⃗
determinar la 1. Dado el vector 1. Dado longitud de su proyección sobre la recta definida por los puntos (2, -2, -3) y (3, 0, -1). Sol.:
Seguidamente integramos tomando los límites de integración de acuerdo con las condiciones del enunciado
⃗
La proyección del vector sobre la recta r definida por los puntos (2, -2, -3) y (3, 0, -1) viene dada por la expresión:
obteniéndose:
⃗ |⃗ |
proy
r =
de donde
donde es el vector unitario que q ue define la orientación de la recta r; dicho vector se obtiene a partir del vector que definen los puntos (2, -2, -3) y (3, 0, -1):
⃗ ⃗ ⃗ | |
y finalmente f inalmente
⃗ ⃗
r =
2. Una partícula se encuentra en el instante t = 0 en 2. Una la posición x = x 0 con una velocidad v = v 0. El movimiento que describe la partícula es rectilíneo, con una aceleración dada por a = -kv 3, en donde k es una constante. Determinar la expresión que define la dependencia de la velocidad con la posición.
Sol.: En primer lugar, para estudiar el carácter inercial del sistema S´ debemos hallar la aceleración de la partícula en el sistema inercial S:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
La aceleración instantánea es:
Hallamos ahora la aceleración medida desde el sistema S´
Pero según el enunciado
luego
3. Una partícula cuyo movimiento es analizado 3. desde un sistema de referencia inercial S, describe una trayectoria dada por -. Desde otro sistema de referencia S´, la trayectoria observada está dada por . Decir si este sistema S´ es o no inercial. Calcular la velocidad velocida d del movimiento de S´, relativo a S.
Y seguidamente: seguidamente:
proy
∫ ∫
donde hemos supuesto, al realizar la derivación sucesiva, que los vectores unitarios no dependen del tiempo. Debemos suponer, además, los ejes correspondientes de los triedros S y S´son paralelos; en tal caso:
Multiplicamos Multiplicamos y dividimos el primer miembro por dx:
⃗ ⃗
Concluimos que el sistema S´ es inercial.
En esta expresión identificamos el cociente en dx/dt con la velocidad instantánea, instantánea, quedando
La relación entre los vectores posición de la partícula en ambos sistemas de referencia es:
⃗⃗ ⃗
Separamos variables y simplificamos: 1
⃗
es el vector posición del origen de S´ respecto de S. Derivando obtenemos la relación entre sus velocidades:
El trabajo realizado por una fuerza no conservativa que actúa sobre una partícula desplazándola desde la posición 1 a la posición 2 es igual a.
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( )
a) La diferencia de energía potencial entre las posiciones 1 y 2. b) La diferencia de energía cinética entre las posiciones 1 y 2. c) La diferencia de energía mecánica entre las posiciones 1 y 2.
La velocidad de S´ respecto de S es:
y como
Sol.: El trabajo que realizan todas la fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética:
5. Un cuerpo en reposo en el origen de un sistema de referencia inercial explota, formándose tres fragmentos. Dos de ellos tienen igual masa y se desplazan según la dirección positiva de los ejes OX y OY, respectivamente, con la misma velocidad de 30 m/s. El tercer fragmento tiene una masa triple que la de cada uno de los otros dos. Calcular la velocidad de este tercer fragmento
El trabajo total W procede, en general, del que realizan las fuerzas conservativas W c y el que realizan las fuerzas no conservativa W´:
Sol.: Aplicamos el principio momento lineal:
de
conservación
⃗ ⃗
⃗
El momento lineal del sistema explosión es cero, por consiguiente:
⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
El trabajo que realizan las fuerzas conservativas, es igual a la suma, con signo cambiado, de las variaciones de la energía potencial de cada campo conservativo:
del
antes de la
De este modo el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas queda
donde son los momentos lineales de los fragmentos iguales y que se dirigen, respectivamente en las direcciones OX y OY:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Así, el momento lineal
y, dado que,
El segundo miembro es la variación de la energía mecánica de la partícula:
Esta relación corresponde a la respuesta c): El trabajo que realiza la fuerza no conservativa es igual a la variación de la energía mecánica de la partícula
del tercer fragmento es:
7. Una partícula está sometida a la acción de la fuerza:
⃗
su velocidad es:
a) Calcula el trabajo realizado al desplazar la partícula desde el punto (0,0) al (2,4), siguiendo el camino I) y = 0, x = 2; II) x = 0, y = 4; III) y = 2x; IV) y = x2.
6. Razonando la respuesta, indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. 2
b) En caso de que la fuerza sea conservativa, determinar la función que expresa la energía potencial de la partícula. c) Utilizando el teorema del trabajo y la energía potencial, calcular el trabajo desarrollado al desplazar la partícula entre los puntos señalados.
II) x = 0, y = 4 La integral:
∫ ⃗ ⃗
Sol.:
debe expresarse como suma de dos términos,
a) I) y = 0, x = 2
∫ ⃗ ⃗∫ ⃗ ⃗
La integral:
∫ ⃗ ⃗
el primero, sobre C 1, se refiere al segmento x = 0 desde el origen hasta P(0,4); el segundo, sobre C 2, se refiere al segmento desde P(0,4) hasta P(2,4).
debe expresarse como suma de dos términos,
∫ ⃗ ⃗∫ ⃗ ⃗
Hallamos la primera integral
∫ ⃗ ⃗∫ ⃗
el primero, sobre C 1, se refiere al segmento x = 0 desde el origen hasta P(2,0); el segundo, sobre C 2, se refiere al segmento desde P(2,0) hasta P(2,4).
sustituyendo: x = 0, dx = 0 y
⃗ ∫ ⃗ ⃗
Hallamos la primera integral
∫ ⃗ ⃗∫ ⃗
Hallamos la segunda integral
sustituyendo: y = 0, dy = 0 y
⃗ ⃗ ⃗ ∫ ∫
∫ ⃗ ⃗∫ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∫ ∫
sustituyendo:
Hallamos la segunda integral
∫ ⃗ ⃗∫ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∫ ∫
sustituyendo:
Finalmente:
Finalmente:
y
∫ ∫
y
III) y = 2x
La integral:
∫ ∫
∫ ⃗ ⃗ 3
se realiza sobre un solo segmento, el que une el origen con el punto P(2,4) mediante la recta y = 2x Hallamos integral
identificamos componentes:
⃗
∫ ⃗ ( ) ∫ ∫ ()
sustituyendo
y
La expresión
se integra respecto la variable x considerando la y constante:
2
IV) y = x
La integral:
∫ ⃗ ⃗
El término C(y) indica que sólo puede depender de y.
se realiza sobre el camino que une el origen con el punto P(2,4) mediante el arco de parábola y = x 2
Integramos ahora
Hallamos integral
respecto de la variable y considerando la x constante:
∫ ⃗ ⃗ ( ) ⃗ ∫ ⃗∫ ( ) ∫ ( ) ⃗
sustituyendo
y
donde C(x) solo puede depender de x. Las expresiones
representan el mismo la misma función U(x,y) si
b) Los resultados del apartado anterior apuntan hacia el carácter conservativo de la fuerza .
y C(y ) es una verdadera constante,
Esto se confirma hallando el campo escalar (energía potencial) U tal que:
⃗
Por consiguiente, la función energía potencial U(x,y) asociada a la fuerza del enunciado, es:
4
⃗
Resultado que confirma el carácter conservativo de la fuerza . c) El trabajo W realizado por la fuerza conservativa, conocida la función energía potencial U(x,y), es:
El término describe la fuerza de rozamiento, proporcional a la velocidad y de signo opuesto a ésta.
⃗
La relación entre la única componente de cada vector es
⃗ ⃗ ⃗ ∫ ∫
Seguidamente separamos variables
∫ ( ) ∫
Integrando, iniciales,
La expresión entre paréntesis es la diferencial exacta de la función U(x,y), luego:
de
acuerdo
con
las
condiciones
∫ ∫
∫
Ahora sustituimos los valores de U(2,4) y U(0,0)
Despejamos la velocidad, pasando previamente a la notación exponencial,
resultado obtenido en cada uno de los casos del apartado a).
y finalmente
[ ]
8. Una partícula de masa m cae sometida a la atracción gravitatoria terrestre. Simultáneamente actúa sobre ella una fuerza proporcional a su velocidad instantánea, que se opone al movimiento. En estas condiciones, la velocidad instantánea de la partícula:
Esta es la velocidad con la que desciende la masa m sometida la fuerza de rozamiento descrita en el enunciado. Este resultado corresponde al enunciado a): “la velocidad instantánea tiende al valor límite cuando el tiempo de recorrido es grande”
a) tiende a un valor límite cuando el tiempo de recorrido es grande; b) siempre tiene un valor constate, independiente del tiempo; c) aumenta indefinidamente con el tiempo.
En efecto, cuando el tiempo tiende a infinito el término exponencial tiene a cero y la velocidad tiende a
Las condiciones iniciales son las siguientes: en el instante inicial t 0 = 0 segundos la partícula se encuentra en la posición x 0 = 0 m, con una velocidad inicial nula, v 0 = 0 m/s.
que es un valor constante. El signo menos señala el sentido descendente del movimiento de acuerdo con el criterio de signos adoptado.
La gráfica de v frente a t muestra el comportamiento asintótico de la velocidad:
Sol.: Considerando positivo el sentido ascendiente del eje vertical, en este caso el eje x, la ecuación fundamental de la dinámica aplicada a la partícula de masa m queda:
5
⃗
9. Dos partículas de masas m 1 = 1 kg y m2 =2 kg se mueven respectivamente con velocidades y expresadas en m/s. La dirección de momento lineal total del sistema es:
⃗
11.- Sea una partícula sometida simultáneamente a la acción de dos fuerzas elásticas, cada una de las cuales, por separado, provocaría un movimiento dado, respectivamente, por:
⃗
a) (1,1,2) b) (1,1,2/3) c) (1,1,1/3)
a) Obtener la ecuación de la trayectoria descrita e indicar el sentido del movimiento. b) Calcular y E, indicando si se conservan o no constantes, y razonando la respuesta. c) Responder a los dos apartados anteriores si
Sol.:
⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
El vector momento lineal total del sistema es
Sustituimos los datos:
d) Aplicación numérica: m = 1 g, A = 10 cm, 5 rad·s-1.
Esta última expresión se puede escribir así:
=
Sol.:
De modo que el vector que define la dirección del vector momento lineal total es .
a) En primer lugar recordemos que
Igualmente se hubiese obtenido este resultado considerando que la dirección pedida es la del vector velocidad del centro de masas del sistema:
y la posición de la partícula queda definida por las ecuaciones
⃗ ⃗ ⃗
Respuesta correcta: b)
llamadas ecuaciones paramétricas de la trayectoria . Elevamos al cuadrado cada una de ellas y sumamos, se obtiene:
10. Utilizando la definición de sistema de referencia no inercial (o acelerado) y el concepto de fuerza de inercia, dedúzcase la aceleración del sistema constituido por dos masas m 1 y m2 > m 1, unidas por un hilo flexible e inextensible, que pasa por una polea sin rozamiento y de masa despreciable (máquina de Atwood), sometidas a la atracción gravitatoria ejercida por la Tierra.
que es la ecuación cartesiana de la circunferencia centrada en el origen de coo rdenadas y de radio A.
Para hallar el sentido del movimiento, basta con situar la partícula cuando t = 0 s: se trata del punto P0(A,0). Cuando t aumenta la coordenada x disminuye y la coordenada y aumenta, esto significa que la partícula recorre la circunferencia en sentido antihorario.
Sol.: Se trata de un sistema de dos partículas sometidas a la acción de fuerzas exteriores a lo largo de una sola dirección (aunque esta única dirección esté “doblada”).
⃗ ⃗⃗ ⃗ ( )
b) Hallamos el momento lineal :
Aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica:
Donde hemos considerado positivo el sentido de izquierda a derecha; despejamos la aceleración del sistema:
Es evidente que el vector momento lineal no se conserva pues depende del tiempo. Su módulo es:
y este sí es constante.
6
Hallamos ahora la expresión mecánica de la partícula:
de
la
energía
⃗ ⃗⃗ ⃗ ( )
⃗
Hallamos el momento lineal :
La energía cinética es:
Es evidente que el vector momento lineal no se conserva pues depende del tiempo. Su módulo es:
Ahora sustituimos en esta expresión el cuadrado del módulo de vector obtenido antes:
y este sí es constante.
Hallamos ahora la expresión mecánica de la partícula:
La energía potencial es la debida a un campo elástico bidimensional:
de
la
energía
⃗
La energía cinética es:
sustituyendo las ecuaciones cartesianas de la trayectoria, se obtiene:
Ahora sustituimos en esta expresión el cuadrado del módulo de vector obtenido antes:
La energía mecánica E resulta ser
La energía potencial es la debida a un campo elástico bidimensional:
que no depende del tiempo, luego la energía mecánica de la partícula es constante, como debe ser pues las fuerzas elásticas que actúan sobre la partícula son conservativas.
sustituyendo las ecuaciones cartesianas de la trayectoria, se obtiene:
c) En primer lugar recordemos que
La energía mecánica E resulta ser
y la posición de la partícula queda definida por las ecuaciones
que no depende del tiempo, luego la energía mecánica de la partícula es constante, como debe ser pues las fuerzas elásticas que actúan sobre la partícula son conservativas.
Elevamos al cuadrado cada una de ellas y sumamos, se obtiene:
d) El módulo momento lineal de la partícula es:
que es la ecuación cartesiana de la circunferencia centrada en el origen de coo rdenadas y de radio A.
Para calcular la energía mecánica de la partícula, debemos recordar que la relación entre la constante k de un campo elástico, la frecuencia angular de oscilación y la masa que oscila, es:
Para hallar el sentido del movimiento, basta con situar la partícula cuando t = 0 s: se trata del punto P0(A,0). Cuando t aumenta la coordenada x disminuye y la coordenada y disminuye, esto significa la posición recorre la circunferencia en sentido horario.
Por consiguiente: 7
( )
Sustituyendo las despejando :
12.- Dados los vectores:
⃗ ⃗ (⃗ )
Determinar el ángulo que forman los vectores
Sol.:
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ √ ⃗ [√ ] [√ √ √ ]
o bien,
Hacemos:
⃗ ⃗ (⃗ ) ⃗ ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ) ⃗ ( √ √ )( √
dos
últimas
expresiones
y
Este es el vector velocidad de la partícula respecto del segundo sistema de referencia inercia; desde este sistema de referencia también se observa un movimiento uniforme. 14.- Calcular la expresión de la energía mecánica total de una partícula que ejecuta un movimiento rectilíneo sometida a una fuerza restauradora lineal (Esta partícula recibe el nombre de oscilador armónico). Tómese el cero de energía potencial en x = 0.
y llamamos
El ángulo
formado por los vectores
y
es:
Sol.:
Utilizamos la ecuación fundamental de la dinámica:
y
Multiplicamos por la velocidad en ambos miembros
13.- Una partícula libre describe un movimiento con velocidad constante, según la dirección (1,2,3), en un cierto sistema de referencia. Otro sistema se mueve con relación al primero con velocidad también constante ( ), en la dirección (2, 1, 2). ¿Qué tipo de movimiento se observa desde este sistema de referencia? Calcular la velocidad de la partícula en este sistema.
⃗
expresión que se sigue de esta otra:
o bien,
Sol.: Utilizamos la relación entre las velocidades de una partícula en dos sistemas de referencia inerciales:
Siendo:
y
⃗⃗ ⃗ ⃗ √
[ ]
Esto significa que la expresión dentro del corchete, dado que su derivada es cero, es constante. Dicha expresión es la energía mecánica de la partícula: 8
donde
a) Si B se encuentra inicialmente en reposo, P0B = 0, luego:
ss la energía cinética de la partícula y
b) Si el momento lineal de B en el instante inicial es :
su energía potencial, en conformidad con la definición:
16.- Una granada en reposo en el origen de un sistema de referencia inercial explota, formándose tres fragmentos iguales. Dos de ellos vuelan, respectivamente, en la dirección positiva de los ejes OX y OY, con velocidades iguales en módulo, de 30 ms-1. Calcular la velocidad del tercer fragmento, indicando su módulo y dirección.
15.- Dos partículas A y B, que se mueven sin rozamiento sobre una línea horizontal, interactúan. El momento lineal de A es P A = p 0 – bt , siendo p0 y b constantes y t el tiempo. Encontrar el movimiento lineal de B en función el tiempo, si:
Sol.:
a) B se encuentra inicialmente en reposo. b) El movimiento lineal inicial de B es – p0 .
Aplicamos el principio momento lineal:
donde
conservación
⃗ ⃗
Sol.: Utilizamos el principio de conservación momento lineal de un sistema de partículas:
de
del
⃗
El momento lineal del sistema explosión es cero, por consiguiente:
⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
del
antes de la
donde son los momentos lineales de los fragmentos iguales y que se dirigen, respectivamente en las direcciones OX y OY:
ss el momento lineal del sistema en un instante inicial dado,
el momento lineal del sistema en un instante posterior cualquiera. Sustituimos estas dos expresiones en la primera:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Así, el momento lineal
y, dado que,
y despejamos el momento lineal de B en un instante cualquiera:
del tercer fragmento es:
su vector velocidad es:
Tenemos ahora en cuenta los datos del enunciado
lo que indica que el tercer fragmento se dirige a lo largo de la bisectriz del tercer cuadrante, siendo el módulo de la velocidad:
P A = p0 – bt y P 0A = p0
√
en la ecuación anterior, obteniendo:
9
17.- Sobre un cuerpo de masa m = 1 kg que pertenece a un sistema de N cuerpos en interacción, actúan fuerzas exteriores al sistema, de resultante y fuerzas interiores al sistema, de resultante . Calcular su aceleración.
Sobre el punto material actúan dos fuerzas, su peso, mg, y la fuerza normal N que vincula la partícula al círculo de radio R. La rotación del círculo hace describir a la partícula una circunferencia horizontal de radio r, tal y como se muestra en la figura adjunta.
⃗ ⃗
Sol.: Aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Las ecuaciones fundamentales de la dinámica en las dos direcciones, vertical y horizontal, son, respectivamente:
y, siendo,
obtenemos:
La primera expresa la condición de que la partícula, con la velocidad angular , no ascienda ni descienda por la circunferencia vertical; la segunda corresponde a la dinámica de un movimiento circular uniforme de una masa sometida a una fuerza centrípeta que en este caso es Nsen .
18.- Una partícula de masa 1 g está sometida a un campo de fuerzas que derivan de una energía potencial E p = 3x 2 – 1 (erg). En x = 1 cm la partícula está en reposo. Determinar su velocidad en x = 0.
Dividiendo la segunda entre la primera, se obtiene:
Sol.: La energía mecánica de la partícula es:
pero
El valor de E se halla aplicando el dato del enunciado, cuando x = 1 cm, v = 0 cm/s:
por consiguiente
Sustituyendo este resultado en la primera ecuación y despejando la velocidad para x = 0 cm, se obtiene:
√
√ √
y finalmente, el radio de pedido es:
La duplicidad del signo indica que para la posición dada, x = 0 cm, la partícula puede estar dirigiéndose en el sentido positivo o negativo del eje X.
De esta expresión se deduce la condición
19.- Un punto material de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de un circulo animado de un movimiento de rotación uniforme alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular . Encontrar el radio de la trayectoria circular estable del punto material en un plano perpendicular al eje de giro. ¿Qué condición debe verificar para que el problema tenga solución?.
que debe cumplir la velocidad angular para que el punto material describa una circunferencia estable.
10
20.- El módulo de la fuerza de atracción ejercida entre dos moléculas de un gas real viene expresado por:
sistema formado por dos moléculas separadas una distancia r es
6 7
y las condiciones límite del enunciado son:
En donde y r 0 son dos constantes y r es la distancia de separación intermolecular. Se pide:
a) Admitiendo que la fuerza es conservativa, hallar la energía potencial del sistema constituido por ambas moléculas. ¿Cuánto vale la energía potencial cuando r → ∞? ¿y cuando r → 0 ? b) Representar gráficamente la función obtenida. ¿Cuál es el término dominante a pequeñas distancias? ¿y a grandes distancias?. c) Suponiendo fija en el origen de coordenadas una de las moléculas, ¿cuál es la posición de equilibrio de la otra? ¿Qué trabajo hay que realizar para separar una distancia infinita las moléculas, situadas inicialmente a la distancia r 0?
b)
Sol.: a) Si la fuerza F es conservativa, se puede expresar
sustituyendo la expresión del enunciado
6 7 6 ∫∫ 7
Integrando
se obtiene
El término positivo de la energía potencial (trazo de color azul)
6 [ ]
domina a distancias pequeñas; es el término debido a la repulsión entre las moléculas, se debilita con la distancia pero se hace grande cuando están muy próximas.
U0 es la constante de la integral indefinida; es la energía potencial de referencia y su valor se toma del modo que cuando las moléculas estén infinitamente alejadas, r → ∞, la energía potencial U del sistema sea cero, por consiguiente U 0 ha de ser cero. Con esta condición la energía potencial del
El término negativo de la energía potencial (trazo de color rojo)
6
11
se debe a la fuerza de atracción entre las moléculas y es el responsable de la unión estable entre ellas. c) La gráfica de color verde es la suma de ambos términos y muestra un mínimo para una cierta distancia que determina el punto de equilibrio estable del sistema. Este punto se determina con la condición de equilibrio:
6 7
de donde se obtiene:
valor que corresponde al fondo de “pozo” de energía potencial que se observa en la figura. El trabajo que se debe realizar para separar las moléculas desde la distancia r 0 hasta r = ∞ es:
∫ donde Fext es la fuerza que en todo momento se debe aplicar opuesta a la fuerza intermolecular F dada en el enunciado, por consiguiente
y
∫ ∫
12
