Ecuaciones Diferenciales No Lineales de Segundo Orden

Juan Fernando Robles Guzmán ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Para poder resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden podemos hacer una 

sustitución de la  y en casos específicos. Ejemplos:

1) Ecuaciones de la forma :

F  x , y, y   0

“Cuando falta la variable dependiente y”

y  2 x y 

Ejemplo:

2

2) Ecuaciones de la Forma:

F  y, y, y   0 yy   y

Ejemplo:

2

Método de solución: Resolveremos el ejercicio 7 del capítulo 4.9 para demostrar el método:

y  2 y y   0 ----------------------------------------------------------------------------------------------- (1) 3

7)

En este caso falta la variable independiente x, por lo tanto la sustitución de u será:

u  y Y al derivar u y usando la regla de la cadena tenemos tenemos que:

du  dy 



   y

dy  dx  du dy 



u  y

Sustituimos  y y  y en la ecuación 1 y tenemos lo siguiente:

du

3

u  2 y u   0

dy u

du dy

u u

3

du  2 ydy

1

u 

 2 yu3

2

1

u



du  2 ydy

 2

 y 2 2

 c1

Juan Fernando Robles Guzmán 1

   y 2  c1 u

Sustituimos el valor de u en la ecuación anterior y multiplicamos por -1 y tenemos:

 1  1     y 2  c1    y  1

 y

  y 2  c1

y y  c1  1





2

Escribimos de forma explícita  y 

dy

 y dx

2

dy dx

en la ecuación anterior:

 c1   1

 y  c  dy dx 2

1

Integramos ambos lados de la ecuación:

  y  c  dy  dx  y dy c  dy   dx 2

1

2

1

1 3

y  c1 y  x  c2 3