makalah kalkulus integral tak wajarFull description
Full description
Full description
Full description
Full description
n m
Penjelasan tentang Integral tak tentuDeskripsi lengkap
Full description
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIKFull description
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIKFull description
eaaFull description
sttFull description
rppFull description
Contoh opini tidak wajar dalam audit laporan keuangan
Full description
lp stt
Deskripsi lengkap
Int nteg egrral Tak Wajar
MA1114 KALKULUS I
Integral Tak Wajar b
Dalam mendefinisikan integral tentu ∫ f ( x)dx sebagai limit jumlah a reiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu : a. Batas pengintegralan berhingga b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b] Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka integral tentu disebut i nt egr al t ak w aj ar Jenis-jenis integral tak wajar a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga
MA1114 KALKULUS I
a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga Definisi : b
(i)
b
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx −∞
a →−∞
∞
(ii)
a
b
∫ f ( x)dx = lim∫ f ( x)dx b →∞
a
a
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen ∞
(iii)
∞
c
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx −∞
−∞ c
c
b
= lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx a →−∞ a
c
∞
−∞
c
b→∞ c
∞
Jika ∫ f ( x ) dx dan ∫ f ( x ) dx konvergen,maka ∫ f ( x ) dx konvergen −∞
MA1114 KALKULUS I
Contoh Periksa kekonvergenan ITW ∞ x 2 − dx a. ∫ xe 4
0
dx
b. ∫
− ∞ ( 2 x − 1 )
2
c.
∞ dx ∫ 2 − ∞ ( x + 2 x + 5 )
Jawab : a.
b ∞ 2 ⎛ 1 − x x − x − dx = lim ∫ xe dx = lim ⎜⎜ − e ∫ xe b→∞ b →∞ 2
4
4
2
⎝ 2
b ⎞
⎟ 4 ⎠⎟
1 −b 2 −16 ⎞ 1 −16 e e = lim − ⎛ − ⎜ ⎟= e 2 ⎝ b→ ∞ ⎠ 2
1
e −16
Jadi integral tak wajar konvergen ke 2 0 0 dx ⎛ 1 dx ⎜ lim = − = lim b. ∫ ∫ 2 b→−∞ 2 b→−∞ ⎜⎝ 2(2 x − 1) x − x − ( 2 1 ) ( 2 1 ) −∞ b ⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎟⎟ = = lim ⎜⎜ + b→ −∞ 2 ⎝ 2(2b − 1) ⎠ 2
0 ⎞
⎟ b ⎠⎟
Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2 MA1114 KALKULUS I
∞ 1 ∞ dx dx dx = ∫ +∫ c. ∫ 2 2 2 − ∞ ( x + 2 x + 5 ) −∞ x + 2 x + 5 1 x + 2 x + 5 1 b dx dx = lim 2 + lim 2 a → −∞ x + 2 x + 5 b → ∞ x + 2 x + 5 1 a
(
) (
)
∫
∫
1
1
b
1
= lim tan −1 ( x2+1 ) + lim tan −1 ( x2+1 ) a → −∞
= lim
2
a → −∞
a
1 2
b →∞
2
1
1 − − tan ( + ) − tan (1)) (tan − (1) − tan − ( + )) + lim ( →∞ 1
Soal-soal latihan Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
+∞ a. ∫
dx
0 4+ x
∞
e.
2
x dx
∫ (1 + x 2
b.
2
)
2
0
∫e −∞
4 x
dx
∞ dx f. ∫ 2 − ∞ ( x + 16)
∞ dx c. ∫ 1
−1
d.
x
∞ xdx g. ∫ x e −∞
MA1114 KALKULUS I
2
∫
−∞
1
e x dx x 2
∞ dx h. ∫ 2 − ∞ x + 2 x + 17
b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga (i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang Jika kontinu pada [a,b) dan b
∫ f ( x )dx =
a
lim f ( x ) = ±∞ x →b
maka
t
∫ f ( x )dx
lim
− t →b a
Jika kontinu pada (a,b] dan b
∫ f ( x )dx =
a
−
lim f ( x ) = ±∞ x →
+ a
maka
b
f ( x )dx ∫ +
lim s →a
s
Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen
MA1114 KALKULUS I
(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan Jika f(x) kontinu pada [a ,b ], kecuali di c dengan
a < c < b
dan
lim f ( x) = ±∞ maka
x → c
b
c
b
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =
a
a
c
t
b
∫ f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dx − + t → c a s→c s lim
II
I b
Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar
∫ f ( x)dx a
konvergen.
MA1114 KALKULUS I
Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar 1
∫
ln x
0
x
dx
Jawab : Karena fungsi maka
1
∫ 0
f ( x ) =
ln x
x
ln x
tidak kontinu di x=0 dan
x
1
dx = lim+ t →0
= lim+ t → 0
1 2
∫ t
ln x
x
1
1
2
t
dx = lim+ (ln x) 2 t →0
(0 − (ln t ) ) = − ( −∞ ) 2
Integral tak wajar divergen
MA1114 KALKULUS I
2
= −∞
lim
+ x →0
ln x x
= −∞
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar 2
x
∫ 1 − x dx
0
Jawab Fungsi f ( x) = 2
x
∫ 1 − x
x 1 − x 1
dx =
0
diskontinu di x=1 dan lim− x →1
x
∫ 1 − x
= lim− ∫ s →1
s
lim−
s →1
x
∫ 1 − x 0
0
1− x
=∞
x
∫ 1 − x dx
dx +
0
s
Karena
2
x
1
x 1 − x
2
dx + lim+ t →1
x
∫ 1 − x dx t
s
dx = lim− (− x ) − ln | 1 − x | 0 = lim (− s − ln | 1 − s |) − 0 = ∞ − s →1
s →1
2
maka integral tak wajar
x
∫ 1 − x dx divergen 0
MA1114 KALKULUS I
Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan integran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contoh berikut Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar ∞ x
∫ 1 − x dx
0
Jawab : Integral diatas merupakan integral tak wajar karena - batas atas integral tak hingga - integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selang pengintegralan sehingga ∞ x
1
0
0
∫ 1 − x dx = ∫
x 1 − x
2
dx +
x
∞
x
∫ 1 − x dx + ∫ 1 − x dx 1
MA1114 KALKULUS I
2
s
= lim ∫ −
s →1
2
x 1 − x
0
dx + lim ∫ +
t →1
t
x 1 − x
∞
dx + lim ∫ b →∞
2
x 1 − x
dx
Karena s
lim−
s →1
x
∫ 1 − x dx = lim(− x ) − ln | 1 − x | −
s →1
0
Maka integral tak wajar
s 0
= lim− (− s − ln | 1 − s |) − 0 = ∞ s →1
∞ x
∫ 1 − x dx divergen
0
Soal-soal latihan Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
