Integral Tak Wajar

Integral Tak Wajar 

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

Integral Tak Wajar b

Dalam mendefinisikan integral tentu ´  f  ( x)dx sebagai limit jumlah a reiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu : a. Batas pengintegralan berhingga b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b] Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka integral tentu disebut  disebut integral integral tak wajar Jenis-jenis integral tak wajar a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga Definisi : b

b

´  f  ( x)dx ! lim ´  f  ( x)dx

(i)

g

a pg

b

   

(ii)

´  f  ( x)dx a

a

´

lim  f  ( x) dx b

¡    

   

a

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen c

´  f  (  x ) d  x  ´  f  (  x ) d  x

´  f  (  x ) d  x

(iii)

c

b

c

! lim

´  f  (  x ) d  x

a pg a

c

lim

´  f  (  x ) d  x

b pg c

g

g

Jika ´  f  (  x ) d  x dan ´  f  (  x ) d  x konvergen,maka ´  f  (  x ) d  x konvergen g

g

c

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

Contoh

Periksa kekonvergenan ITW

g 2  x  dx a. ´  xe

0

dx

b. ´

c.

2  g ( 2 x  1 )

4

g dx ´ 2 2 x  g (  x ¢   

Jawab : a.

b g 2 ¨ 1  x b ¸   x  x ¹ dx ! lim ´ xe dx ! lim ©©  e ´  xe bp g bpg 4¹ 2 2

4

2

ª

4

!

li



bp g

1¨

©e 2ª



b2



e

16  ¸



 º

1

¹! e  º 2

16



1

16

Jadi integral tak wajar konvergen ke 2 e 0 0 d  x ¨ 0 ¸ 1 d  x © ¹ lim lim !  ! b. ´ ´ 2 b 2 bpg ©ª 2(2 x  1) b º¹ b (2x 1)  g (2 x  1) ¨1  ¸ 1 1 ¹¹ ! ! lim ©© b p g 2 2(2b  1) º 2 ª pg

Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2 MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

¢   

5)

g

c.

´

d  x

2 2 x   5 )  g (  x

1

´

!

g

 x

2

 2 x  5

1

lim

!

a p g

´  x a

!

lim a p g

!

g

d  x

lim

1 2



´

 1  x 2  2 x   5

b

d  x 2

d  x

 2 x  5

 lim ´ b pg

1

tan

1

   lim b

1  x 1 2



pg

a

tan 1 1





d  x

tan

2  x  2 x  5 1

1 2

b

tan

1 1 1   lim  tan b21  tan 1 b

2 1 ¨ T  ¨  T  ¸ ¸ 1 ¨ T  T  ¸ ! ©©  © ¹ ¹¹ ©  ¹ 2 ª 4 ª 2  º º 2 ª 2 4 º a p g

1

1 a 1 2



 

1  x 1 2



Jadi integral tak wajar konvergen ke

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

T

2



pg

T !

2

2



Soal-soal

latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut 

g a. ´ 0 g

e.

dx 4

x2

2

)

´e

4 x

dx

g

 x d  x

´ (1  x 2

b.

0

2

g dx f. ´ 2 (  x 16) g

g dx c. ´ 1

1



d.

x

g  xdx g. ´  x e g

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

2

´

g

e

1

x

d  x

 x 2

g dx h. ´ 2 2 x 17  g  x

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga (i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang Jika kontinu pada [a,b) dan b

 x p b

li t pb



sg

maka

´  f  (  x )d  x a

Jika kontinu pada (a,b] dan b

´  f  (  x )dx !

a

 f  (  x ) ! 

t 

´  f  (  x )d  x !

a

li

lim  f  (  x ) ! sg  x p a

£   

maka

b

lim

´  f  (  x )dx

 s p a  s ¤   

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan Jika f(x) kontinu kontinu pada [a,b], kecuali kecuali di di c dengan a < c < b dan lim  f  ( x) ! sg maka

 x p c

b

c

b

´  f  ( x) dx ! ´  f  ( x ) dx ´  f  ( x )dx

a

a

c

t  lim

!

´  f  ( x)d  x 

t  p c  a

b

´  f  ( x)d  x

lim

 s p c  s

II

I b

Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar

´  f  ( x)dx a

konvergen.

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

Contoh

1

´

Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar

ln x

0

 x

d  x

Jawab : K arena arena

maka

fungsi  f  (  x ) ! 1

´ 0

ln x

 x

ln x  x

tidak kontinu di x=0 dan 1

d  x

!

! lim

t p 0 

lim

t p0 

1 2

0

´ t  

ln x

 x

d  x

1

! lim (ln (ln  x) t p 0 

2

(ln (ln t ) 2 !  ( g ) 2 !

Integral tak wajar divergen

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

2

1

t  g

lim  x p0

¥   

ln x x

! g

Contoh

Periksa kekonvergenan integral tak wajar 2

 x

´ 1   x dx

0

Jawab Fungsi 2

 f  ( x )

 x

!

diskontinu di x=1 dan lim

1   x

 x p1



1

 x

2

 x

 x 1 x

!

g

 x

´ 1   x dx ! ´ 1   x dx  ´ 1   x dx 0

0

1

 s !

lim 

 s p1

K arena arena  s

lim

 s p1

 x

´ 1  x 0

´1 0

 x 

 x

2

dx  lim t p1

dx ! lim   x  ln 1   x  s p1

2

maka integral tak wajar

 s 0

 x

´1 t 

 x 

 x

dx

! lim  s  ln | 1  s | 0 ! g  s p1

´ 1  x dx divergen 0

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan integran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contoh berikut  Contoh

Periksa kekonvergenan integral tak wajar g

 x

´ 1   x dx

0

Jawab : Integral diatas merupakan integral tak wajar karena - batas atas integral integral tak tak hingga hingga - integran integran tak hingga hingga di x = 1 yang terletak terletak didalam didalam selang pengintegralan sehingga g

 x

´ 1  x dx

0

1

!

´1 0

 x 

 x

2

d  x 

´1 1

 x 

 x

g

d  x 

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

´1 2

 x 

 x

d  x

 s

!

lim ´ 1  s p1

0

2

 x 

 x

d  x 

lim ´ 1 t p1

t 

 x 

 x

g

d  x 

lim ´ 1 b pg

2

 x 

 x

d  x

K arena arena  s

lim 

 s p1

´1 0

 x 

 x

Maka

d  x

!

 s

lim   x  ln | 1   x | 0

integral tak wajar ´

 x

0 1   x

lim  s  ln | 1  s | 0 ! g

 s p1

 s p1

g

Soal-soal

!



dx divergen

latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut 

1 dx

´  1 x

a. 0

e.

´  x



2

1

3

1  x  xe dx b. ´ 1

 x d  x 2

 7 x  10

1

f.

 x d  x

´  x



2

2



1 dx

1

c. ´ 1 x 1

g.

1

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

´

1 x2

0

 x d  x

´  x

2

d.

d  x

2

1

3

h.

d  x

´  x ln x 0

Soal-soal

latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut  1

 x d  x

´  x

a.



2

0

e.

´  x

2

2

1

1  x b. ´  xe dx 1

 x dx 2

 7 x  10

1

f.

 x d  x

´  x



2

2



1

1 dx

1

c. ´ 1 x

1 g.

MA1114 MA1114 KALKULUS KALK ULUS I

´

d.

dx

´

1 x2

0

d  x

 x 1

1

3

3

h.

dx

´  x ln x 0