entonces la integral curvilínea se calcula mediante la formula
la curva parametrizada
es la ecuación de la curva plana C
] [ ( )( ) Ejemplo
∫ , - ( ) ,- , ,- , - ,- Calcular la integral curvilínea
donde C es el segmento de la recta
de
Solución
3. Si la curva C:
entonces una partición unión de curvas
para
una curva seccionalmente regular, existe para tal que C, resulta ser la
, donde
… (t), , es una función continúa sobre C, entonces se tiene.
Y sea Si
NOTACIÓN: Dada una curva C parametrizada por con una cierta orientación, cuando se le parametriza por una función que le invierte la orientación, entonces se le denota por
⃗
Al estudiar las integrales de línea nos interesa no solamente el conjunto de puntos que une a la curva C, sino la manera como ha sido orientada, es decir, la parametrizacion .
DEFINICIÓN
A una curva C con una parametrizacion se le llama camino o trayectoria. A las integrales de línea se le ha dado muchas notaciones, por ejemplo si un campo vectorial en es una función definida sobre un conjunto abierto y con valores en es decir:
. / () () ⃗ ⃗ ⃗ Tal que:
Donde
Para
denotaremos
Para
denotaremos
,
,
Campo vectorial sobre un conjunto abierto Luego si
tal que:
Y ala integral curvilínea le denotaremos por:
Donde
⃗ ⃗ ( ) ( ) ∫ OBSERVACIÓN En una integral de línea, la curva a lo largo del cual se realiza la integración se denomina camino o trayectoria de integración es una curva cerrada se denota de la manera siguiente
∮
en ambos sentidos horario y anti horario.
Ejemplo Calcular la integral de línea de Desde el punto hasta el punto
a lo largo de la parábola
Solución
Vemos que curva es recorrida en forma horaria de modo que denotaremos por mediante.
⃗ , () ,-
: parametrizamos
Observamos que al invertir la orientación, el valor de la integral cambia de signo, mas no de magnitud.
OBSERVACIÓN Sean y i.
ii.
⃗ ⃗ () ⃗()⃗ ⃗ () ⃗()⃗ dos caminos de la curva C.
Si
y
originan la misma orientación de C
Si
y
originan orientaciones opuestas de C
NOTA:
Si la curva seta definida por igual a:
,-
, la integral sobre la curva
(con orientación opuesta) es
() Ejemplo Calcular la integral de línea un segmento de recta.
∫
desde el punto
hasta el origen
Solución
a lo largo de
,, , Al segmento de recta de
hasta
se representa por:
,
Donde
y
Para la integral debe evaluarse sobre la curva
desde
hasta
INDEPENDECIA DE LA TRAYECTORIA EN INTEGRALES CURVILINEAS
TEOREMA
Supongamos que P(x , y)dx + Q(x , y)dy sea una diferencial exacta, es decir: existe una función f : D R 2 R tal que: df x, y P x, y dx Q x, y dy y consideramos una curva regular
: a, b R definida por 2
(t ) 1 t , a2 t tal que:
a, b C R
2
es la imagen de
entonces:
P x, y dx Q x, y dy f
1
C
b ,2 b f 1 a ,2 a
DEMOSTRACIÓN Definiremos la función F (t) mediante: F t f
t , t , a t b calculando su derivada por
1
2
medio de la regla de la cadena.
F ' t f1' 1 t ,2 t .1' t f 2' 1 t , 2 t . 2' t , de donde: ' ' ' F t P 1 t , 2 t .1 t Q 1 t ,2 t .2 t
Integrando miembro a miembro tenemos: b
F t dt '
a
b
a
P x, y dx Q x, y dy F b F a , por lo tanto
P x, y dx Q x, y dy f b , b f a , a b
1
a
2
1
2
COROLARIO Supongamos que P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y , z dz , sea una ecuación diferencial exacta es decir que existe una función f : R 3 R tal que:
df x, y, z P x, y, z dx Q x, y , z dy R x , y , z dz y consideramos una curva regular
a : a, b R definida por: 3
imagen de , entonces:
(t ) 1 t , 2 t , 3 t tal que :
a, b C R
3
es la
P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz f
1
C
b , 2 b , 3 b f 1 a , 2 a , 3 a
DEMOSTRACIÓN Definiremos la función F(t) mediante:
F ' t f1' 1 t , 2 t ,3 t .1' t f 2' 1 t , 2 t , 3 t . 2' t
f3' 1 t ,2 t , 3 t .3' t
F ' t P 1 t , 2 t ,3 t .1' t Q 1 t , 2 t , 3 t . 2' t
R 1 t ,2 t , 3 t .3' t Integrando miembro a miembro se tiene:
b
a
b
( P 1 t , 2 t , 3 t .1' t Q 1 t , 2 t , 3 t .2 ' t R 1 t , 2 t , 3 t .3' t ) dt
F t dt F b F a '
a
P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y , z dz F b F a C
f 1 b ,2 b ,3 b f
1 a , 2 a , 3 a
OBSERVACIÓN: La expresión P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y , z dz es una diferencial exacta, si se cumple:
P Q P R Q R , , y x z x z y ahora si P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y , z dz , es una diferencial exacta, quiere decir que existe una función f(x, y, z) tal que:
f x, y, z f x, y, z f x, y, z P( x, y, z ), Q x, y , z , R x, y, z x y z Luego para encontrar la función f(x, y, z) se sigue el procedimiento siguiente, siempre y cuando reúnan las condiciones necesarias. f x, y, z P( x, y, z ) , integrando con respecto a x: x
f x, y, z P x, y, z dx g y, z ................... 1
Ahora derivamos con respecto a y:
f x, y, z P x, y , z dx g y , z Q x, y, z y y y g y, z Q x, y, z P x, y, z dx y y
g y, z Q x, y, z
P ( x , y , z ) dx dy h z ................... 2 y
Remplazando (2) en (1)
f x, y, z P x, y, z dx Q x, y, z
P x, y, z dxdy h z ........... 3 y
Ahora derivando con respecto a z a la ecuación (3)
f x, y, z ( P x, y, z dx Q x, y, z P x, y, z dxdy) h' z R x, y, z z z y
h' z R x, y, z
( P x, y, z dx Q x, y, z P x , y , z dx dy) Integrando: y z
h z ( R x, y, z
( P x, y, z dx Q x, y, z P x , y , z dx 4 dy)) dz.......... y z
Por último remplazando (4) en (1).
f x, y, z P x, y, z dx Q x, y, z
( R x, y, z
P x , y , z dx dy y
( P x, y, z dx Q x, y, z P x , y , z dx dy)) dz z y
Observación: Si P, Q, R :U R 3 R son funciones continuas en U, y sea C una curva regular cerrada
contenida en U con representación paramétrica : a, b R tal que: ( a, b ) C a b 3
y si P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y , z dz es una diferencial exacta entonces:
P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz 0 C
EJEMPLOS:
d ,e , f
1) Calcular la integral curvilínea a ,b ,c
xdx ydy zdz
x
2
y z 2
2
3
2
SOLUCION xdx ydy zdz
La expresión f x, y, z
x
2
y 2 z 2 1
x2 y 2 z 2
3
2
es la diferencial total de la función.
, por lo tanto
d ,e, f xdx ydy zdz
a ,b , c
x
2
y z 2
2
3
2
d , e, f
a , b, c
d f x, y, z f
1
d 2 e2 f 2
x, y,z
d ,e, f a ,b , c
f d , e, f f a, b, c
1
a2 b2 c2
e x cos ydx e x senydy donde C es cualquier arco (1,0) a (0,1) C
2) Calcular SOLUCIÓN
P x e seny y P x, y e cos y x Q x , y e seny Q e xseny x f : R 2 R x
Como
P Q , entonces la expresión e x cos ydx e x senydy y x
es una Ecuación
Diferencial exacta, entonces f : R 2 R , tal que f x, y P x, y f x, y Q x, y x
y
f x, y P x, y e x cos y , integrando respecto a X. x
f x, y e x cos ydx g y ex cos y g y , calculando la derivada respecto a Y.
f x, y e x seny g ' y Q x , y e xseny , g ' y 0 g y c y f x, y e x cos y
Aplicando Teorema se tiene:
C
e cos ydx e senydy x
x
(0,1)
(1,0)
df x , y f x , y
0,1 1,0
f 0,1 f 1,0 cos1 e
INTEGRALES DE LINEA EN COORDENADAS POLARES
Una trayectoria en el plano descrita en coordenadas polares es dado por:
, ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ :
donde r = r
:
,
Calculando la derivada se tiene: =
+ r
El campo vectorial
,
en coordenadas polares estaría dada por:
Luego la integral de línea : r = r
(
en coordenadas polares donde:
esta dado por:
=
=
Ejemplo 1) calcular donde es la intersección de las superficies , y = xtg , (0 recorrida en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj, si se observa de la parte positiva del eje x .
Solución:
{ Ahora parametrizamos la curva :
, de donde (1+
, que expresaremos de la forma:
(elipse en el plano XZ)
Cuya parametrizacion la elipse se tiene: x = acos Como y = xtg = acos
= a
, z=a
sen
Por lo tanto la parametrizacion de la curva es: :
, 0
2
Ahora calculamos la integral de línea:
, ∫ , ∫ - ,- d
∫ ∫ ∫ =
=
Ejemplo 2) calcular la integral curvilínea
, donde C es la circunferencia
Solución:
sea C:
completando cuadrados se tiene:
C: (
ahora parametrizando la curva C:
Luego la curva parametrizada es expresado por:
,- . / ‖‖ ‖‖ ∫ ∫ ∫ 0. / 1 Como ds =
=
ds =
= =
=
= ∫ Ejemplo 3) calcular la integral curvilínea ∫ donde C es la primera espira de la hélice x = acost , y = asent , z = at Solución: La curva C parametrizada es dado por:
,- ‖ ‖ √ ‖‖ √ ∫ ∫ √ √ ∫ √ ∫ √ ∫ C:
/
= (acost, asent, at), 0
como
ds =
y su módulo es :
=
=
=
Ejemplo 4) calcular la integral curvilínea ecuación ; (x
=
√
ds , donde C es un línea dada por la , la mitad de la lemniscata)
Solución:
Sea C:
X = rcos , y = rsen
; (x
pasando a coordenadas polares se tiene:
…………………………..(1)
√ √ √ ,- √ √ ‖‖ √ √ ‖‖ √ √ r=
Reemplazando en (1) se tiene: X=
cos
y=
Por lo tanto la curva parametrizado es dado por: C:
/
Como ds =
=
cos
;
, calculando la derivada de
√
√ ∫ ds = ∫ √ √ √ = ∫ = ∫ = ∫cos = = √ Ejemplo 5) calcular la integral curvilínea ∫ , donde C es un parte de la espiral de Arquímedes , comprendida dentro de un circulo de radio R con el centro en el origen de dS =
coordenadas.
Solución:
, - 0 1 ‖‖ [ ] Parametrizando la espiral de arquimedes se tiene:X = , y = , y = . Luego la curva parametrizada es dado por: ahora parametrizando la ecuación X=R R
y=R
como
, x =
/
.
interceptando la circunferencia y la espiral :
R=
por lo tanto
, 0
, de donde
dS =
dS = 2
CIRCULACIÓN DEL CAMPO VECTORIAL Y SU CÁLCULO
DEFINICIÓN.-La integral de línea tomada a lo largo de la curva cerrada orientada r se denomina
∮ ⃗
circulación C del campo vectorial
C=
Donde el símbolo
de tal manera según la definición se tiene:
∮ ⃗
significa la integral por la curva cerrada r.
Si el campo vectorial se prefija en la forma de coordenadas:
= (x,y,z) = P(x,y,z) +Q(x,y,z) +R(x,y,z) entonces la circulación del campo vectorial será igual a:
C=
∮ ⃗ ∮ =
⃗ +Q(x,y,z)
= P(x,y,z)
+R(x,y,z)
EJEMPLO.- Calcular la circulación del campo vectorial
= + =1 Solución:
Aplicando la definición de circulación tenemos: C =
Parametrizando a la elipse se tiene:
r:
=
x = a cost
+
0
2
…..(1)
………… (2)
∫⌊ ⌋ ∫ ∫ 0 1 ∫ , -
De aquí dx = -a sen t dt,
dy =b cos t dt
Reemplazando (2), (3) en ( 1) tenemos:
C = ab
C = ab C=
a lo largo de la elipse r
∮ ⃗ ∮
y = bsent
C=
+
=
……………….. (3)
C = ∫ 0 1 1 C = ∫ 0 C = 0 1 C =
⃗
2.- Calcular la circulación del campo vectorial (x,y,z) = xy +yz +xz intersección r:
a lo largo de la curva de
x + y+ z = 1 , en la dirección correspondiente al recorrido de la proyección r en el plano xy en sentido antihorario. SOLUCIÓN:
Aplicando la definición de circulación tenemos:
∮ ∮
………. (1) C= = Parametrizando r que es una elipse que se obtiene como resultado de la sección del cilindro con el plano x + y+ z = 1
x = cost ,0 r: y = sen t z = 1-cost-sen t
……(2)
de aquí dx = - sent dt ^ dy = costdt…….(3) ahora reemplazando (2) (3) en (1)
∫, - ∫, -
c= c=
dt
∫
c=c=-
⃗
3.-Calcúlese la circulación del campo vectorial = z +x +y , a lo largo de la circunferencia , x+y+z= R en sentido positivo respecto al vector .
Aplicando la definición de la circulación tenemos: C=
∮ ∮ =
+xdy+ydz…… (1)
Parametrizando la circunferencia r:
⃗
=R
Z =R-x-y De donde
+
+
Hacemos y =
+ = R (
de donde x=
=
)
, y=
,z=
= - , – C = ∫ C = ∫ C = ∫ 0 1 , - , C = ∫ Reemplazando en la ecuación (1) tenemos:
Hacemos
√
Para t = -x → = -
, dz = dt
√
= tg
=
; t = x → =
√ √ √ C = √ √ C= √ C=
; -x
∫ , ∫ ∫ , ∫ -
√ , C = √ C=
FORMULA DE GREEN Para la formula de Green se considera curvas cerradas simples seccionalmente regular, parame rizada en sentido anti horario , que constituirán la frontera( o borde) de una región acotada R del plano, como en la siguiente figura.
FORMULAA DE GREEN. Para la formula de Green se considera se considera curvas cerradas simples seleccionablemente regular .parame rizada en sentido anti horario, que constituirán la frontera o borde de una región acotada M del plano, como en la siguiente figura.
La formula de Green es un resultado que expresa una integral doble sobre una región M con una integral de línea a lo largo de la curva cerrada M que constituye la frontera de M. Sea M una curva parame rizada en el plano, cerrada y regular Por secciones. Sea R la región del plano determinada por interior. Si M, N:
M y su
R son funciones reales continuas y que tienen derivadas
parciales Continúas en toda la región R, entonces, El Teorema de Green puede utilizarse tanto para calcular un integral de línea mediante una integral doble como para realizar el cálculo inverso.
TEOREMA DE GREEN.
El siguiente teorema, llamado “Teorema de Green”, aplica para regiones planas limitadas por curvas cerradas y simples regulares a trozos. Teorema (Teorema de Green en el plano) Sean P y Q campos escalares derivables Con continuidad en un conjunto abierto S del plano xy: Sea C una curva simple cerrada Regular a trozos y sea D la región encerrada por C (C es el borde). Si D está contenida En S; se tiene la identidad Intuitivamente, C es recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj si al caminar a lo largo de C la región D está siempre a la izquierda.
∫ ∬
Sea R una región simplemente conexa, con frontera C suave a trozos orientada en sentido anti horario de tal manera que M.N,
,
son continuas en una región abierta que c ontiene a R, entonces:
-
)
Demostración.
Daremos una demostración solamente para una región que es a la vez verticalmente simple y horizontalmente simple .luego la re gión R se describe en las dos formas .
R={(x , y)/ a
x
g(x) y g1(x)}
b , f(x) y f 1(x)} , R={(x , y)/ c
x
d,
Y
C2:F1(X)
C1: F(X)
O
a
b
X
C=C1 +C 2 , verticalmente simple.
La integral de línea
∫
.
∫,-
=
∬ ∫∫ ∫ ∫ ∬
.
En consecuencia se tiene: Ejemplos. I.
Usando el teorema de Green, evaluar
()
∫( )
donde C es el camino que encierra la región
anular que se muestra en la figura. Suave a trazos.
y
C
(-3,0)
(1-,0)
(1,0)
(3.0) x
C es una curva a trazos Solución.
θ
En coordenadas polares R esta dado por 1 r 3 ,0
Además
3
{ }
Luego por el teorema de Green se tiene:
∫ ∬
Dn/dx –dm/dy) dxdy
θ ∫ ∫
Pasando a coordenadas polares se tiene dxdy=rdrd
=
II.
∫ Sea R la región interior de la elipse a la circunferencia
y exterior
, calcular la integral de línea
, donde C=C1+C2 es el contorno de
R.
Solución.
Construyendo la figura Y
2 R
C3
C2 C3 C4
Donde y=0, 1 x 3 , C4=y=0, 1 x 3 , C3
y C4 son de orientación
opuesta se puede aplicar el teorema de Green a la región R C=C1+C2+C3+C4
, - CALCULO DE AREAS MEDIANTE INTEGRALES DE LINEA.
Si R es una región plana, limitada por una curva plana cerrada simple suave a trazos C, entonces el área de R viene dada por:
El contorno de integración es recor rido de modo que la región limitada por el mismo queda a la izquierda (sentido positivo) Ejemplos.
I.
⃗
Hallar el área limitada por la cicloide
a (t-sent) , a(1-cost) ,
Y
O
C1
2
X
Solución.
C=C1 C2, donde las parametrizaciones de C1 Y C2.
∫ , ∫ - ∫ a (t) =(t,0),
a (t)=a (t-sent) ,a(1-cost) de 2 a 0. A(R) =1/2
A(R)=
II.
calcular el área de la región interior de la circunferencia ,
.
Solución.
Construyendo la región cuya área vamos a calcular.
y
C1
(0,1)
(-1,0)
(1,0)
x
(0,-1)
Como C= C1 C2 C3
C4, entonces..
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A(R) =1/2
–
[1/2
A(R) =4
-(
A(R) =3
La formula de Green es un resultado que expresa una integral doble sobre una región R como una integral de línea a lo largo de la curva C que constituye la frontera de R.
A continuación vamos a definir el trabajo por una fuerza f a lo largo de un camino contenido en R 2 y en R3, respectivamente.
∫ ∫, ()
1. Si una partícula se mueve a lo lago de una curva por acción de una fuerza , entonces el trabajo W realizado por a lo largo de C viene
Dado por:
2. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva
por acción de una fuerza
,-
Entonces el trabajo W realizado por a lo largo de C viene dado por :
Ejemplo 1. Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas:
para trasladar una partícula alrededor de la una sola vez, siendo el recorrido en sentido antihorario.
circunferencia
Solución: Se pide
∫
En primer lugar debemos parametrizar la circunferencia antihorario. La parametrización es
en sentido
,- (√ √ ) (√ √ )
Necesitamos el diferencial de
Entonces, el trabajo es:
√ (√ ) [ (√ ) (√ )] )(√ )(√ √ )(√ )] [( √
] √ [ √
Ejemplo 2.
Hallar el trabajo que realiza la fuerza:
∫
para mover una partícula en sentido
antihorario a lo largo de la parte de la elipse
que se halla con el primer cuadrante.
Solución:
Se pide hallar el trabajo
.Necesitamos parametrizar parte de la elipse que se halla en el primer cuadrante:
La prametrización del arco de la elipse, es
Donde:
0 1
∫ ∫ √ .Ya podemos integrar:
Producto escalar
Ejemplo 3.
⃗
En cada plano, el punto material actúa la fuerza cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son iguales a X=xy , Y=x+y. Calcular el trabajo de la fuerza al desplazarse el punto desde el origen de coordenadas hasta el punto (1,1) a lo largo de :
⃗
1) La recta y=x 2) La parábola y=x2; 3) Una línea quebrada de dos escalares cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas (considerar dos casos). Solución: El resultado de 1)es4/3 , de 3) 3/2 y 1 Resolviendo 2) Se pide hallar el trabajo
∫ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Para ello, necesitamos la función , que es,
También, necesitamos la ecuación paramétrica de la parábola y=x2 desde el punto (0,0) hasta el punto (1,1): Haciendo x=t se obtiene y= t2. Entonces la parametrización de la parábola es:
⃗ ,- ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
El diferencial de es :
Luego:
, - , - , -
