ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN En todo el desarrollo del curso hemos aprendido a resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, reconociendo su forma, tal como las separables, exactas, homogéneas, o como las ecuaciones de Bernoulli entre otras. En este trabajo se encontrara las soluciones generales de Ecuaciones diferenciales de orden superior bajo distintos métodos, utilizando como guía el libro Ecuaciones Diferenciales de Yu Takeuchi.
OBJETIVOS GENERAL: Conocer los conceptos básicos para la solución de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden y Orden Superior, aplicando los diferentes modelos utilizados para la resolución de los problemas.
1.1 Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden.
) Si la ecuación diferencial de segundo orden no contiene como sigue: ଶ ଶ
Considerando que
/
=
൬ ൰ ,
(1)
es la variable dependiente,
=
haciendo
(2) (2)
Se recibe: ଶ ଶ
ሺሻ
=
൬ ൰ =
(3)
Sustituyendo 2 y (3) (3) en (1), se obtiene la siguiente ecuación:
=
ሺ ሻ ,
ሺሻ
(4) (4)
La ecuación 4 es una ecuación diferencial de primer orden.
1
, puede escribirse
Ejercicios
ሺ ሻ
. ᇱᇱ =
−
ௗ௬
ௗమ ௬
ௗ
= ௗ௫ y ௗ௫ = ௗ௫
Con
మ
ሺ ሻ න නሺ ሻ =
−
=
−
ଶ
=
−
2
ଶ
=
2
ଷ
−
ᇱᇱ + ᇱ
.
+ ଵ + ଵ + ଶ
6
=
ௗ௬
ௗమ ௬
ௗ
= ௗ௫ y ௗ௫ = ௗ௫
Con
మ
+
=0
=− −
න න
−
+ ଵ=
=
1 ଵ
=
= ଵ
+ ଶ
no contenga ) En caso de que la ecuación diferencial no forma siguiente:
2
puede escribirse en
Ejercicios
ሺ ሻ
. ᇱᇱ =
−
ௗ௬
ௗమ ௬
ௗ
= ௗ௫ y ௗ௫ = ௗ௫
Con
మ
ሺ ሻ න නሺ ሻ =
−
=
−
ଶ
=
−
2
ଶ
=
2
ଷ
−
ᇱᇱ + ᇱ
.
+ ଵ + ଵ + ଶ
6
=
ௗ௬
ௗమ ௬
ௗ
= ௗ௫ y ௗ௫ = ௗ௫
Con
మ
+
=0
=− −
න න
−
+ ଵ=
=
1 ଵ
=
= ଵ
+ ଶ
no contenga ) En caso de que la ecuación diferencial no forma siguiente:
2
puede escribirse en
൬ ൰
ଶ ଶ
=
,
(5)
En este caso también se hace
=
(6) (6)
Entonces ଶ ଶ
=
ሺሻ 6
Sustituyendo
y
൬൰
=
(7)
en
(5)
=
ሺሻ
=
(7) (7)
se
recibe
la
ecuación
siguiente:
ሺ ሻ ,
(8) (8)
La ecuación 8 es una ecuación diferencial de primer orden en donde variable independiente.
Ejercicios
ሺሻ ᇱᇱ +
.
ᇱ
=
Con
ௗ௬ ௗ௫
=
y
ௗమ௬ ௗ௫ మ
ௗ
= ௗ௬
+ ଶ =0
൬
൰
+
=0→
+
=0 =
=0→
−
න න
−
+ ଵ=
=−
=
3
es la
ଵ
=
ଵ
→
=
න න =
ଵ
ଶ ଵ
+ ଶ= 2
ଶ
= ଵ + ଶ
. ᇱᇱ +
ᇱ
=
Con
=
ௗ௬ ௗ௫
ௗమ௬ y ௗ௫ మ
+2
൬
+2
=0
൰
=0
=0→
=
+2 =0→
න
= −2
ௗ
= ௗ௬
= −2
න
= −2 + ଵ = −2 + ଵ
න
−2 + ଵ
ሺ
=
න ሻ
1 − ln −2 + ଵ = 2
ඥ
−2 −2 + ଵ = ି௫ ଶ
ିଶ௫
ଶ
− ଵ = −2 4
=
ଵ
− ିଶ௫ ଶ 2
) Una ecuacion diferencial de la forma ´´ =
ሺ ሺ ሻ ሻ ´ଶ
,
(9)
), pero con el fin de hacer el desarrollo
Puede resolverse por el metodo anterior mas facil se hace
൬ ൰ ଶ
=
(10)
Derivando ambos miembros de (10) con respecto a
se recibe:
ଶ
2
ଶ
=
=
O bien ଶ
1 = ଶ 2
Entonces la ecuación (9) toma la forma:
1 2
=
ሺ ሻ ,
(11)
Ejercicios
ሺ ሻ ቀቁ . ᇱᇱ +
Con
1 2
ᇱ
ௗ௬ ଶ ௗ௫
=
=
y
ௗమ ௬ ௗ௫ మ
ଵ ௗ௨
= ଶ ௗ௬
+2 =0
1 −4
=
න
=−
න
4
5
= −4 + ଵ = ିସ௬ ଵ
൬൰
ଶ
= ିସ௬ ଵ
= ିଶ௬ ଵ ଶ௬
= ଵ
1 ଶ௬ = ଵ + ଶ 2
ሺ
2 = ln ଵ + ଶ
ሺ
ln ଵ + ଶ 2
=
ሻ
ሻ
ሺ ሻ ሺ ሻ ቀቁ ᇱᇱ
.
ௗ௬ ଶ ௗ௫
Con
( ᇱ ) =
−
=
y
ௗమ ௬ ௗ௫ మ
ሺ ሻ ሺ ሻ න න 1 2
−
ଵ ௗ௨
= ଶ ௗ௬
=0
=2
= −2
+ ଵ
ሺ ሻ ൬൰ ሺ ሻ න න ଵ
=
ଶ
ଶ
ଵ
=
ଶ
=
→
=
ଵ ଵଶ
ଵ ଵଶ
ଵ
= ଵଶ + ଶ 6
=
൬
ଵ ଵଶ
+ ଶ
൰
) En la ecuación
ሺ ሻ
´´ =
(12)
Faltan , y . Entonces la ecuación (12) es un caso particular de las ecuaciones (5) y (9). Pero esta ecuación puede resolverse también de la siguiente manera: Multiplicando ambos miembros de (12) por 2
/
se obtiene
ଶ
2
=2 ( )
ଶ
Entonces
൬൰
ଶ
=2 ( )
O bien
൬൰
ଶ
=2 ( )
Integrando miembro a miembro se recibe:
൬ ൰ න ሺሻ =2
+ ଵ
ඨ න ሺ ሻ
+ ଵ
ଶ
Entonces
=± 2 O bien
ඥ ሺ ሻ 2
+ ଵ
Integrando miembro a miembro se obtiene:
7
=±
න ඥ ሺ ሻ 2
+ ଵ
=± + ଶ
( 13)
1.2 Ecuación diferencial lineal de segundo orden En términos generales una ecuación diferencial lineal de segundo orden, puede ser inscrita en la forma siguiente:
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺሻ
ଶ ଶ
+
௫
+
=
(1)
En el caso particular en que = 0 la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal Homogénea , o bien la Homogénea de la ecuación de la ecuación 1 . En este caso la ecuación tiene la forma siguiente:
ሺሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺሻ ଶ
ଶ
+
௫
+
(2)
≠ 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial no-
Si en general homogénea.
Primero se considera la ecuación diferencial lineal homogénea (2).
) Sea = ( ) Una solución de (2), entonces
Multiplicando por C se recibe:
ሼ
Entonces
´´ +
´+
ሽ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ
´´ +
´+
=
´´
=0
+
(3)
´
+
=0
( ) es también una solución de la ecuación (2).
) Además si ( )Y ( ) Son dos soluciones diferentes de la ecuación (2), entonces, ´´
+
´+ 8
=0
(4)
(4) ´´
+
´+
=0
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones de (4) se recibe:
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ´´ + ´´ +
O bien
+
´+ ´ +
´´ +
+
´+
+
+
=0
=0
(5)
La ecuación (5) permite afirmar que ( + ) e stambien una solución de la ecuación (2). En forma más general: si ( ) y ( ) son dos soluciones diferentes de la ecuación diferencial (2) entonces, ଵ ( ) y ଶ ( ) son también dos soluciones diferentes, y ଵ
ሺ ሻ + ଶ
(6)
Es también una solución de la ecuación (2). La ecuación (6) tiene dos constantes arbitrarias ଵ , ଶ, entonces (6) es la solución general de la ecuación diferencial 2 .
ሺሻ
ሺሻ ሺ ሻ
) Si una solución de la ecuación diferencial 2 : =
(7)
Es conocida, se puede hallar otra solución diferente de la ecuación método de variación de parámetro
ሺሺ ሻሻ
ሺሻ ሺ ሻ ሺ ሻ
Sea = una solución, entonces ecuación 2 . Se supone entonces que
=
ሺሻ
=
ሺሻ
2 por el
es también una solución de la
(8)
Es una solución de la ecuación 2 , (la cual quedara completamente determinada si se halla ( )).
ሺሻ ሺሻ ሺሻ ሺሻ ሺ ሻ ሺ
Derivando la ecuación 8 , se obtiene:
´=
+
´,
ሺ ሻ ሻ ሺሻ
´´ = ´´ + 2 ´ ´ +
´´
9
Reemplazando 8 y 9 en la ecuación 2 se recibe:
´´ + 2 ´ ´ +
´´ +
O bien 9
´ +
´ +
=0
ሺ
´´ + 2 ´ ´ +
´
ሻ ሺ ሺሻ +
ሻ
´´ +
´ +
)=0
Pero ( ) es solución de la ecuación 2 , entonces:
´´ + Por esto
ሺ ሺሻ
´+
ሻ ሼ ሽ ሼ ሽ ൧
´´ + 2 ´ + La solución de la ecuación
=0
´= 0
(10)
10 , estudiada en la sección anterior, ´´ = ି ௗ௫ / ( ) ଶ
Entonces,
=
නൣ
ି ௗ௫ /
( )ଶ
(11)
ሺሻ
Sustituyendo (11) en (8) se obtiene la nueva solución de la ecuación 2 .
ሺ ሻ න ሼ ሺ ሻሽ ି ௗ௫
=
(12)
ଶ
Se estudiara a continuación la ecuación diferencial no homogénea.
ሺ ሻ
) Sea ( ) una solución de la ecuación diferencial homogénea 2 y ℎ( ) una solución de la ecuación diferencial no homogénea 1 ,
ሺሻ
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሺ ሻ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ´´ +
´´ +
= 0,
ℎ´´ + ℎ´ + ℎ =
(13)
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones se obtiene
´´ + ℎ´´ +
O bien
+ ℎ ´´ +
Entonces +ℎ homogénea 1 .
´ + ℎ´ +
+ℎ +
+ℎ =
+ℎ =
(14)
es también una solución de la ecuación diferencial no
Generalizando este resultado se puede decir que si ଵ es la solución + ଶ de la ecuación diferencial homogénea 2 y ℎ es solución de la ecuación diferencial no homogénea 1 , entonces,
= ଵ
+ ଶ
+ℎ
10
15
ሺሻ ሺ ሻ
ሺ ሻሺ ሻ
ሺሻ
Es una solución de 1 . Además como la solución 15 de la ecuación 1 tiene dos constantes arbitrarias, 15 es la solución general de 1 .
1.2.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes La forma general de este tipo de ecuaciones diferenciales es
´´ + En donde
y
´+
=0
(1)
constantes.
Se toma en consideración la ecuación siguiente:
= ఒ௫
(2)
la ecuación (2) es solución de la
Y se trata de hallar para qué valores de ecuación diferencial (1).
ሺሻ
Derivando (2) y reemplazando en 1 se recibe: ఒ௫
Si
ሼ
ଶ
+
+
ሽ =0
(3)
satisface la ecuación de segundo grado ଶ
+
+
=0
(4)
Entonces (2) es la solución de la ecuación (1). La ecuación (4) se llama “ecuación de índices”. Si las dos raíces ଵ y ଶ de la ecuación (4) son diferentes, entonces ఒభ ௫
ఒమ ௫
y
Son dos soluciones diferentes de la ecuación diferencial (1) y de acuerdo con lo expuesto en la sección anterior se puede hallar la solución general de la ecuación diferencial (1):
= ଵ ఒ ௫+ భ
ଶ
ఒమ ௫
Si las raíces ଵ y ଶ son iguales entonces se obtiene una solución de la ecuación, pero de acuerdo con la teoría general puede hallar la otra solución aplicando el método de variación, parámetro. En general en la ecuación de índices pueden presentarse tres casos, a saber
11
1) ଶ − 4 > 0 Es decir si las raíces ଵ y ଶ son reales y diferentes, caso en el cual la solución general de la ecuación diferencial (1) es:
= ଵ ఒ௫+ భ
2) ଶ − 4 < 0
ఒమ ௫
ଶ
(5)
O bien si las dos raices son complejas, es decir ଵ =− + 2 ଶ =− + 2
√ √
√ √
ଶ
−4 4 − ଶ =− + 2 2 2
ଶ
−4 4 − ଶ =− + 2 2 2
En general estas raices complejas se denotaran por: ଵ
=
+
ଶ
=
−
En donde y son reales. En este caso las dos soluciones diferentes de la ecuacion son:
ሼ ሼ
ଵ
= ሺାఉሻ௫ = ௫ cos
+ sin
ଶ
= ሺାఉሻ௫ = ௫ cos
− sin
ሽ ሽ
Pero a partir de estas dos soluciones se pueden obtener, otras dos que no contengan complejos, a saber: ௫ cos
௫ sin
La solucion general de la ecuacion (1) es entonces:
ሼ
= ௫ ଵ cos
+ ଶ sin
ሽ
3) ଶ − 4 = 0, es decir si las dos raíces son iguales: ଵ
=
ଶ
= − /2
O bien
2 ଵ+
En este caso una solución de la ecuación (1) ଵ
= ఒ௫ భ
12
(8)
=0
(6)
(7)
Para hallar la otra solución se aplica el método de variación de parámetro, para lo cual sea
= ( ) ఒ௫ భ
Entonces
´´ =
൫
´ = ( ´ + ଵ ) ఒ௫ ´´ + 2 ଵ ´ + ଵ ଶ
Reemplazando estos valores en la ecuación
൫ ሼ ሺ
൯ ሺ
´´ + 2 ଵ ´ + ଵ ଶ
O bien
´´ + 2 ଵ +
ఒ௫
ሻሽ
+
´+ ଵ
ଶ ´ ఒ ௫+ ଵ + భ
ଵ
൯ ሻ
ఒ௫
ఒ௫
+
ఒ௫
+ ) ఒ ௫ =0 భ
=0
(9)
Pero como ଵ es una raíz de la ecuación de índices, el último sumando de la ecuación (9) es igual a cero; por otra parte, teniendo en cuenta la ecuación (7), se recibe:
´´ ఒ ௫ = 0 భ
Entonces
´´ = 0 Por tanto ´´ = ଵ (constante),
= ଵ + ଶ
Entonces
ሼ
= ఒ௫ ଵ + ଶ భ
ሽ
(10)
La ecuación (10) es la solución general de la ecuación (1) porque contiene dos constantes arbitrarias y además si ଵ = 0 se obtiene la solución (8). El estudio hecho anteriormente para las ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes se puede generalizar para las ecuaciones diferenciales de cualquier orden.
Nota. Cuando en una ecuación de orden cualquiera la ecuación de índices tiene raíces repetidas, es decir
( − ଵ ) = 0 13
Una solución de la ecuación es ఒభ ௫
− 1 soluciones diferentes son:
Y las otras
ఒభ ௫
ఒభ ௫ ଶ … … … …
Ejercicios
൫ ൯ ൫ ൯ ൫ ൯ ሺ ሻሺ ሻ ൫ ൯ ൫ ൯ ൫ ൯ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ .
´´ −
´+
ఒ௫
´´−3
ଶ ఒ௫
−3
ଶ
=
ఒ௫
ఒ௫
ఒ௫
=0
+ 2 ఒ௫ = 0
ఒ௫
≠0
ఒ௫
≠0
−3 +2 =0
−2
−1 =0
=2
=1
= ଵ ଶ௫ +
.
´´ −
௫
ଶ
´+
ఒ௫
´´−4
ଶ ఒ௫
−4
ଶ
´+2
=
ఒ௫
ఒ௫
´+4
ఒ௫
+ 4 ఒ௫ = 0
=0
−4 +4 =0
−2
−2 =0
=2
=2
=
ଵ
=
ଵ
ଶ௫
+
+ ଶ
ଶ
ଶ௫
ଶ௫
14
,
ఒభ ௫ ି ଵ
1.3 Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones con coeficientes constantes. Las ecuaciones del tipo ᇱᇱ
ᇱ
+
+ ଶ
=0
ሺ ሻ 1
Pueden ser transformadas de tal manera que la ecuación resultante coeficientes constantes. Para hacer esto, sea:
= ௫
ó
=
Por tanto
=
=
1
Y ଶ
1
ଶ
=− ଶ
+
൬൰
1
1
1
=− ଶ
+ ଶ
Con estos valores la ecuación (1) toma la forma siguiente:
1 ଶ
Multiplicando por
ቆ
ቇ
ଶ ଶ
−
+ ଶ
+ ଶ
ଶ se recibe: ଶ ଶ
+
ሺ ሻ −1
+
= ଵ ఒ ௫+ ଶ ఒ ௫ భ
ଵ
ሺ ሻ
=0
La solución de la ecuación (2) es:
En donde
మ
2
(3)
ଶ son las raíces de la ecuación de índices: ଶ
+
ሺ ሻ −1
+
=0
En la variable original x la solución general de (1) es:
= ଵ ఒ ௫ + ଶ ఒ ௫ భ
=0
మ
(4) 15
ଶ ଶ
tenga
Nota: De acuerdo con la solución (4), dada la ecuación (1) se puede aceptar desde un principio que su solución tiene la forma siguiente:
= ఒ . Para esto se deriva la “solución
Quedando por determinar los valores de anterior” y se reemplaza en la ecuación (1):
ሼሺ ሻ ሺ ሻ ሺ
−1 +
Entonces ଶ +
−1
+
=0
+ ó
ሽ
ఒିଶ
=0
ሻ ሺ ሻ 5
Sean ଵ ଶ las dos raíces de la ecuación anterior. Entonces las dos soluciones diferentes de la ecuación (1) son: ఒభ ,
Ejercicios
. ᇱᇱ +
ᇱ
+
=
Con = ఒ ଶ
+3 +2 =0
= −2, −1 ିଶ, ିଵ
Entonces la solución general es:
= ଵ ିଶ + ଶ ିଵ
. ᇱᇱ −
ᇱ
= ௫
ó
+ =
=
Entonces,
16
ఒమ
ଶ ଶ ଶ
−2
+1 =0
−2 +1 =0
= 1,1 La solución general es:
ሼ
= ଵ Pero
=
ሼ
= ଵ
+ ଶ
ሽ
, entonces la solución general es + ଶ
ሽ
1.4 Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes (método de los coeficientes indeterminados) Como se dijo antes, la solución general de la ecuación homogénea
´´ +
´+
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺሻ ሺ ሻ
=
1
Es la suma de la solución general de la ecuación homogénea 1
´´ +
´+
ሺሻ ሺሻሿ ሾ ሺ ሻ ሺሻ
=0
2
Y una solución particular de la ecuación 1 . Es decir:
ሾ
ሿ
+
( )
La solución general de la ecuación 2 ya fue estudiada. Para hallar una solución particular de la ecuación 1 existe un método general que será estudiado mas adelante. Por ahora solo se estudiara algunos casos especiales pero antes de entrar a estudiarlos se verá una regla general para hallar una solución particular de la siguiente ecuación:
´´ +
´+
= ଵ
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ + ଶ
(3)
Sea ଵ ( ) una solución particular de la ecuación
´´ + Y
ଶ(
´+
= ଵ
(4)
) una solución particular de la ecuación ´´ +
´+
=
17
2ሺ
ሻ
(5)
Es decir ଵ
´´ +
´ଵ
´+
´ଵ
=
ଵ
ଶ
´´ +
´ଶ
´+
´ଶ
=
ଶ
(6)
Sumando miembro a miembro las igualdades de ሺ6ሻ se recibe: ሺ
ଵ
ሺ
´´ሻ +
ሺ
ሻ´´ +
ሺ
´´ +
ଶ
+
ଶ
ଵ
ଵ
´+
ଵ
+
ଶ
ଶ
´ሻ + ሺ
ሻ+ ሺ
ଵ
ଵ
+
+
ଶ
ଶ
ሻ=
ሻ=
ଵ
ଵ
+
+
ଶ
ଶ´
O bien Lo que indica que +
ଵ
ሺሻ
ଶ
Es una solucion particular de 3 , porque la satisface. En otras palabras, si se quiere
hallar una solucion particular de (3) se halla una (solucion particular) de (4) y de otra (5) y se suman.
Casos especiales
) La ecuacion diferencial no homogenea tiene la forma: ´´ + En donde
y
´+
ఈ௫
=
(7)
son constantes.
En general si en la ecuación (7) se supone que una solución particular tiene la forma ఈ௫
=
Entonces el valor de C queda determinado si se deriva y se reemplaza esta expresioón en la ecuación (7):
ሺ
ଶ
+
+
ሻ
ఈ௫
Entonces
= ଶ+
+
=
ሺ ሻ ఈ௫
=0
10
(12)
No se puede determinar el valor de C; esto sucede cuando es una de las raices de la ecuación de indices porque en este caso satisface la ecuación (12) y de la forma de la solución particular es entonces
=
ఈ௫
ሺ ሻ
18
13
Derivando la solución (13) se recibe: ᇱ ᇱᇱ
ఈ௫
=
ఈ௫
=2
ఈ௫
+ +
ଶ
ఈ௫
Reemplazando estos valores en la ecuación (7), se puede hallar el valor de C, como sigue: ఈ௫
Pero como
ሼሺ
ሻ ሺ ሻሽ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ
ଶ
+
+
+ 2 +
=
ఈ௫
satisface la ecuación (12) se recibe: ఈ௫
2 + =
2 +
=
ఈ௫
14
Si 2 + = 0 no se puede determinar el valor de C. Esto ocurre cuando la ecuación de indices tiene como raiz doble.
Ejercicios
ૡ ൫ ൯ ൫ ൯ ൫ ൯ ሺ ሻሺ ሻ ሺሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ .
´´ −
´−
=
´´ − 2 ´ − 8 = 0 ఒ௫
´´−2
ଶ ఒ௫
−2
ଶ
ఒ௫
ఒ௫
´−8
ఒ௫
=0
− 8 ఒ௫ = 0
ఒ௫
≠0
−2 −8 =0
−4
+2 =0
=4
= −2
= ଵ ସ௫ +
ଶ
ିଶ௫
= 3 ଷ௫
=
ଷ௫
ఈ௫
´´ − 2
=3
ଷ௫
´−8
ଷ௫
= 3 ଷ௫ 19
ሺ ሻ ሺ ሻ ଷ௫
´= 3
ଷ௫
´´ = 9
ଷ௫
−6
9
ଷ௫
−5
=−
ଷ௫ ଷ௫ ଷ௫
ଷ௫
−8
= 3 ଷ௫
= 3 ଷ௫
3 5
3 ଷ௫ = − 5
ૢ ൫ ൯ ൫ ൯ ൫ ൯ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ .
´´ −
´+
ି
=
´´ − 6 ´ + 9 = 0 ఒ௫
´´−6
ଶ ఒ௫
−6
ଶ
ఒ௫
ఒ௫
ఒ௫
´+9
=0
+ 9 ఒ௫ = 0
ఒ௫
≠0
−6 +9 =0
−3
−3 =0
=3
=3
=
ଵ
=
ଵ
ଷ௫
+
+ ଶ
ଷ௫
ଶ
ଷ௫
= 4 ିଶ௫
4 25
ఈ௫
=
= −2
ିଶ௫
´´−6
ିଶ௫
ିଶ௫
´ = −2
ିଶ௫
ିଶ௫
´´ = 4
ିଶ௫
+ 12
ିଶ௫
´+9
ିଶ௫
= 4 ିଶ௫
ିଶ௫
ିଶ௫
+9
ିଶ௫
= 4 ିଶ௫
= 4 ିଶ௫ 20
4 25
=
=
4 ିଶ௫ 25
൫ ൯ ൫ ൯ ൫ ൯ ሺ ሻሺ ሻ ሺሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ .
´´ +
´+
+
=
´´ + 3 ´ + 2 = 0 ఒ௫
´´+3
ଶ ఒ௫
+3
ଶ
ఒ௫
ఒ௫
ఒ௫
´+2
=0
+ 2 ఒ௫ = 0
ఒ௫
≠0
+3 +2 =0
+2
+1 =0
= −2 =
ଵ
= −1
ିଶ௫
+
ି௫
ଶ
= ଶ௫
ଶ௫
´´ + 3
ଶ௫
´= 2
ଶ௫
´´ = 4
ଶ௫
+6
4
ଶ௫
12 =
ఈ௫
=
ଶ௫
´+2
ଶ௫
= ଶ௫
ଶ௫
ଶ௫
ଶ௫
+2
ଶ௫
= ଶ௫
= ଶ௫
1 12
=
ሺሻ
=2
1 ଶ௫ 12
= ௫ 21
ఈ௫
=
=1
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ௫
´´ + 3
௫
´=
௫
´´ =
௫
௫
6
௫
´+2
= ௫
௫
௫
௫
+3
௫
௫
+2
= ௫
= ௫
1 6
=
1 ௫ = 6 1 ଶ௫ 1 ௫ = + 12 6
൫ ൯ ൫ ൯ ൫ ൯ ඥ ሺ ሻ √ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ሺሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ . ´´ + ´ +
´´ + ´ + ఒ௫
´´ +
ଶ ఒ௫
+
ଶ
+
=
+
=0
ఒ௫
ఒ௫
´+
ఒ௫
=0
+ ఒ௫ = 0
ఒ௫
≠0
+ +1=0
=
−1 ± (1)ଶ − 4 1 (1) 2
1 3 =− ± 2 2 = ଵ
ି௫ൗ ଶ cos
3 2
+ ଶ
ି௫ൗ ଶ sin
3 2
= ௫
= ௫
ఈ௫
´´ +
=1
௫
´+
௫
= ௫
22
ሺ ሻ ሺ ሻ ௫
´=
௫
´´ =
௫
௫ ௫
+ ௫
3
௫
௫
+
= ௫
= ௫
1 3
=
1 ௫ = 3
ሺሻ
= 2 ଶ௫ ఈ௫
=
=2
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ଶ௫
´´ +
ଶ௫
ଶ௫
´= 2
ଶ௫
ଶ௫
´´ = 4
4
ଶ௫
+2
7
ଶ௫
= 2 ଶ௫
´+2
ଶ௫
= 2 ଶ௫
ଶ௫
ଶ௫
ଶ௫
+
= 2 ଶ௫
2 7
=
2 ଶ௫ = 7
ሺሻ
= 3 ଷ௫
=
ఈ௫
=3
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ 9
ଷ௫
´´ +
௫
´ =3
௫
´´ = 9
௫
+3
ଷ௫
´+
ଷ௫
= 3 ଷ௫
ଷ௫
ଷ௫
௫
+
௫
= 3 ଷ௫
23
13 =
௫
= 3 ଷ௫
3 13
3 ଷ௫ = 13 2 ଶ௫ 3 ଷ௫ 1 ௫ = + + 7 13 3
) ´´ +
´+
=
ି ଵ
+
+ ⋯+
ି ଵ
Primero se considera el caso en el cual el polinomio es de primer grado. ´´ +
´+
=
+
ଵ
(8)
En forma análoga a los casos anteriores se supone que una solución particular de (8) sea un polinomio de primer grado: =
En donde
ଵ
y
ଶ
ଵ
+
ଶ
(9)
son las constantes por determinar.
Derivando (8) se obtiene:
´ = ଵ,
´´ = 0
Reemplazando estos valores en la ecuación (8) se recibe: ଵ
+ (
1
+
+(
1
+
2
)=
+
1
0
O bien ଵ
2
)=
1
+
0
Y por comparación de los coeficientes de potencias iguales de ଵ
=
1
ଵ+
2
=
se obtiene:
0
Entonces ଵ
Si
=
1
2
=
0
−
≠ 0 entonces una solución particular ሺ9ሻ es:
24
2
1
( ≠ 0)
1
= Si
+
൬
0
1
−
2
൰
(10)
= 0 entonces (8) tiene la forma ´´ +
´=
+
ଵ
(11)
Se puede pensar que en este caso una solución particular de la ecuación (11) sea
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ =
+
ଵ
12
Derivando y reemplazando se obtiene que:
2
ଵ
Entonces
2
ଵ
= ଵ
Por esto ଵ
=
+ 2 ଵ+
ଵ
2
,
=
+
1
0
2 ଵ+ =
=
ଵ
− ଶ
≠0
Si a=0, entonces la ecuación (11) se transforma en la ecuación ᇱᇱ
= ଵ +
13
= ଶ ଵ +
(14)
Ejercicios
൫ ൯ ൫ ൯ ൫ ൯ ඥ ሺ ሻ √ .
´´ +
= ( + )
´+
´´ + 2 ´ + 2 = 0 ఒ௫
´´+2
ଶ ఒ௫
+2
ଶ
ఒ௫
ఒ௫
´+2
ఒ௫
+ 2 ఒ௫ = 0
=0
ఒ௫
≠0
+2 +2 =0
−2 ± (2)ଶ − 4 2 (1) = 2 = −1 ±
4 2
25
Por lo que la solución homogenea será
= ଵ
ሺሻ
ି௫ൗ ଶ cos
ቆ√ ቇ 4 2
+ ଶ
ି௫ൗ ଶ sin
ቆ√ ቇ 4 2
= ௫
Probando la siguiente solución particular, tenemos
ሺ ሺ ሺ
ଶ
= +
+
ଶ
+
+
ଶ
+
+
ଶ
ሻ ሺ ሻ ሻ ´´ +
ଶ
´=2
+
+
+
ሻ ሺ ´+
ଶ
+
ଶ
+2
+2 =2 ଶ+4 +2
=2 ଶ =1
+2
=4
=0 2 +2 +2 = 2 =0 La solución particular estara determinada por
= ଶ
Por lo que la solución general será
= ଵ
ି௫ൗ ଶ cos
ቆ√ ቇ 4 2
+ ଶ
ି௫ൗ ଶ sin
ቆ√ ቇ 4 2
ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ . ᇱᇱ −
ଶ
ᇱ
+
=
−
−4 +4 =0
−2
+
´´ = 2
+2 +2
2 =2 4
+
ଶ
2 +4 2
+
−2 =0
26
+ ଶ
ሻ
= ௫
=2 ,2 Por lo que la solución homogenea será
= ଵ ଶ௫ + ଶ
ଶ௫
Probando la siguiente solución particular, tenemos
=
ᇱ
=
ᇱᇱ
+
=0
ሺ ሻ
−4 + 4 4
+
=4 →
= 4 −4
=1
−4 + 4 = −4 →
=0
La solución estara determinada por
=
Por lo que la solución general será
= ଵ ଶ௫ + ଶ
ଶ௫
+
Ejercicios
) ´´ +
´+
=
cos
+
sin
En forma análoga a ( ) y ( ) se puede suponer que
=
+
sin
Es una solución particular de la ecuación
Ejercicios
. ᇱᇱ +
ᇱ
+
=
ሺ ሻ
27
12 .
(13)
(12)
ଶ
+2 +1 =0
ሺ ሻሺ ሻ +1
+1
= −1, −1 Por lo que la ecuación general será:
ሺ
= ି௫ ଵ + ଶ
ሻ
Para hallar una solución particular, se tiene la forma:
= ᇱ
2 +
=2
ᇱᇱ
2
2 −2
= −4
2
2 −4
2
Reemplazando en la ecuación diferencial
ሺ ሺ ሺ
−4
2 −4
−4 − 4 + −4 + 4 +
2
ሻ ሻ
ሻ ሺ
+2 2
2 =
2 −2
2 → −3 − 4 = 1
2 = 0 → −3 + 4 = 0
Por reducción tenemos que
=−
4 25
;
=−
3 25
Por lo que la solución está dada por:
ሺ ૢ √
ሻ
3 = ି௫ ଵ + ଶ − 25
. ᇱᇱ +
ଶ
=
2
2 −
4 25
2
+9 =0
= −9
= 3 , −3 Por lo que la ecuación general será: 28
ሻ
+
2 +
2 =
2
= ଵ
3 + ଶ
3
Para hallar una solución particular, se tiene la forma:
= ᇱ ᇱᇱ
3 +
=
3
3 −3
= −3
3 +
3 −9
3 +3
3 −3
3
3 +3
3 +3
3 −9
3
Reemplazando en la ecuación diferencial
ሺ ሺ ሺ
−3
−9
3 −9 +9
ሺ
3 −3 3 +
+3 +3 +9
−3 − 3 − 9
+9
ሻ ሻ
3 +3 3 =
3 +3 3
ሻ
3 =
3 −9
3 →6 =1→
3 =0→
=
3
ሻ
1 6
=0
Por lo que la solución está dada por:
= ଵ
3 + ଶ
3 +
1 6
3
1.5 Ecuaciones no homogeneas con coeficientes constantes (metodo de variacion de parametro) El método general para hallar una solución particular de la ecuación ᇱᇱ
+
ᇱ
+
=
ሺ ሻ ሺ ሻ 1
Se estudiara en este acapite. Se sabes que si f(x) y g(x) son dos soluciones diferentes de la ecuación homogenea de (1) entonces la solución general de la ecuación homogenea es
= ଵ
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ + ଶ
2
En donde ଵ y ଶ son dos constantes arbitrarias. Una solución particular de la ecuación (1) tiene la misma forma de la solución (2), pero en el puesto de las constantes ଵ y ଶ aparecen nuevas funciones de x: u(x), v(x). Por esto la forma de una solución particular es:
=
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ +
29
3
En donde u y v deben ser determinadas con la ayuda de la ecuación (1). Este método es llamado variación de parametros. Teniendo en cuenta que la ecuacion de indices (1) es: ଶ
+
+
=0
(4)
Y que sus raices ଵ , ଶ son para mayor sencillez, diferentes y reales, la solución general de la ecuación homogenea es:
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ
= ଵ ఒ ௫+ ଶ ఒ ௫ భ
5
మ
Por esto una solución particular de la ecuación (1) es entonces:
ሺሻ
=
ఒభ ௫
ఒమ௫
+
6
Para determinar los valores de u y v se sigue el procedimiento que aparece a continuación:se deriva (6) con respecto a x ᇱ
=
൫ ሺሻ ᇱ
ఒభ ௫
൯ ൫ ሺሻ
+ ᇱ( ) ఒ ௫ + మ
ଵ
ఒభ ௫
+ ଶ
ሺ ሻ ൯ ሺ ሻ ఒమ ௫
7
Y como la solución que se busca es una solución particular cualquiera entonces para hacer mas fácil el desarrollo se puede imponer una condición o mejor una relación entre las funciones u y v, por esta razón en la ecuación (7) se hace:
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ൯ ሺ ሻ ൫ ሺሻ ሺሻ ൯ ൫ ሺሻ ൫ ሺ ሻ ሺ ሺሻ ሻ ൯ ሺ ൫ ሻ ൯ሺሻ ൫ ൯ሺሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ᇱ
ሺሻ
ఒభ ௫
+ ᇱ
ሺሻ
ఒమ ௫
=0
8
Entonces la ecuación (7) se transforma en la siguiente: ᇱ
ఒభ ௫
= ଵ
ఒమ ௫
+ ଶ
9
Derivando de nuevo la ecuación (9) ᇱᇱ
=
ଵ
ᇱ
ఒభ ௫
+ ଶ ᇱ
ఒమ ௫
+
ଵ
ଶ
ఒభ௫
+ ଶଶ
ఒమ ௫
10
Y sustituyendo (6), (9) y (10) en la ecuación (1) se recibe: ଵ
ᇱ
ఒభ ௫
Pero como
+ ଶ ᇱ =
ఒమ ௫
+ ଵଶ + 11
ଵ
ఒభ ௫
+
+
ଶ
ଶ
+
ଶ
+
ଵ y ଶ son las dos raices de la ecuación de indices se obtiene: ଵ
ଶ
+
ଵ
+
= 0,
ଶ
ଶ
+
ଶ
+
=0
Por tanto, la ecuación (11) puede escribirse así: ଵ
ᇱ
ఒభ௫
+ ଶ ᇱ
ఒమ ௫
30
=
12
ఒమ௫
De las ecuaciones (8) y (12) puede hallarse el valor de u’ y (teniendo en cuenta que ଵ es diferente ଶ ) : ᇱ
( ) ିఒ ௫ = , − ଵ ଶ భ
ᇱ
− ( ) ିఒ ௫ = ଵ− ଶ మ
(13)
Integrando (13) con respecto a x , se obtienen los valores de u y v.
=
1 ଵ− ଶ
=−
න ሺሻ න ሺሻ
ିఒభ ௫
1 ଵ− ଶ
ିఒమ ௫
(14)
Reemplazando estos valores en la ecuación (6) se recibe una solución particular de la ecuación (1):
=
1 ଵ− ଶ
න ሺሻ ఒభ ௫
ିఒభ ௫
− ఒ௫ మ
න ሺሻ
ିఒమ ௫
൨
(15)
Nota. Si se ponenen las constantes de integración ଵ y ଶ en las expresiones (14) y se reemplazan en la ecuación (6) se obtiene en la solución (15) el siguiente sumando adicional:
1 ଵ− ଶ
ൣ
ଵ
ఒభ ௫
− ଶ ఒ௫ మ
൧
El cual tiene la misma forma de la ecuación (5). Por esto si se escriben constantes de integración en la expresión (14) y se reemplaza en la ecuación (6) se obtiene la solución general de (1).
Ejercicios
. ᇱᇱ −
ᇱ
+
=
La ecuación de indices es: ଶ
− 5 + 6 = 0 → ଵ = 3; ଶ = 2
Por tanto, la solución general es
= ଵ ଷ௫ + ଶ ଶ௫ 31
Supongamos una solución particular
= ᇱ
ሺሻ ሺሻ ଷ௫
ଷ௫
=3
ᇱᇱ
ଶ௫
+
ଶ௫
+2
= 3 ᇱ ଷ௫ + 9
ଷ௫
+ 2 ᇱ ଶ௫ + 4
ଶ௫
Reemplazando en la ecuación diferencial
3 ᇱ ଷ௫ + 9
ଷ௫
+ 2 ᇱ ଶ௫ + 4
ଶ௫
ሺ
−5 3
3 ᇱ ଷ௫ + 2 ᇱ ଶ௫ = ଶ௫
ଷ௫
+2
Utilizando el anterior resultado y ᇱ ଷ௫ + ᇱ ଶ௫ = 0 Tenemos ᇱ
= ି௫
= − ି௫
ᇱ
=−
=−
Reemplazando en la solución particular planteada
= − ି௫ ଷ௫ −
ଶ௫
→
= − ଶ௫ −
ଶ௫
Por lo cual, la solución general es
= ଵ ଷ௫ + ଶ ଶ௫ − ଶ௫ −
ଶ௫
ૡ . ᇱᇱ +
ᇱ
+
=
La ecuación de indices es: ଶ
+ 3 + 2 = 0 → ଵ = −2; ଶ = −1
Por tanto, la solución general es
= ଵ ିଶ௫ + ଶ ି௫ Supongamos una solución particular
= ᇱ
ሺሻ
= −2
ିଶ௫
+
ିଶ௫
−
ሺሻ
ି௫
ି௫
32
ଶ௫
ሻ ሺ +6
ଷ௫
+
ଶ௫
ሻ
= ଶ௫
ᇱᇱ
= −2 ᇱ ିଶ௫ + 4
ିଶ௫
ି௫
+
− ′ ି௫
Reemplazando en la ecuación diferencial
−2 ᇱ ିଶ௫ + 4
ିଶ௫
ି௫
+
ሺ
− ′ ି௫ + 3 −2
௫
=8
−2 ᇱ ିଶ௫ − ′ ି௫ = 8
ିଶ௫
ି௫
−
ሻ ሺ
ିଶ௫
+2
+
ି௫
ሻ
௫
Utilizando el anterior resultado y ᇱ ିଶ௫ + ᇱ ି௫ = 0 Tenemos ᇱ
ଷ௫
=8 =
ᇱ
ଷ௫
−8
+
3
=8
8 ଷ௫ 9
ଶ௫
ଶ௫
=4
− 2 ଶ௫
Reemplazando en la solución particular planteada
=
ቆ
ଷ௫
−8 3
8 + ଷ௫ 9
ቇ
ିଶ௫
ሺ
ଶ௫
+ 4
−2
ଶ௫
ሻ
ି௫
→
=
௫
4 3
−
10 ௫ 9
Por lo cual, la solución general es
= ଵ
ିଶ௫
+ ଶ
ି௫
+
௫
4 3
−
10 ௫ 9
1.6 Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales por medio del operador D En esta secion se considera otro metodo para resolver ecuaciones diferenciales lineales, a saber: el metodo del operador diferencial. Se define el operador en la forma siguiente:
≡
(1)
Es decir que para una función cualquiera de aplicarle el operador es:
=
= ´
33
, por ejemplo
ሺ ሻ 2
ሺሻ
, el resultado de
Si se aplica de nuevo el operador
se recibe:
൬ ൰ ሺ ሻ
=
ሺ ሻ ൫ ൯ ଶ
=
= ´´
ଶ
3
= ଶ , la expresión 3 toma la forma siguiente:
Si se define
n veces ←
=
…..
Entonces
=
(4)
= ሺሻ
ଶ
Se definen a continuación las operaciones que rigen para
ሺ
ଶ
+
+
ሺ ሻ +
ሻ
=
:
+
ሺ
ଵ +⋯+ = ଶ + + … . + ଵ ି ି ଵ = + ଵ + ⋯+ (6)
ሻ
Con las definiciones dadas anteriormente se pueden deducir las siguientes propiedades del operador :
1)
ሺ ሻ
2) Si
+
(
=
+ )
=
=
= +
es una constante, entonces
ሺሻ ሺሻ ሺ ሻ ൬ ൰ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ =
3)
4) Si
y
=
=
=
(8)
ା
=
ା
=
−
= ା
son constantes se recibe:
−
−
= ଶ −
= ଶ −
−
+ +
+
ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ
= Entonces el operador
ଶ
−
+
+
=
−
−
goza de la propiedad conmutativa:
−
−
=
−
34
−
(10)
(9)
(7)
De lo dicho anteriormente se puede concluir que al operador se pueden aplicar las propiedades algebraicas. (Por ejemplo potenciación, factorización, etc.) Utilizando el operador D. la ecuación lineal
ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ଶ
ଶ
+
+
=0
(11)
Toma la forma siguiente: ଶ
+
+
=
O bien factorizando la expresión ଶ +
− ଵ
ଶ
+
+
=0
(12)
+ , la ecuación (12) toma la forma:
− ଶ
=0
(13)
Ejercicios
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ
.
ଶ
−
−4
−3
+
+3
=
=0
−1 =0
=3
=1
= ଵ ଷ௫ + ଶ ௫
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ
.
ଶ
+
+4
+
+4
=
=0
+2
+2 =0
= −2
= −2
= ଵ
ିଶ௫
=
+ ଶ
ଵ
+ ଶ ିଶ௫ ିଶ௫
1.7 Solucion de ecuaciones diferenciales lineales por medio de series de potencia 35
Dada la ecuación diferencial ᇱᇱ
−
ᇱ
−
=0
ሺ ሻ 1
Se supone que la expresión
= + ଵ + ଶ ଶ + ⋯+ + ⋯
ሺ ሻ 2
Es una solución. Para determinar los valores de las constantes deriva la siguiente expresión (2) ᇱ
− ଵ +2 ଶ +3 ଷ ଶ +⋯+
ି ଵ
,
ଵ,
ଶ …, se
+⋯
ሺ ሻ ሼ ሺ ሻ ሽ ሼ ሽ ሼ ሽ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሼ ሺ ሻ ሻ ሺ ሺ ሻ ሽ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ᇱᇱ
ଶ +⋯ − 1 ି
=2 ଶ +6 ଷ +⋯+
(3)
Y se reemplaza en la ecuación diferenial (1):
ଶ +⋯ − 2 ଶ + 6 ଷ +⋯+ − 1 ି − + ଵ +⋯ =0 4
ଵ
+2 ଶ +⋯+
ି ଵ
+⋯
Asociando en esta expresión las potencias iguales de x se recibe:
2 ଶ − + 6 ଷ − ଵ − ଵ + 12 ସ − 2 ଶ − ଶ ଶ + ⋯ ି ଶ + ⋯.= 0 + − 1 − − 1 ି ଶ
5
Esta ecuación se satisface si todos los coeficientes son iguales a cero, por esto;
2 ଶ − = 0,
6 ଷ − 2 ଵ = 0, 12 ସ − 3 ଶ = 0, … , … =0 (6)
−1 −
− 1 ି ଶ
Entonces ଶ
=
2
,
ଷ
=
ଵ
3
,
ସ
=
ଶ
4
=
1 , …. 2∗4
Para obtener el coeficiente general es necesario tener en cuenta la ultima expresion de (6), y de acuerdo con esto se recibe el valor de :
=
1 ି ଶ
Si en esta ultima expresion se cambia n por n-2, se recibe: ି ଶ
=
1 ସ − 2 ି
Tambien
36
1 − 4 ି
ି ସ =
Entonces
=
1
=
ି ଶ
1 ସ = − 2 ି
1 −2
ሺ ሻሺ ሻ
ି
−4
=⋯
Se deduce que
=
1 − 2 …4 ∗ 2
ሺ ሻ ሺ ሻ
=
ሺሻ
1 − 2 …5 ∗ 3 ଵ
7
Sustituyendo en (2) los valores de las constantes se recibe:
ଶ ଵ ଷ ଵ ସ+ ହ… = + ଵ + + + 2 3 2∗4 3∗5
O bien
ቊ
ଶ
ሺ ሻ ቋ
ସ
ଶ
= 1+ + +⋯+ 2 2∗4 2 ∗ 4… 2 + ଵ
ቊ
ଷ
+
3
ହ
+
+⋯
ሺ ሻ ቋ ሺ ሻ
ଶି ଵ
3∗5
+ ⋯+
3 ∗5… 2
−1
+⋯
8
En donde y ଵ son constantes arbitrarias porque no hay condición que permita determinarlas. La ecuación (8) es la solución general de la ecuación (1).
Ejercicios
. ᇱᇱ +
=
∑
y Sustituyendo = ஶ ୀ diferencial, tenemos
∑
ି ଶ ′′ = ஶ ୀଶ ( − 1)
37
en la ecuación
ஶ
ᇱᇱ +
=
ஶ
ሺ ሻ
ଶ + − 1 ି
ୀଶ
ାଵ
=2 ଶ +
ୀ
ஶ
+
ஶ
ି ଵ
ሺ ሻሺ ሻ +2
+ 1 ାଶ
ୀଵ
=0
ୀଵ
Entonces
2 ଶ =0
ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ +2
+ 1 ାଶ + ି ଵ = 0,
1 ଵ , + 2 ( + 1) ି
ାଶ =
= 1,2,3 …
Sustituyendo en la suposicion inicial tenemos ଵ ଵ ଷ− ସ+0+ + +0 = + ଵ +0− 2∗3 3∗4 2∗3∗5∗6 3∗4∗6∗ 7
−
ଽ
2∗3∗5∗9∗6∗8 ஶ
=1+
ଵ
ୀଵ
ஶ
ଶ
=
+
ୀଵ
2. ᇱᇱ − 2
ᇱ
−
ଵ
ଵ
3 ∗ 4 ∗ 6 ∗ 7 ∗ 9 ∗ 10
ሺ ሺ ሻ ሻሺ ሻ ሺ ሺ ሻ ሻሺ ሻ
−1 2 ∗ 3 ∗ …∗ 3 − 1 3
−1 3 ∗ 4 ∗ …∗ 3 + 1 3
ଷ
ଷାଵ
−2 =0
Asumiendo
= + ଵ + ଶ ଶ + ⋯ + + ାଵ ାଵ + ାଶ ାଶ + ⋯ Entonces ᇱ
= ଵ + 2 ଶ …+
−2
ᇱ
ି ଵ
= −2 ଵ − ⋯ − 2
+
ሺ ሻ
+ 1 ାଵ + ⋯
−⋯
−2 = −2 − 2 ଵ − ⋯ − 2 − ⋯ Sustituyendo en la ecuación
ᇱᇱ
−2
ᇱ
−2 = 0 38
+0+⋯
2 ଶ−2 =0 6 ଷ−4 ଵ =0
ሺ ሻሺ ሻ +2
+ 1 ାଶ − 2
ሺ ሻ
+1 =0
Entonces ାଶ
=
2 +2
Sustituyendo
=
−2→ ఓ =
2 ఓିଶ
Tenemos
2 2ଶ ସ 2ଷ ଶ ଶ = = = = ଼= 8 8∗ 6 8∗ 6 ∗ 4 4 ∗3 ∗2 4 ∗ 3 ∗ 2 ≥2
Y en general, para cualquier
2 ଶି 4 ଶି ଶ ସ = = = ଶ 2 4 −1 8
8 ଶି −1
2 =⋯ = = −2 2 ! !
ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ
Y para
≥1
2 ଶି ଶ = = ଶାଵ 2 +1 2
4 ଶ— =⋯ = +1 2 −1 2
ሺ ሻሺ ሻ
2 ଵ + 1 2 − 1 …∗ 3
ሺ ሻሺ ሻ
Entonces ஶ
=
ୀ
ஶ
ଶ
!
+ ଵ
ሺ ሻ
ୀ
39
2
2 ଶାଵ + 1 ∗ …3 ∗ 1
