DAFTAR ISI
1.
Pengertian integral tak wajar ............................................. ................................................................... .............................. ........ 1
2.
Integral tak wajar dengan integran diskontinu ................................................. .................................................3 2.1 f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b ........................................ ........................................ 3 2.2 f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a ........................................ ........................................ 4 2.3 f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c .......................... .......................... 4
3.
Integral tak wajar dengan den gan batas tak hingga ............................................. ...................................................... .........5 3.1 Intergral tak wajar dengan batas atas x = ........................................... ............................................. 5 3.2 Integral tak wajar dengan batas bawah di x = - ..................................... ..................................... 6 3.3 Integral tak wajar dengan batas atas x = dan batas bawah di x = - ... 6
4
Soal – soal latihan ........................................... .................................................................. ............................................. ........................... ..... 7 Daftar Pustaka ............................................. ................................................................... ............................................ ............................. ....... 11
1
INTEGRAL TAK WAJAR
1. Pengertian Integral Tak Wajar
Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu. Teorema:
Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka b
f ( x)dx =
F ( x)ba F (b) F (a)
a
Contoh : 4
4
1 1. (1 x)dx x x 2 2 2 2
= (4- ½ .16) – (2- ½ 4) = -4 – 0 = -4 2
2.
2
dx
1 x ln 1 x 1
1
= ln (1+2) – ln (1+1) = ln 3 – ln 2 2
3.
1
dx 1 x
, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena integran f(x) =
1
4.
1
dx x
1 1 x
tidak terdefinisi pada x = 1.
, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran f(x) =
1 x
tidak terdefinisi di x = 0
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.
2
b
f ( x)dx disebut INTEGRAL TIDAK WAJAR jika:
Bentuk
a
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut. b
Pada kasus ini teorema dasar kalkulus
f ( x)dx = F(b) – F(a) tidak berlaku a
lagi. Contoh : 4
1)
dx
4 x , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4) 0
2
2)
1
dx
8
3)
, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]
x 1
x
1 3
dx, f(x) tidak kontinu di x = 0
1
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
1)
x
dx 2
0
4
, integran f(x) memuat batas atas di x =
0
2)
e
2x
dx , integran f(x) memuat batas bawah di x = -
3)
dx
1 4x
2
, integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa bawah di
x = - Pada contoh a (1, 2, 3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ). Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.
3
2. Integral tak wajar dengan integran diskontinu 2.1. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b
Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b sehingga
(
0 ),
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0
a
Karena batas atas x = b b
( x b ), maka
t
f ( x)dx lim f ( x)dx t b
a
a
Perhatikan contoh di bawah ini. 4
1.
0
4
dx 4 x
lim
0
0
dx 4 x
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga 4
= lim 2 4 x 0 0
= -2 lim
4 (4 ) (4 0)
= -2 ( lim
0
0
4)
= -2(0-2) =4 Cara lain 4
0
dx 4 x
t
lim t 4
0
dx 4 x
= lim 2 4 x t 4
t 0
= lim 2 4 t 2 4 0 t 4
= -2(0)+2(2) =4
4
2.2. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a
Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a + sehingga b
( 0 ),
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0
a
Karena batas bawah x = a + bentuk lain: b
( x a ) maka dapat dinyatakan dalam
b
f ( x)dx lim f ( x)dx t a
a
t
Perhatikan contoh dibawah ini. 4
1.
4
3dx
lim
x 3
3
t 3
t
3dx
x 3
4
= lim 3(2) x 3 t t 3
= lim 6 4 3 6 t 3 t 3
= 6(1) – 6(0) =6
2.3. f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c
Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + dan x = c -
(
0 ), sehingga
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx c
= lim
0
b
f ( x)dx + Lim f ( x) a
0
c
Dapat juga dinyatakan dengan b
t
f ( x)dx lim f ( x)dx a
t b
a
b
+ lim t a
f ( x)dx t
5
Perhatikan contoh dibawah ini 8
1
1. x 3 dx, f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh 1 0
x
1 3
8
1
dx x 3 dx
1
0 0
x
= lim 0
1 3
8
dx lim 0
1 0
x
1 3
dx
0
8
3 23 3 23 = lim x lim x 0 2 0 2 1 0
= =
3 2
6
9 2
3. Integral tak wajar dengan batas tak hingga
Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Penyelesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas inter grasinya. 3.1. Intergral tak wajar dengan batas atas x = Penyelesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai penyelesaian berbentuk.
t
f ( x)dx lim f ( x)dx t
a
a
Perhatikan contoh berikut ini
1.
dx
x 1
2
t
= lim
t
dx
x
2
1
t
1 = lim t x 1
t
1 = lim 1 t t 1 =1
6
3.2. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -
Penyelesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai penyelesaian: a
a
f ( x)dx lim f ( x)dx t
t
Perhatikan contoh berikut ini: 0
dx
( 4 x)
1.
2
0
1 = lim t (4 x) t =
1 1 (4 t ) (4 0)
lim t
=0+
1 4
=¼
3.3. Integral tak wajar dengan batas atas x = dan batas bawah di x = -
Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan
a
f ( x) x f ( x)dx f ( x)dx ,
wajar ini bentuk:
sehingga bentuk penjumlahan integral tak
a
dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh a
a
f ( x) x f ( x)dx f ( x)dx
a
t
= lim f ( x)dx lim f ( x)dx t
t
t
a
7
Perhatikan contoh dibawah ini:
1.
dx
1 4x
2
0
dx
1 4 x
=
2
0
dx 1 4x2
= lim arctg 2 xt + lim arctg 2 x0 0
t
t
=
t
2
4. Soal-soal Latihan
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini: 3
1.
dx
9 x2 Jawab Karena integran diskontinu di x = 3, maka 0
3
0
dx 9 x2
3
= lim 0
0
dx 9 x 2 3
x = lim arcsin 0 3 0
= lim arcsin 0
=
2
3
0 arcsin 3 3
0
=
2
1
2.
x ln xdx 0
Jawab f(x) = x ln x diskontinu x = 0, sehingga 1
x ln xdx = 0
1
lim
0
x ln xdx 0
1
1 2 1 2 = lim ( x ln x x ) 0 2 2 0
=
1 2 1 2 1 2 1 2 lim (1 ln 1 1 (0 ln 0 0 0 2 2 2 2
= tidak terdefinisi (tidak terintegralkan) karena memuat ln 0
8
4
3.
dx 3
0
x 1 1
, f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh 4
dx
3
0
dx
x 1
0
4
dx 3
0
, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:
x 1
3
1
1
lim
dx
x 1
0
dx
lim
3
1
x 1
1
4
2 2 3 3 3 = lim ( x 1) lim ( x 1) 3 0 2 0 0 2 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 = lim (1 ) 1) (0 1) lim (4 1) ((1 ) 1) 3 2 0 2 0
3
=
2
(1 3 9 )
e
4.
t
x
dx = lim e x dx t
0
0
= lim e x 0 t
t
1
1
= lim t 0 t e e =0+1
=1
Jadi
e
x
dx = 1
0
0
0
e
5.
2 x
1 lim e 2 x dx = t 2 t
1 2 1 = lim .1 e t t 2 2
=½-0 =½
9
6.
2
3 x 1
3
dx =
2
3 x
9
dx
1
3
= lim
0
3 x dx 3
2
3 x 1
2
9
dx lim
0
2
3 x dx , atau
3
9
a
= lim a3
2
3 x
9
z 3
1
2
3 xdx
dx lim
z
= lim 2 ln 3 x 1 lim 2 ln 3 x z 9
a
a3
z 3
= -2 ln 0 ln 2 2ln(6) ln 0 = tidak terdefinisi (tidak terintegralkan)
4
7.
4
dx
4 x
0
dx
lim 0
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga
4 x
0
4
= lim 2 4 x 0 0 = -2 lim 4 (4 ) (4 0)
0
= -2 ( lim
4)
0
= -2(0-2) =4
8.
0
e x dx
e
2 x
1
e
=
e x dx 2 x
1
0
= lim
t
e
+
t
2 x
t
1
+ lim
x
t
9.
x 0
2
4
1
x
= lim (arc tg e ) =
2 x
0
e dx
e
x
e dx
4
t `
e 0
x
e dx 2 x
1
0
x
t
0
dx 2
1 t
= lim
t
x 0
dx 2
t
+ lim (arc tg e ) 0 t
4 t
x 1 = lim arctan t 2 2 0 t 1 1 = lim arctan arctan0 t 2 2 2
10
=(½.
- ½ .0)
4
dx
x
10.
2
=
1
4
, f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:
1 1
dx
x
1
4
0
=
dx
x
4
1
+
1
dx
x
4
0
0
1
dx dx lim = lim 0 x 4 x 4 1 0
0
8
1 1 = lim 3 lim 3 0 3 x 0 3 x 0 1
= tidak berarti karena memuat bentuk
11
1 0
DAFTAR PUSTAKA
Prcell, Edwin J. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta : Erlangga Tim Dosen Matematika. 2012. Kalkulus II . Medan : FMIPA UNIMED http://www.scribd.com/doc/48889319/BAB-VIII-Integral-tak-wajar http://masden18.wordpress.com/2010/11/11/integral-tak-wajar-batas-takterhinggasatu-batas-tak-terhingga/ http://upinipinspeed.blogspot.com/2010/06/integral-tak-wajar.html
12
