REDUCCIÓN DE ORDEN
GEOVANNY GEOVANNY ANDRÉS ANDRÉS RAMIREZ – JESUS MAURICIO MOLANO
Método de reducció de orde !"r" ecu"cioe# di$ereci"%e# de orde #u!erior
&ro$e#or '"( C%"udi" E%e" S"c)e* +otero
UNIVERSIDAD DEL ,UINDIO -ACUL.AD DE INGENIERIA INGENIERIA CIVIL ARMENIA /012
CON.ENIDO
&345 IN.RODUCCIÓN 15 IN.RODUCCIÓN
2
/5 6IS.ORIA
7
85 REDUCCIÓN DE ORDEN 'De$iició(
9
25 EJEM&LOS
:
75 CONCLUSIONES
10
+I+LIOGRA-IA
11
RESUMEN E e#te docu;eto #e !re#et" uo de %o# ;étodo# uti%i*"do# !"r" #o%ucio"r ecu"cioe# di$ereci"%e# %ie"%e# de orde #u!erior< e=!oiedo e u !rici!io %" de$iició 4eer"% de% ;étodo !"r" !o#terior;ete e#t">%ecer u coce!to c%"ro #o>re e#te ;étodo " tr"?é# de "%4uo# e@e;!%o#5
4
IN.RODUCCIÓN Dur"te e% !roce#o de #o%ució de ecu"cioe# di$ereci"%e# o# ecotr";o# co ecu"cioe# de orde #u!erior< %"# cu"%e#< "% i4u"% ue "ue%%"# de !ri;er orde< cuet" co ;étodo# de #o%ució ue !er;ite u ;"e@o ;3# "decu"do de %"# ;i#;"# B co%%e?" " ecu"cioe# ;uc)o ;3# #i;!%e# e co;!"r"ció co %" ecu"ció iici"%5 De e#te ;i#;o ;odo< e% ;étodo de reducció de orde !"r" ecu"cioe# de #e4udo orde o# !er;ite< " tr"?é# de u" #o%ució coocid" de %" ecu"ció< %%e4"r " %" #e4ud" #o%ució5 A cotiu"ció #e e#t">%ece e% !rocedi;ieto " #e4uir !"r" %" uti%i*"ció de e#te ;étodo B " tr"?é# de "%4uo# e@e;!%o# #e ;ue#tr" %" "!%ic"ció de% ;i#;o5
5
6IS.ORIA De %o# di$erete# ;étodo# e#tudi"do# )"#t" e% ;o;eto< #e !uede de#t"c"r o;>re# co;o Jakob Bernoulli, Alexis Claude Clairaut, Joseph-Louis de Lagrange, Gottfried Whilhelm Leibniz, Jean Le Rond dAlembert, Ja!opo Ri!!ati, "ierre #imon de Lapla!e, Jean Baptiste Joseph, #of$a %o&aleska'a, Leonhard (uler, etre otro#< " %o# cu"%e# #e %e# "tri>uBe %o# "!orte# ;3# i;!ort"te# e
e#te c";!o5 Lo# o;>re# ;3# de#t"c"do# e cu"to " reducció de orde #o Leonhard (uler, Bernhard Riemann, B %o# ;ie;>ro# de %" $";i%i" Bernoulli, uiee# dedic"ro 4r" !"rte de #u tie;!o "% e#tudio de ;%ti!%e# ;étodo# !"r" #i;!%i$ic"r< reducir< tr"#$or;"r ecu"cioe# co;!%e@"# e ecu"cioe# "%4o ;3# #eci%%"# " tr"?é# de di$erete# #u#titucioe#5
6
REDUCCIÓN DE ORDEN &ri;ero e#t">%ecere;o# u" de$iició 4eer"% de% coce!to de reducció de orde< " !"rtir de u" ecu"ció %ie"% de #e4udo orde5 Dei# G5 Zi%% o# !re#et" %" #i4uiete de$iició Uo de %o# )ec)o# ;"te;3tico# ;3# itere#"te# "% e#tudi"r ecu"cioe# di$ereci"%e# %ie"%e# de #e4udo orde e# ue !ode;o# $or;"r u" #e4ud" #o%ució< y 2 < de a2 ( x ) y Z
e u iter?"%o #e4ud" #o%ució<
+ a ( x ) y ' + a ( x ) y =0
' '
1
'1(
0
" !"rtir de u" #o%ució
y 1 o tri?i"%5 +u#c";o# u"
y 2 ( x ) < de %" ecu"ció '1( t"% ue
%ie"%;ete ide!ediete# e
Z 5 Recorde;o# ue #i
y 1 y 1
y 2 #e"
B B
y 2
#o
%ie"%;ete ide!ediete#< #u relación y 1 / y 2 e# o co#t"te e I e#to e#< y 1 / y 2=u ( x )
o
y 2=u ( x ) y 1 5 L" ide" e# deter;i"r %" $ució
#u#tituBedo y 2=u ( x ) y 1
u ( x )
e %" ecu"ció di$ereci"% d"d"5 E#te ;étodo #e %%";"
reducción de orden !orue de>e;o# re#o%?er u" ecu"ció %ie"% de !ri;er orde
!"r" )"%%"r u ( x ) 51
Co;o e# !o#i>%e ?er#e e %" de$iició de Zi%%< !"r" %" "!%ic"ció de e#te ;étodo #e )"ce ece#"ri" %" e=i#teci" de u" de %" #o%ucioe# !"r" %" ecu"ció< B" ue< " !"rtir de e#t" #e e#t">%ece %" re%"ció de ue !o#terior;ete o# %%e?" " u" ecu"ció %ie"% de !ri;er orde< B $i"%;ete " %" #e4ud" #o%ució de %" ecu"ció iici"%5 A !"rtir de %" de$iició "terior< Zi%% o# e=!oe u" $or;" general !"r" e#to# c"#o# Si di?idi;o# !or a2 ( x ) !"r" %%e?"r %" ecu"ció '1( " %" forma estándar y
' '
+ P ( x ) y ' + Q ( x ) y =0
'/(
1 G.ZIIL, Dennis. Ecuaciones diferenciales de orden superior. En: G. ZILL, Dennis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Los Ángeles : International !omson Editores, 1""#, p. 1
%$ #
P ( x )
e dode
Q ( x )
B
#o cotiu"# e "%4 iter?"%o I . Su!ó4"#e<
"de;3#< ue y 1 e# u" #o%ució coocid" de '/( e I B ue y 1 ( x ) ≠ 0 !"r" tod" x e e% iter?"%o5 Si de$ii;o# ue y =u ( x ) y 1( x ) , etoce# '
y =uy ; + y 1 u ' ,
y
''
y
' '
= uy ; + 2 y ' u ' + y u ' ' 1
1
+ P y ' + Qy =u [ y ' ' + P y ' + Q y ]+ y u' ' + ( 2 y ' + P y ) u' =0 1
1
1
1
1
1
Cero
&"r" %o "terior #e de>e cu;!%ir
+ ( 2 y ' + P y ) u' = 0
' '
y 1 u
1
O #e"
1
y 1 w + ( 2 y 1+ P y 1 ) w =0 '
'
'8(
E dode )e;o# i4u"%"do w =u ' . O>#ér?e#e ue %" %ti;" de %"# ecu"cioe# '8( e# %ie"% B #e!"r">%e< " %" ?e*5 A% #e!"r"r %"# ?"ri">%e# e ite4r"r o>tee;o# y ' dw + 2 1 dx + Pdx =0 w y 1 ln
|w y |=∫ P dx + c 2
O #e"
1
De %" %ti;" ecu"ció de#!e@";o#
w y1
2
− P dx =c e ∫ 1
w , re4re#";o# "
'
w =u
e ite4r";o# de
ue?o u= c1
∫
− P dx e∫
y 12
Si e%e4i;o#
dx + c 2
c 1= 1
B
c 2 =0 < ?e;o# e
#o%ució de %" ecu"ció '/( e# y 2= y 1 ( x )
∫
− P ( x ) dx e ∫
y 12 ( x )
dx .
y =u ( x ) y 1( x )
ue u" #e4ud"
&
EJEM&LOS E e#t" #ecció< re#o%?ere;o# "%4uo# e@ercicio# uti%i*"do e% ;étodo de reducció de orde e#tudi"do "terior;ete< !"r" de e#t" ;"er" "c%"r"r "%4u"# dud"# ue !udiero o o )">er re#u%t"do de %"# de$iicioe# d"d"#5 •
y
y 1=cosh ( x )
' '
− y =0
Co;e*";o# de$iiedo y =u ( x ) cosh ( x ) < "# tee;o# y =usinh ( x ) + u '
'
cosh
( x )
' Deri?"do e#t" e=!re#ió !"r" o>teer y
y
= u' ' cosh ( x ) + 2 u' sinh ( x ) + ucosh( x )
' '
' ' Su#tituBedo y B y ' e %" ecu"ció iici"% tee;o#
cosh
( x ) u' ' + 2 sinh ( x ) u' =u ' ' + 2 tanh ( x ) u' = 0 w =u '
Si )"ce;o#
w + 2tanh ( x ) u =0 '
'
< cuBo $"ctor ite4r"te e#F
2 tanh ( x ) dx e ∫ =cosh 2 ( x )
A# d [ ( cosh ( x ) ) w ]=0 dx cosh
2
( x ) w =c
&or %o t"to '
2
w =u = csech ( x ) ' Ite4r"do u
o>tee;o# %" ecu"ció de !ri;er orde
"
u= c1 tanh ( x )
U" #e4ud" #o%ució !"r" %" ecu"ció e# y = tanh ( x ) cosh ( x )= sinh ( x ) 2
&"r" e% #i4uiete e@e;!%o< ideti$ic"re;o# %" $ució P ( x ) de %" ecu"ció< co e% $i de uti%i*"r %" #o%ució de %" $or;" general ue #e e#t">%eció e %" #ecció "terior5
2
•
x y
−7 xy + 16 y =0
Di?idiedo tod" %" e=!re#ió !or x y
' '
y 1= x
' '
7
16
x
x
− xy +
2
4
2
y= 0
−7 Ideti$ic"do P ( x )= x
y 2= x
4
y 2= x
4
∫
−∫ −7 dx x
e
x
8
dx
∫ x1 dx
¿ x ∨¿ y = x ln ¿ 4
2
De e#t" ;"er" %" #e4ud" #o%ució !"r" %" ecu"ció e# ¿ x ∨¿ y = x ln ¿ 4
2
1%
CONCLUSIONES A tr"?é# de% e;!%eo de e#te ;étodo e# !o#i>%e o>teer ecu"cioe# di$ereci"%e# de !ri;er orde< %"# cu"%e# #er3 !o#i>%e# de #o%ucio"r !or %o# di#tito# ;étodo# e#tudi"do# )"#t" e% ;o;eto< B !o#terior;ete o>teer %" #o%ució de %" ecu"ció iici"%5 &"r" %" "!%ic"ció de e#te ;étodo #e )"ce ece#"rio teer u" #o%ució de %" ecu"ció di$ereci"%< B ue e#t" o #e" u" #o%ució tri?i"%< B" ue< " !"rtir de e#t" #e co#truBe %" #u#titució ue d" !"#o " %" o>teció de %" #e4ud" #o%ució de %" ecu"ció5 &or ;edio de %" $or;" general #e !uede %%e4"r co ;"Bor r"!ide* " %" o>teció de% ?"%or de %" #e4ud" #o%ució de %" ecu"ció di$ereci"%5
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+I+LIOGRA-IA G.ZIIL, Dennis. Ecuaciones diferenciales: con aplicaciones de modelado. Los Ángeles: International !omson Editores. 1""#. 'e(ta Edici)n. I'*+ "6& #5-"-1% G.Zill, Dennis. . /ullen, 0ic!ael. Ecuaciones diferenciales: con prolemas con 2alores en la frontera. 03(ico D.: Editorial rogreso, '. de /.7. -%%". '3ptima Edici)n. I'*+ "#&%4"51%&$6&.
