Ecuaciones Diferenciales de Orden 1

TEMA 2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Mª José González

Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería

Ecuaciones Diferenciales

2. Ecuaciones Diferenciales de orden 1

2.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA E.D.O. DE PRIMER ORDEN. 2.1.1

CAMPO VECTORIAL.

La forma general de una E.D.O. de orden 1 es: dy  f ( x, y ) dx

cuando viene dada de forma explícita. La interpretación, desde el punto de vista geométrico, de esta ecuación sería: “En cada punto (x,y) de por el que pasa una curva y=y(x), solución de la EDO, la pendiente de la recta tangente a esa curva en dicho punto vendría dada por , ”. A cada punto (x,y) se le puede asociar un vector 1, 1, , que es el vector director de la recta tangente a la curva que pasa po ese punto. De esta forma obtenemos un campo de vectores denominado campo vectorial.

Ejemplo 2.1.Dada la E.D. y’=x, el campo de vectores asociado a esta ecuación sería el vector (1,x), para cada valor de x. En la medida en que x crece, las pendientes también crecen; y en la medida en que x decrece las pendientes decrecen. Todos los puntos de la recta x=x0 tienen el mismo vector tangente asociado. La solución de esta E.D.O. sería

y=x2/2 +c

que es una familia de parábolas con vértice en el eje OY.

Mª José González Gómez

2




8

6

4

2

0 -2 -3

-2

-1

0

1

2

3

Fig 2.1.‐ Algunas soluciones de la E.D.O. con el campo de vectores.

2.1.2 ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA A UNA FAMILIA DE CURVAS La familia de curvas f(x,y,c)=0 satisface la E.D.O. de primer orden

f f dx  dy  0 x y

Ejemplo 2.2.La familia de curvas x2y3=c, satisface la ecuación diferencial 2 xy 3dx  3 x 2 y 3 dy  0


3




2.1.3

TRAYECTORIAS ORTOGONALES.

Sea f(x,y,c)=0 una familia de curvas en el plano OXY. Cuando una curva corta a las curvas de esta familia en ángulos rectos se denomina trayectoria ortogonal a la familia dada. Para hallar la ecuación diferencial que satisfacen las trayectorias ortogonales hay que tener en cuenta que si la ecuación diferencial de la familia de curvas dada es: y ' ( x )  f ( x, y )

entonces m=f(x,y) es pendiente de la recta tangente a cada una de esas curvas. Teniendo en cuenta que la condición de perpendicularidad es que m.m’=‐1, la E.D.O. de las trayectorias ortogonales será: y ' ( x) 

1 f ( x, y )

Ejemplo 2.3. Veamos que la familia de las trayectorias ortogonales de las circunferencias x2 +y2=c, son la familia de rectas y=k x. Solución.‐Derivando en la ecuación x2 +y2=c, obtenemos

2 x + 2 y y’ = 0  y’ = ‐ x/y=m  m’=y/x

luego la E.D.O. que satisfacen las trayectorias ortogonales será

y’=y/x

puesto que

y’=y/x  y’/y=1/x  ln y = ln x +c  y = k x

la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas dadas será

y = k x


4




1.0

0.5

0.0

- 0.5

- 1.0 - 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

Fig 2.‐ Campos vectoriales asociados a ambas familias de curvas. 1.0

0.5

- 1.0

- 0.5

0.5

1.0

- 0.5

- 1.0

Fig 3.‐ Familia de curvas dadas y sus Trayectorias Ortogonales.


5




2.2 MÉTODOS ANALÍTICOS DE RESOLUCIÓN DE UNA E.D.O. DE PRIMER ORDEN. 2.2.1

INTRODUCCIÓN.

En general es muy difícil resolver las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden. A pesar de la apariencia tan sencilla que tiene la ecuación: y ' ( x )  f ( x, y )

no existe un procedimiento general, ya que no existen fórmulas que resuelvan todos los casos. Algunas de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden, que tienen solución son las: exactas, homogéneas, de variables separadas, lineales, y reducibles a lineales como las de Riccati y las de Bernoulli, etc., que no son, ni con mucho, el tipo de ecuaciones que se presentan en las aplicaciones. Esto, junto con la aparición de potentes programas de cálculo simbólico, como el MATHEMATICA, que resuelven en un instante todo tipo de ecuaciones, ha contribuido a que el interés por la enseñanza de estas técnicas de resolución haya decaído enormemente. Se pretende en esta sección clasificar las E.D.O.s de primer orden con el propósito de facilitar su integración de forma sistemática.

2.2.2

ECUACIONES EXACTAS.

La familia de curvas f(x,y)=c satisface la E.D.O. de primer orden

f f dx  dy  0 x y

Por ejemplo, la familia de curvas x2y3=c, satisface la ecuación diferencial

2 xy 3dx  3 x 2 y 3 dy  0

Si damos la vuelta a esta situación nos podemos plantear cuando, para la E.D.O.

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

existe una función f(x,y) para la que se satisfaga

M ( x, y ) 

f f ; N ( x, y )  x y


6




en cuyo caso, la familia de curvas f(x,y)=c sería solución de la ecuación diferencial dada. De verificarse estas igualdades, bajo ciertas condiciones para f (Teorema se Schwartz), se debería verificar la igualdad

2f 2f M N    xy yx y x

en cuyo caso se dice que la E.D.O. (2.2) es exacta y (2.4) es la condición de exactitud. Ejemplo.‐ La ecuación diferencial

e y dx  ( xe y  2 y )dy  0

es exacta porque las funciones definidas por

M ( x, y)  e y ; N ( x, y)  ( xe y  2 y )

satisfacen la condición

M N   ey y x

Podemos afirmar que existe una función f(x,y) talque

f  M ( x, y )  e y  f ( x, y )   M ( x, y )dx  xe y  g ( y )  x f y y 2  N ( x, y )  xe  2 y  xe  g ( y )  2 y  g ( y )  y  g ( y ) y

por lo que la familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación dada es:

2.2.3

xe y  y 2  c

ECUACIONES DE VARIABLES SEPARADAS.

La E.D.O. de orden 1

y ' ( x)  f ( x, y )

es de variables separadas si se puede escribir en la forma:

,

.


7




lo que transforma la ecuación (1) en la ecuación

1/

’

que se puede resolver integrando en ambos miembros de la ecuación. 0 se denominan soluciones

Las funciones tales que singulares y se estudian aparte. Ejemplo.‐ La ecuación diferencial

( x  4) y 4 dx  x 3 ( y 2  3)dy  0

es de variables separadas porque podemos escribirla en la forma

y2  3 x4 dy  3 dx; si x, y  0 4 y x

puesto que



y2  3 x4 dy   3 dx 4 y x

la familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación dada es:

1 1 1 2  3   2 + c  x2  x2 y2  y3x  y3  c y x x y

a esta familia de soluciones hay que añadir la solución y=0, que también es solución de la ecuación original.

2.2.4

ECUACIONES HOMOGÉNEAS.

Las ecuaciones homogéneas son ecuaciones que mediante un cambio de variables se reducen a una de variables separadas La E.D.O. de primer orden ,

,

0

Es homogénea si escrita en la forma


8




dy  f ( x, y) dx la función f(x,y) se puede escribir como /

,

En este caso la transformación y=vx transforma la ecuación homogénea en una de variables separadas. Ejemplo.‐ La ecuación diferencial ( x 2  3 y 2 )dx  2 xydy  0 es homogénea porque podemos escribirla en la forma

dy 3 y 2  x 2 3 y 1 x    dx 2 xy 2x 2y

Haciendo v=y/x, con lo que

dy dv vx dx dx

que nos lleva a la ecuación diferencial

v  x

1 dv 3  v dx 2 2v

que es de variables separadas.

2.2.5

E.D.O. LINEALES DE PRIMER ORDEN.

Una E.D.O. lineal de primer orden es de la forma

’

que también puede escribirse en la forma

’

si dividimos por a(x). Supongamos que puede escribirse p(x)=v’/v para alguna función v, la ecuación se transforma en

’

’



’




9



10


vy =  v ( x )q ( x )dx  c  y ( x ) 

1 c v ( x )q ( x )dx   v( x) v( x)

que es la solución general de la ecuación. Queda ver si es posible que ’/ para alguna función . Puesto que esta ecuación es de variables separadas se tiene que

p ( x) 

v' ( x) v' ( x)   p ( x)dx    ln v( x)  v( x)  e  p ( x )dx v( x) v( x)

con lo que la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden será

y ( x)  e   p ( x )dx  e  p ( x )dx q ( x)dx  ce   p ( x )dx

Ejemplo.‐ La ecuación diferencial

’

es una ecuación diferencial lineal de primer orden con

1 y

,

puesto que  p( x ) dx  x , la solución general de la ecuación dada es

y ( x )  e  x  e x cos xdx  ce  x





2.3 MÉTODOS APROXIMADOS PARA RESOLVER UNA E.D.O. DE ORDEN 1 2.3.1

INTRODUCCIÓN

En ocasiones, en el proceso de la formulación matemática de un problema es necesario hacer ciertas hipótesis simplificativas a fin de que las E.D.s resultantes se puedan abordar con mayor facilidad desde un punto de vista teórico. El resultado de tales cambios en la propia naturaleza de las cosas significa que la E.D. resultante responde a una situación idealizada y que en infinidad de ocasiones, no se asemeja con la realidad del problema. Hoy en día no se tiende a realizar excesivas simplificaciones, siendo necesaria la utilización de métodos numéricos para la resolución de E.D.s cuya resolución analítica resultaría extremadamente difícil. De hecho, en la mayor parte de los casos, el descubrimiento de una solución explicitada por medio de funciones elementales sería un lujo inesperado. Presentamos, como introducción a los métodos de aproximación de E.D., alguno de ellos para una ecuación de primer orden. Al estudiar estos métodos la preocupación principal va a ser obtener cierta familiaridad con los procedimientos de aproximación de soluciones de E.D. y desarrollar la destreza para aplicarlos. No hay que olvidar que estos métodos no dan las expresiones analíticas de las soluciones y que se requiere mucho tiempo para obtener una buena aproximación.

2.3.2

MÉTODO DE EULER

Como ejemplo de método numérico presentamos el método de Euler que, aunque no es muy práctico, tiene la ventaja de ser muy sencillo, y que permite allanar el camino para el entendimiento de otros métodos, más prácticos pero más complejos. Sea y(x) la solución de la E.D.O. con condiciones iniciales

0

, 0

definida en el intervalo I=[a,b].


11




Los datos que tenemos a partir de este problema de valores iniciales es que el valor de en x0 es y0, y que en cada punto , de la curva solución la pendiente de la tangente en ese punto viene dada por , . Puesto que la tangente es la recta que más se aproxima a la función en un entorno del punto x0, si x1=x0+h podemos utilizar la tangente para obtener un valor y1 aproximado de y(x1), y vendrá dado por:

1

0

’ 0

1

0

o bien

0, 0

Si el proceso realizado para obtener y1, lo repetimos con el punto x2=x1+h, obtendremos un valor y2 aproximado de y(x2) que vendrá dado por:

2

1

1, 1

y(x1) y1 y(x0)

x0

x1=x0+h

2.3.3 Sea

MÉTODO DE EULER MEJORADO la solución de la E.D.O. con condiciones iniciales 0

, 0

definida en el intervalo I=[a,b]. La expresión

1

0

’ 0

sería el desarrollo de Taylor de orden 1 de la función . Utilizar un dasarrollo de orden superior mejoraría la aproximación. Si utilizamos, por ejemplo un desarrollo de orden 2 tendíamos


12



13


1

0

’ 0

/2 ’’ 0

puesto que no conocemos ’’ 0 utilizamos el siguiente desarrollo ’ 1

’’ 0 ï ’’ 0

’ 0

que es el desarrollo de Taylor de orden 1 de ’ 1, 1 , obteniéndose 1

0

’ 0

’ 1 2

0

’ 0 /

’ 1

. Por la ecuación ’ 1

0, 0

2

1, 1

Esta expresión nos permite obtener un valor aproximado de y1, para el que hay que conocer el valor de 1. No obstante se puede utilizar el Método de Euler para predecir cual sería este valor e intoducirlo en esta expresión para calcularlo. 1 1

0

0, 0

0 0, 0

2

1, 1

Si el proceso realizado para obtener y1, lo repetimos con el punto 2 obtendremos un valor 2 aproximado de y(x2) que vendrá dado por: 2

1

2

1, 1

1

,

2, 2

Donde 2

1

1, 1





2.4 EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES DE UNA E.D.O. ORDEN 1 Hemos visto como obtener analíticamente la solución de una E.D.O. de orden 1, como realizar un análisis cualitativo de la solución de la misma, e incluso, cómo obtener una aproximación numérica de dicha solución. Pero, lo que realmente no hemos considerado es cuando existe solución de dicha ecuación, cómo saber si va a existir solución de la ecuación ó cuantas soluciones habrá en caso de que exista alguna. Es crucial saber si una E.D.O. tiene solución o no, puesto que si no hay solución de dicha ecuación, carece de sentido buscarlas, aproximarlas o analizar la naturaleza de las mismas, y lo que es más importante aún, si una E.D.O., que supuestamente es el modelo matemático de un sistema físico, carece de solución, deberemos plantearnos la validez de dicho modelo. La cuestión de la unicidad es tan importante o más que el de la existencia, tanto desde el punto de vista teórico, como práctico. El hecho de que un mismo problema pueda tener diferentes soluciones, significa que habrá que analizar los posibles comportamientos de dicho sistema, tanto desde el punto de vista cuantitativo como cualitativo. Dado el problema de valores iniciales 0

, 0

Se trata de ver que condiciones tiene que cumplir la función f(x,y) para que tenga solución y para que además ésta sea única. Para resolver este problema de valores iniciales, no basta con encontrar una función y(x) para la que se satisface y’(x)=f(x,y(x)), si no que además ha de pasar por el punto (x0,y0). El siguiente ejemplo muestra cómo una misma E.D.O. puede tener infinitas soluciones para unas condiciones iniciales dadas, mientras que para otras condiciones no tiene solución o la solución es única. Ejemplo: Dada la E.D.O. 2 ’

2

0

.‐ La solución general de la ecuación viene dada por


14




y ( x) 

1 1  c x



x cx  1

además de la solución y(x)=0, que también es solución. .‐ Si observamos la gráfica de una familia de soluciones vemos que por algún punto pasa más de una solución, por otros no pasa ninguna y por otros la solución es única. 30 20 10

-1

1

2

3

-10 -20

.‐ La solución particular para las condiciones iniciales: a) y(1)=2; no existe. b) y(0)=2; es única. c) y(0)=0; hay infinitas soluciones. Teorema de Existencia.‐ Hipótesis.‐ Dado el problema de valores iniciales (0.1)

 dy   f ( x, y )  dx  y ( x 0 )  y 0

tal que se verifica: a) f es una función continua en el rectángulo





R  ( x, y )  IR 2 tal que a  x  b, c  y  d

b)  x0 , y 0   R . Conclusión: Existe un   0 y una función y(x) definida en el intervalo x0   , x0    solución del problema de valores iniciales dado. Observaciones.‐


15




1) Este teorema nos dice que mientras la función f(x,y) sea lo suficientemente buena (continua), va a haber solución al problema de valores iniciales. Lo que no nos dice es cuantas soluciones va a haber, ni nos dice cómo encontrarlas. 2) El teorema garantiza la existencia de una solución en el intervalo x0   , x0    , pero el valor de  puede ser muy pequeño, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo.‐ Consideremos el problema de valores iniciales

 dy 2   1 y  dt  y (0)  0

de la ecuación deducimos que cuando y aumenta su derivada y’ también aumenta con lo que el crecimiento de y es más rápido. Existe el peligro de que las soluciones “exploten” (es decir, tiendan a infinito rápidamente). Resolviendo la ecuación diferencial obtenemos las soluciones dy

1 y

2

  dt  arctan y  t  c  y  tan(t  c)

que, para la condición inicial dada, la solución del problema de valores iniciales es





y (t )  tan(t ); t    ,  2 2

para los valores de t   



2

ya



2

la solución y (t )   . Dicho de otra forma,

las soluciones “explotan” en los extremos del intervalo. Teorema de Unicidad.‐ Hipótesis.‐ Dado el problema de valores iniciales (2.5) tal que se verifican las condiciones del teorema anterior y además c) f

y

es una función continua en el rectángulo R


16




Conclusión: La función y(x) es la única solución del problema de valores iniciales dado en el intervalo x0   , x0    . Ejemplo.‐ No es fácil encontrar una función que no satisfaga el teorema de unicidad. Consideremos el problema de valores iniciales

 dy 2/3   3y  dt  y (0)  0

Resolviendo la ecuación diferencial obtenemos las soluciones

y

2 / 3

dy   3dt  y (t )  (t  c )1 / 3 si y (t )  0

que, para la condición inicial dada, la solución del problema de valores iniciales es

y (t )  t 3

Pero y(t)=0 también es solución del problema de valores iniciales dado, que es la solución de equilibrio. Luego el problema propuesto no tienen una única solución porque la derivada parcial respecto de y de la función f(x,y)=3 y2/3 no existe si y=0.


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Ecuaciones Diferenciales de Orden 1

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