Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Computo Análisis Vectorial
Listas de Ejercicios 1 y 2 CRUZ HERNÁNDEZ GUILLERMO DURÁN RODRÍGUEZ DAVID RAMALES HERNÁNDEZ OBED 1CV8
PROF: Rangel Guzmán Alfredo
Completar lo cálculos en los ejercicios del 1 al 14 1.-
(-2 , 23) – (? , 6) = (-25 , ?)
(-21 , 23) – (-19 , 6) = (-2, 17)
2.
3. (8a, -2b, 13c) = (52, 12 ,11) +
Efectuando el producto con el escalar, después sumando componente a componente para luego igualar los resultados.
52 + = 8a = 8a 52 = 16a 104
52 +
= 8a - - - - -(1)
12 +
= -2 b - - - - -(2)
11 +
= 13 c - - - - -(3)
11 + = 13 c 12 + = -2 b = 13 c 11 = -2b -12 = -4b 24 = 26c 22 De (3)
De (2)
De (1)
–
–
–
–
–
Por lo tanto: (8a, -2b, 13c) = (52, 12 ,11) +
4.-
(2, 3, 5) -4i + 3j = (?,?,?)
(2, 3, 5) – (4i +3j +0k) = (-2i + 0j + 5k)
En los Ejerciccios del 5 al 8, Dibujar los vectores dados y en el mismo dibujo trazar las operaciones de dichos vectores 5.
6.
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ y
.
⃗ y
Completar lo cálculos en los ejercicios del 1 al 14 1.-
(-2 , 23) – (? , 6) = (-25 , ?)
(-21 , 23) – (-19 , 6) = (-2, 17)
2.
3. (8a, -2b, 13c) = (52, 12 ,11) +
Efectuando el producto con el escalar, después sumando componente a componente para luego igualar los resultados.
52 + = 8a = 8a 52 = 16a 104
52 +
= 8a - - - - -(1)
12 +
= -2 b - - - - -(2)
11 +
= 13 c - - - - -(3)
11 + = 13 c 12 + = -2 b = 13 c 11 = -2b -12 = -4b 24 = 26c 22 De (3)
De (2)
De (1)
–
–
–
–
–
Por lo tanto: (8a, -2b, 13c) = (52, 12 ,11) +
4.-
(2, 3, 5) -4i + 3j = (?,?,?)
(2, 3, 5) – (4i +3j +0k) = (-2i + 0j + 5k)
En los Ejerciccios del 5 al 8, Dibujar los vectores dados y en el mismo dibujo trazar las operaciones de dichos vectores 5.
6.
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ y
.
⃗ y
7-
Dibujar los vectores dados y trazar los vectores
⃗⃗
v=(2, 3, -6) ; w=(-1, 1, 1) a) ( + )= (2, 3, -6) + (-1, 1, 1) = (1, 4, -5) b) ( - )= (2, 3, -6) - (-1, 1, 1) = (3, 2, 7)
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
8.-
y
⃗ ⃗
9. ¿Qué restricciones deben tener y para que la terna ( ) represente un punto sobre el eje ? Respuesta: Para que la terna solo represente un punto en el eje , y deben ser iguales a cero. Esto nos dará un punto de componentes 0 en y , además que con , siendo la representación del punto .
10- Generalizar la construcción geométrica para demostrar que si: a)
1=(x, y, z) y
=(x1, y1, z1) entonces ( + 1)=(x+x1, y+y1, z+z1)
b) Usando un argumento basado en triángulos semejantes probar que α
=(αx, αy, αz) cuando =(x, y, z)
En los ejercicicos del 11 al 17 usar la notación conjuntista, la vectorial o ambas para describir los punto squ eestan en las siguientes configuraciones.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ̂ 11. el plano generado por
y
12. El plano generado por Respuesta: Se dice que el plano generado por contiene a y . Entonces: y
y
y
, es el plano que pasa por el origen y que
13- La recta que pasa por el punto (-1, -1, 1) y tiene dirección j Como la recta va en dirección de j entonces decimos que que j es un vector paralelo a la recta y por lo tanto su ecuación es: (x, y, z) = (-1, -1, -1) + t(0,1,0)
Ecuaciones paramétricas
̂ ⃗⃗ ⃗ 〈 〉 ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ⃗⃗ ⃗ 〈 〉 ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂
14. La recta que pasa por
y tiene la dirección
15. La recta que pasa por los puntos y Respuesta: Como la recta que pasa por dos puntos es un segmento de recta dirigido, esto es, si los vectores son y , entonces: Por lo tanto si
y
ó
. Entonces:
.
15. La recta que pasa por los puntos y Respuesta: Como la recta que pasa por dos puntos es un segmento de recta dirigido, esto es, si los vectores son y , entonces: Por lo tanto si
y
ó
. Entonces:
.
16- La recta que pasa por los puntos (-5, 0,4) y (6, -3, 2) p=(-5, 0, 4) p0=(6, -3, 2) (p-p0)= (-11, 3, 2) Dado que un vector es paralelo a si mismo se tiene que: (x, y, z) = (6, -3, 2)+ t( -11, 3,2)
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones simétricas
̂ ̂ ̂
17. El paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores
y
18. Hallar los puntos de intersección de la recta , es decir, con los planos coordenados. Respuesta: 1) se intersecta con el plano Entonces: , pero
,
, luego 0
,
,
, si y solo si la componente
, por lo tanto
.
.Sustituyendo a
en
y :
̂ Por lo tanto, se intersecta con el plano 2)
se intersecta con el plano Entonces: , pero x
y :
, luego
en
,
, si y solo si la componente
, por lo tanto
̂
.
.Sustituyendo a
en
̂ Por lo tanto,
Por lo tanto se intersecta con el plano 3)
se intersecta con el plano Entonces: , pero y
, luego
en
,
, si y solo si la componente
, por lo tanto
̂
.
.Sustituyendo a
y :
en
Por
Por lo tanto, se intersecta con el plano
en
19- Demostrar que no exisen puntos (x, y, z) que satisfagan 2x-3y+z -2=0 y están en la recta: v=(2, -2, -1) + t(1, 1, 1) ------ 1 Despejando a (x, y, z) de 1 encontramos las ecuaciones paramétricas de la recta
Ec. Paramétricas
Usando x, y, z en 2x-3y+z -2=0 2(2+t)-3(-2+t)+(-1+t)-2=0 4+2t+6-3t+t-1-1=0 8=0
20. Demostrar que cualquier punto de la recta la ecuación
⃗
satisface
Dado que la igualdad es falsa podemos decir que no existen puntos en la recta que satisfagan la ecuación.
22- ¿Se intersectan la rectas (x, y, z)= (t+4, 4t+5, t-2) y (x, y, z)=(2s+3 s+1, 2s3)? Para saber si las rectas se intersectan las rectas buscaremos las soluciones a las ecuaciones formadas por las rectas, igualando cada componente de la recta y despejando a t y s; sabiendo que estos valen los mismo en la intersección
}
t+4-2t-3=0
t=7
4t-t+5-1=0
t=- 4/3
t-2-2t+3=0
t=1
Por lo tanto las rectas se intersectan en el punto (7, -4/3, 1)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
23. El paralelepípedo con aristas ,
El área de la base es igual es igual a: La altura es igual a:
|| ⃗ | | ⃗ | | | | ⃗ ⃗ ||⃗ Y el volumen es igual a :
Sabemos que:
y
que sale del origen.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 24. Los puntos dentro de un paralelogramo con vértice en y con lados que salen de ese vértice iguales en tamaño y sentido a los vectores y .
Sean los vectores , y . Entonces, para formar el paralelogramo necesitamos de los segmentos de recta , , y . Como: y . Los cuales forman dicho paralelogramo.
25- En el plano formado por los puntos (x0, y0, z0), (x1,y1,z1), (x2, y2, z2) 26. El segmento que une los puntos medios de dos de los lados de un triángulo es paralelo y tiene la mitad de la longitud que el otro lado.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⁄⃗ ⃗ ⃗ ⁄ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (⃗⃗ ) ⃗(⃗ )
Se observa que D y E son los puntos medios de los lados y . Si y entonces por definición de adición de vectores y de negativo de un vector, tenemos que: Pero observamos en la figura que segmento que une a D y E es:
Lo cual demuestra que
es paralelo a
y.
Por lo tanto, el
y tiene la mitad de su magnitud.
27. Si PQR es un triángulo en el espacio y es un número, existe un triángulo con lados paralelos a los de PQR con longitudes multiplicado por las longitudes de PQR. De la figura anterior sea y dos segmentos de recta dirigidos. Entonces , luego, multiplicando la igualdad anterior por un escalar , esto es : .Por lo tanto la aseveración es cierta.
28- Las medianas de un triangulo se intersectan en un punto y este divide a cada mediana a razón de 2:1
29. Escribir la ecuación química como una ecuación con ternas ordenadas donde son el número de átomos de carbono, hidrógeno y oxigeno, respectivamente en cada molécula.
( )( ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (̂ ̂) (̂ ̂ )(̂ ̂) (̂ ̂ ) 1. Calcular
30. Escribir la ecuación química como una ecuación con ternas ordenadas con coeficientes desconocidos y . Solución: Sea
,
y
. Entonces:
31- Encontrar una recta que este completamente contenida en el conjunto definido por la ecuación
( )( ) ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ̂ 1. Calcular
2. Calcular
donde
y
⃗⃗ Solución:
3- Hallar el ángulo entre 7j+19k y -2i-j
⃗ |⃗ | √ √ √ ⃗ ⃗ ⃗ ||⃗ (√ )(√ ) √ √ |⃗| |⃗| ⃗ ⃗ ‖⃗⃗ ‖ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ √ ̂ ̂ ⃗ √ √ √ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ‖⃗‖ √ √ √ √ ̂ ̂ ⃗ √ Sean :
Haciendo el producto punto de los vectores
y
Sabemos que el producto punto esta dado por la siguiente ecuación: donde teta es el ángulo entre los vectores.
Sustituyendo en la ecuación los datos obtenidos se tiene:
despejando a teta obtenemos el ángulo entre los vectores
= 98.89 es el ángulo entre los vectores.
En los ejercicios hallar
4. Calcular
, donde
y
√ ̂ ̂ ⃗ ⃗ (√ ̂ ̂ ) √ √ √ ⃗ ⃗ √ √ √ √ √
̂ ̂ ̂ ̂
5.¿Es Explicarlo.
igual a cero?
Respuesta: De hecho, el producto punto entre dos escalares no está definido, por lo que esta operación anterior no puede efectuarse.
6.- Sean:
⃗ √ |⃗||| ⃗ ⃗‖⃗‖ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ‖ ‖ ⃗ ‖⃗‖√ ‖ ‖ ⃗ √ ⃗ ⃗̂ ̂ ̂ ̂ ,
7.
⃗ (̂ ̂ ) (̂ ̂ ) ‖‖⃗‖‖ √ √ √ ⃗ 8.
Respuesta:
,
9.- Sean:
⃗ √ |⃗||| √ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ‖‖⃗⃗‖‖ √ ‖‖⃗⃗ ‖ ‖ ⃗ ⃗ (̂)̂ ⃗ ⃗ 10.
,
podemos concluir que estos dos vectores son
ortogonales
̂ )( ̂√ ̂ ⃗‖⃗‖ (̂ ) √ √ ‖⃗‖ 11.
,
12- Normalizar los vectores del ejercicio 6 al 8
6)
|⃗⃗ | |⃗⃗ | √ √ √
||
13. Hallar el ángulo que forman los vectores de los ejercicios 9 a 11. Si es necesario, se
⃗⃗ ̂ ̂̂̂ | | | | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (̂ ̂ )(̂̂) |⃗| √ |⃗| √ ⃗ ) √ √ √ √ √ |⃗|⃗⃗ | (√ )(√ √ ⃗ ⃗ ̂ ̂ | | | | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (̂)̂ ⃗ ⃗ ‖‖⃗⃗ ‖‖ √ ‖‖⃗⃗‖‖ |⃗⃗|⃗⃗ | (√ ) √ ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ | | | | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (̂ ̂ )( ̂ ̂ ) ⃗ ⃗‖⃗‖
pueda expresar en términos de arccos. 9) Encontrando los valores para
,
y
,
y
,
y
10)
Encontrando los valores para
11)
Encontrando los valores para
‖‖⃗⃗ ‖‖√ √ ‖‖⃗⃗‖‖ √ ‖⃗‖ √ ⃗⃗ √ √ |⃗| ⃗| (√ )(√ ) √ √ √
⃗ (̂ ̂ ) (̂ ̂ ) ) ( ) ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ |⃗⃗|⃗ ( 14.Hallar la proyección de
sobre
Solución:
̂ ̂ ⃗ 15.- Hallar la proyección de
⃗ sobre
⃗ ⃗ |⃗| √ √ √
⃗ |⃗|⃗ √
⃗ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ) ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗
16. ¿Qué valores debe tomar el escalar b para que el vector
y b) ? Para que sean ortogonales debe cumplirse que
̂ ̂
Para comprobar sustituimos a b=3 y realizamos el producto punto
sea ortogonal a a)
⃗ ⃗ ⃗ |⃗| ⃗ ⃗ ⃗ ( ̂ ̂ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 17. Hallar dos vectores ortogonales a
que no sean paralelos.
Respuesta:
Se dice que dos vectores y son ortogonales si: . Sea un vector arbitrario
,entonces, , luego
, entonces:
, y para que suceda
esta igualdad,
----(1) ó
----(2) ó
----(3). Por lo tanto, para hallar dos puntos en el plano, daremos un valor
arbitrario a
y
en (1), y a ;
y
en (2). Esto es, para un primer vector ; ; entonces ; . Para hallar un segundo vector ; ; ; entonces ; . Por lo tanto los vectores que cumplen la característica de ortogonalidad con son:
y
18.- Hallar la recta que pasa por (3,1,-2) y que intersecta y es perpendicular a la recta x= -1+t y= -2+t z= -1+t Si Xo, Yo, Zo es el punto de intersección se tiene que ese punto es un punto de la recta, ya que conocemos ese punto podemos encontrar un vector con esos dos puntos Po= (-1, -2, -1) P= (3, 1, -2) P-Po= (3, 1, -2)-(-1, -2, -1)= (4, 3, -1) Con la ecuación de la recta en el espacio: (x, y, z) = (-1, -2, -1) + t(4, 3, -1) x= -1+4t y= -2+3t (Ecuaciones paramétricas) z= -1 – t
(Ecuaciones Simétricas)
19. Un barcos situado en la posición (1, 0) en una carta náutica (que tiene el norte en la
⃗ ⃗⃗〈 〈〉 〉 ⃗ ⃗〈〉⃗ ̂ 〉 ̂ 〈 ̂ ̂̂〉〈
dirección positiva del eje y) avista una roca en la posición (2, 4). ¿Cuál es el vector que una el barco con la roca? ¿Cuál es el ángulo qué forma este vector con la dirección norte? (a este ángulo se le llama la orientación de la roca desde el barco) Solucion. Formamos un vector con los puntos dados
21.- Un avión esta en el punto (3,4,5) y viaja a (400i +500j –k ) km/h y el piloto avista un aeropuerto a (23,29,0).
a) ¿ A que hora pasara sobre el aeropuerto? Solucion: Para saber a que distancia se encuentra el avión del aeropuerto restaremos de la posición del aeropuerto la posición actual de la aeronave teniendo un vector el vector de posicion el cual nos servirá para calcular a partir de la ecuación de posicion ( X=Xo+Vot+ 1/2at^2) Xo= 5,4,5 X= 23, 29, 0
⃗ ⃗ de la ecuación física
te tiene que
b)Cual ser la altura cuando pase sobre (23, 29, 0)
22. La velocidad del viento
⃗
es de 40 kilómetros por hora ( de este a oeste mientras que un avión viaja con una velocidad en el aire de 100km/h en dirección norte. La velocidad del avión con . respecto al suelo es el vector suma a) Encontrar .
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ b) Haz un dibujo a escala
23. Una fuerza de 50 Kp forma un ángulo de 50° con el eje horizontal y apunta hacia la derecha. Determina sus componentes horizontal y vertical. Ilustrar los resultados con un dibujo. ; ;
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ |⃗ | ⃗ ̂ ̂
26. Supongamos que sobre un objeto que se mueve en la dirección actúa una fuerza dada por el vector . Expresar esta fuerza como la suma de una fuerza en la dirección del movimiento y otra
perpendicular a éste.
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Solución: Sea el vector
y el vector
. Entonces, el vector suma
;
.
Para el vector perpendicular a esta suma de fuerzas, se tiene que dos vectores son perpendiculares si el producto escalar de ambos es igual a cero, entonces: , , luego ahora para encontrar ese vector asignaremos un valor arbitrario a la igualdad anterior, esto es, sí , entonces . Por lo tanto el vector perpendicular a . la suma de fuerzas es:
24.- Dos personas tiran horizontalmente de dos cuerdas atadas a un poste y el angulo entre las cuerdas es de 60 grados. La persona A tira con una fuerza de 150 kp, tientras que la persona B lo hace con una fuerza de 110 kp a)
Dibujo a Escala
b) Usando trigonometría encontrar las componentes de dos fuerzas en un sistema de coordenada elegido convenientemente. Hacer la suma algebraica y determinar el ángulo de la fuerza resultante forma con la fuerza A.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Sea el vector resultante la suma de las dos fuerzas
El ángulo entre el vector A y el vector R es: 174.92 grados
25. Una masa de 1 kilogramo (1 kg) situado en el origen cuelga de dos cuerdas fijadas
en los puntos (1, 1, 1) y (-1, -1, 1). Si la fuerza de la gravedad tiene la dirección del vector –k, ¿Cuál es el valor que describe la fuerza a lo largo de cada cuerda? [INDICACIÓN: Usar la simetría del problema. Un kilogramo de masa pesa 9.8 Newtons (N).]
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
27.- Una fuerza F de 6N forma un angulo de radianes con el eje xy apunta hacia la derecha. La fuerza actua en contra del movimiento de un objeto que se mueve a lo largo de la recta que une a dos puntos que son: p1: (1,2) ; p2=(5,4) a) Hallar una formula para el vector F
⃗
Sea D la distancia del punto uno al dos: b) El ángulo entre D y F es:
||| | √ √ √ √ (√ ) (√ ) (√ ) || √
c) El trabajo realizado es : |W|
|| || ||||
2. Calcular los determinantes a)
b)
c)
d)
⃗ ̂̂̂ ̂⃗ ̂ ̂ ⃗ ̂⃗ ̂̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ 3. Calcular
4- Calcular
, donde
,
.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ donde
-Primero hacmeos el producto vectorial de b y c:
-Una ves que se tiene el resultado aplicamos el producto punto entre a y (bXc)
(⃗ ) ⃗ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ √ √ √ 5. Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores
,
Para encontrar el área es: Área=
Por lo tanto el área del paralelogramo es igual a
6. Un triángulo tiene vértices (0,0,0), (1,1,1) y (0,-2,3). Hallar su área. Solución: Para hallar el área de una figura triangular se puede encontrar utilizando el triple , sean los vectores producto vectorial, esto es,
⃗ ⃗ ( ( ) ) ⃗ ( ⃗ ) √ √ ,
y
entonces, el área es
⃗ ⃗
⃗ (⃗ ) ⃗ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ 7.- ¿Cuál es el volumen de un paralelepípedo con lados
-Primero hacmeos el producto vectorial de b y c:
-Una ves que se tiene el resultado aplicamos el producto punto entre a y (bXc)
8. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo con lados
?
,
y
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ||⃗
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores , y es la magnitud del triple producto escalar. Sabemos que:
̂ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ||
Por lo tanto el volumen del paralelepípedo es igual a
9.
̂̂
.
Solución: Se dice que dos vectores son ortogonales si y solo si el ángulo entre ambos es un ángulo recto, para obtener este vector lo podemos encontrar utilizando el producto cruz entre estos dos vectores. y Sea en vector , entonces:
̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂
Por lo tanto el vector ortogonal es
.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ | ⃗| √
10.- Describir los vectores ortogonales unitarios a los vectores dados
-Haciendo el producto cruz obtenemos los vectores ortogonales y para que se unitario lo dividimos entre su norma:
para encontrar el vector unitario tenemos que encontrar la norma del vector
⃗ ̂̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ |⃗⃗| ̂ √ ̂ ̂ ̂ ⃗ ,
11.
Todos los posibles vectores unitarios son los múltiplos escalares del vector
12.
̂̂ ̂̂ ̂ ̂ ̂̂̂ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ,
.
Solución: Se dice que dos vectores son ortogonales si y solo si el ángulo entre ambos es un ángulo recto, para obtener este vector lo podemos encontrar utilizando el producto cruz entre estos dos vectores. y Sea en vector , entonces:
⃗ ⃗
Esto quiere decir que no hay vectores ortogonales a ambos vectores, ya que estos dos vectores y , son equivalentes, es decir uno es un múltiplo escalar del otro, son paralelos.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ |⃗| |⃗| ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗|||| √ √ ⃗|||| ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂̂ ̂ ⃗|⃗|⃗ ( ̂ ̂ ) √ ̂̂ |⃗| √ √ 13.- Calcular
14. Repetir el Ejercicio 13 para
Donde
,
̂ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 15. Encontrar una ecuación del plano que: a) Es perpendicular a y pasa por (1,0,0).
Solución: Para encontrar la ecuación de un plano necesitamos un vector perpendicular y un punto dentro de este mismo. Entonces, la fórmula para hallar la ecuación de este plano es: O bien entonces,
;
Ecuación del plano
b) Es perpendicular a
y pasa por (1,1,1).
Solución: Para encontrar la ecuación de un plano necesitamos un vector perpendicular y un punto dentro de este mismo. Entonces, la fórmula para hallar la ecuación de este plano es: O bien entonces,
;
Ecuación del plano
c) Es perpendicular a la recta 1,0).
y pasa por (5,-
Solución: , siendo un vector paralelo a , entonces este De la recta sabemos que mismo vector es perpendicular al plano, luego, O bien entonces,
;
Ecuación del plano
d) Es perpendicular a la recta (2,4,-1).
y pasa por
Solución: , siendo un vector paralelo a , entonces este De la recta sabemos que mismo vector es perpendicular al plano, luego, O bien entonces,
;
Ecuación del plano
16- Hallar una ecuación para el plano que pasa por
a) (0,0,0) , (2,0,-1), (0,4,-3)
-Primero encontramos dos vectores desde un punto de referencia para posteriormente hacer el producto vectorial de ambos y así encontrar el vector paralelo al plano.
⃗
⃗
-Teniendo el vector paralelo solo usamos los datos en la ecuación del plano
b) (1,2,0), (0,1,-2), (0,4,1)
-Primero encontramos dos vectores desde un punto de referencia para posteriormente hacer el producto vectorial de ambos y así encontrar el vector paralelo al plano.
⃗
⃗
-Teniendo el vector paralelo solo usamos los datos en la ecuación del plano
c) (2,-1,3), (0,0,5), (5,7,-1)
-Primero encontramos dos vectores desde un punto de referencia para posteriormente hacer el producto vectorial de ambos y así encontrar el vector paralelo al plano.
⃗ ⃗
-Teniendo el vector paralelo solo usamos los datos en la ecuación del plano
17. a) Demostrar que dos planos paralelos o bien son idénticos o bien tienen
intersección vacia. b) ¿Cómo se intersecan dos planos que no son paralelos?
18. Hallar la intersección de los planos
y
.
Solución: De estas dos ecuaciones de los planos sabemos que el producto cruz las rectas normales a estos nos dará un nuevo vector perpendicular a estas dos y paralelo a los planos, luego, la rectas normales son:
⃗
⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ( ( ) ) ( ⃗) ⃗ ⃗ ( ( ) ) ̂ ̂ ̂ ⃗̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (⃗) ̂ ̂ [ ̂ ̂ ]̂ ̂ y
Por lo tanto la intersección de los planos es la recta o vector
21. a) Probar las dos identidades del triple producto vectorial y Solución: Para Sean
,
,
Entonces
Procedemos a hacer el producto cruz de estos dos vectores resultantes, esto es:
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ( ) ⃗ ̂ ̂ ( ) ( ) ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ⃗ ̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (⃗ ⃗)⃗ ⃗ ⃗(⃗ ⃗) Y porotro lado
Por lo tanto como:
Es cierta
19- Hallar la intersección de los planos
Sea L una recta formada por la intersección de dos planos, se tiene que los vectores normales a cada plano forman la recta de intersección por lo tanto se tiene que:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ por lo tanto la recta formada por la intersección de los dos planos es: (-2i+2k) 20. Hallar la intersección de los dos planos cuyas ecuaciones son
y
Para hallar
⃗ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂
23. Comprobar la regla de Cramer. Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:
{ Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:
El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:
Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:
Ahora comprobamos con otro método
Despejamos a x de (2)
{
Sustituimos en (1)
Sustituyendo a y en (1)
Por lo cual hemos comprobado la regla de Cramer 25.- Hallar la ecuación del plano que pasa por le punto (1,2,-3) y es perpendicular a la recta v= (0, -2,1)+ t(1,-2,-3)
-Sabemos de la ecuación de la recta que el vector perpendicular a dicha recta es: (1, -2, -3) y con el punto dado sustituimos en la ecuación del plano:
⃗⃗ ̂ ⃗⃗ ̂ 26. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
perpendicular al plano
y es
