Unidad 3. Ecuaciones Lineales de Orden Superior y Sus Aplicaciones 3.1 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Una ec uac ión d iferenc ia l lilinea l de orden supe supe rior de la fo rma an ( x) y n ( x) an1 ( x) y n 1 ( x) ... a1 ( x) y '( x) a0 ( x) y( x) 0 ~ (1)
e s homogénea , mientra mientra s que la ec uac ión an ( x) y n ( x) an1 ( x ) y n1 ( x) ... a1 ( x ) y '( x ) a0 (x ) y (x ) g (x ) ~ (2), c o n g ( x ) no igua igua l a c ero, ero, es no homogénea . El concepto homogénea en este contexto no se refiere con en la ocasión anterior a los c oe fic fic iente s q ue son son func ione s hom og éne as. as. Más adelante veremos que para resolver una ecuación lineal no homogénea (2), primero se debe resolver la ecuación homogénea asociada (1) . 3.2 Los Los Op e ra do dorre s Di Diferenc ferenc ia iales les Linea les
En el cálculo, la diferenciación se denota por la letra dy D y. Dy dx
D ,
es decir
El símbolo se llama operador diferencial, porque transforma
una función función difer diferenc enc iab le en o tra tra función. función. Un e jem plo c lási lásic o es: es: D(tan x x2 ) sec 2 x 2 x . Las derivadas de orden superior se expresan e n tér té rminos d e D de forma forma norma norma l: d dy d 2 y dny 2 2 D Dy D y y, en general, Dn y, n dx dx dx dx
donde y representa una función diferenciable. En general, se define como operador diferenciable de n-ésimo orden u operador polinomial como L( y) an ( x) D n y an 1 ( x )D n 1 y ... a1 (x )Dy a 0 ( x ) y ~ (3). 1
1
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Te or ore e ma 1. Pr Prin inc c ipio de supe uperrpos posición, ición, ec ua uac c iones homog homogé é nea s
Sean y1,..., yn solución de la ecuación diferencial homogénea de orden n , la ecuación (1), donde x está en el intervalo c om binac ión lilinea l
I .
La
y c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) ..... cn yn ( x),
en donde
c1, c2 ,..., cn son constantes arbitrarias, también es una
solución cua nd o x está está en e l inte inte rvalo. va lo. Dependencia e In Inde de pende nci ncia a Lineal Definición 3.1. Un conjunto de funciones
f1 ( x), f2 ( x), ..., f3 ( x), fn ( x) e s
linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1 ( x), c2 ( x), ..., c3 ( x ), cn ( x ) no t od as c ero, ta les q ue c1 f1 ( x ) c2 f 2 ( x ) ... cn f n ( x ) 0
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente . En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente ind ep end iente en un intervalo intervalo I si las únic a s c o nsta nsta nte nt e s p a ra la s q ue
c1 f1(x) c2 f2 (x) ... cn fn (x) 0 pa ra toda x en el inte inte rvalo va lo son son c1 c2 ... cn 0 . Pa ra ente nd er de una forma má s senc illa esta esta s d efini efinicc ione s esc esc og em os un conjunto que consiste en dos funciones c1 f1(x) c2 f2 ( x) 0 . Por c1 0 , se deduce que consiguiente, si se asume que f1 ( x) c2 c1 f2 ( x) ; es decir, si un conjunto de dos funciones es
linealmente dependiente, entonces una función es simplemente un múltip múltip lo co nsta nsta nte d el otro. otro. Un Un c onjunto de d os funciones f1( x) y f2 ( x) es linealmente independiente cuando ninguna función es múltiplo c onsta onsta nte d e la otra en el inte inte rvalo.2
2
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Soluciones de ecuaciones diferenciales
Se tien tien e un g ra n interés sob re soluc ion es line a lmen te ind ep en d ientes en tes d e una ecuación diferencial lineal. Aunque se podría apelar de forma d irec ta a la d efinic efinic ión 3.1, 3.1, resul esulta ta q ue la c uesti uestión ón d e si si el c onjunto onjunto d e n soluciones y1, y2, ..., yn de una ecuación diferencial lineal homogénea d e n-ési n-ésimo orde n (1) (1) es linea linea lmente inde p end ient e se se p ued e e sta blec er de forma forma prác tic tic a me diante un determinante determinante , el c ual de fini finirrem os má s adelante.
Wronskiano Definición 3.2. 3.2. Sean
f1, f2 ,.., fn n funciones diferenciables (n 1) veces.
La func ión
W f1 , f 2 , .., f n
f1 ( x)
f2 ( x)
...
fn ( x)
f '1( x)
f '2 ( x)
...
f 'n ( x)
~ ( 4)
f
e s el Wronskiano d e
n 1 1
( x)
f
n 1
2
( x) ... f
n 1 n
( x)
f1 , f2 , .., fn .
Te or ore e ma 2. Cri Criteri terio o pa ra soluciones soluciones li linea nea lme lment nte e indep e ndientes
Sean
y1, y2 , ... , yn n soluciones de la ecuación diferencial lineal
homogénea de n-ésimo orden (1) en el intervalo I . El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I sí y só lo si W f1 , f 2 , .., f n 0 pa ra toda x en el e l inte inte rval va lo. Conju Co njunt nto o funda funda me nt nta a l de soluciones
Cualquier conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de Definición
3.3.
n-ésimo orden (1) en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.3
3
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Teorema 3. Solu Solución ción gener ge nera a l de una e cua c ión homogéne a
Sean y1, y2, ..., yn n so luci luc io ne s e n (a, b) d e
yn( x) p1( x) y(n1) ( x) ..... pn (x) y(x) 0 ~ (5), ..., pn son continuas en (a, b) . Si en cierto punto x0 e n donde p1 , p2 , ..., (a, b) estas soluciones satisfacen
W y1 , y2 , .., yn 0 ~ (6),
ent onc es tod a solución solución de (5) (5) en (a, b) se p ued e expresa expresa r d e la fo rma y( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ... Cn yn ( x) ~ (7),
donde C1 , C2 , ..., C n son constantes.4 La c om binac binac ión linea linea l de y1, y2 ,..., yn en (7), con constantes arbitrarias solución ción ge nera nera l d e (5). C1, C2 ,..., C n , se se c onoc e com o solu (5). 3.3 Red Red ucc ión de Orden
Introducción. La solución olución g ene ral de una e c uac ión d iferenc ferenc ial lilinea l hom hom og énea de seg undo orden
a2 ( x) y '' a1( x) y ' a0 ( x) y 0 ~ (8) es una c om binac binac ión lineal y c1 y1 c2 y2 , do nde y1 y y2 so n so so luci luc io ne s que constituyen un conjunto linealmente independiente en algún intervalo I . Reducción de orden. Asuma Asuma mo s q ue y1 d eno ta la solución solución no tri trivial vial d e
(8) y q ue y1 se d efine e n un inte inte rva lo I . Se b usc usc a una seg und a soluc ión y2 , ta l que y1 y y2 sea n un c onjunto onjunto linea linea lmente indep end iente en I . Si Si
y1 y y2 son linealmente independientes, entonces su cociente y2
4 Prep a ra do
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y1
no
es c onsta onsta nte e n I , es d e c ir,
y2 ( x)
y1( x)
u( x) o y2 y1u ( x). La func ión
u( x) se d e te rmine rmine a l sus sustituir tituir y2 y1 u( x) en la ec uac ión d iferenc ferenc ial que
se p rop orciona. A e ste mé tod o se le llama reducción de orden, porque se debe resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para hallar u . Caso general. Dividimos entre
a2 ( x) con el objetivo de escribir la
ec uac ión (8) (8) en la la forma forma estánd estánd ar y '' P( x) y ' Q( x) y 0 ~ (9)
donde P( x) y Q(c) son continuas en un intervalo I . Supónganse ad em ás que es una solu solucc ión c onoc ida d e (9) en I y que y1 0 x e n e l int intee rvalo . S Sii se d e fine y y1u( x) ~ (10) , se d ed uce que
y' y1u'(x) u(x) y'1, y'' u( x) y''1 2u'(x) y'1 y1u ''(x) ~ (11) Sustituyendo (10) y (11) en (9): u y1 '' Py1 ' Qy1 y1u '' (2 y1 ' Py1 )u ' 0
Hagamos y1 '' Py1 ' Qy1 0 entonces, y1 u'' (2 y1 ' Py1 ) u' 0 ~ (12)
Si u ' w tenem os que:
y1w ' (2 y1 ' Py Py1) w 0 ~ (13) Como se observa, la ecuación (13) es lineal y se puede resolver como tal o po r sep arac ión d e va riab le.5
dw 2 y1 ' dx Pdx 0 ~ (14) w y1
5
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Inte g ra nd o la expr exp resi esión (14): (14):6
y ' dw 2 1 dx Pdx 0 w y1
ln w 2 ln y1 Pdx C
Por las p rop ied a d es d e los loga log a ritm os: os:
ln wy12 Pdx ln C ~ (1 (15) Por d efinic efinic ión d e func ion es inve rsa s Pdx 16) wy12 c1e ~ (16)
Despajando a w de (16) y expresando la solución en función de la variable u :
w
Pdx
c1e y12
Como w u ' tenem os que:
Pdx
c1e u' y12
u
Seleccionado c1 1
Pdx c1e 2
y1 y
dx c 1
Pdx e 2
y1
dx c2
c2 0 , se encuentra de y u( x) y1 ( x) que una
seg unda soluc oluc ión d e la ec uac ión (9) (9) viene viene da da po r
Pdx e y2 y1 y 2 dx ~ (17). 1 Nota: un buen ejercicio para comprobar el conocimiento de diferenciación es verificar que la expresión (17) es una solución de la ec uac ión da da . Esto p ond ría a prueb prueb a la pa c ienc ia .
6
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Ejemplo. La función indicada y1( x) es una solución de la ecuación
diferencial proporcionada. Utilice la reducción de orden para hallar la segunda solución y2 ( x) .7 9 y''12 y' 4 y 0;
y1 ( x) e
2 x
3
Divi Dividd imo s la ec uac ión d a da estándar: y''
4
4
y 0 9 4 P( x) entonces usando la ec. (17) tenemos que: 3
3
y'
ent re 9 p a ra expresa expresa rla en su forma
e y2 ( x) y1 ( x) dx y12 ( x ) p( x )dx
4
4
P( x)dx 3 dx 3 x e 2
y( x) e
2
2 x
y2 ( )x e
3
x
e
4 x 3
e 2 x
4 x 3
4
2
dx
2
e
x 3 3 e
3
3 dx
e 2x
y2 ( )x xe
x
4 x 3
dx
2
e
x 4 x 4 x 3 e 3 e 3 dx
3
La solución g ene ral viene viene d a d a p or:
y c1 y1 c2 y2 2 x
y c1 e
3
2x
c2 xe
3
3.4 Ec Ec uac ion ione e s Lin ine e a les Homogé nea s de Coe ficientes Constantes Constantes
Definición. Una ecuación diferencial lineal de forma
n orde orde n que tiene tiene la
an y n ( x) an 1 y n 1 ( x ) a n 2 y n 2 (x ) ... a 2 y ''(x ) a1y '(x ) a 0 y (x ) 0 ~ (1)
se llama ecuación diferencial homogénea (1). Donde an 0, an 1 , ...,
a1 , a0 so n c o nsta nsta nte s reales rea les.. 8 7
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Dad o q ue las func ion es c ons on sta ntes nte s son c on tinua tinua s en to d a s sus p a rte s, la la ecuación (1) tiene soluciones definidas para toda x e n , . Si podemos hallar n soluciones linealmente independientes de (1) en , , digamos y1 , y2 , y2 , ..., yn , entonces podemos expresar una soluc ión d e (1) en la forma y( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ... Cn yn ( x) ~ (2),
donde
C1 , C2 , ..., C n
so n c o nsta nsta nte s a rbitra rbitra ria ria s.
Si L es el ope ra d or diferencial diferencial de fini finidd o m ed ia nte e l lad o iz izqu ierdo d e (1), e s d e c ir, L( y) an y n ( x ) an 1y n 1 ( x ) a n 2 y n 2 (x ) ... a 2 y ''(x ) a1 y '(x ) a 0 y (x ) ~ (3)
ent onc es p od em os esc esc rib ir (1) (1) en la forma forma d e op erad or L ( y ) 0 ~ (4 (4).
Para y erx tenemos L erx ( x) an rn erx an1 rn 1 erx an2 rn 2 erx ... a1 r erx a0 erx erx (an r n an1r n1 an2 r n 2 ... a1r a0 ) erx P( r ) ~ (5),
donde P ( r ) es el polinomio an r n an1r n 1 an 2 r n 2 ... a1r a0 . Así, e rx e s una solución de la ecuación (4), siempre que r sea una raíz de la ec uac ión a uxi uxilia lia r (o (o c a ra c terís terístic tic a ) P ( r ) an r n an1 r n1 an 2 r n 2 ... a1 r a0 ) 0 ~ (6).
De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, la ecuación auxiliar tiene n raíces, que pueden ser reales o complejas. Estas raíces pueden ob tene rse p or med io d e c ualquier mé tod o o utili utilizza nd o un C AS AS.. Aho ra inic ia remo rem o s e l aná a ná lis lisis d e los d ifer fe rent e s c a so s:9 Caso 1. Raíces reales distintas.
Si las raíces de la ecuación auxiliar (6) son reales y diferentes, entonces la solución general de la ecuación (1) viene dada por la suma de las func ion es line linealme alme nte ind ep end iente en te s, la c ua l se e sc rib e 8 Prep a ra do
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y c1er x c2er x c3er x ... cn1er x cner x ~ (7). 1
2
n1
3
n
Ejem plo. Ha Ha lle la soluci solución ón g ene ral d e la ec uac ión
d y d y d y dy 6 7 6 8 y 0 dx dx dx dx 4
3
4
2
3
2
Esc rib imo s la e c uac ión a uxi uxiliar liar de la ec uac ión d a d a : r 6r 7r 6r 8 0 4
3
2
Dete rm ina m os las raíce s d e la ec uac ua c ión a uxili uxiliaa r: r1 4, r2 2, r3 1 y r4 1
Usa nd o la ec . (7), (7), esc esc rib imo s la solución solución g ene ra l de la e c uac ión d a d a y( x) c1 e4 x c2 e2 x c3 e x c4 ex Ca so 2. Ra íce s re a les re pe ti tida da s.
Si r es una ra íz d e m ultipli ultiplicc id a d m de la e c .(1), (1), entonc es c ad a func ión de las n soluciones de (7) no son linealmente independientes. En este c a so p a ra ga ran tiz tiza r que n o se va ya a nula nula r ning ning una de las funciones, funciones, la la soluc ión g ene ral se se e sc rib e c om o y( x) c1erx c2 xerx c3 x2 erx ... cn1 xm2 erx cn xm1erx ~ (8). Ejemplo . Res Resuelva uelva la ec uac ión d iferenc ial
2 y ( 5) 7 y (4 ) 12 y ''' 8 y '' 0 Prime ro esc esc rib imo s la e c uac ua c ión a uxi uxilia lia r de la E.D E.D.O .O d a d a 2r 5 7r 4 12r 3 8r 2 0 1
Las raíces de la ecuación auxiliar son: r1 0 y r 2 , do nde la prime prime ra 2
ra íz es d e multiplic multiplic id a d d os y la seg und a ra íz es d e multiplic multiplic id a d tres. tres.10 Ahora escribimos la solución general utilizando la expresión (8). 2x
y( x) c1 c2 x c3 e 10 Prep a ra do
2x
c4 xe
2x
x2 c3 e
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Ca so 3. Ra íces com pleja plejas s y c onj onjuga ugada da s 11
Si i ( , reales) es una raíz compleja de la ecuación auxiliar (6), entonces lo es su conjugado complejo i , pues los coeficientes de P(r ) tienen valores reales. Si aceptamos funciones con valores complejos como soluciones, entonces tanto e( i ) x como e( i ) x so n soluciones de (1). Para hallar dos soluciones con los valores reales que pertenecen a las raíces i , podemos considerar solamente las p a rte s rea les e ima g ina ria s d e e( i ) x ; es d e c ir, e( i ) x e x cos x ie x s en x ~ (9),
ent onc es d os soluc ione s linea linea lmente ind ep end iente s d e (1) (1) viene viene d a da por x
e
x
cos x, e s en en x ~ (10).
Al emplear estas soluciones en lugar de e( i ) x y e( i ) x en (7) conservamos la independencia lineal de n soluciones. La solución g ene ral p ued e esc esc rib irse en la fo rma y c1 e x cos x c2 e x s en x~ (11).
En caso que haya raíces complejas conjugadas repetidas, la solución g ene ral tiene tiene la fo rma y c1 e cxos x c2 e sx en x ... cn x n e cxos x cn x n e sx en x ~ (12) . Ejemplo. Halle la solución de la ecuación diferencial homogénea de
c oe fic fic iente s co nsta nsta ntes. ntes. 3). 16
d4y dx 4
24
d2y dx 2
9 y 0
Prime ro e sc rib imo s la e c uac ua c ión a uxi uxilia lia r de la EDO EDO d a d a : 16t 4 24t 2 9 0 ~ (4)
Ahora p roc ed em os ha llar la la s ra íc es de la e c uac ión a uxi uxilia lia r: Si z t 2 ,
11
tenem os que la ec uac ión (4) (4) se se t ran sforma en:
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16 z 2 24 z 9 0 ~ (5)
Resolviendo la ecuación (5) tenemos:12 z1 z2
3 4 3
3
de ahí que: t 4
2
i
c on multip multip lic lic id a d d os, os, ento nce s la solución solución
viene viene expres expresaa d a e n la la fo rma : y c1 cos
3 2
x c2 s en
3 2
x c3 xcos
3 2
x c4 xs en
3 2
x
3.5 Supe Superrpos posición ición y Ec Ec uac iones no Homogé Homog é nea s
Teo rem a 4. Se Se a n
y 1p, y 2p,..., y pksoluc ione s p a rtic tic ula ula res d e la ec uac ión
d iferenc ia l lilinea l no hom og éne a d e n-ési n-ésimo orde n (2) (2) en un intervalo intervalo I que corresponde, a su vez, a K funciones distintas g1 , g2 , ..., gn . E Ess d e c ir, ir, se supone que y pi denota una solución particular de la ecuación d iferenc ia l c orres orrespp ond ient e n n 1 an ( x ) y an 1 ( x) y ... a1 ( x ) y ' a0 ( x ) y g i ( x ), ~ (13)
..., K. Entonces donde i=1, 2, ..., y p y 1 (p x) y 2p( x) ... y p(kx) ~ (14)
e s una soluc ión p a rticula r d e an ( x ) y n an1 ( x) y n1 ... a1 ( x) y ' a0 ( x) y g1 ( x) g2 ( x) .. ... gk ( x) ~ (15)
Métodos para resolver Ecuaciones no Homogéneas 3.6 Mé todo de l Anu Anulador lador
Definición. Si y f ( x) es una función que tiene n derivadas y L( D) e s un op erad or diferenc diferenc ia l linea linea l con c oe fic fic iente s c onsta onsta ntes, ntes, ta l que L( D) y L( D) f ( x) 0;
12 Prepa rado
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entonc es, es, de c imo s q ue el ope rad or L ( D ) es el anulad or de y f ( x) . Los operadores diferenciales anuladores son: 1. El op erad or d iferencial k , x, x 2 , ..., x
n 1
D
n 1
anula cualquier función de la forma:
, x n . K e s una constante.
2. ( D )n es el a nulad or de d e las la s func iones on es:: e x, xe x, x2e x, x3e x, ..., xn1e x.
3. ( D 2 2 D 2 2 )n es el a nulad or las func ione on e s:
e xcos x, xe xcos x, x2e xcos x, x3e xcos x, ..., x n1e xcos x. e xs en x, xe xs en x, x2e xs en x, x3e xs en x, ..., x n1e xs en x.
Si 0 , entonce s ( D 2 2 )n es el anulad or de : cos x, x cos x, x2 co cos x, x3 co cos x, ..., xn 1 cos x. s en x, x s en x , x 2 s en x , x 3 s en x , ..., x n 1 sen x .
S i 0 y n 1, tenemos que ( D 2 2 ) es el anulador de:
cos x, s en x
o de su su c om binac binac ión linea l c1 cos x c2 s en x . Ejemplo . Encuentre el anulador de cada una de las expresiones
siguientes: 1). 13 x 9 x2 sen4 x
Analic Analic em os c ad a térmi término no de forma forma indivi ndividua dua l: El anulador de 13 x e s D 2 , el a nula nula d or de 9 x 2 e s D3 y el de sen sen 4 x e s ( D 2 16) , entonces como es una combinación lineal, el anulador total e s: D 3 ( D 2 16). 2. e x senx e 2 x cos x
El anulad or de e x senx viene viene d ad o p or: or: ( D 2 2 D 2 2 ) n n 1, 1 y 1, entonces
[ D2 2(1) D (1) 2 (1) 2 ] D2 2 D 2
El anulad or de e2 x cos x se e xpresa xpresa p o r: ( D2 2 D 2 2 ) n
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 12
entonces n 1, 2 y 1, entonces
D2 2(2) D ( 2) 2 (1) 2 D2 4 D 5
Co mo es una c om b ina c ión linea linea l, el anula anula d or de (2) (2) es: es:
D 2 D 2 D 4 D 5 . 2
2
Nota: La solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea, suma d e d os soluc ion es q ue son son : D( L) y g( x) 0 c on sta d e la suma
i. ii.
La solución de la ecuación diferencial homogénea asociada, es decir, D( L) y 0. La solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.
La suma um a d e la s d o s so luci luc io ne s e s la so so luci luc ió n g e ner ne ra l, e s d e c ir, yh es la solución de la homogénea asociada D( L) y 0 y y p es la solución particular de D( L) y g( x) , entonces la solución general viene expresa expresa d a p or:
y yh y p . De ahí que , D( L) yh y p D( L) yh D( L) y p 0 g ( x) g ( x)
Ahora desarrollaremos los métodos para determinar la solución p a rticula tic ularr d e las E.D.O .D.O no ho m o g éne én e a s. E Essto s so n: 3.7 Coeficientes Indeterminados
El método de coeficientes indeterminados se puede utilizar por superposición o el anulador. Explicaremos el procedimiento desde am ba s pe rspe c tiva tiva : i.
Co eficiente eficiente s Ind Ind ete rminad os\ os\ Supe rp osi osic ión La idea fundamental que sustenta este método es una conjetura acerca de la forma de y p , que en realidad no es má s q ue una supo sic ión informa d a, m ot iva d a p or la la s c lases lases d e funciones que constituyen la función de entrada g ( x ) . El mé tod o ge neral se se limitad limitad a a E. D linea linea les c om o (13) (13) d ond e Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 13
..., n son constantes. Los c oe fic fic iente en te s ai , i 0, 1, 2, ...,
g ( x ) es
una constante K , una función polinomial, una función exponencial e x , una función seno o coseno senbx o cos bx o suma um a s finita finita s y prod p rod uc to s d e e sta s func io ne s.
Caso 1. 1. Ninguna de la solución particular supuesta es una solución de la ecuac ión homogé nea asoc asoc iad a. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos concretos de (13) junto junto c on la soluc ión p a rtic tic ular. g ( x ) en (13) Tabla 3.1 Soluciones particulares de prueba Forma d e y p
g ( x)
1. 1 (cualquier cons tan te)
A
2. 2 1x
Ax B
3. 5 x 2 9
Ax Bx C
4.
3
2
x 2 x7
A x
A cos 6 x Bsen6 x
5. sen6 x o cos 6 x 6. e 7 x
Ae7
7. (5 - 1x0)
7
2 B x Cx E
3
e
x
Axe
x
7
x
7
Be
x
8. x e
( x A xB C) e
9. e2 senx4 x
x x Ae 2 sen 4 x Be 2 cos 4 x
10. 8 x2 cos 2 x
( Ax2 Bx C) cos 2 x ( Ex2 Fx G) sen2 x
2 7 x
11.
3 x
xecos4 cos 4
2
x
7 x
( Ax B) e co cos 4 x ( Cx E) e sen4 x 3 x
Regla de forma para el caso 1.
3x
La forma de y p es una combinación
lineal de las funciones linealmente independientes que se generan me d ia nte d iferenc iac ione s rep etida s de g ( x ) . Una función en la solución particular supuesta también es una solución olución d e la ec uac ión d iferenc ferenc ial homog énea relac iona da . Caso 2.
Regla de la multiplicación para el caso2 .
Si alguna y p contiene
términos términos q ue dup lic lic a n los d e y c , se debe multiplicar por x n , donde n es el meno r ente ro p osi ositivo tivo q ue elimine elimine esa esa d uplic uplic a c ión. Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 14
Ejem jemplo plo c a so 1 . Halle la solución de la ecuación diferencial, utilizando el
mé tod o d e c oe fic fic ient es ind ete rminad os/ os/ supe rp osi osic ión.
1 d 2 y dy (1) y x2 2 x~ (1 2 4 dx dx Multip Multip lic lic a mo s la e c uac ión (1) (1) po r 4: d2y dx 2
4
dy 4 y 4 x2 8 x~ (2) dx
Proc ed em os a e sc rib ir la ec uac ión h om og éne a a soc ia d a a la E. E.D.O D.O (2): d2y dx 2
4
dy 4 y 0 ~ (3) dx
Hallam allam os la solu solucc ión d e la ec uac ión homo gé nea . La ec uac ión c a ra c terís terístic tic a es: es: 2 4 4 0 2 , e s ra íz d e m ultip ultip lic lic id a d d os, os, en to nc es
yh c1 e2 x xc2 e2 x
Ahor Aho ra c on struim truim os la soluc soluc ión p a rtic tic ular, la c ual ua l tien tienee la fo rma : y p Ax2 Bx C ~ (4) (4)
Sustituye ustituye nd o (4) e n (2) ten e m o s: d2 d 2 2 2 2 8x ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 A x B x C A x B x C A x B x C x 2 dx dx
2 A 8 Ax 4 B 4 Ax2 4 Bx 4 C 4 2x 8 x~ (5) Ap lic lic a nd o la teoría teoría d e la la ig ig uald ad d e los p olinom olinom ios: os: 4 A 4
8 A 4 B 8 ~ (6) 2 A 4C 0 Resolvi esolvien endd o el e l sisiste m a d e e c uac ua c iones on es (6) te nem os q ue: A 1, B 4
y C
1 2
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 15
Ento nc e s la soluc soluc ió n p a rticular ticu lar es: es: y p x 4 x 2
1 2
La solución g ene ral viene viene d a d a p or: y yh yp x x y c1 e2 xc2 e2 x2 4 x
Ejem p lo c a so 2 . Det Det ermine
1 2
la soluc ión g ene ral d e E. D. D. O
d2y 2). 4 y 3 sen2 x dx 2
Esc rib imo s la ec uac ión ho mo gé nea a soc ia da d e la ec . (2): (2): d2y 4 y 0 ~ (3) 2 dx
La ec uac ión c a ra c terís terístic tic a d e (3) (3) es: es: 2 4 0 ~ (4) ,
la soluc soluc ión d e (4) es 2 4 2i ,
d e a hí q ue la soluci solución ón d e (3) se se expres expresaa c om o:
yh c1 cos 2 x c2 sen2 x La supuesta solución particular, de acuerdo a la tabla 1, viene dada por: y p Acos 2 x Bs Bsen2 x
Haciendo una comparación entre la supuesta y p y la yh , nos damos cuenta que existe una duplicidad de los términos cos 2 x y sen2 x, por lo q ue d eb em os multip multip lic lic a r p or un un xn q ue e limine limine e ste inc onve niente niente . Entonces y p Axcos 2 x Bx Bxsen2 x~ (5) Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 16
Sustituye ustituye nd o (5) en (2): d 2 Bxsen2 x 4 Axcos 2 x Bx Bxsen2 x 3 sen2 x Axcos 2 x Bx dx 2
4 Axcos 2 x 4 Asen2 x 4 Bxsen2 x 4 Bcos 2 x 4 Axcos 2 x 4 Bxsen2 x 3 sen2 x
4 Asen2 x 4 Bco c os 2 x 3sen2 x ~ (6) Co mp arand o térmi términos nos en la ecua c ión (6): (6):
4 Ase2n x3sen2 x A
3 4
y 4 cBos 2
x 0
B 0
Entonces tenemos que: y p
3 x cos 2x 4
La solución general es igual a y yh yp y c1 cos 2 x c2 sen2 x
3 x cos 2x 4
Despué Despué s de hab er ana lizad o el méto do de c oe fic fic ientes inde terminad terminad os por medio de superposición, ahora lo haremos por el criterio del anulador. ii.
Coe fi ficientes cientes Inde Inde ter terminado minado s\ Anul Anulad ad or
La ec uac ión diferenci diferencial al L( y) g( x) tiene coeficientes constantes, y la función g ( x) consiste en sumas y productos finitos de constantes, polinomios, funciones exponenciales eax , se se no s y c o se no s. i) ii)
iii) iv)
Encuentre la función complementaria para la ecuación homogénea L( y ) 0. Opere ambos lados de la ecuación no homogénea L( y) g( x) con un operador diferencial L1 que elimine la función g ( x) . Determine la solución general de la ecuación diferencial hom og énea de orden supe supe rior L1 L( y ) 0. Anule de la solución del paso (iii) los términos que se duplican en la solución complementaria yc encontrada en el paso (i). Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 17
Forme una combinación lineal y p de los términos restantes. Ésta es la for fo rma d e una soluc ión p a rtic tic ular de L( y) g( x) . Sustituya y p enc ontrad ontrad a en el pa so (iv) (iv) en L( y) g( x) . Iguale los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la ig ualda ua lda d y res resuelva uelva e l siste m a ec ua c iones on es resultan esultan te a fin d e d ete rminar los los c oe fic fic ient es d esc esc ono c ido s d e y p . Con la solución particular hallada en el paso (v), forme la solución g ene ral y yc y p de la ec uac ión d iferenc ferenc ial q ue se se proporciona.
v)
vi)
Nota: El método de coeficientes indeterminados se aplica sólo a no
homogeneidades que sean polinomios, exponenciales, senos o c oseno oseno s, o prod uct os d e e sta s func ione s. Ta Ta mp oc o se se pue d e a p lic lic a r a e c uac ione s c on c oe fic fic ient es varia varia b les. les. Ejemplo. Utili tilizza nd o el mé tod o c oe fic fic iente s ind ete rminad os\ os\ a nula nula d or enc uentre uentre la solución olución d e y'' 25 y 6 senx
3.
1. Hallam allam os la soluc oluc ión c om plementa ria de la ec uac ión ho mog énea asociada D 2 25 y 0 r 25 0 r 5i Entonces, yc c1 cos 5 x c2 s en5 x 2
2. El op erad or diferencial diferencial que a nula nula a 6 senx e s: D 2 1 3. Operamos ambos lados de la homogénea homogénea dad a: D2 1 D2 25 y D2 1 6 senx
D 1 D 1 2
2
D 25 D 25 2
2
ecuación
diferencial
y 6 sen x 6 senx y 0
La solución d e la e c uac ión h om og éne a resul esulta ta nte e s: 2 2 ( 1)( 25) 0 1 i, 2 5 entonces yc2 c1 cos x c2 s en e nx c 3 cos 5 x c 4 s en5 x
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 18
no
4. Eliminamos los términos que se duplican en la solución complementaria obtenida en el paso (1). La solución particular vendrá vendrá expr expres esad ad a co mo: y p Acos x Bs enx 5. Sustituimos a y p en la ecuación (3) y luego resolvemos las ec uac ua c ion es resultan esultan tes: tes: D 2 Acos x Bs enx 25 Acos x Bs enx 6 senx
cos x 25 Bs enx 6senx Acos x Bs enx 25 Aco 24 Acos x 24 Bs enx 6senx 24 A 0
1
A 0, B 24 B 6 4 y p
senx
4
6. La soluc ión g ene ral d e (3) (3) es: es: senx y c1 cos 5 x c2 s en5 x 4 3.8
Método de Variación de Parámetros
Cuando
se
tiene
la
ecuación
no
homogénea
ay ''( x) by '( x) cy g ( x) y g ( x) 0 no satisface las condiciones
previstas por la técnica de coeficientes indeterminados, se procede tros resumida así: ba jo la la téc nic nic a d e Va riac ión de Pa rá me tros
i. Dada la ecuación
ay ''( x ) by '( x) cy g ( x) se resuelve la
homogénea asociada
ay ''( x) by '( x) cy 0 , de donde se
obtiene yc . ii. Se propone y p c on la m isma estr estruc uc tura tura d e yc p ero las c onsta onsta ntes que se incluyen se sustituyen por parámetros variables, es decir, ( x) , d esc funciones µ 1(x) y µ 2 2(x) esc on oc id a s p or d et ermina ermina r.
y p
1
( x) y1 ( x ) 2 ( x) y2 ( x) .
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 19
Así Así
iii. Se d e riva la y p ta nta s vec es ind ic a la ec uac ión, pe ro e n la la p rime ra derivada de y p se hacen los términos '1 ( x) y1 '2 ( x) y2 0. Mientras en la segunda derivada debido a la sustitución en la ecuación
diferencial
propuesta
resulta
que
'1 ( x) y '1 '2 ( x) y '2 g( x) / a. ( x) , iv. Se resuelve el sistema simultáneo con incógnitas µ’ 1(x) y µ’ 2 2(x)
obtenido en el paso previo, por medio del método de Cramer (pr (p refe rib leme nte ). Esto p ermi erm ite ob o b te ne r las soluc iones on es '1 '2
w2 w
w1 w
y
.
w w v. Se resuelven las integrales 1 1 dx y 2 2 dx. w w vi. Se c on struye truye la soluc ión p a rtic tic ular
w1 w2 d x w w d.x
y 1 1y 2 2y
p
vii. Se enunc ia la solución solución ge nera nera l de la e c uac ión c om o y yc yp .
Nota: En
rea lida d el méto do de Variación de Parámetros se aplica sin
importar la forma de g ( x) , sin embargo en lo general si en una ec uac ión d ad a e s ap lic ab le el métod o d e C oefic oefic ientes inde termi terminad nad os, os, casi siempre será más sencillo aplicarlo preferiblemente a la variación de pa rám etros etros.. Este método será generalizado para ecuaciones de orden superior, d esp esp ués d el ejem ejem p lo.
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 20
Ejemplo. Usando el método de variación de parámetros, halle la solución d e la E. E.D.O D.O d a d a . 2
d y dx
2
y sec xcsc x~ (1)
i.
Resolv esolvem em os la ec uac ión hom og énea asoc asoc iad a de (1) 2
d y dx
2
D
2
y 0 1 y 0
2 1 0 2 1
ii. iii.
de ahí que: i yc c1 cos x c2 s enx Se p rop one p y 1 cos x 2 s enx Deriva Deriva m o s a y p y ob tene mo s el si sistem a d e ec uac ione s. p
y
1
cos x 2 s
enx
De donde '1 co cos x ' 2s
enx0
y - '1s enx '2 cos x sec xcsc x
'1 cos x '2s
iv.
enx 0
(2) ~ (2) - '1s enx '2 cos x sec x csc x Resolvemos el sistema de ecs. (2)
cos x
senx
senx cos x
senx
0 '1
cos 2 x sen2 x 1
sec xcsc x cos x
cos x
sec x
0
senx sec x csc x csc x Calculamos 1 y 2 : '2
v.
1 sec xdx ln sec x tan x
vi.
y 2 csc xdx ln csc x cot x
Tenem en em os que : y (cos )xln sec x tan x ( sen)xln csc x cot x
p
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 21
vii.
La solución solución ge neral viene viene d a d a p or: y yc yp y c1 cos x c2 senx (cos x) ln sec x tan x ( senx) ln csc x cot x
Método de Variación de Parámetros para E. D.O de Orden Superior
Este método puede ser generalizado para ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. El p rop ósi ósito nues nue stro es d et ermina ermina r una soluc ión p a rtic tic ular de la e c uac ua c ión en la forma forma c anónica anónica n n 1 y Pn1 ( x) y ... P1 ( x) y ' P0 ( x) y g ( x) ~ (1)
Este método requiere que previamente hallemos una solución a la ecuación homogénea asociada a (1). La ecuación homogénea asoc asoc iad a es n n 1 y Pn1 ( x) y ... P1 ( x) y ' P0 ( x) y 0 ~ ( 2)
Y la soluc oluc ión c om plementa ria viene viene da da po r: yc c1 y1 c2 y2 ... cn1 yn1 cn yn ~ (3) , una soluc soluc ión p a rticula r d e (1) es: es: y p u1 y1 u2 y2 ... u n1 y n1 u ny n ~ ( 4) ,
donde u 'k , k 1, 2, ..., n se de termi terminan nan med iante las n ecuaciones y1 u'1 .. . .. yn u'n 0
~ (5) ( n 2 ) ( n 2) y1 u'1 ... yn u'n 0 ( 1) ( 1) y1 n u'1 ... yn n u'n g( x)
Una c ond ic ión nec esa esa ria p a ra q ue e l sisiste ma (5) (5) teng a solución p ara x e n (a, b ) es que el determinante de la matriz formada por los coeficientes de u '1 , u '2 ,...u 'n sea diferente de cero para toda x e n (a, b). Este d ete rm ina nte es p re c isa me nte el Wron Wron skia kia no: no : ...
y1
y1
( n 2 )
y1 n (
yn
1)
( n 2 )
....
yn
...
yn
W y1 , y2 ,..., yn ( x) ~ (6)
( n 2 )
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 22
que nunca se anula en (a, b ) , pues y1 ,..., yn es un conjunto funda me ntal d e soluciones soluciones.. Al resolver el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, tenemos: u 'k ( x )
Wk ( x) W ( y1 , ..., y1 )( x)
~ (7), k 1, ...n, donde Wk ( x) es el d ete rminante
que se obtiene al remplazar la k-ésima columna de Wronskiano por la columna formada por los términos independientes del sistema de ec uac ione s (6). (6). Si integramos (7), tenemos que: uk ( x)
Wk ( x) W
dx, k 1,...n ~ (8).
Al sus sustituir tituir (8) (8) en e n (4), la so luci luc ió n p a rticula tic ularr de (1) es: es: py
n
k y
k 1
Wk ( x )
d~ x (9).
W
La solución g ene ral d e (1) (1) viene viene d a d a p or la la expresi expresión:
10). y yc yp ~ (10). Observaciones :
El método de variación de parámetros tiene una ventaja comparativa con la técnica de coeficientes indeterminados en cuanto a que siempre se produce una solución particular cada vez que se p uede resolv esolver er la e c uac ión hom og énea relac iona da c on (1). (1). La técnica es un poco laboriosa para ecuaciones de orden mayor que tres.
Ejemplo . Dete Dete rmine mine la soluc oluc ión d e la e c uac ión d ad a 2
d y dx
2
y senh2 x~ ( a)
Esc rib imo s la e c uac ión hom og énea a la ec uac ión (a):
La
D 1 y 0 ~ ( b) 2
ecuación característica m1 1 y m2 1
es:
m2 1 0
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 23
y
sus
raíces
son:
de ahí que la solu solucc ión c om plementa ria viene viene d ad a po r: yc c1 e c2 e x
x
Construyamos la solución particular a partir x x c omp lementari ementaria , entonces y p u1 ( x) e u2 ( x) e
de
la
solución
~ (c) x x u '1 ( x)e u '2 ( x) e senh2 x
u '1 ( x)e u '2 ( x) e 0 x
x
Resolvi esolvien endd o el sisiste m a d e e c uac ua c iones on es (c ) tene mo s q ue: e
x
W W1
e
e
x
e
x
x
2 x
0
e
senh2 x
e
x
x
e senh2 x, W2
e
x
e
x
0 senh2 x
e x senh2 x
W2 e sex nh2 x e sex nh2 x e sexnh2 x e sexnh2 x u '1 ~ (d ), u ' 2 ~ (e) W W 2 2 2 2 W1
Proc ed em os a integ ra r a (d) y (e): x
senh2 x c o s h 2 x 2 3 2 x 1 x e senh2 x cosh 2 x u2 e senh2 xdx 2 3 2 u1
1
x
e senh2 xdx
e
x
Por tanto,
p
e se s enh2 x e senh2 x y cosh 2 x cosh 2 x 3 2 2 3 x
La so luci luc ió n g e ner ne ra l es: es: y yc yp x
y 1c e 2c e x
e x se s enh2 x
3
2
e cosh 2 x 3
x
senh2 x cosh 2 2
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 24
x
3.9
Ecua ción de Ca uchy-E uchy-Eul uler er
Definición. Una e c uac ión d iferenc ia l linea linea l d e la la fo rma n
an x
n
d y dx
n
an 1 x
n 1
d
n 1
dx
y
n 1
an 2 x
n 2
d
n 2
dx
y
n 2
a1 x
dy dx
a0 y g ( x) ~ (11),
do nde los c oefic oefic iente s an , an1 , ..., a0 son c onsta onsta ntes, ntes, se c ono ce c om o ecuación de Cauchy-Euler. Los coeficientes monomiales xk k
co incide ncide n c on el orde orde n k de difer diferenc enc iac ión
d y dx
k
.
Mé todo de solu olución ción
Asumamos una solución de la forma y x m , donde m es un valor a determinar. Similar a lo que ocurre cuando se sustituye emx en una ecuación lineal con coeficientes constantes, sucede cuando se sustituye x m , cada término de una ecuación de Cauchy-Euler se c onvierte onvierte en un polinom polinom io p or x m , puesto puesto q ue k
ak
d y dx
k
ak x k m(m 1)...(m k 1) x m k ak (m 1)(m 2)...(m k 1) x m ~ (12).
Así Así y x m , es una solución d e la ec uac ión d iferenc ia l, siem p re que m auxilia a r. se a una soluc ión d e la ec uac ión auxili Tenemos tres casos distintos a considerar: Sean m1, m2 , ..., mk las raíces de la ecuación homogénea asociada de (11), con m1 m2 ... mk . Caso 1. Raíces reales diferentes.
m m Entonces y1 x 1 ,..., yk x k forman un conjunto fundamental de soluciones. oluciones. Por Por c onsi onsig uient uient e, la solución d e la e c uac ión hom og éne a a soc ia da a (11) (11) viene viene expres expresad ad a p or m m yh c1 x 1 ... ck yk x k ~ (13).
Caso 2. Raíces repetidas .
Si las raíces de la ecuación homogénea asociada a (11) son repetidas, entonces hay una solución a saber
y x 1 . Como m1 es una raíz de multiplicidad k , entonces, la m
solución olución d e la homo gé nea a soc ia da a (11 (11) viene viene d ad a p or yh x 1 ... x 1 (ln x) m
m
k 1
~ (14).
La e c uac ión (14) (14) se o btiene po r me dio del méto do de red ucc ión d e orde orde n, de una ec uac ión d e n-ési n-ésimo orden. Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 25
Ca so 3. Ra Ra íc es c om p leja s c on juga d a s.
Ana lic lic em os una si situac ión p a rtic tic ula ula r pa ra explic explic a r el ca so 3. 2
Se a ax
d y
2
dx
2
bx
dy dx
cy 0 ~ (15).
Si las raíces de (15) son el par conjugado m1 i , m2 i , y 0 son donde reales, entonces la solución es y c1 x i c2 x i . Después de realizar algunas operaciones y haciendo uso de la fórmula de Euler, concluimos que dichas soluciones pueden escribirse y1 x cos( ln x), y2 x sen( ln x) . Por ). ta nto la soluci solución ón g ene ral es y c1 x cos( ln x) c2 x sen( ln x). Ejemplo. Enc uentre ue ntre la la soluc soluc ió n de la sig uiente uien te E. E. D 2
d y
2
x
dx
2
dy
10 x
dx
8 y x2 ~ (4)
La e c uac ión hom og énea asoc asoc iad a a (4) (4) es: es: 2
2
x
d y dx
2
dy
10 x 8 y 0 ~ (5) dx
Asuma Asuma mo s q ue y
x m ~ (6) e s una soluc ión d e la ec . (5). (5).
Deriva Deriva m o s (6): dy dx
mx
m 1
2
,
d y dx
2
m(m 1) x m2 ~ ( 7)
Sustituy ustituyaa m o s (6) y (7) en e n (5): x m( m 1) xm 10 xmxm 8 xm 0 ~ (8) 2
2
1
10m 8 0 m(m 1) 10 m 9m 8 0 ~ (9) 2
La soluc soluc ión d e la e c uac ua c ión c a ra c te rística (9) es: es: (m 8)(m 1) 0 m1 8, m2 1
La soluc oluc ión d e la e c uac ión ho mo gé nea es: es: 8
1
yh c1 x c2 x
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 26
Med iante el méto do de c oefic oefic ientes inde termi terminad nad os enc ontram ontram os la solución olución pa rtic tic ular ular de la ec uac ión (4) (4) da da y p Ax Bx D 2
Deriva Deriva m o s a y p : y' p 2 Ax B, y'' p 2 A
Sust ust ituya m o s a y p y sus derivadas en (4): 2 2 2 2 2 Ax 20 x A 10 Bx 8 Ax 8 Bx 8 D x
30 Ax 18 Bx 8 D x ~ (10) 2
2
Aplic Aplic a nd o la teo ría de p olinom olinom ios en (10): (10): 30 A 1
1
8 D 0
30
18 B 0 A
Entonces, y p
x
, B 0 y D 0
2
30
La so luci luc ió n g e neral ne ral es: es: y yh yp 8
1
y c1 x c2 x
x
2
30
Pro f. Gil Sa Sa nd ro G ó me z 27
