Solucion Ejercicios 1 y 2



1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de  converge la serie de potencias?

=−1−1++ − 2 ∞

A. La serie converge para

| − 3| < 1 | − 2| < 1 <<4 |  2| < 1 lo que equivale a 2

B. La serie converge absolutamente para

1<<3 1<<3

lo que equivale a

C. No se puede determinar la convergencia D. La serie converge absolutamente para

lo que equivale a -

Desarrollo 

Usamos el criterio de la razón:

  ≥   ≠    → :   < 1,        > 1,         1,1,           +   1  −1++−1+++1−2 −2  | − 2| < 1 <1, | − 2| <1:1<<3 Si existe una

 tal que para toda

La suma converge para

La suma converge para

 a

por lo tanto, resolver

∞

1,  ,   | −2|1 3, ∑=−1++ 3 −2:  1, ∑=−1  1 −2 :  Para

∞

Para

∞

Por lo tanto, el intervalo de convergencia

=−1+  −2: ∞

Respuesta es B

1<<3 = 21 

2. El radio de convergencia de la serie de potencias es: ∞

A. B. C. D.

1 0 3 2

 ≥ ≠   → :  <1,      >1,      1,       Si existe una

 tal que para toda

 a

∞

  + 1  12++  1  12 2 + 1 12++  :12   →  (12 2 ) <1,   , +<1 12<1: −3<<1 1,   ,     121    + ∑  1, =      −31  −3, = 2  ∞

La suma converge para

La suma converge para

∞

∞

Por lo tanto, el intervalo de convergencia

= 21  −3≤< ∞

1

Respuesta es A

Punto 2

El radio de convergencia de la serie de potencias es:

E. F. G. H.

1 0 3 2

Solución:

l→im +   = 1++ 12  1 = 2

Criterio de la razón:

Se hace extremos y medios

+  1 ∗2  12+ ∗1 Ahora se separan valores

   1 ∗1 ∗2 1 ∗  1 ∗2 ∗2    1 ∗  1 ∗ 2 1 ∗  1 ∗2 ∗2 Se cancelan términos iguales

  1  2 =

Quedando:

1∗ 1∗2 22 | 1|→? →∞  22 | 1|  +  0      12 | 1|  −1< 12 <1 −1∗2<<1∗2 −2<<2 −2−1<<2−1 −3<<1 1 0 3 2

Se extrae de las barras de valor absoluto aquello que no sea “X”

Cuando

, entonces se divide entre

Queda:

Esto converge para L<1

Multiplicado por 2 y restado por 1 queda para radio de convergencia

Intervalo de convergencia

Radio de convergencia A. B. C. D.

Si

−3    = 21 = − 312   −2 = 2  1  =  1    = 21 = 121

Se cancelan términos iguales

Si

Se cancelan términos iguales

 2 = 2 l→im 1 0