BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
∫ () pada interval [a, b] yang terbatas. Selanjutnya ∫ ( ) = ∑ () ada f terbatas pada Pada bagian ini kita mendefenisikan
interval [a,b]. Sementara banyak integram pada titik-titik terentu tidak terdefenisi atau tidak terbatas, tetapi titik tersebut berada pada interval, misalnya integram
∫ ( ()
tidak dapat ditentukan, karena pada saat x=2, integram
maendekati maendekati +∞.
Pada bagian ini kita memperluas konsep integral terentu yang didefenisikan oleh Rienmann yaitu integral tertentu yang mencakup. a. Integral dengan batas integrasi tak terhingga. b. Integtral yang sama integram menjadi tak terbatas pada interval pengintegrasian. Integral yang memenuhi ciri a atau b disebut integral tak wajar (improper integrals). Pengertian Integral Tak Wajar
∫ () disebut integral tidak sebenarnya/ integral tidak wajar, bila: (i). Dalam ada ada yang menyebabkan f(x) diskontinu. (ii). Batas-batas Batas-batas atau b = Kemungkinan-kemungkinan: 1). Diskontinu di x=c, a < c < b 2). Diskontinu diatas bawah x = a 3). Diskontinu di x= b
1
4). Batas atas tak terhingga. 5). Batas bawah = -
1.2 Identifikasi Masalah Bagaimanakah pemecahan pemasalahan integral yang berkaitan dengan integral tak wajar?
1.3 Tujuan Penulisan a. Mengetahui prinsip dasar dari integral tak wajar b. Mengaplikasikan konsep integral tak wajar kedalam beberapa contoh soal. c. Mendalami teknik pengintegralan dengan integral tak wajar.
1.4 Mamfaat penulisan Penulisan ini bermamfaat untuk meningkatkan kemampuan belajar dibidang teknik pengintegralan terutama dibidang integral tak wajar
2
BAB II TINJAUAN TEORITIS
2.1 Pengertian Integral Tak Wajar
∫ () disebut integral tidak sebenarnya/ integral tidak wajar, bila: (i). Dalam ada yang menyebabkan f(x) diskontinu. (ii). Batas-batas atau b = Kemungkinan-kemungkinan: 1). Diskontinu di x=c, a < c < b
∫ () ∫ () ∫ () , diskontinu di x = 2 Contoh : ∫ () Cara penyelesaian :
Jawab :
∫ () ∫ () ∫ () = = = -1 ½ - 2/0 =+
Sedangkan bila dikerjakan tanpa limit
∫ () ternyata terjerumus. (Wikaria Gazali, Soedadyatmodjo : 2007) 2). Diskontinu diatas bawah x = a Cara penyelesaian :
∫ () ∫ () 3
∫ diskontinu di x =1
Contoh:
∫ ∫ () = = +
Jawab.
3). Diskontinu di x= b
∫ () ∫ () = diskontinu di x=2 Contoh : ∫ √ Cara penyelesaian
Jawab :
√
√
=
=
4). Batas atas tak terhingga.
() ∫ () ∫ Contoh : ∫ Cara penyelesaian:
Jawab :
=
4
Cara penyelesaian : ∫ () ∫ ( ) 5). Batas bawah = -
Contoh:
∫ ∫ = ( ) = =
Catatan : (i). Cara-cara penyelisaian dengan limit tersebut dengan sendirinya bila harga limit ada. (ii). Cara penyelesaian biasa (tanpa limit), mungkin juga dapat digunakan, seperti contoh-contoh pada kemungkinan 2,3,4,5, asal hati-hati dan konsisiten, terutama dalam melakukan operasi-operasi bilangan!. Dalam hal ini yang dikatakan integral tak wajar. Sebaiknya menggunakan limit. (Wikaria Gazali, Soedadyatmodjo : 2007)
5
BAB III METODE PENULISAN
3.1 Objek penulisan Objek penulisan mencakup gambaran/ penjelasan,dan penyelesaian dari contoh soal yang berkaitan dengan integral tak wajar 3.2 Metode Pengumpulan Data
Dalam penulisan makalah ini, penulis secara umum mendapatkan bahan tulisan dari berbagai referensi, baik dari tinjauan kepustakaan berupa buku – buku atau dari sumber media internet yang terkait dengan Integral Tak Wajar. 3.4 Metode Analisis Penyusunan makalah ini berdasarkan metode deskriptif analisis, yaitu dengan mengidentifikasi permasalahan berdasarkan fakta dan data yang ada, menganalisis permasalahan berdasarkan pustaka dan data pendukung lainnya, serta mencari alternatif pemecahan masalah yang berkaitan dengan Integral Tak Wajar.
6
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Integral tak Wajar
∫ () pada interval [a, b] yang terbatas. Selanjutnya ∫ ( ) = ∑ () ada f terbatas Pada bagian ketiga kita mendefenisikan
pada interval [a,b]. Sementara banyak integram pada titik-titik terentu tidak terdefenisi atau tidak terbatas, tetapi titik tersebut berada pada interval, misalnya integram
∫ ( ()
tidak dapat ditentukan, karena pada saat x=2, integram
maendekati +∞.
Pada
bagian
ini
kita
memperluas
konsep
integral
terentu
yang
didefenisikan oleh Rienmann yaitu integral tertentu yang mencakup. c. Integral dengan batas integrasi tak terhingga. d. Integtral yang sama integram menjadi tak terbatas pada interval pengintegrasian. Integral yang memenuhi ciri a atau b disebut integral tak wajar (improper integrals). 1. Integral Dengan Batas-batas Tak Terhinggga
], maka kita tentukan intergral tak wajar ∫ () sebagai limit yaitu ∫ () = ∫ (). Jika f kontinu pada interval [a,
∞
Contoh 1. Diberikan f(x) =
pada interval [0,
∞],
tentukan
∫ ∞
Penyelesaian :
∫ = ∫ = ∫ ( ) ∞
7
= ( ) =
=1 Secara lengkap daerah yang dibatasi fungsi f(x) =
, dapat dilihat pada gambar berikut:
, pada interval
[0,
Jika f kontinu pada interval (-∞ ], maka dapt kita tentukan integral tak
wajar
∫ () sebagai limit yaitu : ∫ () = ∫ ()
Contoh 2 Evaluasi
∫ ∞
Penyelesaian :
∫ = ∫ = ∞
8
=
) (
=1 5.1.1 Defenisi Misalkan f kontinu pada interval
( , ) jika ∫ () dan ∫ () ∞
∞
∞
∞
ada atau konvergen maka
∫ () = ∫ () ∫ () ∞
∞
Catatan:
a. Jika salah satu limit integral pada ruas kanan tidak ada nilainya maka integral tak wajar tak wajar pada ruas kiri kita katakan divergen.
b. Jika f nonnegatif pada interval
( , ), maka ∫ () menyatakan ∞
∞
∞
∞
luas luas daerah dibawah kurva y = f(x) Contoh 3. Evaluasi
∫ = ?
Penyelesaian:
∫ = ∫ + ∫ + ∫ = ∫ = + [ = + [ = = 9
Karena f(x) =
( , ) maka ∞
∞
integral
∫
menyatakan luas daerah arsiran kurva f(x). Contoh 4. Evaluasi
∫
Penyelesaian:
∫ + ∫ ∫ = * + * + = * + * + Karena kedua limit diruas kanan tidak terdefenisi di
, maka ∫ divergen.
Secara geometrik, integral tak wajar ini merupakan suatu luas yang tak terbatas antara garis f(x) = x, sumbu x, garis x=a dan garis x=b, dimana
.
Contoh 5. Dalam teori elegtromagnetik, potensial magnetik disebuah titik, pada garis sirkulasi gulungan dinyatakan dengan
∫ ( ) . dimana N, l, r,
k, dan a adalah konstanta. Tentukan u ? Penyelesaian:
∫ ( )
=
∫ ( )
10
Kita gunakan trigonometri.
√
x
r
u
) ( = ∫ = ∫ ( ) =
∫
=
√ * – + = √ √ ] = √ =
Dengan demikian diperoleh u=
] √
5.1.2 Teorema
11
(tes banding) Misalkan f dan g adalah dua fungsi yang kontinu dan
() ()
], mak berlaku i. Jika ∫ () konvergen maka ∫ ( ) konvergen ii. Jika ∫ () divergen maka ∫ () divergen. Contoh: Selidikilah apakah
∫ adalah konvergen.
Penyelesaian:
√ ∫ √ ∫ √ = √ = =2
√ dan ∫ √ ada maka berdasarkan juga konvergen. teorema 5.1.2 (i) disimpulkan ∫ Karena
5.2 integral tak wajar dengan integran tak terhingga Terdapat tiga kemungkinan suatu integran tak terhingga pada suatu selang terbatas yaitu tak terhingga pada titik ujung kiri selang, tak terhingga pada titik dalam selang dan, dan tak terhingga pada titik ujung selang kanan.
12
i). Integran tak terhingga pada titik ujung kiri selang. Jika f kontinu pada interval (a,b], tetapi f bernilai tak terhingga pada x= a maka
∫ (), asalkan limit pada ruas kanan ada dan ∫ ()
terhingga. Contoh
∫ ()
Evaluasi
Penyelesaian:
∫ ∫ () ()
( ) = 3 ( ) ]
=
=3
= 3,78 ii). Integran tak terhingga pada titik ujung kanan selang jika f kontiniu pada interval [a, b), tetapi f bernilai tak terhingga pada x=b maka
∫ () asalkan limit pada ruas kanan ada dan ∫ ()
terhinggga. Contoh 2 Evaluasi
= ? ∫ ()
13
Penyelesaian:
= ∫ ∫ () () =
( )
=3[(
)
= 3(1) =3 iii). Integran tak terhingga pada titik dalam sela ng jika f kontiniu pada interval [a, b], kecuali di c dengan a < c < b, maka
∫ () asalkan limit kedua integal pada ∫ () ∫ () ruas kanan ada dan terhingga. Contoh 3 Evaluasi
= ? ∫ ()
Penyelesaian :
= ∫ ∫ ∫ () () () ( ) ( ) = + = 3 [ ) + 3 [ () + = 3 + 3,78 = 6,78
14
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan Integral Tak Wajar disebut integral tidak sebenarnya/ integral tidak wajar, bila:
ada yang menyebabkan f(x) diskontinu. (ii). Batas-batas atau b = (i). Dalam
Kemungkinan-kemungkinan: a. Diskontinu di x=c, a < c < b Cara penyelesaian :
∫ () ∫ () ∫ ()
b. . Diskontinu diatas bawah x = a Cara penyelesaian :
∫ () ∫ ()
c. Diskontinu di x= b Cara penyelesaian
∫ () ∫ () =
d. Batas atas tak terhingga.
() ∫ () ∫ e. Batas bawah = - Cara penyelesaian : ∫ ( ) ∫ ( ) Cara penyelesaian:
5.2 Saran Saran penulis untuk pembaca, untuk merujuk kembali ke text book yang memuat data-data yang lebih lengkap mengenai integral tak wajar.
15
DAFTAR PUSTAKA
Gazali, Wikaria dan Soadadyatmodjo.2007. Kalkulus.Graha Ilmu:Yogyakarta Tim Dosen matematika. 2013. Matematika Umum II . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam: Medan
16
