Ejercicios Capítulo 1 y 2

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIA

SIMULACIÓN DE SISTEMAS (Hoja de ejercicios) Capítulos 1 y 2

Simulación Manual

Pregunta 1 En un proceso de fabricación, se han determinado los tiempos entre llegadas y los tiempos de procesamiento. La probabilidad de que los productos sean no defectuosos es de 70%. Si son defectuosos pasan a un reproceso en otra máquina. Para saber si un producto debe pasar a la segunda máquina para reproceso use la tabla de números aleatorios inferior: 0.20

0.57

0.69

0.86

0.09

0.23

0.96

0.05

0.71

0.81

.

Cliente

T entre llegadas

T de servicio máquina 1

T de servicio máquina 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

---8 3 8 8 3 7 6 7 7

4 5 7 5 7 7 7 7 4 8

10 11 11 8 16 11 12 8 8 9

Calcular las siguientes métricas: a) b) c) d)

% de tiempo desocupado desocupado de cada cada máquina máquina Tiempo promedio promedio de espera en en fila 1 y fila 2 Fracción de productos que pasan a reproceso reproceso Fracción de productos que tienen que esperar en la fila 1 y fila 2

Pregunta 2 Utilice simulación manual para estimar el área del lago que se muestra en la figura siguiente. Determine su estimación con los 50 números aleatorios de la tabla mostrada.

4

3

s a l l 2 i M 1

0

1

2

3

4

5

6

7

Millas

Para el eje X utilice las primeras 5 filas de la tabla de izquierda a derecha y para el eje Y utilice los números aleatorios de la fila 6 a la f ila 10 también de izquierda a derecha.

0.23

0.87

0.58

0.43

0.29

0.62

0.68

0.92

0.38

0.62

0.16

0.23

0.98

0.10

0.38

0.41

0.19

0.38

0.04

0.06

0.03

0.94

0.08

0.15

0.81

0.69

0.32

0.77

0.90

0.02

0.79

0.40

0.97

0.13

0.04

0.66

0.51

0.59

0.62

0.98

0.87 0.20

0.03 0.57

0.18 0.69

0.42 0.86

0.95 0.09

0.18 0.23

0.72 0.96

0.44 0.05

0.75 0.71

0.33 0.81

0.75

0.51

0.52

0.25

0.33

0.54

0.99

0.81

0.37

0.53

0.76

0.61

0.72

0.14

0.50

0.88

0.29

0.03

0.82

0.98

0.88

0.71

0.33

0.77

0.81

0.86

0.77

0.85

0.01

0.99

0.69

0.05

0.44

0.51

0.64

0.33

0.15

0.28

0.23

0.85

Pregunta 3 Considere un restaurante donde dos mozos, Walter y Lucho toman las órdenes de los clientes y llevan la comida a los automóviles. Los vehículos arriban de acuerdo a lo mostrado en la tabla 1. Tabla 1: Distribución entre arribos de autos

Tiempo entre arribos

Probabilidad

1 min. 2 min. 3 min. 4 min.

0.25 0.40 0.20 0.15

Prob. Acumulada

Walter hace mejor su trabajo y es más rápido que Lucho. La distribución de tiempos de servicio es la mostrada en la tabla 2 y 3. Tabla 2: Distribución de servicios de Walter

Tiempo de servicio

Probabilidad

Prob. Acumulada

2 min. 0.30 3 min. 0.28 4 min. 0.25 5 min. 0.17 Tabla 3: Distribución de servicios de Lucho

Tiempo entre arribos

Probabilidad

3 min. 4 min. 5 min. 6 min.

0.35 0.25 0.20 0.20

Prob. Acumulada

Si ambos mozos están desocupados y se produce un arribo, Walter toma el trabajo. El problema es estimar qué tan buena es la modalidad de trabajo actual. Para ello se realizará una simulación de una hora. (Asuma que en el tiempo cero no hay llegada de autos). Complete las tablas 1, 2 y 3. a) Realice una simulación manual completando completando la tabla 4 de la hoja anexa usando los números aleatorios que se detallan al final. (3 puntos) b) Estimar además las siguientes estadísticas: b1) Porcentaje de tiempo ocioso de Walter y Lucho (1 punto) b2) Cantidad de clientes que tuvieron que esperar (0.5 puntos) b3) Tiempo promedio de espera de todos los clientes (0.5 puntos) c) Sugiera su opinión acerca si el sistema está balanceado balanceado y si es necesario otro mozo. (1 punto)

Números aleatorios para las llegadas: (x100) 26-98-90-26-42-74-80-68-22-48-34-45-24 26-98-90-26-42-74-80-68-22-48-34-45-24-34-63-38-80-42-56-8 -34-63-38-80-42-56-89-18-51-71-16-92 9-18-51-71-16-92

Números aleatorios para los servicios: (x100)

95-21-51-92-89-38-13-61-50-49-39-53-88 95-21-51-92-89-38-13-61-50-49-39-53-88-01-81-53-81-64-01-6 -01-81-53-81-64-01-67-01-47-75-57-87-47 7-01-47-75-57-87-47

Pregunta 4 Taxi Chi-cha opera un vehículo entre las 9:00am y las 5:00pm. Actualmente se está considerando adicionar un segundo taxi a la flota. La demanda de taxis sigue la distribución que se muestra a continuación: Tiempo entre llegadas (minutos) Probabilidad

15 0.14

20 0.22

25 0.43

30 0.17

35 0.04

35 0.06

45 0.04

La distribución del tiempo para completar un servicio es la siguiente: Tiempo de servicio (minutos) Probabilidad

5 0.12

15 0.35

25 0.43

Se pide: a) Construir una tabla para simular la operación del sistema actual y del sistema con un taxi adicional (1 punto) b) En la tabla generada simule un día de operación para ambas situaciones (3 puntos) c) Comparar los dos sistemas con respecto a los tiempos de espera de los clientes y otras medidas que considere relevantes

Pregunta 5 Usted es el afortunado ganador de un concurso internacional. El premio es un viaje con todo pagado a uno de los hoteles más importantes de Arequipa, que incluye fichas para apostar en el casino del hotel.Al entrar al casino, se da cuenta que además de los juegos tradicionales (blackjack, ruleta, etc.) ofrecen un nuevo juego con las siguientes reglas: Reglas del juego 1. En cada jugada se lanza una moneda no alterada repetidas veces hasta que la diferencia entre el número de caras y cruces que aparecen es tres. 2. Si se decide participar se paga $1 cada vez que se lanza la moneda. NO se puede abandonar el juego hasta que acaba. 3. Se reciben $8 al final de cada juego. Determinar si conviene o no participar del juego. Hacer 5 simulaciones Utilice los siguientes números aleatorios.

Réplica 1 2 3 4 5

1 0.74 0.26 0.63 0.67 0.86

2 0.00 0.73 0.82 0.54 0.30

3 0.04 0.60 0.74 0.97 0.36

4 0.05 0.90 0.85 0.49 0.86

5 0.63 0.70 0.87 0.65 0.52

Números aleatorios 6 7 8 9 10 0.86 0.03 0.26 0.70 0.43 0.04 0.54 0.91 0.25 0.42 0.05 0.98 0.10 0.99 0.95 0.87 0.22 0.12 0.04 0.71 0.01 0.71 0.10 0.80 0.33

11 0.62 0.08 0.14 0.36 0.30

12 0.38 0.61 0.13 0.01 0.35

13 0.49 0.12 0.26 0.82 0.13

14 0.38 0.44 0.75 0.70 0.93

15 0.58 0.90 0.37 0.06 0.48

Pregunta 6 Se sabe que en cierto juego de lanzamiento de dardos existe una probabilidad de 30% de fallar el lanzamiento y un 70% de probabilidad de acertar en algún lugar del blanco que se muestra a la derecha. Emplee los números aleatorios de la tabla inferior para simular el lanzamiento de 12 dardos al blanco. Si sabe que el máximo puntaje logrado hasta el momento es de 2300 puntos. ¿Cree usted que podré superar dicho puntaje? Nota: Para simular el tiro “i” deberá emplear cada uno de los números aleatorios contenidos en la columna “i”, es decir debe llegar a definir cada uno de los tiros en función de tres aleatorios.

25

40 100

200

500 100

200 25

40

0

1

2

4

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Generadores de número aleatorios

Pregunta 7 Sin calcular ninguno de los Z i , determine cual de los siguientes generadores congruenciales lineales tiene periodo completo. Indique por qué lo tiene, por qué no lo tiene o por qué no se puede determinar. a) Z i = (13Z i −1 + 13) mod 16 b) Z i = (12Z i −1 + 13) mod16 c) Z i = (13Z i −1 + 12) mod16 d) Z i = ( Z i −1 + 12) mod 13

Pregunta 8 El servicio de meteorología (sabiendo que la probabilidad de que llueva es de 0.3) quiere estimar cuántos días va a llover de los próximos 6. Por ello generan 6 números aleatorios mediante el siguiente generador congruencial lineal Z i = (3Z i −1 ) mod 7 con Z 0 = 1 . Halle el número de días que el servicio de meteorología estima que lloverá.

Pregunta 9 Para el generador congruencial lineal se pide: a) Establezca los parámetros que generen no más de 70 números ni menos de 60. b) Muestre los números generados. c) Realice la prueba de las corridas de arriba y abajo para verificar la aleatoriedad de los datos

Pregunta 10 a) Indique si el siguiente generador congruencial lineal tiene periodo completo. Justifique su respuesta: m = 256, a = 9 y c = 11 b) Considerando los datos de a), y Z0 = 15, genere los números aleatorios suficientes para 2 generar una variable aleatoria Chi con 3 grados de libertad. c) Considerando los datos anteriores (partes a y b), genere una variable t-student de 3 grados de libertad

Pregunta 11 Por el método de la transformada inversa, obtener un generador de números aleatorios que sigan la siguiente distribución de probabilidad: f (x)

5/4

1/4

1

2

x

Pruebas de aleatoriedad Pregunta 12 Verificar que los siguientes números aleatorios cumplen con la prueba de las corridas de arriba y debajo de la media (Use α = 0.05, donde Z 0.975 = Z0.0.025 = 1.96 y Z 0.95 = Z0.05 =1.645 , dependiendo de la nomenclatura usada). Trabajar por columnas. 0.17 0.08 0.58 0.87 0.43

Arriba y abajo:

µ =

Arriba y debajo de la media:

µ =

0.76 0.23 0.80 0.45 0.79

2 N − 1

σ 2 =

3 2n1 n 2 N

+

0.79 0.23 0.95 0.74 0.77

1

σ 2 =

2

0.66 0.11 0.83 0.56 0.71

16 N − 29 90 2n1 n2 (2n1n2 − N ) 2

N ( N − 1)

Pregunta13 Se generaron 50 números pseudo-aleatorios, para cada uno de los siguientes casos. Para cada uno de ellos, se generó el histograma respectivo, donde se indican las marcas de clase utilizadas. Caso 1 Histograma

a i c n e u c e r F

8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 0 ,

2 0 ,

3 0 ,

4 0 ,

5 0 ,

6 0 ,

7 0 ,

8 0 ,

9 0 ,

. r . . o a y m y

7 0 ,

8 0 ,

9 0 ,

. . . o r y a m y

Clase

Caso 2 Histograma

a i c n e u c e r F

7 6 5 4 3 2 1 0

1 0 ,

2 0 ,

3 0 ,

4 0 ,

5 0 ,

6 0 ,

Clase

Caso 3 Histograma

a i c n e u c e r F

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 0.

2 0.

3 0.

4 0.

5 0.

6 0.

7 0.

8 0.

. r.. o y a m y

9 0.

Clase

Explique para cada uno de los casos, qué esperaría obtener si es que aplicara la prueba de corridas de arriba y abajo y la prueba de corridas de arriba y debajo de la media. (No realice la prueba) Justifique su respuesta.

Pregunta 14 Los números pseudo aleatorios (Ri) de los gráficos mostrados fueron generados utilizando la siguiente relación: Ri =

1

3

6Ui 2π

k

Frecuencia

Histograma de los Ri

% acumulado 90

Números Pseudo a leatorios Generados 1.20

80

1.00

70

120%

100%

) i ( 0.80 R e d 0.60 r o l a 0.40 V

60 a i c n e u c e r F

80%

50 60% 40 30

0.20

40%

20

0.00

20%

0

200

400

600

Número (i) pseudo aleatorio

800

1000

10 0

0%

7 3 3 3 9 4 5 5 0 5 6 6 2 6 8 7 4 8 0 8 5 9 1 9 7 1 8 2 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . Clase

Para ello se generaron 1000 aleatorios (Ui) en Excel (función ALEATORIO() ), se calculó el 3

6Ui 2π

para cada aleatorio y se dividieron todos entre k = máximo

 6Ui  3  .  2π 

a) Basándose sólo en los dos gráficos anteriores, ¿qué puede decir respecto al comportamiento de los números generados? ¿Pasarían las pruebas de corridas arriba y abajo; y arriba y abajo de la media? Sea breve y conciso. (2 puntos) b) Si a = 650, b = 246 y n 2 = 136 . Calcule los estadísticos asociados a las 2 pruebas mencionadas en a) usando como valor crítico Z 1-α /2 = 1.96. Presente sus conclusiones. (4 puntos)

Pregunta 15 El fascinante valor de PI ( ) La conocida constante matemática que describe la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro ha sido siempre más que una constante: miles de científicos, matemáticos y curiosos han estado obsesionados con calcular la mayor cantidad de dígitos decimales de PI. Es más, dicha constante aparece en muchas relaciones geométricas, físicas, etc., y alrededor de ella se han desarrollado aplicaciones de numerosas técnicas matemáticas. Se han escrito muchas curiosidades alrededor de PI. Dicen, por ejemplo, que todos los números están en PI. Esto quiere decir que cualquier número natural que uno imagine seguramente lo podrá encontrar escrito en la infinidad de dígitos de PI . La explicación tiene que ver con que los dígitos decimales de PI parecen estar distribuidos al azar y dada la cantidad de dígitos que existen es de esperar que uno pueda encontrar cualquier número natural escrito por ahí. Es además muy fácil demostrar que un suceso que tiene probabilidad de ocurrir mayor que cero efectivamente ocurra luego de infinitas réplicas, con lo cual cualquier secuencia de números se podrá encontrar en los decimales de PI. Pero vayamos más allá y cuestionemos la aleatoriedad de aparición de los dígitos de PI. Para simplificar las cosas agruparemos los dígitos de PI en secuencias de 4 dígitos para formar varios números naturales. Por ejemplo, a partir de 3. 14159265358979323846264338327950288419... formaremos los números 1415, 9265, 3589, etc., y trataremos de probar de que esos números son efectivamente aleatorios. 1. En función a los cuadros que se presentan a continuación, sin realizar calculo alguno, indique y justifique qué esperaría en los resultados, si ejecutara las pruebas de arriba y abajo y de arriba y debajo de la media. 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 r o l a v

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0

5

10

15

20

25

secuencia

30

35

40

45

50

1.00 0.90 0.80 0.70 1 + j r o l a v

0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

valor j

2. Ejecute las pruebas de arriba y abajo y de arriba y debajo de la media para descartar o no la aleatoriedad de los dígitos de PI. Utilice los primeros 20 números de 4 dígitos formados con los decimales de PI: 1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 7950 2884 1971 6939 9375 1058 2097 4944 5923 0781 6406 2862 0899

Pregunta 16 Un curioso programa de televisión denominado MithBusters (Cazadores de Mitos) que dan en Discovery Channel se dedica a probar si determinados “mitos” son en realidad ciertos o no. Para ello un grupo de científicos diseñan diversos experimentos con el objetivo de probar o descartar las hipótesis que postulan los mitos. En uno de los episodios se intentó demostrar la validez de este “mito”: cuando una tostada con mantequilla cae al suelo la cara que siempre da al suelo es justamente la que tie ne untada la mantequilla. Para probar la hipótesis anterior los científicos tenían que ver la manera de diseñar un experimento que reprodujera el fenómeno de caída de una tostada al suelo de la mejor manera, para que usando ese experimento pudieran probar si el untar mantequilla a una tostada alteraba efectivamente el fenómeno. A continuación se listan los experimentos ensayados: Experimento

Descripción

Ensayos

# veces que la tostada sin mantequilla cayó “boca arriba”

1

Lanzamiento manual desde una mesa Lanzamiento desde una mesa con mecanismo Lanzamiento desde un techo con mecanismo

89

43

# corridas (veces seguidas que cayó la tostada”boca arriba” o “boca abajo”) 20

70

34

45

80

40

32

2 3

a)

Utilice la prueba de aleatoriedad arriba y abajo para determinar cuál de los 3 experimentos reproduce mejor un ambiente para ensayar la caída de tostadas con o sin mantequilla (un ambiente aleatorio) y poder probar la hipótesis que plantea el mito. J ustifique.

Generación de variables aleatorias

Pregunta 17 Se tiene la variable aleatoria X con la siguiente función de densidad:

 0.1 para 0 ≤ x < 4  2 f ( x ) =  1 / x para 4 ≤ x < 10 ax para 10 ≤ x ≤ 20  1000 a) Demuestre que a = 3 . b) Desarrolle un generador para la variable aleatoria X . c) Simule el valor de X para cada uno de los siguientes números aleatorios 0.437, 0.333, 0.798.

Pregunta 18 Sea X , una variable aleatoria binomial con parámetros ( n, p ) ; entonces:

P( X = x) = C xn p x (1 − p ) n − x , x = 0,1,... a) Demuestre que:

 n − x  p   P( X = x)   x + 1  1 − p 

P ( X = x + 1) = 

Luego se establece el algoritmo de la transformada inversa para generar una variable aleatoria binomial X con parámetros ( n, p ) : PASO 1

Generar un número aleatorio U

PASO 2

c=

p

, x = 0, pr = (1 − p ) n , F = pr

(1 − p ) Si U < F , X = x y termina; caso contrario ir al paso 4 (n − x) pr = c pr , F = F + pr , x = x + 1 x + 1

PASO 3 PASO 4 PASO 5

Ir al paso 3

Utilizando el algoritmo anterior y definiendo los parámetros de la variable aleatoria binomial X con parámetros p = 0.20 y n = 10 . Genere una variable aleatoria binomial para cada uno de los siguientes números aleatorios: 0.868, 0.251

Pregunta 19 Un elevador en una planta de manufactura carga exactamente 400kgs de material. Hay tres clases de material (están en cajas). Los materiales y sus distribuciones de tiempos entre llegadas de las cajas al elevador se muestran a continuación:

Material

Peso (kilogramos)

Tiempo entre llegadas (minutos)

A

200

Uniforme (3,7)

B

100

C

50

Constante = 6 P(2) = 0.33 P(3) = 0.67

Al elevador le toma un minuto subir al segundo piso, dos minutos para descargar el material y un minuto para regresar al primer piso. El elevador no deja el primer piso hasta que no tenga la carga completa. Asuma que en el instante cero no hay cajas para transportar. a) Simular 30 minutos de operación del sistema. b) ¿Cuál es el tiempo promedio de viaje de una caja de material A (desde que llega hasta que es descargada)? c) ¿Cuál es el tiempo promedio de espera de una caja de material B? d) ¿Cuántas cajas de material C fueron transportadas en 30 minutos? e) ¿Qué sucede si simulamos el proceso para 10 horas? ¿y para 10 minutos? ¿Se verán afectados significativamente los resultados? Explique Utilice los siguientes números aleatorios para generar los tiempos entre llegadas para las cajas A, B y C.

A

B

C

0.40 0.20 0.17 0.48 0.17 0.71 0.90 0.67 0.95 0.07 0.47 0.09 0.85 0.44 0.16 0.71 0.88 0.29 0.03 0.48

0.40 0.13 0.93 0.25 0.29 0.02 0.67 0.94 0.12 0.09 0.24 0.02 0.61 0.83 0.12 0.67 0.06 0.92 0.13 0.02

0.89 0.69 0.49 0.32 0.92 0.25 0.27 0.58 0.57 0.95 0.65 0.74 0.41 0.56 0.13 0.70 0.52 0.03 0.81 0.07

Pregunta 20 Los buses arriban a la parada de autobuses de acuerdo con un proceso Poisson con una media de un bus cada 15 minutos. Genere tres variables aleatorias N , que representen el número de arribos durante intervalos de 1 hora. Use los siguientes números aleatorios por filas. 0.6040 0.1695 0.2966 0.3463 0.0503

0.3530 0.5369 0.0007 0.1984 0.7501

0.5504 0.0294 0.4710 0.7846 0.7217

0.2578 0.8457 0.2511 0.2323 0.9923

0.5235 0.9245 0.2837 0.1389 0.3804

Pregunta 21 Suponga que tenemos un método para generar una variable aleatoria con función de densidad g ( x) . Podemos utilizarlo como base para generar variables aleatorias a partir de la distribución continua f ( x ) : se genera Y a partir de g y luego se acepta este valor generado con una probabilidad proporcional a f ( y ) / g (Y ) . En concreto, sea c una constante tal que:

f ( y ) g ( y )

≤ c para todo y .

Con lo cual se presenta el siguiente método para generar una variable aleatoria X con densidad f : PASO 1

Generar Y con densidad g

PASO 2

Generar un número aleatorio U

PASO 3

Si, U ≤

f (Y ) cg (Y )

, hacer X = Y . En caso contrario, regresar al paso 1.

Se quiere utilizar el método de rechazo para generar una variable aleatoria con función de 3

densidad f ( x ) = 20 x (1 − x ) , 0 < x < 1 , considerando uniforme). a) Determinar la constante c tal que:

f ( x ) g ( x )

g ( x ) = 1 , 0 < x < 1 (distribución

≤ c . Siendo c el mínimo posible.

b) En la columna 1 se muestran 5 números aleatorios para generar Y con densidad g (recuerde que g tiene distribución uniforme en ] 0,1 [ ). Evalúe

f (Y )

para cada variable

cg (Y ) aleatoria Y . En la columna 2 se muestran los números aleatorios U para contrastar los f (Y ) valores obtenidos de

cg (Y )

según el paso 3 del método propuesto.

Columna 1

Columna 2

0.8832 0.4304 0.0391 0.1945 0.9822

0.7806 0.2983 0.2268 0.3828 0.9053

Indicar las variables aleatorias X con densidad f que se generan mediante este método. Utilice c = 135 / 64 .

Pregunta 22 Se tiene la variable aleatoria X con la siguiente función de densidad:

0.5e x , − ∞ < x < 0 = f ( x)  − x  0.5e , 0 ≤ x < ∞ a) Desarrolle un generador para la variable aleatoria X . ( 2 puntos) Simule el valor de X para cada uno de los siguientes números aleatorios 0.222, 0.456, 0.963 y 0.056

Pregunta 23 Desarrolle un generador para la siguiente función de densidad de la variable aleatoria X, utilizando los métodos que se solicitan.

a) Desarrolle el generando utilizando el método de aceptación y rechazo. b) Desarrolle el generador utilizando el método de la transformada inversa. c) Desarrolle el generador utilizando el método de convolución.

Pregunta 24 Un banco tiene un sistema de cliente-servidor para el procesamiento de transacciones desde terminales que opera bajo el esquema de la figura mostrada.

1

2

CPU n Consulta procesada

Desde cada terminal i se envía una transacción al servidor central cada T segundos con T ~exp(25). El procesamiento de las consultas en el servidor es una variable uniforme con parámetros 12 y 15 segundos. El tiempo de respuesta a cada transacción se define como la diferencia entre el instante en que ésta salió del terminal y el instante en que retorna totalmente procesada (los tiempos “de viaje” entre terminal y servidor se asumen despreciables). El sistema está diseñado con un nivel de servicio de 80% en 20 segundos (el 80% de las transacciones tendrán un tiempo de respuesta menor o igual a 10 segundos). a) Simule 10 transacciones hacia el CPU usando la primera fila de números aleatorios para la generación de transacciones (1 aleatorio por transacción) y la segunda fila para los tiempos de procesamiento. Asuma que en el instante cero ninguna transacción está siendo procesada en el servidor y que la primera transacción se envía al inicio de la simulación.

0.28812 0.95931 0.59944 0.30906 0.51010 0.90977 0.05152 0.14404 0.83771 0.38975 0.69464 0.98257 0.07497 0.47362 0.59285 0.62618 0.88835 0.68263 0.35521 0.71637 b) Calcule el tiempo promedio de respuesta para las transacciones simuladas. c) ¿Existen evidencias suficientes para descartar que el sistema esté diseñado con los parámetros indicados? Explique. d) A través de un cambio en el diseño del sistema es posible que algunas transacciones se envíen en lote a otro servidor, lo que haría que los tiempos entre llegadas de transacciones al sistema analizado se convierta en una variable aleatoria con distribución normal de media 25 y desviación estándar 10. ¿Funcionaría mejor el sistema?

Pregunta 25 Considere las variables A, B y C aleatorias e independientes, y D una variable correlacionada con las tres anteriores Sea A ∼ N(100,20), B puede tomar los valores 0,1,2,3 y 4 con igual probabilidad. La variable C se distribuye de acuerdo a la siguiente tabla Valor de C 10 20 30 40

Probabilidad 0.10 0.25 0.50 0.15

Use Simulación (5 muestras, con los números aleatorios de la tabla de abajo) para estimar el valor de la variable D definida como:

D = Para A 0.7876 0.5199 0.6358 0.7472 0.8954

( A − 25 B ) 2C Para B 0.8949 0.9191 0.9305 0.1920 0.6021

Para C 0.8183 0.0680 0.2064 0.7270 0.3029

Pregunta 26 a) Se tienen los datos de la siguiente distribución empírica (100 observaciones) para la variable aleatoria continua X Intervalo

Frecuencia

0 < x ≤ 16 16 < x ≤ 30 30 < x ≤ 45 45 < x ≤ 60

12 25 29 34

Se pide: • Construir la función de distribución acumulada de X • Generar un par de valores de X utilizando los siguientes números aleatorios: 0.3435 y 0.6753. b) La probabilidad que llueva un día de verano en Arequipa es 0.75 y usted está organizando un campeonato de canicas al aire libre. El campeonato durará 5 días. • Se pide simular el número de días que lloverá (dentro de los cinco días del campeonato). Asumir independencia y utilizar los siguientes números aleatorios: 0.345, 0.712, 0.032, 0.548, 0.765.

•

Se pide simular 3 valores de la siguiente variable aleatoria: El día (el número del mismo) en que ocurre la primera lluvia. Asumir independencia y utilizar los 3 primeros números aleatorios del acápite anterior.

c) Una variable aleatoria X ~ Erlang ( K , θ ) coincide con la distribución de la suma de K variables aleatorias exponenciales independientes, X i (i = 1,..., K ) cada una con media igual a 1 •

•

K θ

.

 K  Demostrar que la variable X puede ser generada con: X = − ln  ∏ Ri  (2 K θ  i =1  1

puntos) Los camiones llegan a un almacén siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de λ = 10 camiones por hora. El guardia de la puerta manda alternadamente los camiones a la puertas norte y sur. El analista Waldo Peace ha desarrollado un modelo de estudio para el embarco/desembarco de camiones en la puerta sur. El tiempo entre arribos Y entre camiones sucesivos que llegan a la puerta sur es igual a la suma de dos tiempos entre arribos en la entrada principal. Encontrar la distribución de la variable Y y simular un valor de la variables utilizando los siguiente números aleatorios R1 = 0.937, R2 = 0.217 .

Pregunta 27 Dada la siguiente función

a) Empleando el método de aceptación y rechazo, con la fila 1 genere una variable aleatoria Y con densidad g . Evalúe

f (Y ) cg (Y )

contra los números aleatorios U obtenidos a partir de la

fila 2 e indicar las variables aleatorias X con densidad f que se generan mediante este método.

Fila 1 Fila 2

0.0280 0.0592

0.6182 0.8318

0.4070 0.6852

0.3119 0.6806

0.2367 0.9778

0.7125 0.9681

0.8578 0.7539

Sugerencia: defina f(x) para cada tramo

Empleando el método de convolución genere una variable aleatoria X usando los siguientes números aleatorios 0.1425, 0.2697 y 0.7419.

Pregunta 28 Distribución Rayleigh La distribución de Rayleigh aparece asociada a la fiabilidad de sistemas a través de la modelización del tiempo hasta el fallo de un dispositivo. La notación de esta distribución esta dada por:

f ( x) =

x

β 2

e

 1  x  2   −     2  β  

siendo β > 0

Demuestre que el generador de variables aleatorias X ~ Rayleigh( β ) tiene la siguiente forma:

X = β − ln( R)

Pregunta 29 Se define una variable aleatoria Ω tal que:

Ω = X 1 + X 2 + X 3 Donde

X 1 , X 2 y X 3 pueden ser obtenidos a partir de las siguientes funciones

respectivamente:

f ( x1 ) =

1

π / 2

− 2 ( X 2 − X + 0, 25)

1

f ( x2 ) =

f ( x3 ) =

e

2π 1

1,5 2π

e

e

−0.5 X 2

 X −1  −0.5   1, 5 

2

Simule cinco (05) valores de la variable aleatoria Ω si se dispone de los siguientes números aleatorios 0.4589, 0.2487, 0.7391, 0.4485 y 0.4883 Nota: Emplee el siguiente generador de Schmeiser que da una distribución aproximada a la normal estándar

Y =

R

0.135

− (1 − R) 0.135 0.1975

Pregunta 30 Dada la siguiente gráfica f(x)

Se le pide lo siguiente: a) Genere 3 variables aleatorias (v.a.) X , empleando el método de aceptación y rechazo, para ello se le da tres pares de números aleatorios (use la fila 2 para generar los U) ��

��

��

��

��

��

��

��

b) Desarrolle un generador de v.a. X , empleando el método de convolución

Pregunta 31 La llegada de camiones al puerto del Callao puede ser modelada con un proceso Poisson con una razón de 0.05 horas por camión. El guardia en la entrada del puerto envía alternativamente los camiones a los muelles norte y sur respectivamente. El futuro PhD Luis Chavez Bedoya, profesor de la Facultad de Ciencias e Ingeniería, ha desarrollado un modelo que estudia el proceso de carga y descarga en el muelle sur y necesita un modelo para el proceso de llegadas a dicho muelle solamente. Un tiempo entre llegadas de camiones sucesivos en el muelle sur X es igual a la suma de dos tiempos entre llegadas a la entrada al puerto. Una variable aleatoria X ~ Erlang (k, θ) coincide con la distribución de k variables aleatorias exponenciales independientes X i (i= 1, 2, …k) cada una con media igual 1/kθ. a) ¿Cuál es la relación entre Poisson y Exponencial? b)

Demostrar que la variable X puede ser generada con: X =

− 1  k  . Ln ∏ Ri  k θ  i =1 

c) Simular todos los valores posibles de la variable aleatoria utilizada con números aleatorios generados por el método del cuadrado medio con semilla = 1009. ¿Cuántos camiones llegan al muelle sur en 90 minutos de operación de este sistema? d) ¿Por qué el generador de números aleatorios utilizado no es recomendable y qué impacto podría tener esto en nuestra s imulación?

Pruebas de bondad de ajuste

Pregunta 32 Los tiempos entre llegadas (en segundos) de los autos que ingresan a un centro comercial se muestran en la siguiente tabla: 19.40 17.44 20.49 22.55 22.40 23.47 15.63 19.53 22.19 17.83

18.62 16.62 16.31 18.04 18.45 15.76 18.86 19.19 20.27 19.27

19.35 19.26 22.69 19.83 19.63 18.97 23.94 21.73 24.75 18.69

23.32 16.78 21.08 21.80 23.84 19.83 18.95 21.35 19.24 21.52

17.11 18.31 16.96 19.27 19.94 20.06 19.35 24.39 16.52 18.53

14.84 22.90 17.44 18.69 21.52 20.93 21.75 21.19 17.26 17.77

21.39 20.65 18.12 19.52 20.26 21.12 20.28 18.18 23.77 20.97

20.14 21.66 21.72 18.73 18.15 22.22 17.60 16.88 21.42 21.28

24.41 22.89 22.61 20.23 20.00 20.91 19.95 17.89 16.45 21.66

20.89 21.24 20.43 17.95 22.48 19.38 18.32 18.36 19.14 19.09

Con dichos datos se construyó el siguiente histograma: (primer intervalo es desde 14.84 hasta 16.08 inclusive, el siguiente para datos mayores a 16.08 hasta 17.32 inclusive, y así sucesivamente), Limite superior 16.08 17.32 18.56 19.80 21.04 22.28 23.52 24.76

Frecuencia

25

3 9 16 21 18 18 9 6

20 a i c 15 n e u c e 10 r F

5 0 14.84

16.08

17.32

18.56

19.80

21.04

22.28

23.52

Clase

a) Identifique que distribución siguen. Decida entre una distribución normal, una triangular y una uniforme. (Indique dos de ellas) b) Estime los parámetros que son necesarios para las distribuciones seleccionadas. Para una distribución normal los parámetros son la media µ y la desviación estándar σ, para una triangular el valor de la moda y para la uniforme no es necesario estimar ningún parámetro (los valores máximo y mínimo no se consideran como parámetros). c) Realice una prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado para verificar si los datos siguen las distribuciones que se han seleccionado.

Pregunta 33 Dada la siguiente información:

Frecuencia Observada

Intervalo 580

584

5

584

588

3

588

592

10

592

596

23

596

600

20

600

604

28

604

608

24

608

612

12

612

616

3

616

620

3

Pruebe si los datos con que se construyó este cuadro de frecuencias siguen una distribución normal (Datos de la muestra: Promedio = 600, Desviación estándar = 5)

Pregunta 34 Fabiola, Keko y Lleta han estado observando durante 170 días cuantos accidentes ocurrían en la intersección de una concurrida avenida, los datos son los siguientes:

Daños por día

Frecuencia de Ocurrencia

0 1 2 3 4 5 6 7 8

45 40 33 16 14 12 7 2 1

Aplique las pruebas de Kolmogorov-Smirnov y la chi-cuadrado ( α = 0.5) para verificar la hipótesis de que la data sigue una distribución Poisson

Pregunta 35 Se han recogido los tiempos de atención en la ventanilla de solicitudes de créditos y se muestran en la siguiente tabla. 27.29 11.77 27.47 22.80 32.84 30.41 36.03 14.31 25.48 24.82 24.10

36.72

27.63

27.12

14.37

16.78

14.69

33.77

36.08

45.85

16.93

13.38

21.69

23.82

35.03

20.15

23.56

18.13

23.74

30.89

28.81

28.50

19.46

28.51

22.93

26.20

25.03

22.98

32.66

18.77

24.91

19.55

37.37

36.15

52.85

25.86

18.95

18.10

21.21

19.87

21.39

27.24

21.52

29.60

28.50

24.10

14.13

17.19

28.29

22.44

22.91

25.46

38.80

23.07

20.97

27.00

26.45

16.51

33.77

37.78

31.46

14.66

25.96

15.91

37.80

32.60

13.09

22.25

18.03

26.16

19.16

19.83

22.09

33.78

20.04

30.34

26.68

24.74

23.07

13.50

32.72

33.51

18.53

27.79

22.89

22.81

32.22

39.71

30.87

20.04

d) Construya un histograma e identifique que distribución siguen. Solamente decida entre una 2 distribución normal y una Chi . e) Estime los parámetros que son necesarios para la distribución seleccionada. Para una distribución normal los parámetros son la media µ y la desviación estándar σ. Para la 2 distribución Chi el parámetro es el número de grados de libertad gl = µ. 2 Realice una prueba de bondad de ajuste (método Chi ) para verificar si los datos siguen la distribución que ha seleccionado

Pregunta 36 Al usar varias leyes de falla se ha encontrado que la distribución exponencial desempeña un papel muy importante y que, por tanto, interesa poder decidir si una muestra particular de tiempos para que se presente la falla proviene de una distribución exponencial. Supóngase que un ingeniero piensa que la duración de una marca particular de bombillas (en horas) tiene una distribución exponencial con media de 124 horas y para ello él ha seleccionado al azar 106 bombillas de esta marca encontrándose la siguiente distribución de frecuencias de sus duraciones en horas:

Intervalo


[4, 72[ [72, 140[ [140, 208[ [208, 276[ [276, 344[ [344, 412[ [412, 480]

26 23 21 15 12 6 3

Muestran estos datos, a nivel de significación de a = 0.05, que la hipótesis del ingeniero es correcta. Para contrastar la hipótesis del ingeniero: a) Utilice la prueba de contraste de bondad de ajuste Chi 2 b) Utilice la prueba de contraste de bondad de ajuste K-S

Pregunta 37 La tabla siguiente presenta la distribución de frecuencia del número de defectos encontrados en el análisis de los últimos 200 artículos producidos en un proceso de producción. Usando un nivel de confianza del 5% se desea verificar mediante una prueba chi cuadrado si dichos valores proceden de una distribución de Poisson con una media ( λ) de 3.5 defectos por artículo.

Recordemos que: Si, X ~ P (λ) Entonces, tiene una Función de Probabilidad:

 x − λ α e P( x) =  x!  0 

 x = 0,1,2,...   en c.c. 

Pregunta 38 Cierto proceso de fabricación de chips de alto rendimiento, genera una cantidad apreciable de unidades defectuosas, como es usual en estos casos. Se conjetura que el número de chips probados x para encontrar un chip aceptable o bueno (los primeros x-1 chips son malos), sigue una distribución geométrica, x -1

P (x) = P ( 1 - P ) donde: x = 1, 2, 3, ..... p : probabilidad de que un chip cualquiera sea bueno µ = 1/ p 2 2 σ = (1-p) / p

Realizar una prueba Chi-Cuadrado con un nivel de confianza del 95% con relación a la siguiente muestra consistente en 300 chips probados, para indagar si este número de pruebas sigue una distribución Geométrica con parámetro p. Notar que la frecuencia observada se refiere entonces al número de veces en las que se encontró un chip aceptable al primer intento, al segundo intento, y así sucesivamente.  Referirse al segmento de la Tabla Chi-Cuadrado

que se muestra a continuación de la

siguiente tabla, para completar la prueba.

Xi

Frecuencia observada (foi )

1

194

2

70

3

20

4

12

5 o mas Totales:

4* 300

Para esta muestra en particular, no hubo casos en que se encontró un chip aceptable en 6 intentos o mas.

Pregunta 39 Al usar varias leyes de falla se ha encontrado que la distribución exponencial desempeña un papel muy importante y que, por tanto, interesa poder decidir si una muestra particular de tiempos para que se presente la falla proviene de una distribución exponencial. Supóngase que un ingeniero piensa que la duración de una marca particular de bombillas (en horas) tiene una distribución exponencial con media de 124 horas y para ello él ha seleccionado al azar 106 bombillas de esta marca encontrándose la siguiente distribución de frecuencias de sus duraciones en horas:

Intervalo


[4, 72[ [72, 140[ [140, 208[ [208, 276[ [276, 344[ [344, 412[ [412, 480]

26 23 21 15 12 6 3

Muestran estos datos, a nivel de significación de a = 0.05, que la hipótesis del ingeniero es correcta. Para contrastar la hipótesis del ingeniero: c) Utilice la prueba de contraste de bondad de ajuste Chi 2 d) Utilice la prueba de contraste de bondad de ajuste K-S

Pregunta 40 Dado el siguiente histograma, efectúe lo siguiente:

1. Plantée el generador a utilizar. 2. En función a los siguientes aleatorios, y utilizando el generador encontrado, genere variables aleatorias que siguen dicha distribución muestral utilizando el método de la transformada inversa. Utilice los números aleatorios de izquierda a derecha. 0.5296 0.8840 0.1955 0.2906 0.8450

0.1033 0.8782 0.1066 0.1095 0.7197

0.0502 0.0203 0.2023 0.9043 0.2137

0.2815 0.1918 0.5153 0.2010 0.3934

3. Utilice la prueba de bondad de ajuste de Kolmorogov-Smirnov para verificar si estos datos se ajustan a una distribución teórica triangular. Recordemos que la distribución triangular posee tres parámetros, a=mínimo, b=máximo y c=moda. Las fórmulas de la función de probabilidad (P(x)) y la de distribución acumulada (D(x)) son las siguientes:

Pregunta 41 En un juego de dados la suma de los valores arrojados pueden ser 2, 3, 4 ....11 y 12 con probabilidades respectivas de 1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18 y 1/36. a) Defina un generador de variables aleatorias para este caso mediante una distribución empírica adecuada que permita obtener los resultados generados por cada dado. (Observe que el mismo generador se usa para la suma de ambos dados). b) Simule 50 tiros independientes e indique los resultados c) Aplique la prueba de Kolmogorov-Smirnov a los resultados hallados y concluya.

Use los siguientes números aleatorios ordenados por columnas para simular el resultado de los dados Tiro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número Aleatorio 0.736 0.442 0.101 0.719 0.288 0.851 0.242 0.816 0.035 0.797

Tiro 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Tiro 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


Tiro 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


Tiro 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


Pregunta 42 (Simulación Manual y Generación de variables aleatorias) Considere un sistema de fabricación en donde se cuenta con dos máquinas y un solo operador quien se comparte entre las dos máquinas. Las piezas a ser trabajadas llegan según una distribución exponencial con media 3 minutos, Las piezas son de dos tipos. El 60% del tipo A y son procesadas en la máquina 1y 40% del tipo B para ser procesadas en la máquina 2 El proceso requiere que el operador inicie el trabajo en la máquina demorándose 1.5 minutos, luego la maquina trabaja sola. El tiempo de procesamiento para la máquina 1 es exponencial con media 3 minutos y la máquina 2 es lognormal con media 1 y desviación estándar 0.5 (medidos después de la salida del operario) a) Simule la llegada y procesamiento de por lo menos 6 productos con una tabla como la siguiente: Número Tiempo Tiempo Número Tipo de Inicio uso Fin de Número Tiempo Fin de Aleatorio entre de Aleatorio producto de uso de Aleatorio de uso de uso de llegada llegada operario y operario máquina máquina A B C máquina E F G D 0.394 0.875 0.805 0.295 0.538 0.065 0.180 0.624 0.105 0.170 0.374 0.446 0.902 0.941 0.776 0.540 0.014 0.881

NOTA: Si X ∼ Lognormal ( µ, σ), entonces Ln(X) ∼ Normal (µ, σ) X ~ exp (λ )

λ − λ x , x ≥ 0  f ( x ) =  e   0 , x < 0  b) Defina qué estadísticas son importantes calcular para estudiar el proceso y cómo se calculan Los Profesores del Curso Pando, marzo de 2011

Ejercicios Capítulo 1 y 2

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