Tugas Mata kuliah Komputer PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL
Disusun Oleh :
Nama
: Muh. Miftah
NIM
: S 850208016
Pengampu
: Drs. Sarngadi Palgunadi Yohanes, MSc.
Aspek
Skor Max
Originalitas
3
Kedalaman Materi
3
Peranan Maple
2
Kebenaran Konsep
2
Total
10
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PASCA SARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
Nilai
BENTUK
TAK TENTU DAN INTEGR AL AL TAK WAJA R
A. Tujuan Pembelajaran Tujuan dari pembelajaran materi Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar ini antara lain: a. mahasiswa dapat lebih menguasai materi mengenai Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar b. mahasiswa
dapat
membedakan
bentuk
limit
tak-tentu
dan
dapat
menyelesaikan bentuk integral tak wajar. c. mahasiswa dapat menggunakan program maple dalam menentukan bentuk limit dan bentuk integral.
B.
Alokasi Waktu Alokasi waktu untuk pembelajaran materi Bentuk Tak Tentu dan
Integral Tak Wajar ini adalah 3 x 2 jam pelajaran.
C. Materi Pembelajaran Bentuk Tak Tentu dan d an Integral Tak Wajar 1. Bentuk Tak-Tentu Jenis 0/0 2. Bentuk Tak-Tentu yang Lain 3. Integral Tak-Wajar : Batas Tak-Terhingga 4. Integral Tak-Wajar : Integran Tak-Terhingga
1. Bentuk
Tak Tentu Jenis 0/0
Di bawah ini ada tiga masalah limit limit yang telah kita kenal, yaitu
lim xp 0
sin x x
,
lim x p 3
x 2 x
2
9
x 6
,
lim
f ( x ) f ( a )
x p a
x a
Limit yang pertama telah dibahas dalam pasal 3.4 dan limit yang ketiga sebenarnya mendefinisikan turunan f ' (a ) . Ketiga limit tersebut memiliki penampilan yang sama, yaitu ada hasil bagi dan dalam ketiga limit itu pembilang dan penyebut berlimit nol. Kalau kita menghitung limit itu dengan menggunakan aturan penarikan limit untuk hasil bagi, kita akan memperoleh jawaban yang tak ada artinya, yaitu 0/0. memang aturan tersebut tak dapat digunakan disini oleh karena aturan itu hanya berlaku apabila limit penyebut bukan 0. kita tidak mengatakan bahwa limit tersebut diatas tidak ada. Kita hanya mengatakan bahwa limit tersebut tidak dapat ditentukan dengan aturan hasil bagi limit. Penulisan limit dalam program maple dapat d ituliskan sebagai berikut : Misal kita akan menulisakan bentuk-bentuk limit di atas ke dalam program maple, maka perintah yang kita tuliskan dalam maple adalah : > Limit(sinx/x,x=0); Maka hasil yang akan muncul adalah lim x p 0
sin x x
> Limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3); Maka hasil yang akan muncul adalah lim x p 3
x 29 x 2 x 6
> Limit((f(x)-f(a))/(x-a),x=a); Maka hasil yang akan muncul adalah lim x p a
f ( x ) f ( a ) x a
Anda tentunya ingat bahwa dengan menggunakan geometri, kita dapat membuktikan bahwa
lim (sin x ) x
!
xp 0
pemaktoran dalam aljabar, kita peroleh
1. Di lain pihak, dengan menggunakan
lim
x p 3
x 2 x
2
9
!
x 6
lim x p 3
( x 3)( x 3) ( x 3)( x 2)
!
lim x p 3
x 3
!
x 2
6 5
Tentunya akan lebih baik bila ada aturan baku yang dapat dipakai untuk menghitung limit-limit demikian. Memang ada, yaitu suatu aturan yang lazim dinamakan Aturan l¶Hôpital ( baca: loupital).
ATUR AN L¶HÔPITAL Pada tahun 1696, Guillaume Francois Antoine de l¶Hôpital menerbitkan buku pertama tentang kalkulus diferensial; di dalamnya ada aturan di bawah ini, yang ia peroleh dari gurunya bernama Johann Bernoulli. Teor ema A
(Aturan l¶Hôpital untuk bentuk 0/0). Andaikan lim f ( x) ! lim g ( x) ! 0 . x p u
x p u
Apabila lim[ f ' ( x ) / g ( x )] ada, baik ia terhingga atau tak-terhingga ( jadi bilangan terhingga L, , atau -), maka lim
x p u
f ( x) g ( x )
!
lim x p u
f ' ( x) g ' ( x) -
+
Di sini,u dapat mewakili sebarang simbol a,a ,a ,- atau +.
Sebelum kita mencoba membuktikan teorema tersebut, terlebih dahulu akan kita berikan beberapa contoh. Perhatikan bahwa dalam aturan l¶Hôpital, suatu limit dapat diganti dengan limit yang lain lebih sederhana dan tidak lagi berbentuk 0/0.
Contoh 1 Tentukan lim x
P enyelesaian
3
x 2 x
2
9
x 6
dan lim x p 2
x 2 x
2
3 x 10
4 x 4
Kedua limit berbentuk 0/0. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan
aturan l¶Hôpital sebagai berikut,
lim x p3
x x
lim
x p 2
2
2
x 2 x 2
9
!
x 6
x p3
3 x 10
lim
!
4 x 4
2 x 2 x 1
lim
x p 2
!
6 5
2 x 3
! g
2 x 4
Limit yang pertama telah dihitung dengan menguraikan penyebut dan pembilang dalam bab permulaan tentang limit. Jelas bahwa jawabannya sama dengan jawaban di atas, yang diperoleh dengan aturan l¶Hôpital. Kita juga dapat menyelesaikan pembuktian limit di atas dalam program maple, langkah pertama yang kita lakukan adalah terlebih dahulu menuliskan limit tersebut, > Limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3); lim x p 3
x 2 9 x 2 x 6
Selanjutnya kita dapat langsung menentukan nilai dari limit di atas, yaitu dengan menuliskan > limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3); 6 5
Hasil dari proses manual dan program maple sama yaitu 6/5. Dan untuk > Limit((x^2+3*x-10)/(x^2-4*x+4),x=2); lim x p 2
x 2 3 x 10 x2 4 x 4
Hasilnya adalah > limit((x^2+3*x-10)/(x^2-4*x+4),x=2);
und e f ined
Jadi nilai dari limit tersebut adalah
Contoh 2 Tentukan lim x p 0
P enyelesaian
tan 2 x ln(1 x )
Pembilang dan Penyebut menuju 0.Sehingga menurut aturan l¶Hôpital
kita peroleh, lim x p 0
tan 2 x
!
ln(1 x )
lim
2 sec 2 2 x
x p 0
!
1 (1 x )
2 1
!
2
Seringkali f ' ( x ) / g ' ( x ) juga berbentuk 0/0. Oleh karena itu kita dapat lagi menggunakan aturan l¶Hôpital. Dalam program maple dapat ditulis; > Limit((tan2*x)/ln(1+x),x=0); lim x p 0
tan2 x ln( 1 x )
Hasilnya adalah > limit((tan(2*x))/ln(1+x),x=0);
2
Jadi nilai dari limit tersebut adalah 2
Contoh 3 Tentukan lim xp 0
P enyelesaian
sin x x x
3
Kita dapat menggunakan aturan l¶Hôpital berturut-turut tiga kali,
sebagai berikut, lim
x p 0
sin x x x 3
!
lim
cos x 1 3 x 2
x p 0
!
lim
6 x
xp 0
!
lim x p 0
!
sin x
cos x 6
1 6
Walaupun Aturan l¶Hôpital mudah digunakan, namun kita harus hati-hati dalam pemakaiannya, khususnya harus diteliti benar apakah persyaratan yang diminta
terpenuhi. Apabila tidak, kiya dapat melakukan kesalahan-kesalahan seperti dalam contoh di bawah ini. Untuk penyelesaian di atas dalam program maple, langkah pertama yang kita lakukan adalah terlebih dahulu menuliskan limit tersebut, > Limit((sinx-x)/x^3,x=0); lim
sin x x x 3
x p 0
Maka hasil yang akan muncul adalah > limit((sin(x)-x)/x^3,x=0); -1 6
Jadi nilai dari limit tersebut adalah 2
TEOREMA
NILAI R ATA-R ATA
CAUCHY Bukti mutakhir Aturan l¶Hôpital
didasarkan pada Teorema Nilai Rata-rata dari Augustin-Louis Cauchy(1789-1857). Teor ema
B
(Teorema
Nilai
R ata-rata
Cauchy). Andaikan f dan g fungsi yang
terdiferensialkan pada selang (a,b) dan kontinu pada selang [a,b]. apabila g ¶( x) 0 untuk semua x di (a,b), maka ada bilangan c dalam selang (a,b) sehingga f (b) f (a ) g (b) g (a )
!
f ' (c) g ' (c)
Perhatikan bahwa teorema tersebut berubah menjadi Teorema Nilai Rata-rata yang lebih kita kenal apabila g(x)=x. (Teorema 4.8A). Bukti Bentuk
di atas mendorong kita untuk menggunakan Teorema Nilai Rata-rata
pada pembilang dan penyebut di ruas kiri. Kita akan memperoleh (1)
f (b)- f (a)=f ¶ (c1)(b-a) dan
(2)
g (a)-g( b )=g ¶ (c2)(b-a)
Untuk nilai c1 dan c2 dalam selang (a,b). kalau c1 dan c2 sama, yang tentunya tidak perlu sama sekali, kita dapat membagi persamaan pertama dengan yang kedua dan terbuktilah Teorema B di atas. Walaupun c1 dan c2 tak sama, dari persamaan (2), oleh karena g(b)-g(a) 0, karena kenyataan yang kelak kita butuhkan (hal ini mengikuti dari hipotesis yang menyatakan, bahwa g ¶ (x) 0 untuk semua x di (a,b). Dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata (Teorema 4.8A) kita telah menggunakan fungsi-fungsi s. jika kita coba mengambil bukti-bukti sebelumnya, maka kita diarahkan ke pilihan berikutnya untuk s(x). misalkan s( x) ! f ( x) f (a)
f (b) f (a) g (b) g (a )
[ g ( x) g (a )]
Tidak ada pembagian oleh nol yang tercakup, karena kita sejak awal telah menjelaskan, bahwa g(b)-g(a) 0. Perhatikan bahwa s(a) =0=s(b). Juga s kontinu pada [a,b] dan dapat dideferensialkan pada (a,b); ini mengikuti dari fakta yang beresuaian untuk f dan g . Jadi kita dapat menggunakan Teorema Nilai Rata-rata terhadap x, maka ada bilangan c dalam selang (a,b) sehingga: s ' (c)
!
s (b ) s ( a ) ba
!
00 ba
!
0
tetapi s (c) ! f (c )
f (b) f (a) g (b) g (a)
g (c ) ! 0
atau f ' (c ) g ' (c )
!
f (b) f (a) g (b) g (a)
yang kita inginkan untuk membuktikannya.
BUKTI
ATUR AN L¶HÔPITAL
Bukti Acu
kembali ke Teorema A, yang sebenarnya menyatakan beberapa teorema
sekaligus. Kita akan membuktikan kasus untuk L terhingga dan lim kita maksud adalah lim . x p a
Menurut apa yang diketahui di dalam Teorema A, adanya lim [ f ( x) / g ( x )] x p a
mengandung pula sifat adanya f ¶ (x) dan g ¶ (x) paling sedikit dalam lingkungan (a,b] dari a dan bahwa g ¶ (x)0. Di a kita tidak mengetahui apakah f dan g ada; kita hanya mengetahui bahwa lim f ( x) ! 0 dan lim g ( x ) ! 0 . Jadi kita dapat mendefinisikan x p a
x p a
(atau apabila perlu mendefinisikan kembali) di a. Ini semua perlu agar f dan g memenuhi syarat-syarat dalam Teorema Nilai Rata-rata Cauchy pada selang [a ,b]. Dengan demikian maka ada c dalam (a ,b) sehingga f (b) f (a )
f ' (c)
!
g (b) g (a )
g ' (c)
oleh karena f(a)=0= g(a), maka f (b)
g ' (c)
g (b)
f ' (c)
!
Apabila b p a , jadi juga c p a maka kita peroleh lim bp a
f (b)
!
g (b)
lim c pa
f (c ) g (c)
ini sesuai dengan yang harus dibuktikan. Bukti yang serupa berlaku untuklimit kiri, jadi dengan demikian terbukti pula untuk limit yang dua arah. Bukti untuk a atau L yang tak terhingga agak sulit dan tidak akan kita buktikan di tempat ini.
2.
Bentuk
Tak-Tentu yang Lain
Dalam penyelesaian contoh 6, pasal yang lalu, kita berjumpa dengan persoalan limit sebagai berikut. lim
x p g
x e
x
Dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut; > limit(x/e^x,x=infinity); lim x p g
x x
e
Bentuk limit ini tergolong bentuk lim f ( x ) g ( x ) , yang memiliki sifat bahwa x p g
pembilang dan penyebut menuju tak-terhingga. Bentuk tersebut dinamakan bentuk tak-tentu dari jenis /. Ternyata bahwa Aturan l¶Hôpital juga berlaku dalam hal ini. Jadi, lim
x p g
f ( x)
!
g ( x)
lim
x p g
f ' ( x ) g ' ( x )
Bukti yang tepat agak rumit. Akan tetapi ada suatu cara yang meyakinkan kita bahwa hasilnya memang benar. Andaikan bahwa f (t ) dan g (t ) menunjukkan kedudukan dua kendaraan pada sumbu-t pada saat t . Kedua kendaraan itu, yang kita sebut kendaraan- f dan kendaraan- g sedang dalam perjalanan tanpa akhir dengan laju masing-masing f ¶(t ) dan g ¶(t ). Andaikan bahwa lim t pg
f (t )
!
g (t )
L
ini berarti bahwa pada suatu saat tertentu laju kendaraan- f menjadi L kali laju kendaraan- g . Jadi masuklah akal mengatakan bahwa pada suatu saat, kendaraan- f akan menempuh jarak L kali lebih jauh. Dalam rumus lim t p g
f (t )
!
g (t )
L
Uraian diatas tentulah bukan bukti secara matematika. Mengenai rumus di atas, ada teorema sebagai berikut. Teor ema A
Andaikan lim f ( x )
!
x p u
lim g ( x) ! g. Jika lim? f ( x ) g ( x ) A ada (terhingga atau x p u
tak terhingga), maka lim
f ( x)
!
lim
f ' ( x)
g ( x ) x u g ' ( x) - + Di sini u dapat mewakili sebarang simbol a,a ,a ,- atau +. x p u
BENTUK
p
TAK-TENTU / Kita gunakan Teorema A, untuk menyelesaikan
contoh 6, pasal yang lalu.
Contoh 1 Tentukan lim x p 0
P enyelesaian
ln x cot x
Apabila x
+
0 , maka x
dan cot x
í
, dengan demikian kita dapat
menggunakan Aturan l¶Hôpital, sehingga lim x p 0
ln x
!
cot x
« 1 x » 2 ¼ - csc x ½
lim ¬
x p 0
Limit terakhir ini masih tetap tentunya. Walaupun demikian kita tidak akan menggunakan Aturan l¶Hôpital, sebab bentuk tersebut akan menjadi makin rumit. Untuk menghitung limit terakhir itu, kita ubah sebaga i berikut 1 x
!
2
sin 2 x
!
x
csc x
sin x
sin x x
sehingga lim
x p 0
ln x cot x
!
« -
lim ¬ sin x
x p 0
sin x »
! 0.1 ! 0 x ¼½
Jika ditulis pada program maple adalah > Limit(ln(x)/cot(x),x=0); lim x p 0
ln( x ) cot ( x )
Dan hasilnya adalah > limit(ln(x)/cot(x),x=0); 0 BENTUK
TAK-TENTU 0- DAN -. Andaikan A( x) 0, tetapi B( x) .
Bagaimana dengan hasilkali A( x) B( x)? Apakah akan menuju nol, ataukah tak terhingga atau akan memiliki limit yang lain? Ini semua tergantung pada masingmasing A( x) dan B( x) caranya fungsi-fungsi ini menuju nol maupun tak terhingga. Di sini pula Aturan l¶Hôpital dapat membantu kita menentukan limit fungsi A( x) B( x) setelah kita mengubahnya menjadi bentuk 0/0 atau /. 1 ¸ ¨ x ¹. ª x 1 ln x º
Contoh 2 Tentukan lim ©
x p1
P enyelesaian
Suku pertama bertumbuh tanpa batas: demikian juga suku kedua. Kita
katakan bahwa limit tersebut memiliki bentuk tertentu -. Kembali pertentangan hebat terjadi. Aturan l¶Hôpital akan menentukan hasilnya, tetapi hanya setelah kita menuliskan kembali persoalantersebut dalam bentuk yang memungkinkan aturan ini berlaku. Pada kasus ini, kedua pecahan haruslah dikombinasikan, prosedur yang akan mengubah persoalan tersebut menjadi dalam bentuk 0/0. PenerapanAturan l¶Hôpital dua kali akan menghasilkan 1 ¸ x ln x 1 ¨ x ¹ ! lim 1 x 1 ln x º x 1 ( x 1) ln x ª
lim ©
x p
p
!
lim
x p1
!
x ln x
!
x 1 x ln x
lim
x p1
lim
xp1
x.1 x ln x 1 ( x 1)(1 x ) ln x
1 ln x 2 ln x
!
1 2
Dapat juga di tulis dalam program maple sebagai berikut > Limit((x/(x-1))-(1/ln(x)),x=1); lim x p 1
x x 1
1 ln( x )
Maka hasil yang diperoleh adalah > limit((x/(x-1))-(1/ln(x)),x=1); 1 2 BENTUK
TAK-TENTU 0 0, 0, 1 Sekarang kita akan membahas bentuk tak-tentu
jadi eksponen. Cara yang kita pakai ialah menulis bentuk tak-tentu tersebut sebagai logaritma. Kemudian Aturan l¶Hôpital kita gunakan pada bentuk logaritmaini.
Contoh 3 Tentukan lim ( x 1) cot x x p 0
P enyelesaian
maka
Bentuk limit tersebut adalah 1 yang tak-tentu. Andaikan y=( x+1)
cot x
ln y
!
cot x ln( x 1)
!
ln( x 1) tan x
dengan menggunakan Aturan l¶Hôpital bentuk 0/0, kita peroleh, 1 lim ln y
x p 0
!
lim
x p 0
ln( x 1)
!
tan x
lim x 2 1 x 0 sec x p
ln y
Kini y=e
!
1
x
, dan oleh karena fungsi eksponensial f ( x)=e adalah kontinu,maka lim y x p0
!
lim exp(ln x) ! exp lim ln y xp 0
x p0
exp1 !
!
e
Jika dikerjakan dalam program maple, maka hal yang dilakukan adalah > Limit((x+1)^cot(x),x=0); lim ( 1 x )
cot( x )
x p 0
Dan hasil yang muncul, sebagai berikut; > limit((x+1)^cot(x),x=0);
e
IKHTISAR Kita telah menggolongkan beberapa persoalan limit sebagai bentuk tak0
0
tentu, dengan menggunakan tujuh buah simbol 0/0, /, 0., -, 0 , , dan 1 . Masing-masing bentuk melibatkan persaingan kekuatan yang berlawanan, yang berarti bahwa hasilnya tidak jelas terluhat. Akan tetapi, dengan bantuan Aturan l¶Hôpital, yang hanya diterapkan secara langsung pada bentuk 0/0 dan /. Kita biasanya dapat menentukan harga limit yang tepat. Terdapat banyak kemungkinan lain yang misalnya dilambangkan oleh 0/, /0, +, .,0, dan . Mengapa yang ini tidak kita sebut bentuk tak-tentu? Karena pada tiap kasus ini, ga ya-gaya itu saling membantu, bukannya bersaing.
3. Integral Tak-Wajar (Improre), Batas Tak Hingga
Dalam mendefinisikan
´
b
a
f ( x )d x , telah diandaikan bahwa selang [a,b] terhingga.
Walaupun demikian, banyakpenerapan integral tentu dalam fisika, ekonomi dan teori peluang yang menghendaki a atau b (atau keduanya) menjadi tak-terhingga. Oleh karena itu, kita harus memberikan arti pada lambang seperti
´
g
0
1 1 x
´
d x , 2
1
xe
x2
´
d x ,
g
g
x
2
e
x2
d x
g
Integral demikian dinamakan integral tak wajar dengan batas pengintegralan yang tak terhingga. Penulisan integral dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut : Misal kita akan menulisakan bentuk-bentuk integral di atas ke dalam program maple, maka perintah yang kita tuliskan dalam maple adalah : Untuk bentuk integral pertama > Int(1/(1+x^2),x=0..infinity); g
µ 1 ¶ d x ¶ 2 ¶ 1 x ¶ ·0 Untuk bentuk integral kedua > Int(x*e^(-x^2),x=0..infinity); g
( µ ¶ x e ¶ ·0
2 x )
d x
Untuk bentuk integral ketiga > Int(x^2*e^(-x^2),x=0..infinity); g
µ 2 ( ¶ x e ¶ ·0
2 x )
d x
SATU BATAS TAK TER HINGGA Integral
´
b
0
e
x
d x mempunyai arti yang jelas
bagaimana pun besarnya nilai b. malahan kita dapat menghitungnya, sebagai berikut.
´
b
x
e
0
d x
!
´
b
e
x
( d x )
0
?
!
e
A
x b 0 !
1 e
b
Oleh karena lim(1 e b ) ! 1, kita dapat mendefinisikan
bp g
´
g
e
x
0
d x
!
1
Di bawah ini kita cantumkan definisi yang umum. Definisi
´
b
´
g
g
a
f ( x ) d x
f ( x) d x
lim
!
´
b
a p g a !
´
lim
b
bpg a
f ( x )d x
f ( x ) d x
Apabila limit pada ruas kanan ada dan bernilai terhingga, kita katakan bahwa integral tak wajar yang bersangkutan konvergen dan memiliki nilai yang terhingga itu. Jika tidak, integral disebut divergen.
Contoh 1 Tentukan, jika mungkin,
´
1
xe
x2
g
d x
P enyelesaian
´
1
a
xe
x 2
d x
!
1 2
´
1
e
x 2
a
« 1 ( 2 xd x ) ! ¬ e - 2
x 2
» ¼ ½a
1
Maka,
´
1
xe
g
x 2
d x
!
« 1 e 2 -
lim ¬
a p g
1
1 2
e
a2
1 » ! ¼½ 2e
Kita katakan bahwa integral tak-wajar di atas konvergen dengan bernilai -1/2e. Kita juga dapat mengerjakan perhitungan integral diatas dengan menggunakan program maple, integral diatas bila ditulis dalam pro gram maple adalah; > Int(x*exp(-x^2),x=(-infinity)..(-1));
-1
( µ ¶ x e ¶ ·g
2 x )
d x
Hal pertama yang dilakukan adalah memisalkan fungsi rasional diatas dengan f (x), yaitu; > f(x):=x*exp^(-x^2); f ( x ) : x exp
2 ( x )
Kemudian mengintegralkan f (x), > int(x*exp^(-x^2),x); 1 exp
2 ( x )
2 ln( exp )
Contoh 2 Tentukan jika mungkin
´
g
0
sin xd x
P enyelesaian
´
b
g
0
sin xd x
!
´ sin xd x
lim
!
bp g 0 !
b
lim? cos x A0 bpg
lim?1 cos b A bp g
Limit terakhir ini tidak ada, jadi integral tak-wajar diatas adalh divergen. Perhatikan arti geometri integral
´
g
0
sin xd x itu untuk dapat memahami hasil tersebut.
Pengerjaan dalam program maple adalah; > Int(sin(x),x=0..infinity); g
µ ¶ sin( x ) d x ·0
K EDUA
BATAS
INTEGR AL TAK TER HINGGA Kita mulai dengan definisi
berikut. Definisi 0
Apabila
´ f ( x)d x
g
´ f ( x)d x
dan
g
konvergen, maka dikatakan
0
g
g
konvergen dengan nilai 0
g
g
´ f ( x)d x ´ f ( x)d x ´ f ( x)d x !
g g
´ f ( x)d x
g
0
PAR ADOKS CORONG
GABR IEL
Andaikan kurva y
!
1 / x pada selang [1,)
diputar mengelilingi sumbu x. maka terbentuklah suatu permukaan yang disebut corong Gabriel (Gambar 4). Akan kita tunjukkan bahwa: 1. volume V corong adalah terhingga. 2. luas permukaan corong A tak terhingga. Jadi apabila corong itu kita isi dengan cat, banyaknya cat ini terhingga. Namun tidak cukup untuk untuk mengecat seluruh corong itu. Untuk menjelaskan paradoks ini, terlebih dahulu kita buktikan sifat-sifat pada (1) dan (2). Berturut-turut kita peroleh
2
b
¨ 1 ¸ 2 V ! ´ T © ¹ d x ! limT ´ x d x b ª x º 1 1 g
pg
b
« T » ! lim ¬ x ¼ b ½1
! T
pg
g
g
´
A ! 2T y ds
!
´ 2 y
1
1 y
T
2
d x
1 2
¨ 1 ¸ ! 2T ´1 x 1 ©ª x 2 º¹ d x g
1
b
!
lim 2T b pg
´
x
4
1
x 3
1
d x
Oleh karena, x 4
1
x 3
"
x 4
!
x 3
1 x
Maka, b
´ 1
x
4
x
3
1
b
d x
"
1
´ x d x
ln b
!
1
GABR IEL
MELAPIS JALAN
Ketika diminta untuk melapis jalan yang tak terhingga 0x,0y1 dengan emas murni, Gabriel mematuhi tetapi membuat tabel
h
emas murni di titik x
memenuhi h
!
e
x
Berapa banyak emas yang diperlukan? b
g
V
!
´
e
0
x
d x
!
lim bpg
´ 0
e
x
d x
!
lim ? e
bpg
A
1 b 0 !
1
dan karena ln b apabila b , maka A tak terhingga. Hanya 1 kubik Apakah ada kekeliruan pada matematik kita? Tidak. Bayangkan bahwa
corong tersebut akan dibelah, dibuka, dan diratakan. Berikan jumlah cat yang terhingga banyaknya, kita tidak dapat mencat permukaan corong ini dengan lapisan cat yang merata tebalnya. Akan tetapi, kita dapat melakukan hal itu jika mengijinkan lapisan cat tersebut semakin tipis untuk permukaan yang sedemikian jauh dari ujung
besar corong. Dan, tentu saja, inilah yang sebenarnya terjadi ketika kita mengisi corong utuh dengan kubik cat (cat imajiner dapat disebarkan dengan sebarang keenceran).
4.
Integral Tak-Wajar: Integran Tak Terhingga Dengan meninjau banyak pengintegralan rumit yang telah kita kerjakan
berikut salah satu yang kelihatannya cukup sederhana 1
1
´ x
2
d x 2
!
« ¬ -
1» x ¼½
1
1
!
2
1
!
2
3
???
2
Apabila kita memperhatikan, grafik pada Gambar 1 ini, tampaknya ada sesuatu yang aneh. Sebab jawaban integral ( jika memang ada) tentunya
harus
suatu
bilangan
positif.
Mengapa? Di manakah letak kesalahan dalam
perhitungan
integral
tersebut ? Untuk
menjawab pertanyaan ini, lihatlah kembali Pasal 5.5 (Fungsi-fungsi apa yang dapat diintegralkan) khususnya halaman 278.
Seperti diketahui, agar suatu fungsi dapat diintegralkan dalam arti yang biasa, fungsi 2
tersebut harus terbatas. Dalam contoh di atas, fungsi itu adalah f (x)=1/ x , yang tak 1
´
terbatas. Jadi tak dapat diintegralkan dalam arti yang biasa. Dikatakan bahwa x 2 d x
2
adalah integral yang tak-wajar dengan integral yang tak terhingga (lebih tepat untuk mengatakan integral yang tak-terbatas).
Hingga saat ini, kita menghindarkan dengan sengaja integral-integral yang integrannya tak terhingga dalam soal maupun contoh. Dalam pasal ini kita akan mendefinisikan dan membahas integral-integral itu.
INTEGR AN YANG TAK TER HINGGA PADA TITIK UJUNG SUATU SELANG. Kita berikan definisi integral yang ontegrannya menuju taj terhingga di titik ujung sebelah kanan selang pengintegralan. Untuk sifat ynag sama di titik sebelah kiri ada definisi yang hampir serupa. Definisi
Andaikan f kontinu pada selang setengah buka [a,b) dan andaikan lim f ( x) x p b
!
g.
Maka, b
´ f ( x )d x
t
´
lim f ( x ) d x
!
t p b
a
a
Asalkan limit itu ada dan terhingga. Dalam hal ini dikatakan bahwa integral tersebut konvergen. Dalam hal yang lain, integral disebut divergen.
1
Contoh 1 Jika mungkin hitunglah
1
´ x d x . 0
P enyelesaian 1
1
´ x 0
1
d x
!
lim
t p 0 !
1
´ x d x t
!
1
lim ?ln x At
t p 0
lim ? ln t A! g
t p 0
Jadi integral ini divergen. Jika dikerjakan dalam program maple, sebagai berikut; > Int(1/x,x=0..1); 1
µ 1 ¶ d x ¶ ¶ ¶ x ·0 Jika dihitung dalam penghitungan maple, adalah > int(1/x,x=0..1);
g
Sehingga hasil yang diperoleh dalam penghitungan manual dan dalam maple adalah sama, yaitu; .
INTEGR AN YANG TAK-TER HINGGA PADA SEBUAH TITIK DALAM 1
Integral
´ 1 / x
2
d x adalah sebuah contoh pasal ini. Perhatikan bahwa integran ini tak-
2
terhingga pada x = 0. definisi tepatnya adalah sebagai berikut: Definisi
Andaikan f kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b. Andaikan lim f ( x) ! g . Kita definisikan x pc
c
b
b
´ f ( x )d x ´ f ( x )d x ´ f ( x)d x
!
a
a
c b
Asal saja kedua integral di ruas kanan konvergen. Apabila tidak, integral
´ f ( x )d x a
disebut divergen.
1
Contoh 3 Buktikan bahwa ´ 1 / x 2 d x divergen.
2
P enyelesaian 1
1
´ x
2
2
0
d x
!
1
´ x
2
2
1
d x
1
´ x
2
d x
0
Menurut Contoh 4, integral kedua pada ruas kanan divergen. Jadi integral yang diberikan adalah divergen.
Soal ± Soal Evaluasi dan penyelesaiannya Selesaikan integral berikut dengan program maple : 1. lim
sin x 2 x x
x p 0
2.
sec x 1
lim
tan x
x pT / 2 g
3.
´ e d x x
1 2
4.
´ ( x 1
d x
13
1)
P enyelesaiannya
:
1. Hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan limitnya, maka dalam
program maple akan muncul sebagai berikut : Limit((sin(x)-2*x)/x,x=0); sin( x ) 2 x
lim
x
x p 0
Hasil yang diperoleh adalah > limit((sin(x)-2*x)/x,x=0); -1
2. Hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan limitnya, maka dalam program maple akan muncul sebagai berikut : Limit((sec(x)+1)/tan(x),x=pi/2); sec ( x ) 1
lim x p ¨©©
¸¹ ª 2 º¹ T
tan( x )
Hasil yang diperoleh adalah > limit((sec(x)+1)/tan(x),x=pi/2); sec ¨©©
¸1 ¹¹ ª 2 º T tan¨©© ¸¹¹ ª 2 º T
3. Misal, kita nyatakan fungsi tersebut dalam f (x), maka dalam program maple dapat kita tuliskan sebagai berikut; > f(x):=e^x; x
f ( x ) :
e
Kemudian kita integralkan fungsi tersebut. > int(f(x),x=1..infinity); x
lim
e
e
ln( e )
x p g
5. Misal, kita nyatakan fungsi tersebut dalam g(x), maka dalam program maple dapat kita tuliskan sebagai berikut; > g(x):=1/((x-1)^(1/3)); 1
g( x ) :=
( x 1 )
Kemudian kita integralkan fungsi tersebut. > int(g(x),x=1..2); 3 2
( 1/3 )
D.
Penutup 1.
Kelebihan pembelajaran ini Dalam pembelajaran ini kita dapat mengetahui bagaimana kita bisa membedakan bentuk-bentuk limit dan menyelesaikan limit dan pengintegralan.
2. Kekurangan pembelajaran ini Kekurangan dalam pembelajaran ini ialah, di dalam program maple kita tidak diajarkan bagaimana kita bisa memperoleh konstanta-konstanta yang mana pada perhitungan secara manual dapat kita hitung.
