Primero parametrizamos parametrizamos el segmento seg mento de recta:
El ejercicio ejercicio será resuelto mediante notación diferencial
al punto
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2. Sea Verifique que
es conservativo
Solución:
Sea
Calculamos las derivadas de primer orden
Como
se verifica que el campo es conservativo.
3. Determine si el campo vectorial
es conservativo; si lo es
calcule una función potencial. Solución: Tomamos
Por lo tanto,
. Calculamos Calcula mos
es conservativo.
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Función potencial potencial Integramos con respecto a ,
respectivamente
Así concluimos que
4. Evaluar
Solución:
Vector Normal Primero calculamos
La proyección sobre el plano
es
Es decir la región es la comprendida entre los círculos
y
.
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Utilizamos Utilizamos coordenadas co ordenadas polares:
5. Calcule
Donde . Sabiendo que es la frontera del sólido , el cuál es la región del espacio encerrada por el paraboloide y el plano de ecuación
Solución:
está formado por dos superficies: parabólica y la segunda el plano; así
y
. Donde la primera es la superficie
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Para la
Para a
Así
,
está orientada hacia abajo, por lo lo que podemos tomar como vector vector normal normal unitario , obteniendo
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6. Considere la integral
Dónde
es la curva que se muestra en la figura
a) Verifique que la integral no depende de la trayectoria dada. b) Calcule la integral planteada, sin usar el teorema fundamental de las integrales de línea. Solución:
El probar que la integral no depende de la trayectoria dada es equivalente a probar que el campo vectorial es conservativo así Si
es el campo vectorial y tomamos como , entonces
Como el rotacional del campo da como resultado resultado el vector entonces se verifica verifica que el campo vectorial es conservativo y por consiguiente es independiente del camino. Es por esto que podemos usar otra trayectoria que inicie en el punto y termine en el punto (2,0,3). Es E s claro que lo más conveniente es que dicha tra yectoria sea u n segmento de recta.
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Por lo tanto,
Además Entonces
7. Calcule
Siendo y la superficie orientada primer octante con un vector normal superior.
en el
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Solución:
Primero
Además la proyección en el plano
de la superficie
es
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8. Sea el sólido limitado limitado por el cilindro como se muestra en la figura
, en el plano
y el plano
Calcular
Siendo corresponden a las las superficies que limitan limitan al sólido
y .
Solución:
Sea
entonces
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Por otra parte la proyección en el plano
Entonces
del sólido
es
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9. Considere el campo vectorial definido por
a) Verifique que es conservativo. b) Obtenga una función función potencial para el campo . c) Suponiendo que es un campo de fuerza, calcular el trabajo realizado por lo largo de la curva
desde
hasta
Solución:
Si
, entonces
Así se se verifica que el campo es conservativo. conservativo. Ahora buscamos la función potencial, estos es una función Para esto
debe cumplir
Integramos con respecto a ,
Así
respectivamente
tal que
.
a
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Por último para calcular el trabajo realizado por
Donde
calculamos
es una trayectoria con punto inicial inicial y final los puntos respectivamente.
