Integral Tak Tentu

TUGAS TUG AS INTE INTEGRAL GRAL Maret 20, 2009 oleh ipitsopiyati

INTEGRAL 1. Anti Turunan (Integral Tak tentu)

Kita telah mengkaji pendiferensialan (penurunan) maka kebalikan dari turunan disebut anti pendiferensialan (anti penurunan). Definisi: Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi. NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN. Karena kita telah memakai lambang Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan. Jadi Ax (x2) = 1/3 x3 + C. Kemudian Leibniz memakai lambang ∫ … dx disebut dengan notasi Leibniz, ditulis: ∫ x2dx = 1/3 x3 + C. Teorema A (Aturan pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka ∫ xr dx = (xr+1) / (r + 1) + C. Teorema B ∫ sin x dx = -cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cari penulisan (notasi). Dengan mengikuti Leibniz, kita sering memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambang ∫ f(x) dx, ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran. Teorema C (Kelinieran dari ∫ … dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka: (i) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx (ii) ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak tentu? (iii) ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx Teorema D (Aturan (Atur an Pangkat yang diperumum). diperumum). Andai Andaikan kan g suatu fungsi yang dapat didiferensial didiferensialkan kan dari r suatu bilangan rasional yang bukan –1, maka : ∫ [g(x)]r g’(x) dx = {[g(x)]r+1/r+1} + C Contoh soal: 1) Cari anti turunan yang umum dari f(x) = 2x3/4 Penyelesaian : ∫ 2x3/4 dx = (2x3/4+1)/(3/4 + 1) = (2x7/4) / (7/4) = 8/7 x 7/4 + C 2) Cari ∫ (2x2 + 6x) dx Penyelesaian : ∫ (2x2 + 6x) dx = ∫ 2x2 dx + ∫ 6x dx = 2 ∫ x2 dx + 6 ∫ x dx = 2 (1/3 x3 + C1) + 6 (1/2 x 2 + C2) = 2/3 x3 + 3x2 + (2C1 + 6C2) = 2/3 x3 + 3x2 + C 3) Cari ∫ (x3 + 2x)15 (3x2 + 2) dx Penyelesaian :

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.







Andaian g(x) = x3 + 2x maka g’(x) = 3x2 + 2. Jadi menurut teorema D ∫ (x3 + 2x)15 (3x2 + 2) dx = ∫ [g(x)] 15 g’(x) dx = [g(x)]16/16 + C = (x3 + 2x)16 / 6 + C 2. Pengantar untuk Persamaan Diferensial

Dalam pasal sebelumnya, ditulis ∫ f(x) dx = F (x) + C dan ini benar asalkan F’(x F’(x)) = f(x) f(x).. Dalam bahasa difer diferensial ensial F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx Apakah suatu persamaan diferensial itu? Metode 1 Bilamana Bilamana persamaan berbentuk berbentuk dy/dx = g(x), kita amati bahwa y harus berupa suatu anti turunan dari g(x), yakni y = ∫ g(x) dx. Contoh: y = ∫ 2x dx = x2 + C. Metode 2 Pikirkan dy/dx sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua ruas dari dy/dx = 2x dikalikan dengan dx, diperoleh dy = 2x dx selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan. ∫ dy = ∫ 2x dx y + C1 = x2 + C2 y = x2 + C2 – C1 y = x2 + C Masalah Gerak Ingat bahwa jika s(t), v(t) dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka v(t) = s’(t) = ds/dt a(t) = v’(t) = dv/dt = d 2s/dt2 Contoh soal: 1. Selesaikan persamaan diferensial dy/dx = (2x + 4x2) / y2 Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 0 dan y = 2. Penyelesaian: y2 dy = (2x + 4x2) dx jadi, ∫ y2 dy = ∫ (2x + 4x2) dx 1/3 y3 + C1 = x2 + 4/3 x3 + C2 y3 = 3x2 + 4 x3 + (3C2 – 3C1) y3 = 3x2 + 4 x3 + C y = 3√3x2 + 4 x3 + C syarat x = 0, y = 2 2 = 3√C 8=C Jadi y = 3√3x2 + 4 x3 + 8 kemudian untuk pengecekan : dy/dx = 1/3 (3x2 + 4x3 + 8 )-2/3 (6x + 12x2) = (2x + 4x2) / (3x2 + 4x3 + 8 )2/3







APLI KAS I TUR UNA N Maret 14, 2009 oleh ipitsopiyati

APLIKASI TURUNAN 1. Ma Maks ksim imum um dan dan Min Minim imum um

Misalkan kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menent menentukan ukan f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai nilai -nilai tersebut tersebut ada dan ingin mengetahui mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai nilai-nila -nilaii itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f , memuat titik C, kita katakana bahwa: 1. f (c) (c) adalah nilai maksimum f f pada pada S jika f (c)≥f (c)≥f (x) (x) untuk semua x di S 2. f (c) (c) adalah nilai minimum f f pada pada S jika f (c)≤f (c)≤f (x) (x) untuk semua x di S 3. f (c) (c) adalah nilai ekstrim f f pada pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum Teorema A (Teorema (Teorem a Eksisten Eksistensi si Maks-Mi Maks-Min). n). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b],

nilai maksimum dan nilai minimum. Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim :

maka f mencapai

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuat titk-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya I = [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. (Lihat Gambar B)







Jika c ad Jika adal alah ah ti tittik da dallam da darri I dimana f ’ tida dakk ad ada, a, di dise sebu butt c ti tittik si sing ngul ular ar.. Grafik f mempu mempunyai nyai sudut taja tajam, m, garis singgung vertikal. vertikal. Nilai Nilai-nila -nilaii ekstr ekstrim im dapat terjadi pada titik-titik singular. (Gambar D) walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.

Teorema B (Teorema (Teorem a titik kritis) .

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f (c) (c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu : i. titik ujung I ii. titik stasioner dari f (f’(c) = 0) iii. titik singular dari f (f’ (c) tidak ada) Mengingat teorema A dan B, untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I . Langkah 1 : Carilah titik-titik kritis dari f pada I Langkah 2 : hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.







soal : Carilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x 2 + 4x pada [-3, 1] Penyelesaian: Menurunkan fungsinya f’(x) = 2x + 4 Kemudian mencari titik kritis f’(x) = 0 2x + 4 = 0 X = -2 Berarti titik-titik kritis yang di dapat -3, -2, 1 maka : f(-3) = -3 f(-2) = -4 f(1) = 5 Jadi nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2) 2.Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :







3. f f monoton monoton murni pada I I jika jika ia naik pada I I atau atau turun pada I Teorema A (Teorema Kemonotonan) . Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I 1. Jika f’ (x) (x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f f naik naik pada I 2. Jika f’ (x) (x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f f turun turun pada I Turunan Pertama dan Kemonotonan Inga In gatt ke kemb mbal alii ba bahw hwaa tu turu runa nann per perta tama ma f’ (x) (x) me memb mber erii ki kita ta ke kemi miri ringa ngann da dari ri ga gari riss singgung f dititik x, kemudian jika f’ (x) (x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’ (x) (x) < 0,

garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)

Turunan Kedua dan Kecekungan

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung









(Teorema kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b). 1. Jika f’’ (x) (x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f f cekung cekung ke atas pada (a,b) 2. Jika f’’ (x) (x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f f cekung cekung ke bawah pada (a,b) Titik Balik Andaikan f kontinu di c, kita sebut (c, f (c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung f (c))

ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan. Gambar

soal :

Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun? Penyelesaian: Mencari turunan f f’(x) = 3x2 + 12x + 9 = 3 (x2 + 4x + 3) = 3 (x+3)(X+1)







Kita perlu menentukan ( x x +3) ( x x +1) > 0 dan ( x x +3) ( x x + 1) < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1, membagi sumbu xatas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapat f `( x x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f `( x x) < 0 pada selang tengah. Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1] Grafik (-3) = 3 f (-3) (-1) = -1 f (-1) (0) = 3 f (0) 3.Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f , memuat titik c. kita katakan bahwa : 1. f( c) c) nilai maksimum lokal f f jika jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) (c) adalah nilai maksimum f f pada pada (a,b)

∩

S

2. f (c) (c) nilai minimum lokal f f jika jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) (c) adalah nilai minimum f f pada pada (a,b)

∩

S







Teorema A (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal) .

yang memuat titik kritis c.

Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b)

1. Jika f’ (x) (x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’ (x) (x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f (c) (c) adalah nilai maksimum lokal f (x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’ (x) (x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), 2. Jika f’ (x) maka f (c) (c) adalah nilai minimum lokal f (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) (c) bukan nilai ekstrim lokal f . 3. Jika f’ (x) Teorema B (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f ’ dan f’’ ada pada setiap selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’ (c) (c) = 0 (c) < 0, f (c) (c) adalah nilai maksimum lokal f i. Jika f’’ (c) ii. Jika f’’ (c) (c) > 0, f (c) (c) adalah nilai minimum lokal f

titik dalam

soal :

Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x 2 – 8x + 7 pada (-∞,∞) penyelesaian: fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0 yakni x = 4 karena f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4) dank arena 2(x – 4)>0 untuuk x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai minimum lokal f, karena 4 adalah ad alah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.







4.Lebih Banyak Masalah Maks-Min

Masalah yang dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka., setengah tetutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika ita menerapkan mener apkan secara benar teori yang dikembangkan dikembangkan dalam pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global. Langkah-langkahnya: 1) Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesui untuk besaran-besaran kunci 2) Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut 3) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabelvariabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x







Penyelesaian :

`( x f `( x) = 3 x2 – 6x = x(3 x – 6) x=0 dan x= 2 (2) = 0 f (2) f (0) = 4

fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2) 5.Penerapan Ekonomik

Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan. Untuk memproduksika memproduksikann dan memasarkan x satuan satuan,, ABC akan mempu mempunyai nyai biaya total C(x). Ini bia biasan sanya ya ju juml mlah ah da dari ri bi biay ayaa te teta tapp di dita tamb mbah ah bi biay ayaa va vari riab able le.. Ko Konse nsepp da dasar sar un untu tukk seb sebua uahh perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya. P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x)

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan satuan-satuan diskrit. diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x) pada









Pada saa Pada saatt x = 200 2000. 0. ini disebut disebut bia biaya ya mar marjijinal nal.. Kit Kitaa men mengena genalny lnyaa seb sebagai agai dc/dx, dc/dx, tur turunn unn C terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx. soal :

andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x1/2rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 4000 penyelesaian :







X > M → │f(x) - L│ < ε Definisi:

(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang x→ -∞ berpadanan sedemikian sehingga X < M → │f(x) – L│ < ε Definisi:

(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan x→c+ positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga 0 < x – c < δ→ f(x) > M Hubungan Terhadap Asimtot

Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b







Buat analisis pendahuluan sebagai berikut : a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan. b. Uji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?) c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat. d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titk kritis dan untuk mengetahui tempattempat grafik naik dan turun. e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal. f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik. g. Cari asimtot-asimtot. Langkah 2 : Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik) Langkah 3 : Sketsakan grafik. soal :

Sketsakan grafik f(x) = (2x5 – 30x3)/108 penyelesaian :







kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) = (40x3 -180x)/108 = {x(40x2-180)}/108 kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0 f(-2.1) = 1.8 f(2.1) = -1.8







(b) – f (a) / b – a = f’ (c) (c) f (b) f (a) atau secara setara, dimana (b) – f (a) = f’ (c) (c) (b-a) f (b) f (a) Teorema B

Jika F’ Jika F’(x (x)) = G’ G’(x (x)) unt untuk uk se semu muaa –x dal dalam am (a, (a,b) b),, ma maka ka te terd rdap apat at ko konst nstan anta ta C sed sedem emik ikia iann sehingga F(x) = G(x) + C Untuk semua x dalam (a,b) soal: Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x2 – 3 pada [1,3]

penyelesaian : f’(x) = 2x dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4 jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2 jawaban tunggal adalah C = 2

Integral Tak Tentu

Recommend Documents