EJECICIOS DINAMICA 16-2.pdf

EJERCICIOS PROPUESTOS PRIMERA UNIDAD

PRIMERA PARTE: Desarrollar los siguientes ejercicios aplicativos. En los casos donde se solicite gráficas, elaborar los mismos en hoja milimetrada a escala adecuada, mínimo tres ciclos. 1. Determine la frecuencia circular, cíclica y periodo natural del sistema representado en cada caso. Las vigas son uniformes con un momento de inercia “I” y módulo de elasticidad “E”. No considere la masa de la viga o de los resortes que soportan el peso W.

2. Un motor es montado sobre 4 resortes helicoidales sobre una viga. Si los resortes tienen una constante individual de 19 620 N/m y la viga es de acero con dimensiones largo de 1.5 m y de sección rectangular de 0.2 m de base y 0.05 m de altura montada doblemente empotrada. ¿Cuál será la Ke?

3. Un sistema masa-resorte, m-K1, tiene una frecuencia natural de f1. Si un segundo resorte K2 es agregado en serie con el primero, la frecuencia natural baja la mitad de f1. Determine K2 en términos de K1

DINÁMICA Y VIBRACIONES

Ing. Nelson E. Huangal Castañeda


4. Encuentre la ke del sistema mostrado en la figura. Si: K1 = K2 = 19620 N/m. K3 = K4 = 24525 N/m.

rectangular de 0.20cm de ancho por 0.35 de altura. Además, el peso W= 1520 kgf, y k=2500 kgf/cm. Determine el periodo natural del sistema, la ecuación de la vibración y las expresiones para el desplazamiento, velocidad y aceleración para cualquier instante “t”.

5. Encuentre la Ke y el desplazamiento en cada resorte, en el sistema mostrado en la figura. Considerar W= 20000 N. Además, considerar los valores de las constantes elásticas individuales: K1= 14715 N/m K2=19620 N/m K3= 11772 N/m K4= 13734N/m K5= 15696N/m K6= 6867 N/m K7=17658 N/m

6. En el siguiente problema la viga tiene una longitud igual a 350 cm, el módulo de elasticidad del material 2.1*106 kgf/cm2, de sección transversal


7. Resolver el problema N°1, teniendo en cuenta una longitud igual a 327.25 cm, el módulo de elasticidad del material 2.1*106 kgf/cm2, de sección transversal tal como se muestra en la figura.

Además, el peso W= 1245.12 kgf, y k=2475 kgf/cm. Determine el periodo natural del sistema, la ecuación de la vibración y las expresiones para el desplazamiento, velocidad y aceleración para cualquier instante “t”.



8. Resolver el problema N°1, teniendo en cuenta una longitud igual a 115.22 cm, el módulo de elasticidad del material 2.1*106 kgf/cm2, de sección transversal tal como se muestra en la figura.

10.En el problema Nº7, considerando que el peso W tiene un desplazamiento inicial Xo= 1.15 cm y una velocidad inicial Vo=20 cm/s Determine la frecuencia y el periodo natural del sistema. Realice las gráficas: X vs t, V vs t, a vs t. 11.En el problema Nº8, considerando que el peso W tiene un desplazamiento inicial Xo= 1.12 cm y una velocidad inicial Vo=15 cm/s Determine la frecuencia y el periodo natural del sistema. Realice las gráficas: X vs t, V vs t, a vs t.

Además, el peso W= 1335.2 kgf, y k=2500 kgf/cm. Determine el periodo natural del sistema, la ecuación de la vibración y las expresiones para el desplazamiento, velocidad y aceleración para cualquier instante “t”.

9. El sistema mostrado en la figura consiste en una viga de concreto armado (módulo de elasticidad 250 000 kg/cm2), de 3m de luz y 0.25 x 0.30 m de sección, empotrada en un extremo y sujetada en el opuesto por un conjunto de 3 varillas lisas de acero (módulo de elasticidad 2

12.Una mujer de 55 kg se halla de pie en el centro de un tabón apoyado por los extremos y produce una flecha de 22 mm en el centro. Si dobla levemente las rodillas con el objeto de provocar una vibración vertical, ¿cuál será la frecuencia natural del movimiento? Se supondrá que el tablón responde elásticamente y se despreciará su masa.

100 000 kg/cm2) de φ = 3/8". Las dos

varillas superiores están conectadas con la inferior mediante una placa metálica que puede considerarse de gran rigidez. Calcule la rigidez del sistema para el grado de libertad señalado por la flecha.

13.Una varilla rígida de peso despreciable está restringida a oscilar en un plano vertical, como se muestra en la figura. Determinar la frecuencia natural de la masa “m”.




14.La tolva de cemento tiene una masa total m = 5500 kg y está siendo descendida a 1.2 m/s cuando el tambor izador se detiene repentinamente. Hallar el desplazamiento descendiente adicional ∆h de la tolva y la frecuencia “ω” de la

consiguiente vibración de la tolva para h= 12 m. La longitud del cable de acero de 25 mm de diámetro es L =15 m entre la polea y el tambor. El módulo elástico del acero es E = 200 GPa. (Recuérdese que E = X/Y, donde el esfuerzo X es fuerza por unidad de superficie y la deformación Y es el alargamiento elástico por unidad de longitud).

15.Un elevador que pesa 10,000 N. es suspendido por un cable con área de sección transversal de 0.001 m y módulo de elasticidad 200 GPa. Si en el piso inferior la longitud del cable es de 30 m. y en el superior 8 m. ¿De cuánto a cuanto variará la frecuencia natural del sistema? Considérese la masa del cable despreciable.

17.Calcule la frecuencia natural del movimiento horizontal del pórtico de acero de la figura si el miembro horizontal es infinitamente rígido.

18.Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20 cm. La cuba y el fuste son cilíndricos. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2).

16.Determine la ecuación de movimiento y el período natural de vibración del sistema de un grado de libertad, compuesto por una viga (I = 4 000 cm 4) con un peso concentrado de 500 kg. y una varilla de 5/8” de diámetro en uno

de sus extremos, tal como se muestra en la figura 3. Ambos elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2). La viga se puede considerar sin masa. DINÁMICA Y VIBRACIONES



19. Describir las ecuaciones diferenciales de movimiento. En todos los casos el desplazamiento “x” se considera desde la posición de equilibrio estático.

Kp/cm2). Las columnas son de sección cuadrada de 0.25 cm de lado y la columna central es de 0.25 m de diámetro. Para la columna empotrada – empotrada (caso columna central) K=12EI/h3, donde h es la altura de la columna. Para la columna empotradaarticulada (caso columna extrema) K=3 EI/h3, donde h es la altura de la columna.

22. Resolver el problema Nº 21, considerando las columnas son de sección hexagonal regular de 0.25 cm de lado y la columna central es de 0.25 m de diámetro. 20.Se observa que la amplitud de vibración del sistema en la figura, decrece hasta un 25% del valor inicial, después de cinco ciclos consecutivos de movimiento. Determine el coeficiente de amortiguamiento “c” del sistema, si K=20 Lb/pulg y m=10 Lb.

23.Resolver el problema Nº 21, considerando todas las columnas de sección rectangular de 0.30 m x 0.50 m de lado. 24. Resolver el problema Nº 21, considerando las tres columnas empotradas de sección rectangular de 0.30 m x 0.50 m de lado.

25. Determine la frecuencia de vibración para el bloque.

21.Determine la frecuencia natural para el movimiento horizontal del pórtico de acero en la figura. Considere las vigas horizontales infinitamente rígidas y desprecie la masa de las columnas (E= 21




26.Considere el sistema mostrado en la figura, si se aplica una fuerza F = 500 N, determine la fuerza y deformación en cada elemento. El elemento k1 es de acero de 20 cm. de claro y de sección transversal circular de 1 cm. de diámetro, el elemento k3 es de aluminio de 25 cm. de claro y de sección transversal cuadrada de 1 cm. *por lado. El resorte es de k2=30 kN/m. El módulo de elasticidad para el acero es 200 GPa y para el aluminio es de 70 GPa.

28.La viga doblemente empotrada de la figura es de acero, E= 2 100 000 kg/cm 2, I= 4000 cm4. La viga sola es muy flexible y para comodidad de los que transitan sobre ella se desea que tenga una frecuencia natural mayor o igual a 20 Hertz. Para reducir la vibración se puede colocar una varilla de acero al centro de la luz. Determine el diámetro de la varilla (en los valores comerciales usados en nuestro medio) necesario para cumplir con esta condición. El peso colocado al centro es de 2 Tn.

27.Un cable se utiliza para suspender la caja de seguridad de 800lb, la cual está siendo bajado a 6 m/s, cuando de repente el motor que controla el cable se detiene. Determinar la tensión máxima en el cable y la frecuencia de vibración de la caja fuerte. Desprecie la masa del cable y asuma que es elástico de tal manera que se extiende 20 mm cuando se somete a una tensión de 4 KN

29.Se ha observado experimentalmente que la amplitud de vibración libre de cierta estructura, modela como un sistema con un grado de libertad, decrece de 2.5cm a 2 cm en 10 ciclos. ¿Cuál es el porcentaje de amortiguación en el sistema con respecto a la crítica?


30. Una plataforma que pesa 2000 Kgf esta soportada por cuatro columnas empotradas en los cimientos y en la plataforma. Se ha determinado de manera experimenta que una fuerza estática horizontal F= 500 Kgf, aplicada a la plataforma produce un desplazamiento ∆= 0.05cm. También se ha estimado que la razón de amortiguamiento es de 5%. Determinar para esta estructura: a) frecuencia natural, frecuencia de amortiguación b) el decremento logarítmico c) Numero de ciclos y el tiempo requerido para que la amplitud del movimiento se reduzca desde un valor inicial de 0.3 a 0.03cm.



31.Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos a los extremos y otros dos que están conformados por una columna y un muro de albañilería Los muros tienen 25 cm de espesor y un módulo de elasticidad de 25 000 kg/cm2. Las columnas son de concreto armado y tienen 25cm x 40cm (E=250000 kg/cm2). Para facilitar los cálculos se puede suponer que las vigas son de rigidez infinita y las columnas están empotradas en ambos extremos. El peso total a la altura del techo se puede considerar 96 toneladas. La altura es de 3.1 m y la losa del techo tiene 20 cm de espesor.

32.Se tiene un edificio de un piso que en la dirección X está conformado por dos pórticos y dos muros. Los muros son de albañilería (Em=25000 kg/cm2) y tienen 12cm de espesor. Las dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (Ec=250000 kg/cm2). El peso total a la altura del techo es de 96 toneladas (incluyendo la parte correspondiente de muros y columnas). La altura es 2.80 m.

33.Se tiene un edificio de un piso constituido por cuatro pórticos en la dirección X y tres pórticos en la dirección Y (ver planta). Se desea determinar el periodo de vibración en cada dirección. Las vigas pueden considerarse infinitamente rígidas. Todas las columnas son de (25 x 40 cm) orientadas con la mayor dimensión en la dirección X. Todos los pórticos están unidos por una losa maciza que se puede considerar de 800 kg/m2 incluyendo el peso de las vigas, acabado y columnas, Asimismo, actúa una sobrecarga de 200 kg/m2. Para estimar la masa puede considerarse el 25% de la sobrecarga. E= 230 000 kg/cm2.

34.Se tiene una losa rectangular, maciza, simplemente apoyada en sus cuatro bordes de concreto armado (E=230,000 kg/cm2, γ concreto = 2400kg/m3) de

20cm de espesor y de 6m de luz y 4 de ancho. Se desea calcular el periodo de vibración de la losa ante una fuerza vertical de personas saltando sobre la misma. Para representar la losa se puede suponer que está constituida por dos “vigas” de 1m de ancho. También se

puede suponer que la masa asociada con la vibración es la dada por la zona central de la viga. Calcular el periodo y frecuencia natural




35.La estructura que se muestra en la Figura. La viga se considera infinitamente rígida en flexión y axial. Las columnas tienen una sección transversal de 40x60 cm². El material es de concreto armado con una resistencia a la compresión a los 28 días de 210 Kg/cm². El peso total sobre la viga es de 50 toneladas. Dado el grado de libertad

37.Se desea investigar la vibración de una porción de losa maciza de un edificio. Se considera que extrayendo un paño típico formado por una parrilla de sólo dos vigas cruzadas se puede representar adecuadamente, por lo menos para un análisis preliminar. Sobre esta parilla se considera un peso trasmitido por la losa de 48 Toneladas y que se puede concentrar en el cruce de las vigas. Las vigas on todas de 25cm x 40cm de sección, 6m de longitud y E=250 000 Kg/cm2. Considere que este sistema puede representarse por un sólo grado de libertad que es la deformación vertical del centro del cruce. Considere 5% de amortiguación. Determine:

indicado en el sistema estructural que se muestra en la Figura. Formule la ecuación diferencial de movimiento, si en la dirección del grado de libertad actúa una carga de  ()= 60 cos 15 toneladas. 36.Se desea investigar la vibración de la losa aligerada de 20 cm de espesor que constituye el techo de una vivienda. La losa esta simplemente apoyada con una luz de 5m. Se puede suponer que la masa que vibra incluye un metro de ancho de losa y está concentrado al centro, su peso es de 3 toneladas. En la figura se muestra la sección transversal de la losa. El módulo de elasticidad del material es de 230 000 Kgf/cm2. Determinar la frecuencia y periodo del sistema


a) La frecuencia y periodo del sistema. b) Sobre el piso el propietario va a realizar sesiones de aeróbicos lo que incluye muchos saltos conjuntos. Supóngase que las personas que realizan estos ejercicios lo hacen a una frecuencia de 2 saltos por segundo. ¿cuál será el factor de amplificación dinámica que se produce y el máximo desplazamiento al centro si se consideran 10 personas de 70 kg de peso saltando con esa frecuencia alrededor de ese punto? c) ¿Cuál tendría que ser la frecuencia natural de los saltos que el entrenador debe llegar para evitar la resonancia?



38. Efectuar el problema N°10, suponiendo que la razón amortiguación en el sistema es el 5%. Elaborar la gráfica X vs t. 39.Efectuar el problema N°11, suponiendo que la razón amortiguación en el sistema es el 1%. Elaborar la gráfica X vs t. 40.Un edificio industrial pequeño de un solo nivel, de 20 por 30 pies en planta, se muestra en la figura con marcos a momento en la dirección norte-sur y marcos contra venteados en la dirección este-oeste. El peso de la estructura puede idealizarse como 30 lb/pie2 concentradas en el nivel del techo. Los contravientos horizontales están en la cuerda inferior de las armaduras del techo. Todas las columnas tienen sección de W8 × 24, los segundos momentos de área de la sección transversal respecto a los ejes x y y son Ix = 82.8 pulg 4 e Iy = 18.3 pulg4, respectivamente; para el acero, E = 29,000 ksi (Kilo libras / pulgada Cuadrada). Los contravientos verticales están hechos con varillas de 1 pulgadas de diámetro. a) Formule la ecuación que controla la vibración libre en la dirección norte-sur y en la dirección este-oeste. b) Determine la frecuencia circular, cíclica y el periodo de vibración en dichas direcciones.


41.En la figura E1.3 se muestra una trabe cajón de un puente, hecha de concreto, con 375 pies de largo sobre cuatro soportes (dos estribos y dos ejes intermedios ubicados simétricamente). El área de la sección transversal del tablero del puente es de 123 pies 2. El peso del puente se idealiza como concentrado en el nivel de la cubierta, el peso volumétrico del concreto es de 150 lb/pie3. El peso de las columnas en los ejes puede despreciarse. Cada eje consiste en tres columnas de 25 pies de altura con sección transversal circular, donde Iy′ = Iz′ = 13 pies 4. Formule la ecuación de movimiento que controla la vibración libre en la dirección longitudinal, así como la frecuencia circular, cíclica y el periodo de vibración en dicha dirección. El módulo de elasticidad del concreto es E = 3000 ksi.



42.Un sistema estructural tiene pórticos de concreto armado f’c=210 Kg/cm2, tal como se muestra en la figura. Se considera que la masa del sistema puede estimarse de acuerdo a las cargas especificadas permanentes de losa, acabados, vigas, tabiquería y un 25% de la sobrecarga. Suponga que las columnas tienen masa despreciable y las vigas rigidez infinita. Se requiere calcular el periodo natural de vibración de la estructura en la dirección del eje “X”.

Losa: 300 Kg/m2 Acabados: 100 Kg/m2 Sobrecarga: 3500 Kg/m2 Vigas: 200 Kg/m2 Tabiquería: 200 Kg/m2

43. Se ha encontrado que un martirete (dispositivo que hace subir y bajar un peso que golpea la cabeza del pilote) transmite choques inconvenientes al terreno. Para eliminarlo monta la maquina sobre resortes. Además, para evitar la vibración indebida se introduce un amortiguamiento. W1= 2000 lb W2= 30000 lb h= 8 lb K= 250000lb/ft ξ= 5.04%

a) Encontrar el desplazamiento máximo del sistema. b) Encontrar el desplazamiento después de 3 ciclos completos a partir de producido el desplazamiento máximo.


44.Una estructura se modela como un oscilador con amortiguación. La constante de su resorte es K=5000 Kp/cm y su frecuencia natural sin amortiguación

ω=

25

rad/s.

Experimentalmente se determinó que una fuerza de 500Kp producía una velocidad relativa de 2.5 cm/s en el elemento de amortiguación. Determine: a) La razón de amortiguación b) El periodo de amortiguación c) El decremento logarítmico. d) La razón entre dos amplitudes consecutivas máximas. 45. Un sistema con un solo grado de libertad se compone de un peso de 180 Kp y un resorte de rigidez k=500 kp/cm. Experimentalmente se ha determinado que una fuerza de 50 Kp produce una velocidad relativa de 30 cm/s. Determine: a) la razón de amortiguación b) El periodo de amortiguación c) el decremento logarítmico, d) la razón entre dos amplitudes consecutivas máximas. 46.Se dispone de un sistema de un grado de libertad con 5% de amortiguamiento. Si se aplica un desplazamiento inicial de la masa y se le deja vibrar libremente. ¿En qué porcentaje desciende la máxima amplitud en cada ciclo? ¿Cuantos ciclos se necesitan para que esta amplitud este por debajo del 10% de la inicial?



47.Una unidad de aire acondicionado pesa 1200Kgf y está localizado en la mitad de dos vigas de acero (E=2100 000 Kgf/cm 2) paralelas simplemente apoyadas de 5m de longitud cada una. El momento de inercia de cada viga es de 1000 cm4. Suponiendo que no hay amortiguamiento y despreciando el peso de las vigas, determine la frecuencia del sistema.

48.Un bloque A de 4 kg se deja caer desde una altura de 800 mm sobre un bloque B de 9 kg. Este está soportado por un muelle de constante K = 1500 N/m y Un bloque A de 4 kg se deja caer desde una altura de 800 mm sobre un bloque B de 9 kg. Este está soportado por un muelle de constante K = 1500 N/m y sujeto a un amortiguador de coeficiente de amortiguamiento C = 230 N. s/m. Sabiendo que no hay rebote, hallar la distancia máxima que recorren los bloques tras el choque.

súbita y se registra la vibración libre resultante. Al final de cuatro ciclos completos, el tiempo es de 2.0 segundos y la amplitud es de 1 pulgada. A partir de estos datos calcule lo siguiente: (a) la razón de amortiguamiento; (b)el periodo natural de vibración no amortiguada; (c)la rigidez; (d)el peso; (e)el amortiguamiento; y (f) el número de ciclos necesarios para que la amplitud de desplazamiento disminuya hasta 0.2 pulgadas. 50.Del problema anterior, el peso de agua necesario para llenar el tanque es de 80 kips (1 Kip = 1 000 libra fuerza). Determine el periodo de vibración natural y la fracción de amortiguamiento de la estructura con el tanque lleno. 51.Una plancha pesada se apoya por barras de acero. Su periodo natural de vibración lateral es de 0.5 segundos. Cuando se sujeta una placa de 22 Kg a su superficie, el periodo natural de vibración lateral se alarga a 0.75 segundos. ¿Cuál es el peso de la plancha y la rigidez lateral del sistema?

49.En un tanque elevado de agua, como el de la figura, que se encuentra vacío, se realiza una prueba de vibración libre. Un cable conectado al tanque aplica una fuerza lateral (horizontal) de 16.4 kips y jala al tanque horizontalmente 2 pulgadas. El cable se corta de manera DINÁMICA Y VIBRACIONES


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