M.Sc. Ing. Freddy Zambrana Rodríguez FECH FECHA A DE DE PUB PUBLI LICA CACI CIO ON: FECHA DE ENTREGA:
1
Or – 1 – X – 20 2012 12 Or – 19 – X – 2012
MÉTODO DE PUNTO FIJO.
Método iterativo también conocido como de aproximaciones sucesivas, de iteración funcional, etc., por ser el prototipo de todos ellos, es un método conocido como de primer orden. La ecuación a utili utiliza zarr en el proces proceso o itera iterativ tivo, o, se deter determin mina a a travé través s de una una transf transfor ormac mación ión algeb algebrai raica ca de f ( x) = 0 a la forma equivalente: x = g ( x)
Para asegurar la convergencia, la ecuación a ser empleada y que en forma general se denota como
x n
1 =
+
g ( x n )
debe cumplir con el criterio de convergencia: g ′( x 0 ) < 1
donde x donde x 0 0 es el valor inicial a ser empleado en el proceso iterativo.
1.1
SECUENCIA DE DE PA PASOS A SE SEGUIR.
La secuencia de pasos a realizar en la solución de un problema se debe seguir los siguientes pasos: 1. Abra MATLA MATLAB B haciendo haciendo clic clic en el icono icono que repres representa enta a MATL MATLAB. AB. 2. Una vez que que aparezca aparezca la pantalla pantalla principa principall de MATLAB, MATLAB, proceda proceda a crear un archivo archivo M de función, cuyo formato se indica a continuación: Sea ecua_PuntoFijo el archivo M de función en el que se escribe el criterio función de la forma g(x) a ser resuelta, cuya declaración debe ser:
( x) g ′
y la
function y = ecua_PuntoFijo( x, n ) if n if n == 1
y = abs ( g ′( x)) ; else y = g ( x ) ; end ;
3. Una vez desarro desarrollad llado o el archivo M señalado señalado,, retorne a la pantalla pantalla principa principall de MATLAB y proceda a verificar que el archivo no presente errores de sintaxis, ni lógicos. 4. Realice una representa representación ción gráfica gráfica de de la ecuación problema para determinar: determinar: a. Si la ecuació ecuación n presen presenta ta o no soluc solución. ión.
b. De no conocerse, establecer el valor inicial x 0 a utilizar. 2. Si la gráfica de la ecuación, señala que existe solución, en el indicador de MATLAB que es >>, llamar al programa PuntoFijo_L cuyos formatos de utilización son:
PuntoFijo_L (MaxIte); sol = PuntoFijo_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, xo); [sol, ite] = PuntoFijo_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, xo); Para cualquiera de los formatos, es necesario enviar la información correspondiente, donde: MaxIte es la variable donde se señala al programa el máximo de iteraciones a realizar. NomArch es el nombre del archivo que contiene la ecuación y debe ir entre comillas. error variable donde se señala el error a ser aceptado. xo variable donde se señala el valor inicial de trabajo. sol es la variable donde el programa devuelve la raíz aproximada determinada. ite es la variable donde el programa devuelve el número de repeticiones realizadas. 3. Introducir la información del error y el valor inicial x 0 solicitado por el programa utilizando el teclado. 4. Anote los resultados obtenidos de acuerdo a las exigencias solicitadas.
1.2
PROBLEMA A RESOLVER.
Determine cual de las funciones de iteración g ( x ) se puede utilizar para localizar el cero de: x
3
+
5e
x
+
3=0
−4 que esta entre -2 y -1 con una aproximación de 10
2
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON.
Método de segundo orden de convergencia, puede aplicarse x 0 en el dominio complejo para encontrar una raíz compleja. La ecuación que representa a este método iterativo puede determinarse a partir de la expansión de Taylor o a través de un proceso gráfico. La ecuación central del algoritmo que se utiliza es:
x n+1= xn −
2.1
f ( xn ) f ′( xn )
METODOLOGÍA DE TRABAJO.
La secuencia de pasos a seguir en la solución de u determinado problema son: 1. Abra MATLAB haciendo clic en el icono que representa a MATLAB. 2. Una vez que aparezca la pantalla principal de MATLAB, proceda a crear un archivo M de función, cuyo formato se muestra a continuación Sea ecuacion_N el nombre del archivo M de función en el que se escribe la derivada y la función a ser resuelta, archivo cuyo formato debe ser: function [y, dy] = ecuacion_N( x )
y = f ( x );
dy = f ′( x); 3. Una vez desarrollado el archivo M señalado, retorne a la pantalla principal de MATLAB y proceda a verificar que el archivo no presente errores de sintaxis, ni lógicos.
4. Realice una representación gráfica de la ecuación problema para determinar: a. Si la ecuación presenta o no solución. b. De no conocerse, establecer el valor inicial x 0 a utilizar. 5. Si la gráfica de la ecuación señala que existe solución, en el indicador de MATLAB, que es >>, llamar al programa Newton_L cuyos formatos de utilización son:
Newton_L (MaxIte); sol = Newton_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, xo); [sol, ite] = Newton_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, xo); Para cualquiera de los formatos, es necesario enviar la información correspondiente, donde: MaxIte es la variable donde se señala al programa el máximo de iteraciones a realizar. NomArch es el nombre del archivo que contiene la ecuación y debe ir entre comillas. error variable donde se señala el error a ser aceptado. xo variable donde se señala el valor inicial de trabajo. sol es la variable donde el programa devuelve la raíz aproximada determinada. ite es la variable donde el programa devuelve el número de repeticiones realizadas. 6. Introducir la información del error y el valor inicial x 0 solicitado por el programa utilizando el teclado. 7. Anote los resultados obtenidos de acuerdo a las exigencias solicitadas.
2.2 PROBLEMA A RESOLVER. La siguiente fórmula es atribuida a Francis y se aplica a un vertedor con contracciones 1 3
Q = 3.33( B − 0.2 H )( H ) 2 donde: Q=cantidad de agua que pasa por el vertedor en pie3/s, B=ancho del vertedor en pies, H=carga sobre la cresta del vertedor en pies. Si se sabe que B=2 y Q=25, calcule el valor de H con un error de 10 -3
3
MÉTODO DE LA SECANTE.
El método de la secante es una variante de la iteración de Newton. Este método aproxima la ′ primera derivada f ( x) utilizando dos valores anteriores consecutivos de f ( x ) . El esquema iterativo basado en este concepto se escribe así:
x n
1=
+
xn
−
( xn
xn 1 ) f ( xn )
−
−
f ( xn ) − f ( xn 1 ) −
3.1
METODOLOGÍA DE TRABAJO.
La secuencia de pasos a realizar en la solución de una ecuación no lineal son: 1. Abra MATLAB haciendo clic en el icono que representa a MATLAB. 2. Una vez que aparezca la pantalla principal de MATLAB, proceda a crear el archivo M de función cuyo formato se muestra a continuación: Sea ecuacion_S en nombre del archivo M de función en el que se escribe la función a ser resuelta, cuyo formato debe ser: function y = ecuacion_S( x ) y = f(x)
3. Una vez desarrollado el archivo M señalado, retorne a la pantalla principal de MATLAB y proceda a verificar que el archivo no presente errores de sintaxis, ni lógicos. 4. Realice una representación gráfica de la ecuación problema para determinar: a. Si la ecuación presenta o no solución. b. De no conocerse, determinar los valores iniciales x 0 y x1 a utilizar. 5. Si la gráfica de la ecuación, señala que existe solución, en el indicador de MATLAB que es >>, llamar al programa Secante_L cuyos formatos de utilización son:
Secante_L (MaxIte); sol = Secante_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, x0, x1); [sol, num] = Secante_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, x0, x1); Para cualquiera de los formatos, es necesario enviar la información correspondiente, donde: MaxIte es la variable donde se señala al programa el máximo de iteraciones a realizar. NomArch es el nombre del archivo que contiene la ecuación y debe ir entre comillas. error variable donde se señala el error a ser aceptado. x0 variable donde se señala el primer valor inicial. x1 variable donde se señala el segundo valor inicial. sol es la variable donde el programa devuelve la raíz aproximada determinada. ite es la variable donde el programa devuelve el número de repeticiones realizadas. 6. Introducir la información del error y los valores iniciales x 0 y x1 solicitado por el programa utilizando el teclado. 7. Anote los resultados obtenidos de acuerdo a las exigencias solicitadas.
3.2
PROBLEMA A RESOLVER.
La fórmula de Bazin para la velocidad de un fluido en canales abiertos está dada por: 1
v
= c ⋅ (re) 2
con
c
87
=
0.55 +
m r 1 / 2
donde: m = coeficiente de rugosidad, r = radio hidráulico en pies, e = pendiente de la superficie de fluido, v = velocidad del fluido en pies/seg. Calcule el radio hidráulico r con un error 10-5 correspondiente a los siguientes datos: m = 1.1, e = 0.001, v = 7
4
MÉTODO DE LA FALSA POSICION.
También llamado de Regula-Falsi. Al igual que el algoritmo de la secante, aproxima la derivada f ′( xi ) f ( x ) ∆ x . por un valor aproximado que se determina mediante el cociente ∆ Este método requiere que los dos valores iniciales a ser utilizados ( x I y x D) se encuentren en lados opuestos de la raíz buscada y sus valores funcionales correspondientes tengan signos opuestos. Es decir se debe cumplir la condicionante: f ( x I ) f ( x D )
<
0
La ecuación que presenta este método y permite realizar el proceso iterativo es:
x M = x D −
4.1
( x D − x I ) f ( x D )
f ( x D ) − f ( x I )
METODOLOGÍA DE TRABAJO.
=
x I f ( x D ) − x D f ( x I ) f ( x D ) − f ( x I )
La secuencia de pasos a seguir en la utilización del presente método son los siguientes: 1. Abra MATLAB haciendo clic en el icono que representa a MATLAB. 2. Una vez que aparezca la pantalla principal de MATLAB, proceda a crear el archivo M de función cuyo formato se indica a continuación: Sea ecuacion_FP el nombre del archivo M de función en el que se escribe la función a ser resuelta, cuyo formato debe ser: function y = ecuacion_FP( x ) y = f(x)
3. Una vez desarrollado el archivo M señalado, retorne a la pantalla principal de MATLAB y proceda a verificar que el archivo no presente errores de sintaxis, ni lógicos. 4. Realice una representación gráfica de la ecuación problema para determinar: a. Si la ecuación presenta o no solución. b. De no conocerse, determinar los valores iniciales x I y xD a utilizar. 5. Si la gráfica de la ecuación, señala que existe solución, en el indicador de MATLAB que es >>, llamar al programa FalsaPosicion_L cuyos formatos de utilización son:
FalsaPosicion_L (MaxIte); sol = FalsaPosicion_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, xi, xd); [sol, ite] = FalsaPosicion_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, xi, xd); Para cualquiera de los formatos, es necesario enviar la información correspondiente, donde: MaxIte es la variable donde se señala al programa el máximo de iteraciones a realizar. NomArch es el nombre del archivo que contiene la ecuación y debe ir entre comillas. error variable donde se señala el error a ser aceptado. xi variable donde se señala el valor inicial izquierdo. xd variable donde se señala el valor inicial derecho. sol es la variable donde el programa devuelve la raíz aproximada determinada. es la variable donde el programa devuelve el número de repeticiones realizadas. ite 6. Introducir la información del error y los valores iniciales x I y xD solicitado por el programa utilizando el teclado. 7. Anote los resultados obtenidos de acuerdo a las exigencias solicitadas.
4.2
PROBLEMA A RESOLVER.
Una bala de M=0.003 kg se disparo verticalmente en el aire y esta descendiendo a su velocidad terminal. La velocidad terminal esta dada por gM = F arrastre , donde g es la aceleración debida a la gravedad y M es la masa. Después de evaluar todas las constantes, la ecuación se escribe así: 5 1.5
gM = 1.4 x10 v −
+
1.15 x10 5 v 2 −
donde: v = es la velocidad terminal, m/s. El primer termino del miembro derecho representa el arrastre de fricción, y el segundo, el arrastre por presión. Determine la velocidad terminal con una aproximación de cuatro dígitos exactos.
5
MÉTODO DE LA BISECCIÓN.
El método de la bisección o método Bolzano es muy similar al método de la falsa posición, aunque algo más simple en la determinación de x M. Es un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en dos. La fórmula que presenta este método y que permite realizar el proceso iterativo es:
x M
=
x D + x I 2
Este método al igual que el método de Regula Falsi, requiere de dos valores iniciales que deben encontrarse en ambos lados de la raíz buscada y por tanto sus valores funcionales correspondientes deber ser de signos opuestos, es decir se debe cumplir: f ( x I ) f ( x D )
5.1
<
0
METODOLOGÍA DE TRABAJO.
La secuencia de pasos a realizar en la utilización del método son los siguientes: 1. Abra MATLAB haciendo clic en el icono que representa a MATLAB. 2. Una vez que aparezca la pantalla principal de MATLAB, proceda a crear un archivo M de función, cuyo formato se indica a continuación: Sea ecuacion_B el archivo M de función en el que se escribe la función a ser resuelta y cuyo formato debe ser: function y = ecuacion_B( x ) y = f(x);
3. Una vez desarrollado el archivo M señalado, retorne a la pantalla principal de MATLAB y proceda a verificar que el archivo no presente errores de sintaxis, ni lógicos. 4. Realice una representación gráfica de la ecuación problema para determinar: a. Si la ecuación presenta o no solución. b. De no conocerse, determinar los valores iniciales x I y xD a utilizar. 2. Si la gráfica de la ecuación, señala que existe solución, en el indicador de MATLAB que es >>, llamar al programa Biseccion_L cuyos formatos de utilización son:
Biseccion_L (MaxIte); sol = Biseccion_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, xi, xd); [sol, num] = Biseccion_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, xi, xd); Para cualquiera de los formatos, es necesario enviar la información correspondiente, donde: MaxIte es la variable donde se señala al programa el máximo de iteraciones a realizar. NomArch es el nombre del archivo que contiene la ecuación y debe ir entre comillas. error variable donde se señala el error a ser aceptado. xi variable donde se señala el valor inicial izquierdo. xd variable donde se señala el valor inicial derecho. sol es la variable donde el programa devuelve la raíz aproximada determinada. num es la variable donde el programa devuelve el número de repeticiones realizadas. 3. Introducir la información del error y los valores iniciales de x I y xD solicitado por el programa utilizando el teclado. 4. Anote los resultados obtenidos de acuerdo a las exigencias solicitadas.
5.2 PROBLEMA A RESOLVER. La ecuación: x 2 − e 2 x = 1
tiene una raíz en el intervalo (-2, -1). Aproxime una solución utilizando el método de la Bisección con 4 dígitos exactos.
MÉTODOS ACELERADOS 6
MÉTODO DE STEFFENSEN.
La búsqueda de aceleración de los métodos de primer orden ha llevado a determinar una serie de métodos muy particulares. Una de estas metodologías de aceleración es el método de Aitken cuya ecuación resulta ser:
x′n+1
( xn − xn−1 ) 2 = xn−1 − xn+1 − 2 xn + xn−1
Se ha determinado que el método de Aitken es de segundo orden, y se emplea normalmente para acelerar la convergencia de cualquier sucesión de valores que converge linealmente, cualquiera sea su origen. La aplicación de la ecuación del algoritmo de Aitken a la sucesión de valores x 0, x 1, x 2 , x 3,… obtenidas a partir de la iteración de punto fijo da como resultado al procedimiento conocido como método de Steffensen.
6.1
METODOLOGÍA DE TRABAJO.
La secuencia de pasos a realizar en la solución de indeterminado problema son: 1. Abra MATLAB haciendo clic en el icono que representa a MATLAB. 2. Una vez que aparezca la pantalla principal de MATLAB, proceda a crear un archivo M de función, cuyo formato se indica a continuación: Sea ecuacion_St el archivo M de función en el que se escribe la función transformada algebraicamente a la forma
xn+1 = g ( xn )
a ser utilizada y cuya declaración debe ser:
function y = ecuacion_St( x ) y = g(x);
3. Una vez desarrollado el archivo M señalado, retorne a la pantalla principal de MATLAB y proceda a verificar que el archivo no presente errores de sintaxis, ni lógicos. 4. Realice una representación gráfica de la ecuación problema para determinar: i. ii.
Si la ecuación presenta o no solución. De no conocerse, determinar los valores iniciales x I y xD a utilizar.
5. Si la gráfica de la ecuación, señala que existe solución, en el indicador de MATLAB que es >>, llamar al programa Steffensen_L cuyos formatos de utilización son:
Steffensen_L (MaxIte); sol = Steffensen_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, x0); [sol, num] = Steffensen_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, x0); Para cualquiera de los formatos, es necesario enviar la información correspondiente, donde: MaxIte es la variable donde se señala al programa el máximo de iteraciones a realizar. NomArch es el nombre del archivo que contiene la ecuación y debe ir entre comillas. error variable donde se señala el error a ser aceptado. x0 variable donde se señala el valor inicial de trabajo. sol es la variable donde el programa devuelve la raíz aproximada determinada. num es la variable donde el programa devuelve el número de repeticiones realizadas. 6. Introducir la información del error y el valor inicial de x 0 solicitado por el programa utilizando el teclado. 7. Anote los resultados obtenidos de acuerdo a las exigencias solicitadas.
6.2
PROBLEMA A RESOLVER.
La ecuación x 2 − e 2 x = 1 tiene una raíz en el intervalo (-2, -1). Aproxime una solución utilizando el método de Steffensen con 4 dígitos exactos.
7
MÉTODO DE NEWTON DE SEGUNDO ORDEN.
Cuando se necesita determinar con mucha precisión el valor de una raíz, el método de segundo orden de Newton, tiene la ventaja de lograr una rápida convergencia. Es un método de tercer orden que permite obtener una aproximación extremadamente cercana al valor de la raíz con un mínimo de cálculos y cuya ecuación resulta ser:
xi +1 = xi −
2 f ( xi ) f ′( xi ) 2[ f ′( xi )] − f ( xi ) f ′′( xi ) 2
Sin embargo, desde el punto vista práctico, este método esta limitado a su utilización en ecuaciones que tienen derivadas de mayor orden y relativamente simples.
7.1
METODOLOGÍA DE TRABAJO.
La secuencia de pasos a seguir en la utilización del presente método son: 1. Abra MATLAB haciendo clic en el icono que representa a MATLAB. 2. Una vez que aparezca la pantalla principal de MATLAB, proceda a crear el archivo M de función, cuyo formato se indica a continuación: Sea ecuacion_N2 el archivo M de función en el que se escribe la función y las derivadas requeridas por el método, cuya declaración debe ser: function [y,dy1,dy2] = ecuacion_N2( x, n ) y = f ( x ); f ′( x ); dy1 = dy2 =
f ′′( x);
3. Una vez desarrollado el archivo M señalado, retorne a la pantalla principal de MATLAB y proceda a verificar que el archivo no presente errores de sintaxis, ni lógicos. 4. Realice una representación gráfica de la ecuación problema para determinar: a. Si la ecuación presenta o no solución. b. De no conocerse, determinar el valor inicial x 0 a utilizar. 5. Si la gráfica de la ecuación, señala que existe solución, en el indicador de MATLAB que es >>, llamar al programa Newton2do_L cuyos formatos de utilización son:
Newton2do_L (MaxIte); sol = Newton2do_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, x0); [sol, ite] = Newton2do_L (MaxIte, ‘NomArch’, error, x0); para cualquiera de los formatos, es necesario enviar la información correspondiente, donde: MaxIte es la variable donde se señala al programa el máximo de iteraciones a realizar. NomArch es el nombre del archivo que contiene la ecuación y debe ir entre comillas. error variable donde se señala el error a ser aceptado. x0 variable donde se señala el valor inicial de trabajo. sol es la variable donde el programa devuelve la raíz aproximada determinada. ite es la variable donde el programa devuelve el número de repeticiones realizadas.
6. Introducir la información del error y el valor inicial de x 0 solicitado por el programa utilizando el teclado. 7. Anote los resultados obtenidos de acuerdo a las exigencias solicitadas.
7.2
PROBLEMA A RESOLVER.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 3 2 x − y = 0 3
x − 2 − y
3
=0
con 3 dígitos exactos de aproximación
MÉTODO PARA POLINOMIOS 8
MÉTODO DE NEWTON – HORNER.
El método de Horner permite evaluar un polinomio p( x) = 0 en un valor particular de x utilizando una metodología muy práctica y fácil de ser implementada en la computadora. De igual forma, el método de Horner al realizar un proceso repetitivo, permite evaluar la derivada del respectivo ′ polinomio p ( x) en un valor particular de x . Como es de conocimiento, el método de Newton Raphson es un método confiable y rápido en la determinación de raíces reales y como la ecuación iterativa que utiliza este método necesita ′
conocerse tanto la función f ( x ) como de su derivada f ( x) en un valor en particular de x , se combinan estas dos técnicas para dar lugar al método de Newton Raphson-Horner.
8.1
METODOLOGÍA DE TRABAJO.
La secuencia de pasos a realizar para la solución de un determinado problema son: 1. Abra MATLAB haciendo clic en el icono que representa a MATLAB. 2. Realice una representación gráfica de la ecuación problema para determinar: a. b.
Si la ecuación presenta o no solución. De no conocerse, determinar el valor inicial x 0 a utilizar
3. Si la gráfica de la ecuación, señala que existe solución, en el indicador de MATLAB que es >>, llamar al programa NewtonHorner_L cuyos formatos de utilización son:
NewtonHorner_L (MaxIte); sol = NewtonHorner_L (MaxIte, coef, error, x0); [sol, ite] = NewtonHorner_L (MaxIte, coef, error, x0); Para cualquiera de los formatos, es necesario enviar la información correspondiente, donde: MaxIte coef error x0 sol ite
es la variable donde se señala al programa el máximo de iteraciones a realizar. vector que contiene los coeficientes del respectivo polinomio a resolver. variable donde se señala el error a ser aceptado. variable donde se señala el valor inicial de trabajo. es la variable donde el programa devuelve la raíz aproximada determinada. es la variable donde el programa devuelve el número de repeticiones realizadas.
4. Introducir la información del error, el vector de los coeficientes del polinomio a resolver y el valor inicial x0 solicitado por el programa utilizando el teclado. 5. Anote los resultados obtenidos de acuerdo a las exigencias solicitadas.
NOTA. De no existir un determinado exponente en el polinomio, este se debe llenar 4 con cero, por ejemplo: f ( x) = x
8.2
2
− 4 x + 7 x − 5
se debe escribir [1, 0, -4, 7, -5]
PROBLEMA A RESOLVER.
Un problema de alcantarillados en ingeniería civil se reduce a resolver el siguiente polinomio: 0.1 x
3
−
5 x
2
−
x + 4 + e
− x
=
0
Determine una raíz real del mismo con 4 dígitos exactos de aproximación, utilizando el método de Newton Raphson-Horner.
PROBLEMA CON UN SOLO VALOR INICIAL 1 ERROR = 0.001 VALOR INICIAL = 1.1234 SOLUCION = 6.2369
CON VARIAS VARIABLES 1 ERROR = 0.001 VALOR INICIAL = a) 1.1234 SOLUCION X = 6.2369 SOLUCION Y = 1.2369
PROBLEMA CON DOS VALORES INICIALES 1 ERROR = 0.001 VALOR INICIAL = [xi, xf ] = [1.5, 2.3456] SOLUCION = 1.2341
CON VARIOS INCISOS 1 ERROR = 0.001 VALOR INICIAL = a) [0.2, 1.12], b) [2, 3.4] SOLUCION = 0.2369 SOLUCION = -4.2369
PROBLEMA QUE NO PRESENTA SOLUCIÓN 1 NO PRESENTA SOLUCION
El trabajo a presentar debe encontrarse en formato texto (block de notas de Windows) es decir con la extensión TXT Grabar como GUIA_1.TXT
