MAKALAH KALKULUS II “INTEGRAL TAK WAJAR” Dosen : Ridha Endarani, Spd.
Disusun Oleh: Roji Muhidin
STMIK MUHAMMADIYAHBANTEN
2013
June 12, 2013
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah swt. atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengah-tengah kesibukan dan rutinitas penulis serta dengan segala kekurangannya, dapat menyusun makalah ini yang diharapkan dapat membantu pribadi penulis dan mahasiswa secara umumnya dalam mempelajari Kalkulus II tentang “Integral”. Makalah ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada pribadi penulis dan mahasiswa Jurusan Sistem Informasi, STMIK Muhammadiyah Banten yang sedang mengikuti perkuliahan Kalkulus II. Kekurangan dan belum sempurnanya makalah ini menjadi ‘tuntutan” penulis sehingga yang seharusnya teman-teman menerima banyak pengetahuan tentang Kalkulus Integral dari makalah ini belum dapat terwujud seluruhnya. Terselesaikannya penulisan makalah ini tentu tidak terlepas dari bantuan rekanrekan seprofesi penulis di STMIK Muhammadiyah Banten, lebih-lebih teman-teman kelas ku yang menjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikan makalah ini. Semoga materi yang telah dituangkan dalam makalah ini, akan sangat berguna bagi pribadi penulis dan mahasiswa STMIK Muhammadiyah Banten umumnya. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insyaallah diperbaiki dikemudian hari.
Lebak, 12 Juni 2013 Penulis
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013
DAFTAR ISI Kata Pengantar …………………………………………………………............
i
Daftar Isi ………………………………………………………………………..
ii
BAB I
BAB II
BAB III
PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang ………………………………………………..
1
1.2
Rumusan Masalah …………………………………….............
2
1.3
Tujuan .......................................................................................
2
PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Integral Tak Wajar....................................................
3
2.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu...........................
5
2.3 Integral tak wajar dengan batas tak hingga................................
8
2.4 Rumus-rumus dasar Integral......................................................
11
PENUTUP 3.1 Kesimpulan ...............................................................................
21
3.2 Saran-saran ...............................................................................
22
PUSTAKA ………………………………………………………. DAFTAR PUSTAKA
23
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Konon dalam sejarah matematika, pelajaran integral lebih dikenal dengan anti-differensial atau kalo di sekolah atau perguruan tinggi, kita lebih mengenal kata “turunan” dibanding kata “differensial”. Jadi Integral itu adalah kebalikan dari turunan. Baik integral ataupun differensial, keduanya merupakan bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang mengembangkan dan memperkenalkan konsep differensial dan anti-differensial (integral) dalam ilmu matematika adalah Gottfried Wilhelm Leibniz, atau lebih dikenal dengan Leibniz saja. Lambang integral seperti cacing berdiri dahulunya dikenal dengan “Notasi Leibniz”, karena Leibniz lah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika, lambang integral seperti ini : ∫, diambil dari huruf pertama nama si Leibniz, yaitu huruf “L”, namun pada zaman dahulu orang menuliskan huruf “L” dalam bentuk yang indah, seperti berikut : Ilmuwan dalam Perkembangan Matematika Hitung Integral Sejak ilmu matematika berkembang dari abad sebelum masehi sampai abad sesudah masehi juga sampai sekarang jaman modern. Ilmu tentang integral mengalami perkembangan yang cukup bagus. Dari integral yang dikembangkan oleh Leibnizh pada abad sesudah masehi sampai integral yang kembangkan oleh Henstock-kurzweill jaman modern sekarang ini . menurut sejarahnya, orang yang tercatat pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimides, seorang ahli matematika bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM). Ia menggunakan ide itu untuk menghitung luas daerah lingkaran, daerah yang dibatasi parabola dan tali busur, dan sebagainya. Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun nonmatematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral, di antrannya sebagai berikut. Tokoh-Tokoh Matematika dalam integral: 1. Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 2. Isaac Newton (1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus. 3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral. 4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.
1.2 Rumusan Masalah Pengertian Integral Pembagian Integral Tak Wajar Integral Tak Wajar dengan integran diskontinu Integral Tak Wajar dengan batas integrasi di tak hingga 1.3 Tujuan Agar kita dapat mengetahui pengertian Integral, Khususnya Integral tak wajar Dapat Mengetahui Pembagian Integral tak wajar Dapat menyelesaikan Integral Tak Wajar dengan integrasi diskontinu Dapat menyelesaikan Integral Tak Wajar dengan batas integrasi tak hingga.
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 BAB II PEMBAHASAN
3.1 Pengertian Integral Tak Wajar Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu. Teorema: Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka b
f ( x)dx = F ( x)
b a
F (b) F (a)
a
Contoh : 4
1 1. (1 x)dx x x 2 2 2 2 4
= (4- ½ .16) – (2- ½ 4) = -4 – 0 = -4 2
dx ln 1 x 2. 1 x 1 1 2
= ln (1+2) – ln (1+1) = ln 3 – ln 2 2
3.
1
dx , tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran 1 x f(x) =
1 1 x
tidak terdefinisi pada x = 1.
1
4.
1 dx , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran f(x) = x x 1
tidak terdefinisi di x = 0
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar. b
f ( x)dx disebut Integral Tidak Wajar jika:
Bentuk
a
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b],
sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik
tersebut. b
Pada kasus ini teorema dasar kalkulus
f ( x)dx = F(b) – F(a) tidak berlaku lagi. a
Contoh : 4
1)
dx
4 x , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4) 0
2
2)
dx , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2] x 1
1
4
3)
0
dx (2 x)
2 3
, f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2)
(2,4]
b.
Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
1)
x 0
dx , integran f(x) memuat batas atas di x = 4
2
0
2)
e
2x
dx , integran f(x) memuat batas bawah di x = -
3)
dx
1 4x
2
, integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa bawah di x =
- Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ).
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran diskontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi tak hingga.
3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b - ( 0 ), b
b
sehingga
f ( x)dx lim 0
a
f ( x)dx a
Karena batas atas x = b - ( x b ), maka
b
a
t
f ( x)dx lim t b
f ( x)dx a
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini. 4
1)
0
dx lim 4 x 0
4
dx , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga 4 x
0
4
= lim 2 4 x 0 0 = -2 lim 0
4 (4 ) (4 0)
= -2 ( lim 4 ) 0
= -2(0-2) =4 Cara lain : 4
0
t
dx dx lim 4 x t 4 0 4 x
= lim 2
= lim 2 4 x t 4
t 4
t 0
4t 2 40
= -2(0)+2(2) =4
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 2
2)
2
dx 4 x
2
1
, f(x) =
4 x2
Fungsi di atas tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, 2
maka
2
2
dx 4 x
2
sehingga:
dx
2
4 x2
0
2
= 2 0
dx 4 x2 2
x = 2 Lim arcsin 2 0 0 =2(
2
0)
=
b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a + ( 0 ), b
sehingga
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim 0
a
a
Karena batas bawah x = a + ( x a ) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain: b
b
f ( x)dx lim t a
a
f ( x)dx t
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini. 4
1)
3
4
3dx 3dx lim x 3 t 3 t x 3
= lim 6
4
= lim 3(2) x 3 t t 3
t 3
43 6 t 3
= 6(1) – 6(0) =6
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 1
2)
0
1
dx dx lim x 0 0 x
,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga
diperoleh: 1
dx x
0
1
lim 2 x 0
0
= lim 2 1 2 0 0
=2–0 =2 c. f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + dan x = c -
( 0 ), sehingga b
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
c
= lim 0
b
f ( x)dx + Lim 0
a
f ( x)
c
Dapat juga dinyatakan dengan : b
f ( x)dx a
t
f ( x)dx
lim t b
b
+ lim
a
t a
f ( x)dx t
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini. 4
1)
3
0 1
0
dx , f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh x 1 4
3
dx dx dx 3 , berdasarkan contoh sebelumnya didapat: x 1 x 1 1 1
lim
0
0
4
3
dx dx lim 3 x 1 0 1 x 1 1
4
2 2 3 3 3 = lim ( x 1) lim ( x 1) 3 0 2 0 2 0 1
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 2 2 3 3 3 = lim (1 ) 1) (0 1) 3 2 0 2
=
x
1 3
0
1 3
8
2)
2 2 3 lim (4 1) ((1 ) 1) 3 0
3 (1 3 9 ) 2 dx, f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh
1
x
1
8
1 3
dx x dx 0 0
= lim 0
1 3
8
x dx lim 0
1
x
1 3
dx
0
0
8
3 23 3 23 = lim x lim x 0 2 1 0 2 0 = =
3 6 2
9 2
3.3 Integral tak wajar dengan batas tak hingga Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya. a. Intergral tak wajar dengan batas atas x = . Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.
t
f ( x)dx lim f ( x)dx t
a
a
Perhatikan contoh berikut ini :
1)
t
dx dx 2 0 x 2 1 = lim t x 4 0
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 t
x 1 = lim arctan t 2 2 0 t 1 1 = lim arctan arctan 0 t 2 2 2 =(½. =
- ½ .0) 2
4
2)
t
dx 1 x 2
= lim t
dx
x
2
1
t
1 = lim t x 1 t
1 = lim 1 t t 1 =1 b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = - Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian: a
a
f ( x)dx lim f ( x)dx t
t
Perhatikan contoh berikut ini: 0
0
1.
e
2x
1 lim e 2 x dx = t 2 t
1 1 = lim .1 e 2t t 2 2 =½-0 =½
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 0
1 dx (4 x)2 = tlim ( 4 x ) t 0
2.
1 1 lim = t (4 t ) (4 0)
=0+
1 4
=¼ c. Integral tak wajar batas atas x = dan batas bawah di x = - Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan
dua integral tak wajar dengan
a
f ( x) x
penjumlahan integral tak wajar ini
f ( x)dx f ( x)dx , sehingga bentuk a
dapat diselesaikan dengan cara a dan b
tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:
a
f ( x) x
f ( x)dx f ( x)dx a a
= lim
t
t
f ( x)dx lim f ( x)dx t
t
a
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:
1.
dx
1 4x
2
0
dx dx = 2 1 4x 1 4x2 0 = lim arctg 4 xt + limarctg 4 x0 0
t
=
t
2
2.
t
e x dx e2 x 1 = 0
= lim
t
0
e x dx e2 x 1 +
e x dx 0 e2 x 1 t
e x dx e x dx lim + t e2 x 1 t ` 0 e2 x 1
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 0
t
= lim (arc tgn e x ) t + lim (arc tgn e x ) 0 t
=
2
t
4
0
4
=
2
3.4 Rumus-rumus dasar Integral Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan C sebuah konstanta, dengan memperhatikan sifat-sifat
operasi
Aljabar fungsi (penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian) dapat diperikan beberapa sifat Integral tak tentu fungsi yang terintegralkan. Sifat-sifat berikut berlaku untuk syarat yang diberikan. 1.
n u du =
u n 1 + C, jika n -1 n 1
2.
u( x) u( x) u' ( x)dx
C , jika n -1
3.
du = ln u + C atau u
f ' ( x) dx ln f ( x) C f ( x)
4.
eu du = eu + C
5.
au a du = +C ln u
6.
u dv = uv -
7.
sin du = - cos u + C
8.
cos u du = sin u + C
9.
sec2 u du = tan u + C
10.
csc2 u du = - cot u + C
11.
sec u tan u du = sec u + C
12.
csc u cot u du = - csc u + C
13.
tan u du = ln sec u + C
14.
cot u du = ln sin u + C
n 1
n
n 1
u
v du
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 15.
sec u du = ln sec u tan u + C
16.
csc u du = ln c sec u cot u + C
17.
18.
du 1 u = arc tan +C 2 a a a u
19.
du 1 ua ln +C 2 2a ua a u
20.
du 1 ln u a + C 2 u a 2a ua
21.
22.
23.
24.
25.
u 2 a 2 du = ½ u
u2 a2
1 2 a ln u u 2 a 2 + C 2
26.
u 2 a 2 du = ½ u
u2 a2
1 2 a ln u u 2 a 2 + C 2
27.
sin2 u du =
1 1 u – sin 2u + C 2 4
28.
cos2 u du =
1 u + ¼ sin 2u + C 2
29.
tan2 u du = -u + tan u + C
30.
cot2 u du = - u – cot u + C
31.
sin3 u du = -
32.
cos3 u du =
du a2 u2
= arc sin
u +C a
2
2
2
du u a 2
2
du u a 2
2
= ln (u +
u2 a2 ) + C
= ln (u +
u2 a2 ) + C
a 2 u 2 du = ½ u du u u a 2
=
2
u2 a2
1 2 u a arcsin C 2 a
1 u arc sec + C a a
1 ( 2 + sin2 u ) cos u + C 3 1 ( 2 + cos2 u ) sin u + C 3
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 1 tgn2 u + ln cos u + C 2
33.
tan3 u du =
34.
cot3 u du = -
1 cot2 u - ln sin u + C 2
35.
sec3 u du =
1 1 sec u tan u + ln sec u tan u + C 2 2
36.
csc3 u du = -
37.
sin au sin bu du =
38.
cos au cos bu du =
39.
sin au cos bu du = -
40.
sinnu du = -
sin n 1 u cos u n 1 + n n
sin n-2 u du
41.
cosn u du =
n 1 cos n 1 u sin u + n n
cos n-2 u du
42.
tann u du =
1 tan n-1 u - tan n 2 u du jika n 1 n 1
43.
cot n u du = -
44.
sec n u du =
1 n2 sec n-2 u tgn u + n 1 n 1
sec n-2 u du, jika n 1
45.
csc n u du= -
1 n2 csc n-2 u cot u + n 1 n 1
csc n-2 u du, n 1
46.
sin n ucos m u du = -
1 1 csc u cot u + ln c sec u cot u + C 2 2
sin(a b)u sin(a b)u + C, jika a2 b2 2(a b) 2(a b) sin(a b)u sin( a b)u + + C, jika a2 b2 2(a b) 2(a b)
cos(a b)u cos(a b)u + C, jika a2 b2 2(a b) 2(a b)
1 cot n-1 u - cot gn n2 u du jika n 1 n 1
sin n 1 u cos m1 u n 1 + nm nm
sin n-2 u cos m u du,
n -m 47.
u sin u du = sin u – u cos u + C
48.
u cos u du = cos u + u sin u + C
49.
un sin u du = -un cos u + n
u n-1 cos u du
50.
un cos u du = un sin u + n
u n-1 sin u du
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 51.
sin u d(sin u) =
1 sin 2 u + C 2
52.
cos u d(cos u) =
1 cos 2 u + C 2
53.
tan u d(tan u) =
1 tan 2 u + C 2
54.
cot u d(cot u) = ½ cot2 u + C
55.
sec u d(sec u) = ½ sec2 u + C
56.
csc u d(csc u) = ½ csc2 u + C
57.
u 2 a 2 du =
58.
u2 a2 du = u
59.
du u a 2
u 2
u2 a2 du = u
61.
u2 a 2 u 2 du =
63.
64.
65.
66.
67.
u2 u 2 a 2
du =
du u2 u2 a2
a u2 u2 u 2 a 2 - a ln u
u2 a2 - a u (2a2 8
u 2
du (u a ) 2
udu a u 2
2
3 2
=-
arc sec
u2) a 2 u 2
a2 u2
+C
+C
u +C a
-
a4 ln u a 2 u 2 8
a2 ln u a 2 u 2 2
+C
+C
u2 a2 +C a 2u
=
u2 a2 du = u2
2
a2 ln u u 2 a 2 2
= ln u u 2 a 2 + C
2
60.
62.
u2 a2
u2 a2 - ln u a 2 u 2 + C u
u
=
a
2
u2 a2
+C
a2 u2 + C
( u 2 a 2 )3/2 du =
u (2u2 5a2) 8
u2 a2 +
3a 4 ln u u 2 a 2 + C 8
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 68. 69.
a 2 u 2 du = u2
a 2
a2 u2
a2 u2 du = u
71.
u2 a 2 u 2 du =
73.
du u2 a2 u2
du
75.
u
76.
1 u du = 2
77.
78.
u a2 u2
du 1 u
= ln
u
du u (1 u )
a4 u arc sin -1 + C 8 a
+C
1 1 x
2
u + Cl
u)
u a
a2 u2 +
a a2 u2 +C u
1 ln a
1 1 x
=
a a2 u2 +C u
u2 a2 u - arc sin -1 +C u a
= 2 ln (1+
3 2
a2 u arc sin -1 +C u a
a2 u2 +C a 2u
u - 2 arc tan
du (a 2 u 2 )
a2 u2 +
u (2u2- a2) 8
= -
= -
a2 u arc sin -1 +C u a
a 2 u 2 - a ln
u2 a2 du = u2
74.
a 2
du = -
70.
72.
a2 u2 +
a2 u2
+C
u (5a2- 2u2) 8
79.
( a 2 u 2 )3/2 du =
80.
ueu du = (u-1)eu + C
81.
un eu du = un eu – n
82.
ln u du = u ln u – u + C
83.
un ln u du =
a2 u2 +
3a 4 u arc sin -1 +C a 8
un-1 eu du
u n 1 u n 1 ln u +C n 1 (n 1) 2
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013
e au (a sin bu – b cos bu) + C a2 b2
84.
eau sin bu du =
85.
eau cos bu du =
86.
arc sin -1 u du = u arc sin -1 u + 1 u 2 + C
87.
arc tan u du = u arc tan u -
88.
arc sec u du = u arc sin u – ln u 1 u 2 + C
89.
u arc sin u du = ¼ (2u2 – 1) arc sin u +
90.
u arc tan u du = ½ (u2 + 1) arc tan u -
91.
u arc sec u du =
92.
u arc sin u du =
93.
un arc tan u du =
1 u n 1 u n 1 arc tan u du + C, jika n -1 n 1 1 u2 n 1
94.
un arc sec u du =
u n 1 1 arc sec u n 1 n 1
95.
sinh u du = cosh u + C
96.
cosh u du = sinh u + C
97.
tanh u du = ln (cosh u ) + C
98.
coth u du = ln sinh u + C
99.
sech u du = arc tan sinh u + C
e au (a cos bu + b sin bu) + C a2 b2
1 ln 1 u 2 + C 2
u2 arc sec u – ½ 2
u 4
1 u2 + C
u +C 2
u 2 1 + C
1 u n 1 arc sin u n 1 n 1
u n 1
1 u2
du + C, jika n -1
u n 1 u2 1
du + C, jika n -1
u +C 2
100.
csch u du = ln tanh
101.
sinh 2 u du = ¼ sinh u -
u +C 2
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 u +C 2
102.
cosh 2 u du = ¼ sinh u +
103.
tanh 2 u du = u - tanh u + C
104.
coth 2 u du = u – coth u + C
105.
sech 2 u du = tanh u + C
106.
csch 2 u du = -coth u + C
107.
sech u tgnh u du = - sech u + C
108.
csch u coth u du = - csch u + C
109.
u(au+b)-1 du =
110.
u(au + b)-2 du =
(au b) n1 au b b u(au+b) du = + C, jika n -1, -2 2 a n 2 n 1
1 u du du ( 2 n 1 ) = 2 2 2 n 1 2 2 n 1 (a u ) + C, n 1 2a (n 1) (a u ) (a 2 u 2 ) n
111.
112.
u b ln au b + C a a2 1 a2
b ln au b au b + C
n
3
2 au b du = (3au 2b)(au b) 2 C 15a 2
113.
u
114.
un
115.
au b du =
udu au b
116.
u n du
117.
du
118.
119.
=
au b u au b
u
2 (au 2b) au b + C 3a 2
1
=
au b
u n 1 2 du u n au b -nb a(2n 1) au b
=
du n
3 n 2 u (au b) 2 nb u n 1 au b + C a(2n 3)
b = -
2au u 2 =
ln
au b b au b b
+C
au b (2n 3)a du + C, jika n 1 n 1 n 1 (2n 2)b u b(n 1)u au b
ua a2 ua 2au u 2 arc sin +C 2 n a
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 120.
121.
2au u
= arc sin
2
un 2au u 2 =
u
ua +C a
n 1
3 2
(2au u ) (2n 1)a u n1 2au u 2 du n2 n2 2
(2n 1)a u n 1 = 2au u 2 + n n
u n du
122.
123.
du
2au u 2
u n 1 du 2au u 2
2au u 2 = u
(2au u 2 ) 2 2au u 2 n3 2au u 2 = du (3 2n)au n (2n 3)a un u n 1
+C
ua +C a
2au u 2 a arc sin 3
124.
125.
126.
127.
du u n ( 2au u 2 ) (
2au u ) = 2
2
du ( 2au u 2 ) 4
=
2au u 2 n 1 du n (2n 1)a u n1 2u u 2 a(1 2n)u
=
na 2 ( 2au u 2 ) n 1 du n 1
ua (n 2) 2
du
2au u 2
1
128.
sin u cos u 1 ln tan 2 u 1
129.
1 sin u cos u ln 1 tan 2 u
du
1
2 n
n3 (n 2)a 2
du ( 2au u ) 2
+C +C
u 32 2 sin udu 1 2 130. = ln +C du 2 4 1 sin 2 u 2 u tan 3 2 2 2 tan 2
131.
sin u cos udu cos u + ln (1-cos u) + C 1 cos u
132. sin
u du = - 2 u cos
3 du ln 133. = 3 1 2 sin u
u + 2 sin
u+C
u 2 3 2 +C u tan 2 3 2 tan
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
3 2
du
June 12, 2013
134.
du
2 sin u
=
2 3
2tgn arctgn
u 1 2 +C 3
u 1 1 du 2 135. = ln +C u 4 3 5 sin u tan 3 2 3 tan
u 3 2 +C 4
5 tan
du 1 136. = arctan 5 3 sin u 2
du = ln 1 sin u cos u
137.
138.
2 cos u
du
=
u 2
u 1 tan 2
+C
2
u arctan( 3 tan ) + C 2 3
du 2 139. arctan 5 4 sin u 3 140.
tan
u 4 2 C 3
5 tan
3 du 2 3 u arctan tan C 2 cos u 3 2 3
du 2 5 u arctan( 5 tan ) C 3 2u 5 2
141.
142.
sin udu 1 cos 2 u ln C cos u(1 cos 2 u) cos u
143. 144.
145.
(2 tan 2 u ) sec 2 udu 2 2 tan u 1 ln 1 tan u arctan C 2 1 tan u 3 3
dx 1 sin dx
x 2
2(tan
1 cos 3x
x x sec ) C 2 2
1 cos 3x C 3 sin 3x
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 146. 147.
148. 149.
cos 2 xdx 2 sin 2 x arctan C 2 8 sin 2 x 8 2 2 sec 2 xdx 1 4 tan 2 x
1 arc sin(2 tan x) + C 2
sin 8 xdx 1 sin 2 4 x arctan C 3 9 sin 2 4 x 12
dx
1 sec ax
150. sec 2
=x+
1 (cot ax-csc ax) + C a
x x 1 x tan dx a tan 2 C a a 2 a
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Dalam kalkulus, integral takwajar adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, atau ∞ −∞ atau, pada beberapa kasus, keduanya. Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk
atau dalam bentuk
dengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, §10.23). Integral takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, atau pada beberapa titik seperti itu. Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah takhingga.. b
Bentuk
f ( x)dx disebut Integral Tidak Wajar jika: a
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b],
sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik
tersebut. b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran diskontinu dan dengan batas integrasi tak hingga. Integral tak wajar dengan integran diskontinue, yaitu diantaranya :
f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b
f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a
f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c
Integral tak wajar dengan batas tak hingga, yaitu seperti:
Intergral tak wajar dengan batas atas x = .
Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -
Integral tak wajar batas atas x = dan batas bawah di x = -
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013
3.2 Saran-Saran Demikian makalah ini kami selesaikan sebagai salah satu tugas perkuliahan pada semester 2 ini. Namun kami sebagai penyusun , menyadari terdapat kekurangan maupun kekhilafan atau kesalahan, baik dalam penyelesaian maupun pemaparan dari makalah kami ini. Dari itu, kami sangat mengharap dari para pembaca atau pendengar sekalian, baik teman-teman maupun Ibu Dosen sebagai pembimbing dalam mata kuliah ini, untuk turut serta dalam memberikan kritik yang membangun dan saran yang baik tentunya agar kedepanya nanti kami akan dan bisa menjadi lebih maju dan baik dari sebelumnya. Amin Ya Rabbal ‘Alamin.!
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
June 12, 2013 DAFTAR PUSTAKA
Dale Varberg., Edwin J. Purcell. 2001. Kalkulus Jilid I (edisi 7). Alih Bahasa I Nyoman Susila. Batam: Interaksara.
Koko Martono, 1993. Kalkulus Integral I. Bandung: Alva Gracia Achsanul In’am, 2000. Kalkulus I. Malang: UMM Press.
Makalah Kalkulus II “Integral Tak Wajar” Dosen:Ridha Endarani.Spd
