Integral Tak Wajar

Integral Tak Wajar 

MA1114 MA1114 KALKULU KALK ULUS SI

Integral Tak Wajar b

Dalam mendefnisikan integral tentu sebagai limit jumla ∫ a  f  ( x)dx reiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu : a. Batas pengintegralan berhingga b. Integran((x berhingga pada selang !a,b"  #ika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka integral tentu disebut integral tak wajar  #enis$jenis integral tak %ajar a. Integral tak %ajar dengan batas pengintegralan tak hingg b. Integral tak %ajar dengan integran tak hingga

MA1114 KALKULUS I

a. Integral Tak Wajar , Batas &engintegralan Tak 'ingga Defnisi : b

(i

b

∫  f  ( x)dx = lim ∫  f  ( x)dx

−∞

a → −∞

∞

(ii

a

b

∫  f  ( x)dx = lim∫  f  ( x)dx b→∞

a

a

 #ika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak %ajar disebut kn)ergen, sebaliknya disebut di)ergen (iii

∞

c

∞

−∞

−∞

c

∫  f  (  x ) dx = ∫  f  (  x ) dx + ∫  f  (  x ) dx =

c

 f  (  x ) dx + lim ∫  f  (  x ) dx ∫  a →−∞ b →∞ lim

a

c

b c

∞

∞

c

−∞

 #ika ∫  f  (  x ) dx dan∫  f  (  x ) dx kn)ergen,maka ∫  f  (  x ) dx −∞

MA1114 KALKULUS I

kn)ergen

*nth &eriksa kekn)ergenan ITW

∞ −  x 2 a. ∫  xe 4

0

dx

dx

b. ∫  − ∞ ( 2 x − 1 ) 2

∞ dx +. ∫  − ∞ (  x 2 + 2 x + 5 )

 #a%ab : a.

b ∞ − x 2   1 −x − x  = lim − e  xe dx lim  xe dx = ∫  b→∞  b →∞ ∫    2 4 4 2

1   −b 2 = lim −  e 2   b→ ∞

2

b  

  4    

1 − e −16    = e −16   2

1

−

16 e  #adi integral tak %ajar kn)ergen 2ke 0 0 dx   0   1 dx    = − lim = lim b. ∫  ∫     b → −∞ → −∞ b 2 2 b − 2 ( 2  x 1 )     − ∞ (2 x −1) b (2 x − 1)

 1   1 1    = blim + =    → −∞ 2 2( 2b − 1)     2

 #adi integral tak %ajar kn)ergen ke - MA1114 KALKULUS I

1 ∞ ∞ dx dx dx = + +. ∫  ∫  2 ∫  2 2 − ∞ (  x + 2 x + 5 ) −∞ ( x + 2 x + 5) 1 ( x + 2 x + 5) 1

b

dx

= alim → −∞ ∫

2  x + 2 x + 5 a

= alim → −∞

1 2

2  x + 2 x + 5 1

1

tan −1 (  x2+1 ) a

dx

+ lim b →∞ ∫ 

+ lim b →∞

1 2

b

tan −1 (  x2+1 ) 1

1

1

2

2

− − − − ( tan 1 (1) − tan 1 ( a2+1 ) ) + lim ( tan 1 ( b2+1 ) − tan 1 (1) ) = alim → −∞ b→∞

1  π  

− π      1  π   π     π     =  −     +  −   =   2  4   2    2  2 4   2 π  #adi integral tak %ajar kn)ergen ke 2

MA1114 KALKULUS I

/al$sal latihan &eriksa kekn)ergenan integral tak %ajar berikut

+∞ a. ∫  0 ∞

e.

dx 4 + x2

 x dx

∫ (1 + x ) 2

2

b.

2

.

0

4 x dx e ∫ 

−∞ ∞ dx ∫  2 − ∞ ( x + 16)

+.

∞ dx ∫  1

−1

d.

x

∞  xdx g. ∫   x e −∞

MA1114 KALKULUS I

2

1

e x dx

∫   x

−∞

2

∞ dx h. ∫  − ∞  x 2 + 2 x + 17

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak 'ingga (i Integran Tak 'ingga di 0jung /elang lim  f  (  x ) = ±∞  #ika kntinu pada !a,b dan  x b −

→

b

∫  f  (  x )dx =

a

maka

t 

 f  (  x )dx ∫  −

lim

t →b a

lim  f  (  x ) = ±∞  #ika kntinu pada (a,b" dan +  x →a

b

maka

b

∫  f  (  x )dx =  s lima + ∫  f  (  x )dx

a

→

 s

 #ika limit ruas kanan ada, maka Integral tak %ajar dikatakan kn)ergen, sebaliknya dikatakan di)ergen

MA1114 KALKULUS I

(ii Integran Tak 'ingga di Titik Dalam /elang &engintegralan  #ika (x kntinu pada !a,b", ke+uali di c dengan

a

1

c

1

b

dan

lim  f  ( x) = ±∞ maka

 x → c

b

c

b

a

a

c

∫  f  ( x)dx = ∫  f  ( x)dx + ∫  f  ( x)dx =

t 

b

lim ∫  f  ( x )dx + lim ∫  f  ( x )dx − + t  → c a  s → c  s

II

I b

∫ 

 f  ( x)dx  #ika I dan II ada dan berhingga maka integral tak %ajar a

kn)ergen.

MA1114 KALKULUS I

*nth &eriksa kekn)ergenan Integral Tak Wajar 1

ln x

∫   x

dx

0

 #a%ab : 2arena ungsi f  (  x ) = maka

1

ln x

∫   x 0

ln  x

ln x

lim tidak kntinu di x34 dan + x  x →0

 x 1

dx = lim+ t →0

ln x

∫   x t 

dx

= lim+ t →0

1 2

(ln x )

1 = lim+ ( 0 − (ln t ) 2 ) = −( −∞ ) 2 t → 0 2 Integral tak %ajar di)ergen

MA1114 KALKULUS I

2

1 t 

= −∞

= −∞

*nth &eriksa kekn)ergenan integral tak %ajar 2

 x

∫ 1 −  x dx

0

 #a%ab 5ungsi  f  ( x) = 2

 x

∫ 1 −  x

 x 1

dx

0

diskntinu di x3 dan lim−

1 −  x

= ∫  0

 x →1

2

 x

1 −  x  s

2arena  s

lim−

 s →1

 x

∫ 1 − x 0

= lim− ∫  s →1

0

 x 1− x

=∞

 x

∫ 1 −  x dx

dx +

1

 x 1 −  x

2

dx + lim+ t →1

 s

dx = lim− ( −  x ) − ln | 1 −  x | 0  s →1

 x

∫ 1 − x dx t 

= lim− ( − s − ln | 1 − s |) − 0 = ∞  s →1

2

 x dx maka integral tak %ajar 1 −  x 0

∫ 

di)ergen

MA1114 KALKULUS I

Integral tak%ajar bisa juga mun+ul dalam bentuk gabungan dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan integran tak hingga pada batas pengintegralan seperti +nth berikut *nth &eriksa kekn)ergenan integral tak %ajar ∞  x ∫ 1 − x dx 0  #a%ab : Integral diatas merupakan integral tak %ajar karena $ batas atas integral tak hingga $ integran tak hingga di x 3  yang terletak didalam selang pengintegralan sehingga

∞  x

1

0

0

 x

2

 x

∞

 x

∫ 1 − x dx = ∫ 1 −  x dx + ∫ 1 −  x dx + ∫ 1 −  x dx 1

2

MA1114 KALKULUS I

 s

= lim ∫   s →1−

0

 x

1 −  x

2

dx + lim t →1+

 x

∫ 1 − x

∞

dx + lim b →∞

t 

 x

∫ 1 − x dx 2

2arena  s

lim−

 s →1

 x

∫ 1 − x dx = lim( − x) − ln | 1 − x | 0

 s →1−

∞  x 6aka integral tak %ajar ∫  dx 0

1 −  x

 s 0

= lim− ( − s − ln | 1 − s |) − 0 = ∞  s →1

di)ergen

/al$sal latihan &eriksa kekn)ergenan integral tak %ajar berikut

1 dx

a. 0

e.

∫  − 1 x

∫  x

−2

1

3

1  x  xe dx b. ∫  −1

 x dx 2

+ 7 x + 10

1

.

 x dx

∫  x

−2

2

−1

+.

1 dx

∫  −1

1

g.

1

d.

x

−2

MA1114 KALKULUS I

∫ 

1− x2

0

 x dx

∫  x

dx

2

+1

3

h.

dx

∫  x ln x 0

/al$sal latihan &eriksa kekn)ergenan integral tak %ajar berikut 1

 x dx

∫  x

a.

−2 0

e.

∫  x

−2

2

+1

1  x dx  xe b. ∫  −1

 x dx 2

+ 7 x + 10

1

.

 x dx

∫  x

−2

2

−1

+.

g.

1 dx

∫  −1

1

d.

x

MA1114 KALKULUS I

∫ 

1− x2

0

1 dx

∫  − 1 x

dx

1

3

3

h.

dx

∫  x ln x 0