UNIDAD 1 : GEOMETRÍ A ANALÍ TICA 1.1. SISTEMA DE COORDENADAS COORDENADAS RECTANGULARES RECTANGULARES Un sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto O. La recta horizontal se denomina eje X y la recta vertical se denomina eje Y. el punto O se denomina origen. La distancia desde un punto cualquiera (a, b ) al eje Y se denomina abscisa y la distancia desde el mismo punto hasta el eje X se denomina ordenada . Ambas distancias constituyen las coordenadas del punto en cuestión. y
II
b
(a,b)
abscisa
ordenada
a
O
III
x
IV
1.2. DISTANCIA DISTANCIA ENTRE DOS DOS PUNTOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: y 2
Q(x2,y2) d
y 1
O
y 2 – y 1
P(x1,y1) x 2 – x 1
x 1
x 2
Según el teorema de Pitágoras tenemos que: d 2
=
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2
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Página 1
Por lo tanto la distancia d entre los puntos P (x1 , y1 ) y Q(x 2 , y 2 ) es:
( x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2
d =
Ejemplo No. 1: Halle la distancia entre los puntos (4,−1) y (7, 3) Solución: d =
(7 − 4 )2 + (3 − (− 1))2
=
9 + 16
=
25
=
5 ⇒ d = 5 unidades
1.3. LA LINEA RECTA Una línea recta L está completamente determinada si se conocen:
Dos de sus puntos. Un punto y su pendiente.
1.3.1. Inclinación de una una recta La inclinación de una recta L es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el eje X. L
θ
1.3.2. Pendiente Pendiente de una recta La pendiente m de una recta L es la tangente del ángulo de inclinación. Es decir: m = Tanθ
Siendo θ el ángulo de inclinación de la línea recta. y2
−
y1
x2
−
x1
y2
−
y1
x2
−
x1
Pero según la figura: Tanθ = Por lo tanto: m = Tanθ =
Es decir la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q es: m=
y2
−
y1
x2
−
x1
Ejemplo No. 2: Halle la pendiente m y el ángulo de inclinación θ de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (− 2, − 1) Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 2
Solución: (2, 3)
Tenemos que: m=
y2
−
x2
−
y1
=
x1
3 − (− 1)
(
2− −2
)
=
4 4
=1⇒
m =1
Además: m = Tanθ
Por lo tanto: 1 = Tan θ ⇒ θ = Tan −1 (1) = 45 º ⇒
θ =
45 º
(-2,-1)
1.3.3. Ecuación de la recta Conocido un punto de la recta y la pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto
P (x1 , y1 ) y
cuya pendiente sea m es: y − y1
=
m( x − x1 )
La ecuación anterior se llama ecuación punto-pendiente
Conocido la pendiente y el punto de intersección con el eje Y: La ecuación de la recta cuya pendiente sea m y que corta al eje Y en el punto (0, b ) es: y
=
mx + b
La ecuación anterior se llama ecuación punto-intercepto
Conocido dos puntos de la recta: Para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(x1 , y1 ) y Q( x 2 , y 2 ) se calcula la pendiente m con la formula: m=
y2
−
y1
x2
−
x1
Y posteriormente se aplica la ecuación punto-pendiente.
Ejemplo No. 3: Halle la pendiente m y el punto de intersección con el Y de la recta 2 y + 3x = 7 Solución: Despejando y de la ecuación de la recta tenemos que: 2 y + 3x = 7 2y
y
= −3 x + 7
=−
3 2
x+
7 2
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 3
Por lo tanto m = − 32 y b =
7 2
El punto de intersección con el eje Y es: (0, 72 )
Ejemplo No. 4: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (− 4, 3) y cuya pendiente es
m = −2
Solución: Aplicando la ecuación punto-pendiente tenemos que: y − y1
=
m( x − x1 ) ⇒ y − 3 = −2( x − (− 4 )) ⇒
y = −2 x − 5
Ejemplo No. 5: Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 8) y (− 3, − 7 ) Solución: La pendiente m es: m=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
−7−8
=
−3− 2
− 15 −5
=
3
Aplicando la ecuación punto-pendiente y tomando el punto (2, 8) tenemos que: y − y1
=
m( x − x1 ) ⇒ y − 8 = 3(x − 2 ) ⇒
y
= 3x + 2
Ejemplo No. 6: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,−3) y cuyo ángulo de inclinación es θ = 60º Solución: La pendiente m es: m
=
Tan θ ⇒ m
=
Tan 60 º ⇒ m
=
3
Aplicando la ecuación punto-pendiente tenemos que: y − y1
=
m(x − x1 ) ⇒ y − (− 3) = 3 (x − 2 ) ⇒
y
=
3x − 3 + 2 3
)
1.3.4. Rectas paralelas Dos rectas L1 y L2 son paralelas si y solamente si sus pendientes m1 y m2 son iguales. Es decir: L1 ││ L2
⇔
m1
=
m2
1.3.5. Rectas perpendiculares Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y solamente si el producto de sus pendientes m1 y m2 es igual a − 1. Es decir: L1
⊥
L2
⇔
m1m2
= −1
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 4
Ejemplo No. 7: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,−4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (3, 2 ) y (− 1, − 6 )
Solución: La recta que pasa por los puntos (3, 2 ) y (− 1, − 6 ) tiene pendiente: m1
=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
−6−2 −1− 3
=
−8 −4
=
2
La recta pedida debe tener pendiente m2 que: y − y1
=
=
m1
=
2.
m2 ( x − x1 ) ⇒ y − (− 4 ) = 2( x − 5 ) ⇒
Por lo tanto aplicando la ecuación punto-pendiente tenemos y = 2 x − 14
Ejemplo No. 8: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (− 2,4 ) y es perpendicular a la recta 2x − 3 y + 6 = 0
Solución: Despejando y de la ecuación 2 x − 3 y + 6 = 0 , tenemos que: y
=
2 3
x+2
Por lo tanto la pendiente de esta recta es m1
=
2 3
Como la recta pedida con pendiente m2 debe ser perpendicular a la recta 2 x − 3 y + 6 = 0 con pendiente m1 = 23 entonces se debe cumplir que: m1m2
= −1
Por lo tanto:
( 23 )m2
= −1 ⇒
m2
=−
3 2
Aplicando la ecuación punto-pendiente tenemos que: y − y1
=
m 2 ( x − x1 ) ⇒ y − 4 =
−
3 2
(x − (− 2 )) ⇒
y
= −
3 2
x +1
Ejemplo No. 9: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: 2x − 3y = 1 x − 5 y = −3
Y por el punto (− 1, 3)
Solución: Para hallar el punto de intersección de las rectas 2 x − 3 y = 1 y x − 5 y = −3 , despejemos y de ambas ecuaciones:
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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y
=
2 3
x−
1 3
y
=
1 5
x+
3 5
Ahora igualemos ambas ecuaciones y despejemos x : 2 3
x − 13
2 3
x − 15 x =
=
10 x − 3 x
1 5
x+
3 5
3 5
1 3
=
15 7 x = 14
x=
14 7
+
9+5 15
⇒x=2
A continuación reemplacemos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones de las rectas dadas y hallemos el valor de y : y
=
2 3
(2 ) − 13 ⇒
y
=1
Por lo tanto el punto de intersección de ambas rectas es (2, 1) . Esto significa que la recta pedida pasa por los puntos (2, 1) y (− 1, 3) Su pendiente m es: m=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
3 −1 −1 − 2
=−
2 3
Aplicando la ecuación punto-pendiente y tomando el punto (2, 1) tenemos que: y −1 =
−
2 3
(x − 2 ) ⇒
y
=−
2 3
x+
7 3
EJERCICIOS PROPUESTOS No. 1 1. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto (2, 3) y cuya abscisa en el origen sea el doble que la ordenada en el origen. 2. Halle la ecuación de la recta que sea perpendicular a la recta 2 x + 7 y − 3 = 0 en su punto de intersección con la recta 3x − 2 y + 8 = 0 3. Halle el valor del parámetro k de tal forma que: a) 3kx + 5 y + k − 2 = 0 pase por el punto (− 1, 4 ) b) 4 x − ky − 7 = 0 tenga pendiente m = 3 4. Halle la ecuación de la recta con pendiente − 34 y que formen con los ejes coordenados (eje X y eje Y) un triangulo de área 24 unidades de superficie. 5. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto (− 2, − 4 ) y cuyas coordenadas en el origen (abscisa y ordenada en el origen) sumen 3
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Página 6
1.4. LUGAR GEOMETRICO El lugar geométrico (grafica) de una ecuación con dos variables es una curva que contiene todos los puntos que satisfacen la ecuación dada. Los dos grandes problemas de la geometría analítica son: Dada una ecuación hallar el lugar geométrico asociado. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones hallar su ecuación matemática.
1.5. LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la distancia desde cualquier punto
P ( x, y )
de la circunferencia hasta su centro C ( h, k ) es siempre la misma. Veamos: Según la figura la distancia r desde el punto P ( x, y ) hasta el punto C (h, k ) es:
(x − h )2 + ( y − k )2 ⇒
r =
2
r
=
( x − h )2 + ( y − k )2
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia con centro en ( h, k ) y radio r es:
(x − h )2 + ( y − k )2
=
r 2
La ecuación anterior se llama ecuación canoníca de la circunferencia. Si la circunferencia tiene su centro en el origen, es decir en
( x − 0 )2 + ( y − 0 ) 2
=
r 2 ⇒ x 2
+
y2
=
(0,0 ) , entonces h
+
y2
=
0
y k = 0 , por lo tanto:
r 2
Esto significa que la ecuación de la circunferencia con centro en x2
=
( 0, 0 )
y radio r es:
r 2
Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo: x
2
+
y
2
+ Cx +
Dy + E = 0
Completemos cuadrados :
(x
2
) (y
+ Cx +
2
+
Dy ) = − E
[x + C 2 ]2 − C 4 + [x + D2 ]2 − D4 = − E [x − (− C 2 )]2 + [x − (− D2 )]2 = C 4 + D4 2
2
2
2
Por lo tanto: h = − C 2 , k = − D2 y r 2
−
E
=
C 4
2
+
2
D 4
−
E
Esto significa que una circunferencia con ecuación: x2
+
y2
+ Cx +
Dy + E = 0
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 7
Tiene su centro en: C (− C 2 ,− D2 ) Y su radio es:
2
1 2
r =
C
+
D
2
− 4 E
Ejemplo No. 10: Halle la ecuación de la circunferencia con centro en (− 2, 3) y radio 2 Solución: h
= −2
k = 3 ⇒ ( x − (− 2 ))
2
+
( y − 3)2
=
2
2 2 ⇒ (x + 2 )
+
( y − 3)2
=
4
r = 2
Ejemplo No. 11: Halle el centro y el radio de la circunferencia
x
2
+
y
2
+
4x − 6 y + 9
=
0
Solución: Opción 1: Identifiquemos C, D y E.
4
C = D
= −6
9
E =
El centro es: (− C 2 , − D2 ) = (− 42 ,− ( 26 ) ) ⇒ (− 2,3) −
El radio es: r =
C 2
1 2
+
D2
−
4 E =
1 2
4
2
(
) 2 − 4(9 ) ⇒
+ −6
r = 2
Opción 2: Completemos cuadrados.
(x
2
+
4 x ) + (y 2
−
6 y ) = −9
[x + 2 ]2 − 4 + [x − 3]2 − 9 = −9 [x + 2 ]2 + [x − 3]2 = 4 + 9 − 9 [x − (− 2 )]2 + [x − 3]2 = 4 h = −2 k = 3 r 2
=
⇒ El centro es (− 2,3) y el radio es r = 2
4
Ejemplo No. 12: Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5, 3) , (6, 2) y (3, − 1) Solución: La ecuación pedida tendrá ecuación: x 2
+
y2
+ Cx +
Dy + E = 0
Debemos hallar los valores de C , D y E . Para tal efecto reemplacemos cada punto en la ecuación anterior:
Para el punto (5, 3) :
(5 )2 + (3)2 + C (5 ) + D (3 ) + E = 0
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
⇒ 5C + 3D + E = −34
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(1) Página 8
(6 )2 + (2 )2 + C (6 ) + D (2 ) + E = 0
⇒ 6C + 2 D + E = −40
Para el punto (6, 2) :
2 2 Para el punto (3, − 1) : (3) + (− 1) + C (3 ) + D (− 1) + E = 0 ⇒ 3C − D + E = −10
(2) (3)
Despejemos E en la ecuación (1): E = −5C − 3D − 34
Reemplacemos el valor de E en las ecuaciones (2) y (3): (2) 6C + 2D + (− 5C − 3D − 34) = −40 ⇒ C − D = −6 (3) 3C − D + (− 5C − 3D − 34) = −10 ⇒
(2.1)
− 2C − 4 D =
24
(3.1)
Despejemos C en la ecuación (2.1): C = D − 6
Reemplacemos el valor de C en la ecuación (3.1) y despejemos D : (3.1)
(D − 6) − 4D = 24 ⇒
−2
D = −2
Si D = −2 entonces: C = (− 2) − 6 ⇒ C = −8 Si D = −2 y C = −8 entonces: E = −5(− 8 ) − 3(− 2) − 34 ⇒ E = 12 La ecuación pedida es: x 2 + y 2 − 8x − 2 y + 12 = 0
Ejemplo No. 13: Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, 3) , (− 1, 1) y cuyo centro está situado en la recta x − 3 y − 11 = 0
Solución: Consideremos la siguiente figura: El centro C de la circunferencia debe equidistar de los puntos A y B . Es decir la distancia desde C hasta A debe ser la misma distancia desde C hasta B . Por lo tanto: r 1 = r 2 Pero: r 1
=
(h + 1)2 + (k − 1)2
r 2
=
(h − 2)2 + (k − 3)2
Igualando los radios tenemos:
(h + 1)2 + (k − 1)2
=
(h − 2 )2 + (k − 3 )2
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 9
(h + 1)2 + (k − 1)2 h2
=
(h − 2 )2 + (k − 3 )2
2
+ 2h + 1 + k − 2k + 1 =
h2
2
− 4h + 4 + k − 6k + 9
⇒ 6h + 4k = 11 (1)
Como el centro C (h, k ) está sobre la recta con ecuación x − 3 y − 11 = 0 , entonces satisface dicha ecuación: h − 3k = 11
(2)
Despejemos h en la ecuación (2): h = 3k + 11
Reemplacemos el valor de h en la ecuación (1) y despejemos k : (1) 6(3k + 11) + 4k = 11 ⇒ k = − 52 Si k = − 52 entonces: h = 3(− 52 ) + 11 ⇒ h =
7 2
Para hallar el radio r de la circunferencia reemplacemos los valores de h y k en la ecuación: r =
(h + 1)2 + (k − 1)2
r =
( 72 + 1)2 + (− 52 − 1)2 ⇒ 2
La ecuación pedida es: (x − 72 )
r = +
130 2
( y + 52 )2
=
65 2
EJERCICIOS PROPUESTOS No. 2 1. Halle el valor del parámetro k para que la ecuación x 2 + y 2 − 8 x + 10 y + k = 0 represente una circunferencia de radio 7 2. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por el punto (0, 0 ) , tenga radio r = 13 y la abscisa de su centro sea − 12 3. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro este en el eje X y que pase por los puntos (− 2, 3) y (4, 5) 4. Halle la ecuación de la circunferencia circunscrita al triangulo cuyos lados son las rectas: x+ y =8 2 x + y = 14 3x + y = 22
5. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos (8, − 2) , (6, 2) y (3, − 7 ) 6. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos (1, − 4) y (5, 2) y cuyo centro está situado en la recta x − 2 y + 9 = 0
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Página 10
1.6. LA PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la distancia desde cualquier punto P ( x, y ) de la parábola hasta una recta fija L llamada directriz es la misma distancia que hay desde el mismo punto hasta otro punto F llamado foco. La recta fija L se llama directriz y según la figura tiene ecuación x
= −a
El punto fijo F se llama foco y según la figura tiene coordenadas (a , 0 ) P es (x, y )
un punto cualquiera de la parábola y tiene coordenadas
El eje en donde se encuentra ubicado el foco se denomina eje de simetría de la parábola. Según la figura el eje de simetría es X. El punto V en el que la parábola corta al eje de simetría se llama vértice y según la figura tiene coordenada (0, 0 ) La distancia entre el vértice y la directriz es la misma distancia que hay entre el vértice y el foco, dicha distancia según la figura es a El segmento de recta AB que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría se denomina latus rectum . La distancia entre P y F es d 1 y la distancia entre P y la directriz L es d 2 . Por definición de parábola tenemos que d 1 = d 2 Pero: d 1
=
d 2
=
(x − a )2 + ( y − 0 )2
=
(x − a )2 + y 2
x+a
Por lo tanto igualando las dos distancias tenemos:
( x − a )2
+
y2
=
x+a
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:
(x − a )2 + y 2 x
2
−
2 ax + a
= 2
(x + a )2
+
y
2
=
x
2
+
2 ax + a ⇒ y 2
2
=
4ax
Por lo tanto la ecuación de la parábola con vértice en (0, 0 ) , eje de simetría X y abierta hacia la derecha es: y
2
=
4ax
El eje asociado a la variable con exponente 1 es el eje de simetría. La longitud del latus rectum es: 4a
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Página 11
La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la parábola, junto con las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz: Eje de simetría
Sentido en que se habré
X
Hacia la derecha
X
Hacia la izquierda
Y
Hacia arriba
Y
Hacia abajo
Paralelo a X
Hacia la derecha
En un punto distinto al origen:
Paralelo a X
Hacia la izquierda
(h,k)
Paralelo a Y
Hacia arriba
Paralelo a Y
Hacia abajo
Vértice
En el origen: (0,0)
Ecuación y2 y
2
x2 x
2
=
4 ax
= −4 ax =
4 ay
= −4 ay
( y − k )2 = 4 a( x − h ) ( y − k )2 = −4 a (x − h ) ( x − h )2 = 4a( y − k ) ( x − h )2 = −4a ( y − k )
Coordenadas del foco
Ecuación de la directriz
( a ,0 )
x = −a
( − a ,0)
x=a y
(0, a )
(0, − a )
= −a
y
=
a
( h + a , k )
x
=
h−a
( h − a , k )
x
=
h+a
( h , k + a )
y
=
k − a
( h, k − a )
y = k + a
Ejemplo No. 14: Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola 3 y 2
=
8x
Solución: Al despejar y 2 en la ecuación de la parábola tenemos que: y 2
=
8 3
x
Por lo tanto: 4a = 83 ⇒ a = 23 Como la parábola tiene vértice en (0,0 ) , eje de simetría X y es abierta hacia la derecha, entonces: Las coordenadas del foco son: (a,0) ⇒
( 23 ,0 )
La ecuación de la directriz es: x = − a ⇒ x = − 23 La longitud el latus rectum es:
8 3
Ejemplo No. 15: Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola ( x − 2 )2
=
2( y − 3 )
Solución: Tenemos que: 4a = 2 ⇒ a =
1 2
h=2 k = 3
Como la parábola tiene vértice en un punto distinto a (0,0 ) eje de simetría paralelo a Y y es abierta hacia arriba, ,
entonces: Las coordenadas del foco son: (h, k + a ) = (2,3 + 12 ) ⇒ (2, 72 )
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 12
La ecuación de la directriz es: y = k − a ⇒ y = 3 − 12 ⇒ y = La longitud el latus rectum es: 2
5 2
Ejemplo No. 16: Halle la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (0,− 43 ) y tiene como directriz la recta y
4 3
=
Solución: Consideremos la siguiente figura: Por definicion de parabola d 1
(x,4/3)
y=4/ 3
d 2
Pero: d 2
d 1
+
( y + 43 )2
x2
+
y2
+
8 3
=
=
(x − 0 )2 + ( y − (− 43 ))2
d 2
=
( x − x )2 + ( y − 43 )2
x2
F(0,-4/3)
2
d 1
=
=
x2
+
( y + 43 )2
( y − 43 )
Por lo tanto igualando las dos distancias tenemos:
P(x,y)
x
=
+
( y + 43 )2
=
( y − 43 )
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:
( y − 43 )2
y + 169
=
y2
−
8 3
2 y + 169 ⇒ x
= − 16 3
y
Ejemplo No. 17: Halle la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo a X y que pasa por los puntos (− 2, 1) , (1, 2 ) y (− 1, 3)
Solución: La ecuación pedida debe ser: ( y − k )2
= ±4a
( x − h)
Desarrollando cuadrados, multiplicando y sumando términos semejantes tenemos la ecuación: y
2
(
+ ±
4a )x + (− 2k ± 4a ) y + k = 0 2
Si consideramos que: ±
4a
−
2 k ± 4 a
k
2
=
=
B =
C
D
La ecuación nos queda: y 2
+
Bx + Cy + D
=
0
Debemos hallar los valores de B , C y D . Para tal efecto reemplacemos cada punto en la ecuación anterior y realizando un procedimiento similar al que se hiso en el ejemplo 12 se obtiene el siguiente resultado:
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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B=
2 5
C = − 21 5
D=4
Por lo tanto la ecuación pedida es: y 2
+
2 5
x−
21 5
y+4=0
Ejemplo No. 18: Halle la altura de un punto de un arco parabólico de 18 m de altura y 24 m de base, situado a una distancia de 8m del centro del arco
Solución: Consideremos la siguiente figura: (0,18)
La parábola de la figura debe tener ecuación:
(x − h )2 (8,y)
( y − k )
Como h = 0 y k = 18 , entonces:
(x − 0 )2
y (-12,0)
= −4 a
(12,0) (8,0)
= −4 a
( y − 18 ) ⇒
x2
= −4 a
( y − 18 )
Como x = 12 y y = 0 , entonces:
(12 )2
= −4 a
(0 − 18 ) ⇒ 144 = 72 a ⇒ a = 2
Como a = 2 tenemos que la ecuación de la parábola de la figura es: x 2
( y − 18)
= −8
Para hallar la altura y se reemplaza el valor de x = 8 en la ecuación de la para bola y se despeja y :
(8 )2
= −8
( y − 18 ) ⇒ 64 = −8 y + 144 ⇒ 8 y = 144 − 64 ⇒ 8 y = 80 ⇒
Ejemplo No. 19: Dada la parábola con ecuación
y2
+ 8y − 6x +
4=0
y
= 10
m
, halle las coordenadas del vértice, las
coordenadas del foco y la ecuación de su directriz. Grafique la parábola:
Solución: Completemos cuadrados:
(y
2
)
+ 8y −
6x + 4
=
0
[ y + 4 ]2 − 16 − 6 x + 4 = 0 [ y + 4 ]2 = 6 x + 12 [ y + 4 ]2 = 6(x + 2 ) [ y − (− 4 )]2 = 6( x − (− 2 )) Como: h = −2 , k = −4 y 4a = 6 ⇒ a =
3 2
Por lo tanto:
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
Geometría analítica
Página 14
(− 2,−4 )
Las coordenadas del vértice son: (h, k ) ⇒
Las coordenadas del foco son: (h + a, k ) = (− 2 + 32 ,−4 ) ⇒ (− 12 ,−4 ) La ecuación de la directriz es: x = h − a ⇒ x = −2 − 32 ⇒
x = − 72
La parábola se muestra en la figura de la derecha:
EJERCICIOS PROPUESTOS No. 3 1. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3, 2) y foco (5, 2) 2. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el origen, con eje de simetría Y y que pase por el punto (6, - 3) 3. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el punto (2, 3) , con eje de simetría paralelo a Y y que pase por el punto (4, 5) 4. Halle la ecuación de la parábola cuyo eje sea paralelo al eje X y que pase por los puntos (3, 3) , (6, 5) y (6, − 3) 5. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 m y están separados una distancia de 500 m, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 m sobre la calzada del puente. Tomando como eje X la horizontal que define el puente, y como eje Y el de simetría de la parábola, halle la ecuación de tal parábola. Calcule la altura de un punto situado a 80 m del centro del puente. 6. Halle la ecuación de la parábola cuyo latus rectum es el segmento que une los puntos (3, 5) y (3, − 3) 7. Halle la ecuación de la parábola con vértice en la recta 7 x + 3 y − 4 = 0 , con eje de simetría paralelo al eje X y que pase por los puntos (3, - 5) y ( 32 , 1) 8. Demuestre que la distancia desde el punto (6, 2 6 + 2) de la parábola y − 4 y − 8 x + 28 = 0 hasta su foco es igual a la distancia que hay desde el mismo punto hasta su directriz. 2
1.7. LA ELIPSE La elipse es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la suma de las distancias desde cualquier punto P ( x , y ) de la elipse a dos puntos fijos F y F llamados focos es constante, es decir es siempre la misma. 1
2
Las rectas L1 y L2 se llaman directrices. Los puntos F 1 y F 2 se llaman focos y según la figura tienen coordenadas (− c, 0 ) y (c , 0 ) es un punto cualquiera de la elipse y tiene coordenadas (x , y ) P
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 15
El eje en donde se encuentran ubicados los focos se denomina eje de simetría mayor o eje mayor de la elipse. Según la figura el eje mayor es X. El otro eje se denomina eje de simetría menor o eje menor de la elipse y según la figura el eje menor es Y. Los puntos en donde la elipse corta los ejes de simetría se llaman vértices y según la figura tiene coordenadas (− a, 0 ) , (a , 0 ) , (0, - b ) y (0, b ) . Por otro lado a siempre será la distancia más grande desde el centro de la elipse hasta los vértices en el eje mayor y b siempre será la distancia más pequeña desde el centro de la elipse hasta los vértices en el eje menor. El segmento de recta AB que pasa por cualquiera de los dos focos y es perpendicular al eje mayor se denomina latus rectum. La distancia entre F 1 y P es d 1 y la distancia entre F 2 y P es d 2 . Por definición de elipse tenemos que la suma de las distancias d 1 y d 2 será siempre la misma (constante), este valor constante es 2 a . Por lo tanto: d 1
+
=
d 2
2a
Pero: d 1
=
(x − (− c ))2 + ( y − 0 )2
=
d 2
=
(x − c )2 + ( y − 0 )2
(x − c )2 +
=
(x + c )2
y2
+
y2
Por lo tanto:
(x + c )2 + y 2
=
2a ⇒
+
y
( x − c )2 + y 2
+
(x + c )2 + y 2
=
2a −
(x − c )2 + y 2
Simplificando tenemos que:
(x + c )
2
+
2 y = 2 a − (x − c ) 2
x2
+
2cx + c + y = 4 a − 4 a
2
2
x2
+
2cx + c 2 = 4 a 2 − 4 a 2
4 cx − 4 a = −4 a
cx − a
2
( x − c )2
= −a
[cx − a ] 2
2
= −
a
( x − c )2
2
( x − c )2
( x − c )2 +
+
y
( x − c )2
y
2
2
y2
+
+
y2
+
(x − c )2
+
x2
−
2cx + c 2
2
y2
+
2
[
]
−
2 a 2 cx + a 4 = a 2 (x − c ) + y 2
c2x2
−
2 a cx + a = a
c2x2
−
2 a cx + a = a x − 2 a cx + a c + a y
c2x2
−
a2x2
−
c2x2
+
2
4
2
[x
2
4
2
2
−
a2x2
a2 y2 +
y2
2
c2x2
2
+
2
=
a 2c 2
a2 y2
= −a
−
2
2 cx + c + y 2
− 2
2
2
]
2
2
2
a4
c2
+
a4
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 16
(a
2
x2 a2
− +
c )x 2
2
+
y2 a2
−
2
a y
2
=
a (a 2
2
−
c
)
2
=1
c2
Pero según la siguiente figura: a2
b2
=
+
c2 ⇒ b2
=
a2
−c
2
Por lo tanto la ecuación de la elipse con centro en (0, 0 ) y eje mayor X es: x2 a
2
+
y2 b
2
=1
La longitud del latus rectum es: 2 Además: c
=
a
2
−b
2b
2
a
2
La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la elipse, junto con las coordenadas de los focos y las ecuaciones de las directrices: Centro
Eje mayor
Ecuación
X En el origen: (0,0) Y
x
2
a
2
x
2
b2
(x − h )2
Paralelo a X
a2
En un punto distinto al origen: (h,k)
(x − h )2
Paralelo a Y
b
2
Ejemplo No. 20: Dada la elipse 9 x 2 + 16 y 2
+
+
+
+
y
2
b
2
y
2
=1
Ecuaciones de las directrices x
( ± c, 0 )
=1
a2
y
( 0, ± c )
a2
=±
a2
( y − k )2 b2
=±
576
y
( h, k ± c )
=1
2
−b
a2
=±
a
( y − k )2 2
x
( h ± c , k )
=1
−b
2
a2 a
a =
Coordenadas de los ocos
2
−b
a
2
−b
+
h
+
k
2
a2
=±
2
2
halle:
El eje mayor y menor: Las coordenadas de los focos. Las ecuaciones de las directrices. La longitud del latus rectum.
Solución: 9x
2
576
+
16 y
2
=
576
Por lo tanto: a 2
576 576 =
⇒
x
2
+
64
64 ⇒ a
=
y
2
36 8, b
=1 2
=
36 ⇒ b
=
6
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
y c2
=
a
2
−b
2
=
8
2
−6
2
=
64 − 36 = 28 ⇒ c
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=
2 7
Página 17
El eje mayor es X y el eje menor es Y: ( ± c , 0) ⇒
Las coordenadas de los focos son:
( ±2 7 , 0)
Las ecuaciones de las directrices son: x = ± a
2b
La longitud del latus rectum es:
2(36)
2
=
2
2
−b
⇒x=±
2
64 64 − 36
⇒
8
a
a
⇒ x=±
32 7
9
Ejemplo No. 21: Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje mayor X y que pase por los puntos (4, 3) y (6, 2 )
Solución: x2
La elipse pedida debe tener ecuación:
y2
+
a2
=1
b2
Como los puntos (4, 3) y (6, 2 ) están en la elipse satisfacen la ecuación anterior, por lo tanto: Para el punto (4, 3) : Para el punto (6, 2 ) :
4
2
a
2
6
2
a
2
+
+
3
2
b
2
2
2
b
2
=1⇒
16
a
2
a
2
b
36
=1⇒
9
+
2
=1
(1)
=1
(2)
4
+
b
2
Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos que: 16
a
+
2
9a
9
b 2
2
4a
−
36
=
a 2
=
2
+
36b
4
⇒
16b
b
2
2
− 16b
2
+ 2
a b 2
9a
2
=
2
⇒ 5a 2
36 b
2
+ 2
a b =
4a
2
⇒ 16 b 2
2
2 20b ⇒ a
2
=
+
9a
2
=
36b
2
+
4a
2
4b 2
Ahora reemplacemos a 2 en la ecuación (1): (1)
16 4b
Si b 2
2
9
+
b
= 13
Como a
2
=
2
=1⇒
4
b
2
entonces a 2 52
yb
2
+
9
b =
2
=1⇒
13
b
2
4(13) ⇒ a
= 13 ⇒
x2 52
+
2
y2 13
=1⇒
=
b2
= 13
52
=1
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Ejemplo No. 22: Dada la elipse
4x
2
+ 9y
2
− 48 x + 72 y + 144 =
0 halle:
El eje mayor y menor. Las coordenadas del centro. Las coordenadas de los focos. Las coordenadas de los vértices.
Solución: Completemos cuadrados:
(4 x 4(x
2 2
) (9 y − 12 x ) + 9(y − 48 x +
4[x − 6]
)
2
+ 72 y = −144
2
+ 8 y = −144
)
[ y + 4]2 − 144 = −144 2 2 4[x − 6] + 9[ y + 4] = 144 2 2 4[x − 6 ] 9[y + 4] 144 2
− 144 + 9
+
144
[x − 6]2
=
144 +
144
[ y − (− 4)]2
36
Por lo tanto: a 2
=1
16 =
36 ⇒ a
=
6, b
2
= 16
⇒ b = 4 y c2
=
a2
−b
2
=
62
−
42
=
36 − 16
=
20 ⇒ c
=
2 5
Además: h = 6 y k = −4 El eje mayor es paralelo a X y el eje menor es paralelo a Y:
(6,0)
Las
coordenadas
del
centro
son:
( h, k ) ⇒
( 6, − 4 ) ( 6 − 2 5 , − 4)
(0,-4)
( 6 + 2 5 , − 4)
(6,-4)
(12,-4)
Las coordenadas de los focos son:
( h ± c , k ) ⇒
(6 ± 2 5 , − 4)
Según la grafica las coordenadas de los vértices son: (6,-8)
(0, − 4 ) , (6, 0 ) , (12, - 4 ) y (6, − 8 )
EJERCICIOS PROPUESTOS No. 4 1. Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen, con un foco en el punto (0, 3) y eje mayor igual a 5 2. Halle la ecuación de la elipse con centro en el punto (1, 2) , uno de los focos en (6, 2) y que pase por el punto (4, 6)
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 19
3. Dada la elipse con ecuación 9 x 2 + 16 y 2 − 36 x + 96 y + 36 = 0 , halle: Las coordenadas del centro. El semieje mayor. El semieje menor. Las coordenadas de los vértices. Las coordenadas de los focos. Las ecuaciones de las directrices. La longitud del latus rectum . 4. Halle la ecuación de la elipse con centro en (4, − 1) , uno de los focos en (1, − 1) y que pase por el punto (8, 0) 5. Demuestre que la suma de distancias del punto (6, - 8) de la elipse: 4 x 2 + 9 y 2 − 48 x + 72 y + 144 = 0 a sus focos es igual a 12 6. Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y ) cuya suma de distancias a los puntos fijos (4, 2) y (− 2, 2) es igual a 8
1.8. LA HIPERBOLA La hipérbola es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la diferencia de las distancias desde cualquier punto P ( x, y ) de la elipse a dos puntos fijos F y F llamados focos es constante, es decir es siempre la misma. 1
2
Las rectas L1 y L2 se llaman directrices y las rectas A1 y A2 se llaman asíntotas. Los puntos F 1 y F 2 se llaman focos y según la figura tienen coordenadas (− c, 0 ) y (c , 0 ) es un punto cualquiera de la hipérbola y tiene coordenadas (x , y ) P
El eje en donde se encuentran ubicados los focos se denomina eje de simetría real o eje real de la hipérbola. Según la figura el eje real es X. El otro eje se denomina eje imaginario de la hipérbola. Según la figura el eje imaginario es Y. Los puntos en donde la hipérbola corta el eje real llaman vértices y según la figura tiene coordenadas (− a , 0 ) y (a, 0 ) . Por otro lado a siempre será la distancia desde el centro de la hipérbola hasta los vértices. El segmento de recta AB que pasa por cualquiera de los dos focos y es perpendicular al eje real se denomina latus rectum. La distancia entre F 1 y P es d 1 y la distancia entre F 2 y P es d 2 . Por definición de hipérbola tenemos que la diferencia de las distancias d 1 y d 2 será siempre la misma (constante), este valor constante es 2 a . Por lo tanto:
Es . LEIDER E. SALCEDO GARCIA
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Página 20
d 1
−
d 2
=
2a
Pero: d 1
=
(x − (− c ))2 + ( y − 0 )2
=
d 2
=
(x − c )2 + ( y − 0 )2
(x − c )2 + y 2
=
( x + c )2
+
y2
Por lo tanto:
( x + c )2 + y 2
−
( x − c )2
+
y2
=
2a
Realizando un procedimiento similar al que se hizo con la elipse y teniendo en cuenta que: c
2
=
a
2
+b
2
Tenemos que la ecuación de la hipérbola con centro en (0, 0 ) y eje real X es: x2 a2
−
y2 b2
=1
La longitud del latus rectum es:
2b
2
a
La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la hipérbola, junto con las coordenadas de los focos, las ecuaciones de las directrices y las ecuaciones de las asíntotas: Centro
Eje real x2
X En el origen:
a2
(0,0)
y2
Y
En un punto distinto al origen: (h,k)
a2
Paralelo a X
( x − h )2
Paralelo a Y
( y − k )2
a
a
2
2
Ejemplo No. 23: Dada la hipérbola
Coordenadas de los focos
Ecuación −
y2 b2
=1
b2
2
2
y
c)
b 2
−
2
y
=1
( h ± c , k )
x
=1
( h, k ± c )
y
+b
= ±
2
+b
a2
= ±
2
+b
=±
a
2
+b
2
=±
y
=±
+
h
y
=±
+
k
y
=±
b a a b
2
2
a2
y 2
a2
a
( x − h )2
16
=±
a b
x
( 0, ±
( y − k )2
−
x
( ± c , 0)
Ecuaciones de las asíntotas
a2 a
x2
−
−
=1
Ecuaciones de las directrices
b a a b
x x
( x − h ) + k (x − h ) + k
2
9
=1
halle:
El eje real e imaginario: Las coordenadas de los vértices. Las coordenadas de los focos. Las ecuaciones de las directrices. Las ecuaciones de las asíntotas. La longitud del latus rectum.
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Solución: Tenemos que: a 2
= 16
⇒ a = 4 , b2
=
9⇒b
y c2
3
=
=
a2
+b
2
=
4
2
+3
2
= 16 + 9 =
25 ⇒ c
=
5
El eje real es X y el eje imaginario es Y: ( ± a , 0) ⇒
Las coordenadas de los vértices son:
( ±4 , 0 )
( ± c, 0) ⇒
Las coordenadas de los focos son:
( ±5, 0 )
Las ecuaciones de las directrices son: x = ± a
a
2
2
+
b
2
⇒x=±
b
Las ecuaciones de las asíntotas son: y = ± x ⇒ La longitud del latus rectum es:
2
=
2(9 )
a
4
16 + 9
⇒ x=±
y
a
2b
16
=±
16 25 3 4
x
9
⇒
2
Ejemplo No. 24: Halle la ecuación de la hipérbola con eje real
X
y centro en el origen, sabiendo que el latus
rectum vale 18 y que la distancia entre los focos es 12
Solución: Tenemos que: 2b
a
2
= 18
⇒ b2
2 c = 12 ⇒
Como: c 2
=
c a2
=
6
=
+b
9a
2
⇒ 62
=
a2
+
b2 ⇒
a2
+
b2
=
36
Reemplazando el valor de b 2 en la ecuación anterior tenemos que: a2
+ 9a =
36 ⇒ a
2
+ 9a − 36 =
0 ⇒ (a + 12 )(a − 3) = 0
Con lo que: a = −12 y a = 3 Como: a = 3 ⇒ a 2
=
9
y b2
Por lo tanto la ecuación pedida es:
=
2 9(3) ⇒ b
x2 9
−
y2 27
=
27
=1
La grafica de la hipérbola se muestra en la figura de la derecha:
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Ejemplo No. 25: Halle la ecuación de la hipérbola que tenga su centro en el origen, un vértice en el punto
( 6, 0 )
y
una de sus asíntotas es la recta 4 x − 3 y = 0
Solución: Al despejar y en la ecuación de la recta tenemos que: y = 43 x Como las asíntotas de
x2 a2
−
y2 b2
=1
b
b
a
a
son y = ± x , entonces:
=
4 3
⇒ b=
4 3
a
Debido a que un vértice es ( 6, 0) , entonces: a = 6 Como a = 6 entonces: b =
4 3
a⇒b
Por lo tanto la ecuación pedida es:
x
=
3
2
36
4
−
(6 ) ⇒
y
b
=
8
2
64
=1
EJERCICIOS PROPUESTOS No. 5 1. Dada la hipérbola 9 x 2 − 16 y 2 − 18 x − 64 y − 199 = 0 halle: El eje real e imaginario. Las coordenadas del centro. Las coordenadas de los focos. Las coordenadas de los vértices. Las ecuaciones de las directrices. Las ecuaciones de las asíntotas. La grafica. 2. Halle la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, con eje real Y y que pase por los puntos (4, 6 ) y (1, − 3) . 3. Demuestre que la diferencia de distancias del punto (6, 1 4 ) de la hipérbola 2 2 9 x − 16 y − 18 x − 64 y − 199 = 0 a sus focos es igual a 8
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