Solución: Guía "Ley de Gauss"
Por: Ing. Samuel Adolfo Dueñas Aparicio
Una lámina plana tiene forma rectangular, con lados cuya longitud es de 0.400 m y 0.600 m. Se introduce la lámina en un campo eléctrico uniforme con una magnitud de 75.0 N/C y cuya dirección forma un ángulo de 20o con respecto al plano de la lámina (ver figura). Halle la magnitud del flujo eléctrico a través de la lámina.
Datos:
E = 75 N/C
Base = 0.6 m
Altura = 0.4 m
Calcular la magnitud del flujo eléctrico.
ΦE = EA Senθ
ΦE = 75 (0.6 x 0.4) Sen (20)
ΦE = 6.16 Nm2/ C
2. Considere una caja triangular cerrada con un campo eléctrico horizontal de magnitud
E=7.80x104 N/C, (ver figura) Calcule el flujo eléctrico a través a) la superficie vertical del rectángulo, b) la superficie inclinada y c) toda la superficie de la caja.
R/ a) -2.34 KNm2/C b) 2.34 KNm2/C c) 0
a)la superficie vertical del rectángulo
E= -EA
E= -(7.80×10-4)(0.3×0.1)
E= -2.34 kNm2C
b) la superficie inclinada
Senθ=Coh
h=CoSen30=0.2 m
E= EASenθ
E= 7.80×1040.3×0.2Sen30°
E= 2.34kNm2C
c) toda la superficie de la caja
E= E1+E2
E= 2.34-2.34
E= 0
3.Calcule el flujo eléctrico total a través de la superficie del paraboloide debido a un campo eléctrico constante de magnitud E0 en la dirección mostrada en la figura.R/ E0 πr
E=E.A
E= ε0
E= ε0.A
E= ε0.πr2
4- Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado y con una altura de 4.00 m está colocada en un campo eléctrico total vertical de 52.0 N/C. Calcule el flujo eléctrico total a través de las cuatro superficies inclinadas de la pirámide.
Datos:
E = 52 N/C
Base = 6m
Altura = 6m
Calcular el flujo eléctrico total.
ΦE = EA
ΦE = 52 (6x6)
ΦE = 1872 Nm2/C
5. Una red para cazar mariposas se encuentra en un campo eléctrico uniforme (ver figura). El borde, un círculo de radio a, está alineado de manera perpendicular al campo. Determine elcampo eléctrico que cruza la red en relación con la normal hacia afuera.
R/ πa^2E
E= -EA
E= -E0πa2
6. Un campo eléctrico vale E = (200 N/C) i para x > 0 y E = (-200 N/C)i para x < 0. Un cilindro circular recto de 20 cm de longitud y 5 cm de radio tiene su centro en el origen y su eje está situado a lo largo del eje x de modo que una de las caras está en x = +10 cm y la otra en x = -10 cm. a) ¿Cuál es el flujo saliente que atraviesa cada cara? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa la parte lateral del cilindro? c) ¿Cuál es el flujo neto saliente que atraviesa toda la superficie cilíndrica? d) ¿Cuál es la carga neta en el interior del cilindro?
R/ a) 1.57 Nm2/C, b) 0, c) 3.14 Nm2/C,d) 0
dA
x>0 E=200NC
x<0 E= -200NC
a) E=E.A
E=200((π)(0.05)2)
E=1.57Nm2C
b) E=E.A. Cos90°
E=E.A.0
E=0
c) E= -(-200)(π0.05)2Cos180+E.ACos90°+(200)(π0.05)2Cos0°
E=1.57+0+1.57
E=3.14 Nm2C
d) E=0
7-Un cubo con bordes de 1.4 m presenta la orientación que se ilustra, dentro de una región de un campo eléctrico uniforme. Calcule el flujo eléctrico que pasa por la cara derecha si el campo eléctrico está dado por a) (6 N/C) i , b) (-2 N/C) j , c) (-3N/C)i +
(4 N/C) k , d) Calcule el flujo total a través del cubo para esos campos.
a) dato:
E = (6 N/C) i
ΦE = 0
b) dato:
E = (-2 N/C) j
ΦE = EA
ΦE = -2 (4x4)
ΦE = -3.92 Nm2/C
c) dato:
E = (-3 N/C) i + (4 N/C) k
ΦE= 0 no atraviesa el lado derecho del cubo
d) flujo total
Cero para cada uno de los campos.
8.Una esfera solida de radio 40.0 cm tiene una carga positiva total de 26 μC distribuida uniformemente en su volumen. Calcule la magnitud del campo eléctrico a las siguientes distancias del centro de la esfera: a) 0 cm, b) 10.0 cm, c) 40.0 cm y d) 60.0 cm
R/ a) 0 , b) 365 KN/C, c) 1.46 MN/C , d) 649 KN/C
a) r = 0 cm ; E= 0
b) Cuando r = 10 cm
ε0EdA=q'
E= 14πε04.06×10-7r2
E= 14πε04.06×10-7r2
E= kr qR3
E= 9×109(0.10)(26)(0.40)3
E= 14πε04.06×10-7r2
E= 365.625 kN/C
9. Un trozo de Styrofoam de 10.0 g tiene una carga neta de -0.700 μC y flota por encima del centro de una gran lamina horizontal de plástico que tiene una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿Cuál es la carga por unidad de superficie presente en la lámina de plástico? R/ - 2.48 μC/m2
Datos:
m=10g
q= -0.700μC
QA= σ
E= σ2ϵ0
Fq=σ2ε0
mgq=σ2ε0
σ= 2ε0mgq
σ= 2(8.85×10-12)(10×10-3)(9.8)-0.700×10-6
σ= -2.478μCm2
10. Una partícula con una carga de – 60.0 nC, está colocada en el centro de un cascaron esférico noconductor con radio interior igual a 20.0 cm y un radio exterior de 25.0 cm. El cascaron esférico tiene una carga con una densidad uniforme de – 1.33 μC/m3 . Un protón está en movimiento en una órbita circular justo en el exterior del cascaron esférico. Calcule la velocidad del protón.
Calcular campo eléctrico. Calcular Q cascaron
ε0EA = -Q + Qcascaron Qcasc = ρV
E = -Q+Qcasε0A Qcasc = (-1.13x10-6) (4π/3Rext3 - 4π/3Rint3)
E = -60x10-9-4.25x10-84π(0.25) Qcasc = 4π/3 (-1.13x10-6) [0.253 - 0.203]
E = -14,746.6 N/C Qcasc = -4.24710-8 C
Calcular velocidad.
E = FQproton
Qpro E = mar
Qpro E = m V2R
V = Qp E Rm V = 1.6x10-1914,746.6(0.25)1.67x 10-27 V = 594x103 m/s
11. Una coraza conductora esférica de radio interior a y radio exterior b tiene una carga puntual positiva Q en su centro. La carga total de la coraza es -3Q y está aislada de su entorno (ver figura) a) Deduzca expresiones de la magnitud del campo eléctrico en términos de la distancia r desde el centro correspondientes a las regiones r < a, a < r < b y r > b. b) ¿Cuál es la densidad de carga superficial en la superficie interior de la coraza conductora? c) ¿Cuál es la densidad superficial de carga en la superficie exterior de la coraza conductora?
a) r > a
ε0EdA=Q
ε0EA=Q
ε0E(2πr2)=Q
E=14πε0Qr2
a < r < b
ε0EdA=qenc
E=0 No hay carga entre a y b
r > b
ε0EdA=q-3Q
ε0EdA=2Q
ε0E4πr2=2Q
E=14πε02Qr2
b) Densidad de carga
σ=QA
σ=-Q4πa2
c) σ=QA
σ=Q-3Q4πr2
σ=-2Q2πr2
12. Corazas esféricas concéntricas. Una coraza esférica conductora pequeña de radio interior a y radio exterior b es concéntrico con una coraza esférica conductora grande de radio interior c y radio exterior d (ver figura). La coraza interior tiene una carga total +2q, y la coraza exterior, una carga +4q. a) Calcule el campo eléctrico (magnitud y dirección) en términos de q y de la distancia r respecto al centro común de las dos corazas cuando i) r < a; ii) a < r < b; iii) b
d. b) ¿Cuál es la carga total de i) la superficie interna de la coraza pequeña; ii) la superficie externa de la coraza pequeña; iii) la superficie interna de la coraza grande; iv) la superficie externa de la coraza grande?
a) r
ε0 E.dA= qenc.
ε0E.A=0
E=0ε0A
E=0
b) a
ε0 E. dA= qenc.
ε0. E.A=0
E=0
c) b
ε0. EdA= qenc.ε0 E.dA=qenc
ε0E.A= +2qε0E4πr2=-2q+2q
ε0E4πr2= +2qE=0
E= +2qε04πr2
e) r>d
ε0. E.dA= qenc
ε0.E4πr2= +4q+2q-2q+2q
ε0. E4πr2= +6q
E= +6qε0.4πr2 hacia afuera
qtotal=0
qtotal= +2q
qtotal= -2q
qtotal= +4q+2q-2q+2q
qtotal= +6q
13. Una esfera aislante solida de radio a tiene una carga positiva neta 3Q, distribuida
uniformemente en su volumen. Concéntrica con esta esfera existe un cascaron esférico
conductor de radio interno b y de radio externo c, con una carga neta -Q (ver figura)
a) Construya una superficie gaussiana esférica de radio r > c y determine la carga neta encerrada por esta superficie. b) Cual es la dirección del campo eléctrico en r > c?
c) Encuentre el campo eléctrico en r > c. d) Encuentre el campo eléctrico en la región de radio r, donde c > r > b. e) Construya una superficie gaussiana esférica de radio r, donde
c > r >b , y determine la carga neta encerrada por este superficie. f) Construya una superficie gaussiana esférica de radio r, donde b > r > a, y determine la carga neta encerrada por esta superficie. g) Encuentre el campo eléctrico en la región b > r > a.
h) Construya una superficie gaussiana esférica de radio r
k) Determine la carga en la superficie externa del cascaron conductor.
a) r > c
Qneta = -Q + 3Q
Qneta = 2Q
b) r > c
Tiene una dirección radial hacia afuera porque el campo es positivo.
c) r > c
ε0EA = 2Q
E = 14πε02Qr2
E = 2KQr2
d) c > r > b
La carga encerrada es cero. E = 0
e) c > r > b
q = 0
f) b > r > a
q = 3Q
g) b > r > a
ε0EA = 3Q
E = 3KQr4r2radial hacia afuera
h) r < a
q' = qr3R3
q' = 3Qr3a3
i) E = Kq'ra3 E = K(3Qr3a3)ra3 E = 3KQr4a6
j) q = -3Q
k) q = 3Q –Q
q = 2Q
14. Una esfera aislante sólida, de radio a , tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga total Q, colocada en forma concéntrica a esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada, de radios interno y externo b y c, respectivamente (ver figura) a) Determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones r < a , a < r < b, b < r < c y r > c. b) Determine
a) r > a
ε0EA=Q r3a3
E=Qr3a34πr2ε0
E=14πε0Qra3
E=14πε0ρ43πa3ra3
E=14πε0ρ43πa3a3
Cuando a < r
ε0EA = Qenc
ε0E (4πr2) = Q
E = 14πε0Qr2Radial hacia afuera
b > r < c
E = 0 (No hay carga)
r > c
E= 14πε0Qr2
15. En la siguiente figura se muestra una cascara esférica de carga con densidad de carga volumétrica uniforme ρ. Determine E debido a la cascara para distancias r desde el centro de la cascara que van de cero a 30. cm. Suponga que ρ = 1.0x10-6 C/m3, a = 10 cm y b = 20 cm.
Esfera=Volumen
Q=ρV
E=14πε0.ρ(43πr3)r2
E=9×109.(1.0×10-6)(0.20)2(0.3)2
E= 720.09
E=800NC
16. En la siguiente figura, una cascara esférica no conductora, de radio interior a y radio exterior b, tiene una densidad de carga volumétrica ρ = A/r (dentro de su grosor), donde A es una constante y r es la distancia desde el centro de la cascara. Además, una carga puntual positiva q está ubicada en ese centro. Qué valor debe tener A si el campo eléctrico en la cascara(a r b) debe ser uniforme? (Sugerencia: la constante A depende de a, pero no de b.)
Calcular campo eléctrico. Valor del área.
ε0EA = Qenc q = ρV
E = q+qε0(4πa2) q = (A/r) (4π/3 a3)
E = 2qε0(4πa2) q(4π/3a3) = A/r
E = qε0(2πa2) qr(4π/3a3)= A
17. Un cilindro conductor muy grande (longitud L) que tiene una carga total + q está rodeado por un cascarón cilíndrico conductor (también de longitud L), con una carga total -2q, como muestra en la sección transversal de la figura. Use la ley de Gauss para determinar a) el campo eléctrico en los puntos fuera del cascarón conductor, b) la distribución de carga en él c) campo eléctrico en la región situada entre los cilindros.
a) ε0EA=qenc
ε0E 2πrL=-2q+q
E= -Q2πε0rL
E=Q2πε0rLradial hacia afuera
b) –q tanto afuera como adentro
c) ε0EA=qenc
ε0E2πrL=+q
E=q2πε0rLradial hacia afuera
18. La figura muestra una sección a través de dos largos cilindros concéntricos delgados de radios a y b. Transportan cargas iguales y opuestas por unidad de longitud λ. Por medio de la ley de Gauss pruebe que a) E = 0 cuando r < a y que b) entre los cilindros E está dada por:
r
ε0 E.dA=qenc.
ε0.EA=q
E=0ε0
E=0 porque en el interior no hay carga.
b) ε0EA= qenc.
ε0E2πrL= -Q
E= -Q2πε0rL
E=-dL2πε0rL
E=d2πε0r radial hacia adentro.
19. Dos láminas grandes de plástico, no conductoras, cada una con un espesor de 10.0 cm, tienen densidades de carga uniformes σ1 , σ2 , σ3 y σ4 en sus superficies (ver figura). Los valores de estas densidades superficiales de carga son σ1 = -6. 00 μ C/m2, σ2= +5. 00 μ C/m2, σ3 = +2. 00 μ C/m2y σ4 = +4. 00 μ C/m2 . Utilice la ley de Gauss, para hallar la magnitud y dirección del campo eléctrico en los puntos siguientes, alejados de los bordes de estas láminas. a) Punto A, a 5.00 cm de la cara izquierda de la lámina de la izquierda, b) Punto B, a 1.25 cm de la superficie interna de la lámina de la derecha, c) Punto C, en medio de la lámina de la derecha. R/ a) 2.82x105 N/C hacia la izquierda, b) 3.95x105 N/C hacia la izquierda , c) 1.69x105 N/C hacia la izquierda
E=ΣE
EA= G12ε0+G22ε0+G32ε0+G42ε0
EA=12ε0G1+G2+G3+G4
EA=12ε0-6μ+5μ+2μ+4μ
EA=2.82x105N/C
b)
Eb=12ε06+2-4-5
Eb=3.95x105NC Hacia la izquierda
c)
Eb=μ2ε0G4+G1-G2+G3
EB=μ2ε04+6-2-5
EB=1.69x105NC Hacia la izquierda
20. Una carga positiva Q está distribuida de manera uniforme sobre cada uno de dos volúmenes esféricos con radio R. Una esfera de carga está centrada en el origen, y la otra en x = 2R (figura). Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico neto debido a estas dos distribuciones de carga en los siguientes puntos sobre el eje x: a) x = 0; b) x = R/2; c) x = R; d) x = 3R.
E=KQr2=Q4πε02R2=Q16πε0R2=Q16πε0R2
COMO ES NO CONDUCTOR
ε0E4πr2=Q'
E=Q(r')3R34π(r')2ε0 E=QrR34πε0 RADIAL HACIA ADENTRO
R2=Q8πR2ε0
E=Q4πε0R2 SIENDO R=32R
Q8πR2ε0- Q9πR2ε0= Q72πR2ε0
c) X=K
PARA E1 E= Q4πε0R2
E= 0
PARA E2 E= Q4πε0R2
d)
PARA E1 E= Q4πε0R2Q36πε0R2
PARA E2 E= Q4πε0R2
Q+9Q36πε0R2 = 10Q36πε0R2 i = 5Q18πε0R2 j
