Ejercicios originales resueltos para incluir en el tema estática de fluidos, sección densidad de una mezcla de sustancias. 1.
(*2) (*2) Dos Dos flui fluido dos s se mezc mezclan lan en form forma a inho inhomo mogé géne nea a qued quedan ando do burb burbuj ujas as en la suspensión. suspensión. La mezcla con las burbujas burbujas ocupa un un volumen volumen oal oal de !.2 !.2 li. li. "i las densidades # masas de cada fluido son: ρ1 = 1gr$cm%& m! ' gr, ρ2 = . gr$cm % # m2 ' + gr& considerando despreciable la masa del aire en las burbujas& calcule, a) -l volumen volumen oal de de las burbujas burbujas b) La densidad densidad de la la mezcla. mezcla. Soluci Solución ón inciso inciso a): -l volum volumen en de la mezcl mezcla a es es dado dado por por la suma suma de los vol/menes individuales de los fluidos !& 2 # de las burbujas& 0.
Despejando 10& obenemos
V M = 1200 cm3& el volumen de la mezcla es dao # los vol/menes de los fluidos ! # 2 se obienen de los daos del problema de la siguiene forma, V 1 =m1 ρ 1 = 600 gr/1cm gr/1cm3 = 600 cm3; 3 3 V 2 = m 2 / / ρ 2 2 = = 400gr/0.8gr/cm = 500 cm
Sustituyendo los vlores nteriores en !2"# o$tenemos%
1
Solución inciso b): & densidd de l me'cl est dd (or l ms de l me'cl entre el volumen de l mism.
2.
"e mezclan homogéneamene res fluidos& cu#as fracciones de volumen # densidades son 3! ' .+%4& ρ! ' !.2 gr$cm % 32 ' .+& ρ2 ' .4 gr$cm% # 3% ' .!4& ρ% ' ! gr$cm %& respecivamene. "i el volumen de la mezcla es 15 '
6.26 cm%&
calcular, a) La densidad de la mezcla. Solución: La densidad de la mezcla es dada por
"usiu#endo m = V & se obiene
-jemplo 4. "e realiza una aleación de oro # cobre& en proporciones desconocidas& para formar un lingoe con dimensiones de 2cm7!cm74cm # masa de !2 8g. 9alcular, a) La densidad de la aleación& ρL ': b) -l ;quilaaje< del oro en la aleación 2
=oa, >ecuerde que un quilae de oro equivale a un +.!? de ese en la aleación. Respuesta: a)
@ilizando la ecuación !.! que define la densidad de un cuerpo&
& donde
m5 # 15 son daos del problema con los que obenemos la densidad del lingoe formado por oro # cobre.
b) Aara obener el ;quilaaje< necesiamos saber el porcenaje de masa de oro en el lingoe& para lo cual uilizamos la ecuación !.!& desarrollada con el propósio de conocer& la fracción de vol/menes de los componenes en la mezcla& # obener el porcenaje de masa del componene !& en ese caso el oro. Aara ma#or facilidad nos remiimos al ejemplo + de esa misma sección& en donde observamos que hemos hecho ese mismo ejercicio& pero sin calcular los quilaes de oro en la muesra. @ilizando la ecuación !.!2B de ese ejercicio& obenemos que el porcenaje de oro es dado por,
9on
las respecivas fracciones de volumen del oro # del
cobre en la aleación. >ecordando que 3Cu 39u ' !& obenemos,
Aor lo que despejando la fracción de oro en la mezcla& 3Cu,
Despejando la masa de oro& de la /lima ecuación,
3
Aor lo que el porcenaje de oro en la muesra ser 3 Cu ?' 4.6!28g$!28g ' +6.?. es decir el oro ocupa un +6.? en la aleación& por lo que sus quilaes sern,
& enonces& los quilaes 38& correspondienes a ese porcenaje de oro calculado son,
9omo puede observarse& al ener como daos la masa # el volumen de la mezcla # las densidades de los componenes& la no fue necesario calcular el porcenaje del cobre para obener los quilaes de oro. • Ejercicios resueltos para incluir en los apuntes del Principio de Arqumedes
Ejemplo !. (*%) -l objeo melico homogéneo& ", figura (!) ejercicio E& es suspendido mediane una cuerda de peso despreciable& de una balanza de resore 0! (Dinamómero)& que muesra una lecura de 6.24 Fg.& mienras que la balanza 02 regisra la masa de un lGquido& L& (48g) # la del vaso que lo coniene& 1& (!8g). -n la figura (2) el mismo objeo se encuenra sumergido en el lGquido. La balanza 0! indica .24 8g& mienras que la 0 2 seHala 6 8g. -l volumen del objeo& "& es .! m%. -n la figura %& el objeo& ", se deja reposando en el fondo del vaso& # la balanza 02 regisra la masa del vaso& la masa del lGquido # la masa del objeo. a. I9ul es la fuerza de empuje del lGquido sobre el objeo: b. I9ul es la densidad del lGquido: c. IJué pasó con las fuerzas de empuje # la fuerza aparene del objeo denro del fluido& en la siuación represenada por la figura %: Idesaparecieron:
Solución inciso a) Aara un objeo que no floa& se iene que la fuerza de floación& K L& es dada por la diferencia enre el peso del objeo fuera del fluido& M& # el peso denro del mismo (peso aparene)& a,
4
B1 B1
B
1
O
$ L
L
"
L
B2
%&
%& '!)
V
V
O
'&)
'()
igura ejemplo !. (!) Mbjeo colgando fuera de un vaso con lGquido que descansa sobre una balanza 02. La balanza 0! regisra el peso real del objeo& mienras que la 02 regisra solo los pesos del lGquido # del vaso. (2) 5ismo objeo suspendido de una cuerda denro del lGquido& la balanza 02 regisra el peso del lGquido& el peso del vaso # una ercera fuerza que aparece al enrar el objeo en el fluido& mienras que la balanza 0! regisra un peso disminuido del objeo. Kigura (%) objeo reposando en el fondo del vaso& 0! no regisra nada& 02 regisra los pesos del agua& del vaso # el peso real del cuerpo.
Solución inciso #) @ilizando la fórmula para la fuerza de floación que proporciona el principio de CrquGmedes& obenemos,
De donde obenemos la densidad del fluido& que odavGa no conocemos& en el que se encuenra el objeo sumergido.
-l resulado sugiere que el lGquido en el que se sumerge el objeo es agua. Solución inciso c) -n la represenación de la figura %& la balanza 0! no regisra nada& mienras que la balanza 02 >egisra el peso del fluido& el peso del vaso # el peso del objeo& pero ese /limo es igual al peso aparene mas la fuerza de floación, ) * = ) + , - - .
5
Ejemplo &. (%*) "e consru#e una lancha recangular formada por seis placas de Cluminio&
figura& con las siguienes dimensiones, N pulgada de espesor& +. m de largo por !. m de ancho # .6 cm de alura la cual iene como armadura unas cosillas de refuerzo& compuesa por barras& ambién de aluminio& con dimensiones de O pulgada de espesor por 2 pulgadas de perale # en oal suman + m de longiud. "i se deposia una masa de % oneladas denro de la lancha& calcular, a) La profundidad& ∆h& que se mee la lancha en el agua. m =ivel del agua
∆h
igura ejemplo &: -squema represenando un lanchón de aluminio floando en agua& con una masa m ' % oneladas.
Solución. La profundidad ∆h que la lancha se inroduce en el agua debido al peso oal se obiene del volumen de fluido desplazado& 1Kd ' C∆h& cu#o peso es la fuerza de floación (Arincipio de CrquGmedes). Las fuerzas que inervienen con la lancha floando son, La fuerza de floación K K& el peso del aluminio esrucural de la lancha& Cl& # el peso adicional& m& proporcionado por la masa de % oneladas& de al forma que la fuerza de floación sea igual a la suma de las oras como requisio para que floe.
9on )m = mg =3000g.8m/s 2= 2400 # ) +l =m +l g Aara calcular la masa de aluminio obenemos el volumen oal del mismo muliplicado por su densidad, & -l volumen del aluminio es,
-nonces Aor ano& la fuerza de floación queda,
6
Aor
el
Arincipio
de
CrquGmedes&
, ! ∆h
A
1
2
h1
3
h2
%
h3
Kinalmene&
•
Ejercicios resueltos para incluir en el tema dinámica de fluidos, ecuación de %ernoulli.
Ejemplo !. (%*) (Peorema de Porricelli). -n la figura adjuno se muesra una uberGa descargando agua con un gaso de !.4 liros por segundo& en un anque& C& que iene un dimero de !2 cm& el cual a su vez descarga a ravés de una llave de paso con un dimero de O pulgada a oro anque& 0& de cm de dimero # E cm de alura (h%). -l anque C se encuenra sobre un pedesal a una alura h2 ' !.4 m sobre el nivel del suelo. -l anque 0 se encuenra sobre el suelo. 9alcular,
a) La alura a la cual el nivel del agua en el anque C se esabiliza. b) La velocidad a la cual llega el agua al anque 0. c) -l iempo en que arda en llenarse el anque 0.
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Solución inciso a) Cunque la ecuación para la velocidad de descarga de un anque (Peorema de Porricelli) la obuvimos #a& lo haremos nuevamene para recordar el procedimieno. Cplicando la ecuación de 0ernoulli enre los punos ! (carga) # 2 (descarga)& se iene,
-s un hecho que el rea de sección ransversal del anque& C!& es mucho ma#or que el rea de descarga en el puno 2& C2& # de acuerdo con la ecuación de coninuidad la velocidad de desplazamieno del nivel de lGquido en el anque& v !& ser mucho menor que la velocidad de descarga del fluido& v 2& resulando que despreciable la primera& por lo que la ecuación de 0ernoulli se reduce a,
-n donde hicimos A! ' A2 ' ACP5 # v! ' . Despejando v2 de la ecuación 2& obenemos,
9on ∆h ' h! Q h2. Cplicando la condición de equilibrio que sucede cuando
"usiu#endo (%) en (+)& se obiene la alura ∆h a la cual se esabiliza el nivel de fluido en el anque. Kinalmene& Solución inciso #) 9alcularemos ahora la velocidad con la que el agua que descarga por el puno 2 llega a la boca del anque idenificada con el puno %. Cplicando la ecuación de 0ernoulli enre los punos 2 # %& obenemos,
9on A2 ' A% ' ACP5 # susiu#endo v2 de la ecuación (%)& la ecuación anerior queda,
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∆H
!
2 Figura ejemplo 2
Despejando v%,
Solución inciso c) -l iempo de llenado del anque 0& se calcula a parir de la definición de gaso, J ' 1$ en m%$s. Donde 1 es el volumen del anque # J es el gaso de descarga (mismo que el de carga). Aor lo ano el iempo de llenado del anque es,
Ejemplo &. (%*) Aor un ubo de 1énuri& que iene un dimero de ! pulgada por la pare ancha # R pulgada en la pare esrecha& circula agua. -l 1énuri iene conecados dos ubos manoméricos que marcan una diferencia de aluras del agua ∆S ' % cm. 9alcule, a) I9unos meros c/bicos de agua por segundo circulan por el ubo:
Solución. -l gaso de agua que circula a ravés del ubo de 1énuri es represenado por la ecuación de coninuidad,
9
C!& v! # C2& v2 represenan las reas # velocidades en la pare ancha # angosa de la uberGa& respecivamene. Aara conocer el gaso es necesario enconrar el valor de una de las dos velocidades en la ecuación anerior& por lo que es necesario uilizar una segunda ecuación que las conenga& para lo cual uilizamos la ecuación de 0ernoulli,
-l érmino correspondiene a la diferencia de aluras no aparece porque es una uberGa horizonal& por lo que h! # h2 esn a la misma alura. Penemos ahora dos ecuaciones con dos incógnias # A! Q A2 se calcula a parir de la diferencia de aluras, ∆S que es dao& enre los dos ubos manoméricos insalados para al propósio en el ubo de 1énuri& uilizando para ello la ecuación represenaiva para un fluido esico& A! Q A2 ' ρg∆S& como es el caso de los dos ubos manoméricos midiendo la diferencia de presión enre dos punos para un flujo en movimieno esacionario. Despejando v! de la ecuación (!) # susiu#endo en la (2)& obenemos,
& por lo que
# la ecuación (2) queda,
Despejando v2 de la ecuación anerior,
-nonces el gaso& ecuación (!)& ser,
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Ejemplo ( (%*) @na bomba manual de rociado absorbe lGquido de un depósio& que se encuenra conecado al ramo ms angoso de la bomba& a ravés de un ubo que iene una alura& ∆h ' cm& como se muesra en la figura. -l dimero en la pare ancha es de 2.4 cm& el dimero del ubo en la pare angosa es de % mm # el lGquido en el depósio iene una densidad de .64 gr$cm%. 9onsiderando una densidad de !.%7!T% gr$cm% para el aire en la bomba& calcular, a) La diferencia de presiones enre las pares ancha # angosa& ∆A& mGnima para elevar el lGquido desde el depósio a una alura ∆h. b) Las velocidades mGnimas v! # v2 enre las pares ancha # esrecha de la bomba.
Solución inciso a) La alura ∆h que sube el lGquido desde el depósio es direcamene relacionada con la diferencia de presiones enre la pare ancha # esrecha de la bomba.
Donde ρ* es la densidad del insecicida lGquido en el depósio. -nonces&
9omo puede diferencia de para subir el el flujo de aire. puede sacar el con un popoe al con la boca.
AAir Aire e
∆h
+quido
igura ejemplo (.0omba manual para rociar.
observarse la mGnima presiones es suficiene lGquido # mezclarse con Aor esa razón uno lGquido de un refresco hacer un poco de vacGo
Solución inciso #) "i eiqueamos con el =o. ! a la pare ancha # el 2 a la esrecha& la diferencia de presiones& de acuerdo con la ecuación de 0ernoulli es,
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Debido a que v! # v2 son incógnias& enemos que usar ora ecuación que las conenga # esa es la ecuación de coninuidad
Despejando v! de esa /lima # susiu#endo en la anerior (2) obenemos,
U Despejando v2,
Aara calcular v! recurramos a la ecuación de coninuidad (%),
9omo puede observarse de los resulados& la velocidad en la pare esrecha de la uberGa& v 2& es al que la presión debe ser mu# baja # se presena el fenómeno de caviación que permie que las goas de lGquido se pulvericen. "e deja como ejercicio para el alumno calcular la presión en A! # recopilar información sobre el fenómeno de caviación debido a la baja presión en un ubo de 1énuri. •
Ejercicios resueltos para incluir en el tema luidos Reales 'laminares -iscosos: Ecuación de Poiseuille).
Ejemplo ! (2*) Aor una uberGa de !$ de pulgada (.%!64cm) de dimero pasa aceie de moor. -l aceie iene una viscosidad η ' %7!T% =.s$m2& emperaura de 2V9 # densidad de . gr$cm%& descargando a la amósfera con un gaso de .!ml$s. Aara medir la caGda de presión en la uberGa se colocan dos ubos manoméricos separados una disancia de % cm como se indica en la figura. 9alcule, a) -l =o. de >e#nolds. b) La caGda de presión en cm de alura equivalenes enre los dos ubos manoméricos.
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Solución inciso a): -l =o. de >e#nolds.
Lo que muesra un flujo bajo régimen laminar. & velocidd del luo l o$tenemos del gsto y el re de seccin trnsversl de l tu$er% v = 7/+ = !0.1106 m3 /s" / !9.2106m 2 " = 1.26102m/s = 1.26 cm/s :onde# + = π 2 = π !0.0015895m" 2 ' 6.E2 106m 2
Solución inciso presión enre los uberGa es dada
∆h
#): La caGda de dos punos de la por
% cm Kigura ejemplo !. Disancia enre dos ubos manoméricos # la diferencia de aluras debido a la caGda de presión de un fluido l aminar viscoso.
La diferencia de alura debida enre los dos ubos manoméricos es& enonces, h ' ∆A$ρg ' (%Aa)(8g$m%)(E.m$s2) ' .+4 m ' +.4 cm Ejemplo &. (2*) Aor una uberGa lisa de < de dimero coninuo # una longiud de ! 8m& se bombea agua a una emperaura de 2 V9 hasa una alura de %.E m. La uberGa descarga en un anque abiero a la presión amosférica con una rapidez de .+ l$s. 13
9alcule, a) -l ipo de régimen del fluido en la uberGa b) La caGda de presión en la uberGa c) La poencia de la bomba& necesaria para subir el agua con el gaso indicado Solución inciso a) Aara saber si el flujo de agua que corre por la uberGa es laminar& calculamos el =o. de >e#nolds.
& Donde ρ es la densidad del agua& v la velocidad de descarga& D el dimero de la uberGa # η la viscosidad del agua a 2V9. Aara conocer v aplicamos la ecuación del gaso,
C es el rea de sección ransversal de la uberGa& por lo que la velocidad de descarga es
& régimen no urbuleno.
0
" #m 3.!m 0
0
Figura ejemplo 2 , sección 5.4. Los manómetros indican la caída de presión de un fluido viscoso, en los diversos tramos de la tubería, que descarga a la atmósfera a una altura de 3.! m.
Solución inciso #) -n ese ejercicio se presenan dos caGdas de presión, la primera debida a la viscosidad& el dimero& el gaso # la longiud de la uberGa& represenada por la ecuación de Aoiseuille& # la segunda debida a la diferencia de aluras enre la bomba # el puno de descarga.
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De acuerdo con la ecuación de Aoiseuille, la caGda de presión en la uberGa& ∆AA& debido a la viscosidad& η ' ! T% =.s$m2& la longiud& L ' ! 8m& el gaso J ' .+7! T% m%$s& # el dimero de la misma D ' 2 cm& es dada por,
Aor oro lado& la caGda de presión debida e7clusivamene a la alura que iene que vencer la bomba& es, & que equivale a % amósferas. La caGda de presión que endr que compensar la bomba -sar dada& de acuerdo con la igualdad (!)& por,
-s decir& bajo las condiciones de flujo laminar& # un dimero de 2 cm en la uberGa& la caGda de presión debida a la viscosidad es despreciable para agua. "i aumenamos el gaso a valores ms prcicos& digamos de + l$s& la velocidad aumena a .!26m$s # seg/n el >e#nolds el ipo de régimen serGa urbuleno& >e ' 24+. -n conclusión la ecuación de Aoiseuille iene una aplicación mu# reducida # solo se emplea en casos especiales donde el flujo es laminar& lo que generalmene implica gasos pequeHos para uberGas que no ienen dimeros grandes. Solución inciso c) La presión de la bomba es dada por el produco de la caGda de presión por el gaso& es decir
Ejemplo (. (%*) @n ubo capilar de ! pie de largo # !$+ pulgadas de dimero inerno es conecado al fondo de un depósio cilGndrico& que iene una alura de ! pie # dimero de pulgadas& lleno de agua& se muesra en la figura adjuno. 9alcular, a) -l gaso de descarga J ' d1$d (m%$s& cm%$hr ) b) La rapidez de caGda del nivel del agua en el depósio& d/!dt. 9onsidere un valor de .! poise para la viscosidad del agua.
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c) La rapidez de movimieno& d/&dt& del nivel de agua en el capilar cuando esa se agoa en el depósio (L! ' ). De acuerdo con la ecuación de Aoiseuille& el gaso de fluido a ravés del rea de sección ransversal de un ubo cilGndrico de longiud L # radio >& es,
L
1
L
2
-igur eem(lo 3. :e(sito con c(ilr l ondo.
Donde ∆A es la diferencia de presión enre los punos separados por la disancia L.
Solución inciso a). -l flujo de agua a ravés del capilar se debe a la presión ejercida por el nivel de agua en el depósio ms la presión de la columna de agua en el propio capilar& dando lugar a la
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aplicación de la ecuación de Aoiseville en el depósio ms la misma en el capilar& lo que se represena de la siguiene forma, !W. La presión de la columna de agua en el depósio sobre la pare superior del capilar conribu#e a que se genere un gaso dado por,
9on > el radio del capilar # L2 la longiud del mismo. 9omo puede observarse en el problema& la diferencia de presiones es proporcionada por la alura de la columna de fluido& ∆A ' ρgL! en ese caso. 2W.
La conribución al gaso en el capilar debida a la presión de su propio peso& es dada por
De al forma que el gaso oal a ravés del capilar es,
-nonces&
Solución inciso #): 9omo
& donde C es el rea del depósio # dh!$d la
rapidez con que se baja el nivel de lGquido en el mismo. La ecuación (+) queda,
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Donde R es el radio del capilar # C ! el rea del depósio& por lo que& susiu#endo valores& la rapidez de bajada del nivel de agua en el depósio para L ! ' !2 pulgadas # L 2 ' !2 pulgadas& queda,
Solución inciso c): 9uando el depósio se vacGa& L! ' & # L2 ' !2 pulgadas& la rapidez de bajada del nivel de lGquido en el capilar es dada por,
Donde > es el radio del capilar # C2 su rea de sección ransversal.
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