Descripción: Ejercicios de ecuaciones diferenciales. Dpto de matemáticas de la universidad Sergio Arboleda.
Descripción: ecuaciones
Curso de Métodos Numéricos-Ingeniería IndustrialDescripción completa
Descripción completa
ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES LINEALES (EDO. TRANSFORMABLES A HOMOGÉNEAS). Estas ecuaciones diferenciales tienen la siguiente estructura:
(ax + by + c)dx + (α x + β y + γ )dy = 0 ⇒
dy dx
=
(ax + by by + c) (α x + β y + γ )
También suelen llamarse ecuaciones diferenciales transformables a homogéneas. Para resolver estas ecuaciones diferenciales se deben realizar algunos cambios de variables que permitan eliminar el término independiente del coeficiente lineal Para su solución se presentan dos casos: 1. Si (h, k) es el punto de intersección entre las rectas (ax + by + c) = 0 (α x + β y + γ ) = 0 entonces se hace la sustitución x = u + h; y = v + k y se consigue la ecuación homogénea: (au + bv) du + (α u + β v) dv = 0 En forma práctica si la ecuación es reducible a homogénea se cumple que:
a
b
α β
≠0
2. Si las dos rectas (ax + by + c) = 0 (α x + β y + γ ) = 0 no se interceptan (o sea son
(3 x − y − 9)dx − ( x + y + 1)dy = 0 3
−1
1
1
=4≠0
2. Escribir un sistema de ecuaciones en h y k con los coeficientes lineales y calcular esos valores de h y k
⎧3h − k = 9 ⇒ h = 2; k = −3 ⎨ 1 h k − − = ⎩ 3. Realizar un cambio de variables x = u + h ⇒ x
= u + 2 ⇒ dx = du y = v + k ⇒ y = v − 3 ⇒ dy = dv
4. Sustituir los cambios de variables en la ecuación. (3 x − y − 9)dx − ( x + y + 1)dy = 0
[3(u + 2) − (v − 3) − 9] du − [ u + 2 + v − 3 + 1] dv = 0 [3u + 6 − v + 3 − 9] du − [ u + v] dv = 0 ⇒ (3u − v)du − (u + v)dv = 0 Esta es una ecuación diferencial homogénea con coeficiente de grado 1, entonces se procede a resolver como tal. (EDO HOMOGENEA)
du
∫u
= −∫
z +1 z
2
dz
+ 2z − 3
La integral del lado izquierdo es inmediata; la del lado derecho se resuelve por cambio de variables así:
−∫ −∫
z + 1
dz ⇒ t = z + 2 z − 3 ⇒ ( z + 1)dz dz z + 2 z − 3 z + 1 2 dz = − ln z + 2 z − 3 + ln c 2 z + 2 z − 3 2
2
=
dt
2
8. Aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión ln u
= ln
z
2
+ 2 z − 3 + ln c ⇒ ln u + ln
u ( z 2 + 2z − 3) = c ⇒ c
z
2
+ 2z − 3 = ln c
= u 2 (z 2 + 2z − 3) = c ;nota : c 2 ≈ c
9. Revertir todos los cambios de variables y simplificar 2 ⎛ v2 ⎞ ⎞ 2( y + 3) v 2 ⎛ ( y + 3) + − ( x − 2) ⎜ 2 + 2 − 3 ⎟ = c ⇒ ( x − 2) ⎜ 3 ⎟ =c 2 ( 2 ) ( 2 ) − − u u x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 ⎛ ( y + 3) + 2( x − 2)( y + 3) − 3( x − 2) ⎞ ( x − 2) ⎜ ⎟=c 2 − ( 2) x ⎝ ⎠ ( y + 3) 2 + 2( x − 2)( y + 3) − 3(x − 2)2 = c 2
Ejemplo 2 Resolver
dy
2x + y − 1
Ejemplo 3: Resolver dy dx
=
2y − x −5 2x − y + 4
dy dx
=
2y − x −5 2x − y + 4
⇒ (− x + 2 y − 5)dx + (−2 x + y − 4) dy = 0
⎧−h + 2k = 5 ⇒ h = 1; k = 2 ⎨ ⎩−2h + k = 4 Ahora se efectúan los cambios de variables. x = u + h ⇒ x = u −1 ⇒ dx = du y = v + k
⇒ y = v + 2 ⇒ dy = dv
Se sustituye estos valores en la ecuación respectiva, para obtener la EDO homogénea
(−u + 2v)du + (−2u + v)dv = 0 u = zv ⇒ du
= zdv + vdz z − 2 dv z−2 dv d z d z = ⇒ = 1 − z 2 v (1 − z )(1 + z ) v Integrando ambos lados de la ecuación y revirtiendo los cambios de variables se obtiene. z − 2
∫ (1 − z)(1 + z)
dz =
dv
∫v
⇒ ( x + y − 1)3 = c(t − 2)2
Integrando ambos lados de la ecuación y revirtiendo los cambios de variables se obtiene. du u
1 2z −1 ⎤ = ⎡⎢ 2 ⇒ x 2 + y 2 + x − y − xy = c ⎥ 2 ⎣ z − z + 1⎦
EJERCICIOS RESUELTOS 1) ( −3 x + y − 1) dx + ( x + y + 3) dy = 0
⎧ − 3h + k − 1 = 0 ⇒ h = −1; k = −2 ⎨ 3 0 + + = h k ⎩ x = u + h ⇒ dx = du y = v + k ⇒ dy = dv ( −3 ( u + h ) + ( v + k ) −1) du + ( ( u + h ) + ( v + k ) + 3) dv = 0
( −3u − 3h + v + k − 1) du + ( u + h + v + k + 3) dv = 0 ( −3u + v + ( −3h + k −1) ) du + ( u + v + ( h + k + 3) ) dv = 0 ⇒ ( −3u +v ) du +( u +v ) dv = 0 ( −3u + v ) du = − ( u + v ) dv ⇒ ( −3u + v ) du + ( u + v ) dv = 0 v = uz ⇒ dv = udz + zdu ⇒ ( −3u + uz ) du + ( u + uz ) (udz + zdu ) = 0 2 2 2 2 du + (u + u z ) dz = 0 ⇒ u ( −3 + 2z + z ) du du +u (1 + z ) dz = 0 ( −3u + uz + uz + uz 2 ) du ( z + 1) dz ( z + 1) dz du du
∫
∫
( −3 x + y − 1) dx + ( x + y + 3) dy = 0 ⇒ −3xdx + ydx − dx + xdy + ydy + 3dy = 0 ⎛ x 2 ⎞ ⎛ y2 ⎞ − d ⎜ 3 ⎟ + d ( yx ) − dx + d ⎜ ⎟ + 3dy = 0 ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ −
3 2
x
2
+ xy − x +
1 2
y
2
+ 3 y = C/ 1 ⇒ 3x 2 − 2xy + 2x − y 2 − 6y = C / 2
2) ( x + y − 1) dx + ( y − x − 5) dy = 0
⎧k − h − 5 = 0 ⇒ h = −2; k = 3 ⎨ + − = k h 1 0 ⎩ x = u + h; dx = du y = v + k ; dy = dv ( u + h + v + k − 1) du + ( v + k − u − h − 5 ) dv = 0 ( u + v + h + k − 1) du + ( v − u + k − h − 5 ) dv = 0 los cca ambios ) ( u + v ) du + ( v − u ) dv = 0 ⇒ ( u + v ) du = ( u − v ) dv (realizar lo
(1 − z ) dz du = ⇒ 1 + z 2 u dz
∫ 1 + z
2
−∫
z dz
1+ z2
=∫
(1 − z ) dz du = 2 ∫ 1+ z ∫ u du u
z
= tg θ ⇒ d z = sec 2 θ d θ
3) ( 2 x + y + 4 ) dx + ( x − 2 y − 2) dy = 0
⎧ 2h + k + 4 = 0 8 6 ⇒ k = − ;h = − ⎨ 5 5 ⎩ h − 2k − 2 = 0 x = u + h ⇒ dx = du y = v + k ⇒ dy = dv ( 2u + 2h + v + k + 4) du + (u + h − 2v − 2k − 2) dv = 0 ⇒ ( 2u + v ) du +(u − 2v ) dv = 0 2u du + v du + u dv − 2v dv
= 0 ⇒ d (u 2 ) + d ( uv ) − d (v 2 ) = 0 ⇒ u 2 +uv −v 2 = C
2
2
⎛ x + 6 ⎞ + ⎛ x + 6 ⎞ ⎛ y + 8 ⎞ − ⎛ y + 8 ⎞ = C ⎜ 5 ⎟ ⎜ 5 ⎟⎜ 5 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x 2 + 12 x + 36 + xy + 6 y + 8 x + 48 − y 2 − 16 y − 64 ⎞ = C ⇒ x 2 + 4x + xy − y 2 − 2 y =C ⎜ ⎟ 5 5 25 5 25 ⎠ 5 25 ⎝ 4) ( 2 x − y ) dx + (4x + y − 3) dy = 0
⎧ 2h − k = 0 1 ⇒ h = ; k = 1 ⎨ 2 ⎩ 4h + k − 3 = 0 x = u + h ⇒ dx = du y = v + k ⇒ dy = dv ( 2u + 2h − v − k ) du + ( 4u + 4h + v + k − 3) = 0
3
1⎞ 2 ⎛ ( v + u ) = K ( v + 2u ) ⇒ ⎜ y −1 + x − ⎟ = K ( y −1 + 2x −1) 2⎠ ⎝ 3 ⎛ y + x − 3 ⎞ = K y + 2 x − 2 2 ( ) ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 3
5) y′ =
2
2 y − x − 5 2 x − y + 4
( − x + 2 y − 5) dx + ( −2x + y − 4) dy = 0 ⎧−h + 2k = 5 ⇒ h = −1 ⇒ k = 2 ⎨ ⎩2h + k = 4 x = u + h ⇒ x = u −1 ⇒ dx = du y = v + k ⇒ y = v + 2 ⇒ dy = dv ( − x + 2 y − 5) dx + ( −2x + y − 4) dy = 0 ⇒ (−u + 2v) du + (−2u + v ) dv = 0 z − 2 dv z −2 dv 3 2 u = zv ⇒ du = zdv + vdz ⇒ d z = ⇒ d z = ⇒ x + y − = c y − 1 2 ( ) ( ) ∫ 1− z2 ∫ v v 1− z 2 6)
dy dx
=
x+ y +4 x− y −6
( x + y + 4)dx = ( x − y − 6)dy
⇒ (x + y + 4)dx − (x − y − 6)dy = 0
hacer un nuevo cambio de variable y sustituir en la última ecuación obtenida v = uz → dv = udz + zdu udz + zdu) = 0 (u + uz)du − (u − uz)(ud u(1 + z)du − u (1 − z)(udz + zdu) = 0
(1 + z)du − (1 − z)(udz udz + zdu) = 0 du + zdu − (udz + zdu − uzdz − z ) du 2
du + zdu − udz − zdu + uzdz + z du = 0 2
du + z du − udz + uzdz = 0 2
(1 + z )du − u(1 − z) dz = 0 2
al separar variables e integrar miembro a miembro, se obtiene: du u
(1 − z )
−
du
∫u
(1 + z 2 )
+∫
w= z
ln u
2
+
dz = 0 ⇒
z z
2
+1
dz −
∫z
du
∫u
dz 2
+1
+ 1; dw = 2zdz ⇒ ∫ 1
ln w
−∫
(1 − z ) 1+ z 2
=C ⇒∫
du u
+
dz
du
u 1 dw
2
+
=C ⇒ ∫ 1
∫
2z
du u
+∫
dz −
2 z 2 +1 dz = C 2 z +1
(z − 1) z
∫z
2
+1
dz 2
+1
dz
=C
∫ w −∫
− arctg ( z ) = C ⇒ ln u +
1
2 2 revertir todos los cambios y simplificar
=C
ln z 2 + 1 − arctg (z ) = C
−
l n x
−1 −
1
ln
2
−
x 2
+
2x
y2
+ 10 y +
− 1)
( x
26
2
+
a r c tg
⎛ ⎜ ⎝
+5⎞ ⎟ = − C x −1 ⎠
y
asu m iend o qu e -C = C
a r c tg
⎛ ⎜ ⎝
+5 x − 1
y
⎞+ ⎟ ⎠
ln
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
− 1) 2 + y 2 + 10 y + ( x
x2
−
2x
26
2
⎞ ⎟ ⎟= ⎟ ⎟ ⎠
ln x
−1 +
C
7) ( x + 2 y + 1) 1)dx − ( 2x + 4 y + 3)dy = 0
⎛1 2⎞ ⇒⎜ ⎟ = 0 (reducible a v.separables) − − 2 4 dx 2 x + 4 y + 3 ⎝ ⎠ dy dy z´−1 z = x + 2 y ⇒ 2 y = z − x ⇒ 2 y´= 2 = z´−1 ⇒ = dy
=
x + 2 y +1
dx
dy dx z´=
=
x + 2 y +1
2x + 4 y + 3
4 z + 5
dz
∫
=
z´−1
2
4z + 5
=
z +1
2z + 3
∫
⇒
dz
∫
=
⇒ z´−1 = 4z + 5
2z +3
⇒
2
⇒ z´=
2z + 2 + 2z +3 2z +3
⇒
2 z + 3
= dx dx 2 z + 3 dx 2 z + 3 ⇒ 2 z + 3 4z + 5 dz 2 z + 3 1 1 1 1 dz = dx ⇒ dz + = dx ⇒ z + ln 4 z + 5 = x + c 4 z + 5 2 2 4z + 5 2 8 1 1 1 1 z = x + 2 y ⇒ ( x + 2 y) + ln 4( x + 2 y) + 5 = x + c ⇒ ( x + 2 y) + ln 4 x + 8 y + 5 2 8 2 8
∫
⇒
⇒
dx 2z + 2
∫
= x+c
(1 + 2 z )du − 2( 2(udz + zdu ) = 0 ⇒ du + 2zdu − 2udz - 2zdu du = 2udz ⇒ 2dz u 2( ) = ln u v
=
+c ⇒
du u
⇒ 2∫ dz = ∫
4y + 5 2x − 3
= ln
du u
2x − 3 2
= 0 ⇒ du − 2udz = 0
⇒ 2z = ln u + c
+c ⇒
C
=
4y + 5 2x − 3 - ln 2x − 3 2
9) ( x + y − 2)dx + ( x − y + 4)dy = 0
⎛1 1 ⎞ ⎜ 1 − 1 ⎟ = − 2 ≠ 0 (reducible a ho m o g én ea) ⎝ ⎠ ⎧ h + k = 2 ⇒ h = − 1, k = 3 ⎨ = h k -4 ⎩ x = u + h ⇒ x = u - 1 ⇒ dx = du y = v + k ⇒ y = v + 3 ⇒ dy = dv z du (u + v )d u + (u − v )d v = 0 ⇒ v = u z ⇒ d v = u d z + zd (u + uz u z ) d u + ( u − uz uz )( u d z + z d u ) = 0 ⇒ u (1 + z ) d u + u (1 − z )(u d z + zd u ) = 0 (1 + z ) du + (1 − z )(u d z + z d u ) = 0 ⇒ d u + z d u + u d z + z d u − u z d z − z 2d u = 0 d u + 2 z d u − z 2 d u + u d z − u zd z = 0 ⇒ (1 + 2 z − z 2 )d u + u (1 − z )d z = 0 (1 − z ) ( z − 1) 1 du du 0 l n ln z 2 − 2 z − 1 = c + = ⇒ + = ⇒ + d z d z c u 2 ∫ ∫ 2 1 2
2
1
2
La cual es homogénea. homogénea. Hacemos cambio:
v
dv
u
du
z
= ⇒ v = zu ⇒
z
+u
⇒u ⇒
dz
dz du
du
dz + zu 8 + z 8 + z =− ⇒u =− − z 7u − 16 zu 7 − 16 z 7 − 16 z du
2 ⎛ 8 + 8 z − 16 z 2 ⎞ dz 16 z − 8 z − 8 ⎟⎟ ⇒ u = = −⎜⎜ 7 16 7 − 16 z − z du ⎝ ⎠
7 − 16 z 16 z 2
dz
8u
=−
du
= z + u
− 8 z − 8
dz
=
du u
Por fracciones parciales:
Integrando:
−
1
7 − 16 z
8
( 2 z + 1)( z − 1)
⇒ −
dz
=
du u
1⎡
10 3 ⎤ du dz − − = 8 ⎢⎣ 2 z + 1 z − 1⎥⎦ u
10
3 1n( 2 z + 1) − 1n( z − 1) = 1nu + c1 16 8
⇒ −51n(2 z + 1) − 3 1n( z − 1) = 8 1nu + c 2 = 1nu 8 + 1nc = 1ncu 8 −1
⇒ −1n(2 z + 1) 5 ( z − 1) 3 = 1ncu 8 ⇒ (2 z + 1) 5 ( z − 1) 3 = [cu 8 ] Pero z =
v
=
5
3
⎛ 2 y + x − 10 ⎞ ⎛ y − x − 11 ⎞ = [ ( + 4)8 ]−1 . En (3): ⎜ c x ⎟⎜ ⎟ 4 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝
y − 7
2 z + 3u − 7 = 0⎫
⎬ ⇒ h = 2, k = 1
3 z + 2u − 8 = 0 ⎭
Luego z = v + 2 ⇒ dz = dv; u = r + 1 ⇒ du = dr dr
En (2):
dv
=
Sea r = tv ⇒ t + v
⇒v ⇒
dt dv
dt dv
=
=
3 + 2t 2 − 2t 2
2v + 4 + 3r + 3 − 7 3v + 6 + 2r + 2 − 8 dr dv
= t + v
2v + 3tv 3v + 2tv
=
2 + 3t 3 + 2t
v
⇒−
3v + 2r
dv
3 + 2t dv
2v + 3r
dt
2 + 3t − 3t − 2t 2
dt =
=
dt
⇒v
⇒v
dv
dt dv
=
=
2 + 3t 3 + 2t
2 − 2t 2 3 + 2t
5
1 1n(1 − t ) + 1n(1 + t ) = 1nv + c1 4 4
⇒ −5 1n(1 − t ) + 1n(1 + t ) = 41nv + c 2 ⇒ 1n ⇒ 1n
1 + t (1 + t )
5
= 1n
cv 4
− t
⇒
1 + t (1 − t )
5
= cv 4
1 + t (1 − t )
5
= 1nv 4 + 1n
c
(v − u + 3) dv + (3v + u + 1) du = 0 ⇒
du
=−
dv
v−u +3
3v + u + 1
.
⎧ v −u +3 = 0 ⇒ v = −1, 3 1 0 + + = v y ⎩
Como: 1(1) ≠ 3(‐ 3(‐1), hacemos: ⎨
u
=2
Hacemos el cambio: v = t – 1, u = z + 2 ⇒ dv = dt, dz = du En (3):
dz dt
=−
Ahora sea r + t
⇒ t ⇒
dr dt
dr dt
r + 3
(r + 1) 2
3t − 3 + z + 2 + 1 z
=−
=−
t − 1 − z − 2 + 3
= rt ⇒
t − rt
3t + rt
1 − r 3 + r
dt
⇒ r + t
t − z
3t + z
= r + t
dr
dr
1 − r
dt
=−
dt
3 + r
1 − r + 3r + r
⇒
2
− r = −
dr = −
⇒ 1nt (r + 1) −
dz
=−
dt t
2 r + 1
3 + r
⇒ 1n(r + 1) −
=c
⇒ t
2 r + 1
dr dt
2
=−
r
= −1nt + c ⇒
+ 2r + 1 r + 3
dy
13) z
dx
=
x + y − 1 dy
= x + y ⇒ dz = dx + dy ⇒
dz dx
=
z
14)
⇒
dy dx
dz z
= dx ⇒ ∫
1−( z +5) dz
= dx⇒ 2
∫1−( z +5) = ln
z
dz dx
−1 =
= ∫ dx; →
z
−1
2 z
= x + C ⇒ 2
x + y
= x + C.
= ( x − y + 5)2
z = x − y ⇒dz = dx− dy⇒ dz
dx dz
=
=∫ 2
z +5
1−( z +5)
dx
dz
dz
dz
dx
dx
dx
=1− = ( x − y +5)2 ⇒1− = ( z +5)2; → 1−( z +5)2 =
z +5 = senu; dz = cosudu;
cosudu 1− sen2u
+ 2
dy
=∫
du
cosu
1 1−( z +5)
2
= ∫secudu=ln tgu+secu = ln tg( z +5)+sec( z +5)
= ln
z + 6
1−( z +5)
2
= x +C
(1+ x − y +5)2 1+ x − y +5 x − y + 6 = = = = = Ke ⇒ Ke ⇒ Ke2 x ⇒ Ke2 x Ke2 x. 2 2 2 − x + y −4 1−( x − y +5) 1−( x − y +5) 1−( z +5) 1−( x − y +5) z +6
x
1+ x − y +5
x
dz
∫ 1 − senz
π z ⎞ ⎛ x − y + π ⎞ = ∫ dx ⇒ x + C = tg ⎛ ⎜ + ⎟ = tg ⎜ ⎟ 4 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 2
Comprobamos:
⎛ x − y + π ⎞⎛ dx − dy ⎞ ⇒ 2dx = sec2 ⎛ x − y + π ⎞dx − sec2 ⎛ x − y + π ⎞dy ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ 4 ⎠⎝ 2 2 ⎠ 4 ⎠ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎝ 2 x − y π ⎞ − 2 + sec2 ⎛ + ⎟ ⎜ − π π x y x y dy − 4 ⎠ dy ⎝ 2 2 ⎛ + ⎞⎟ ⇒ = + ⎞⎟ = − sec2 ⎛ 2 − sec ⎜ ⎜ − π x y dx dx 2 4 2 4 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + ⎟ sec2 ⎜ 4 ⎠ ⎝ 2 dx = sec2 ⎜
⎛ x − y + π ⎞ − 2 tg 2 ⎛ x − y + π ⎞ − 1 tg 2 ⎛ x − y + π ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 4 ⎠ 2 4 ⎠ 2 4 ⎠ ⎝ 2 ⎝ ⎝ = = − = π π π π x y x y x y x y − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 + ⎟ + ⎟ sec 2 ⎜ + ⎟ sec 2 ⎜ + ⎟ sec ⎜ sec ⎜ 2 4 2 4 2 4 2 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ π ⎞ ⎡ x − y π ⎞⎤ x − y π ⎞ x − y π ⎞ = sen 2 ⎛ + ⎟ − cos 2 ⎛ + ⎟ = − cos⎢2⎛ + ⎟⎥ = − cos⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x − y + ⎟ = sen( x − y ) 4 ⎠ 4 ⎠ 4 ⎠⎦ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎝ ⎣ ⎝ 2 sec 2 ⎜
dy dx
= sen( x − y ).
Que es la ecuación original. EJERCICIOS PROPUESTOS
13)( x + y + 1)dx + (2x + 2 y − 1)dy = 0
14)( x + y − 2)dx + ( x − y + 4)dy = 0
15)( x − y − 5)dx − ( x + y − 1)dy = 0
16)(2x + y )dx − (4x + 2 y − 1)dy = 0
17) ( x − y + 1) dx + ( x + 2 y − 5) dy 18)
dy dx
=
2y − x + 5 2x − y − 4
= 0;
; res. ( x + y − 1)
3
res.( x − 1)
2
2
+ 2 ( y − 2) = C
2
x −1 2 ( y − 2 )
= C ( y − x + 3)
19) ( x − 2 y + 4 ) dx + ( 2x − y + 2) dy = 0 : res.( x + y + 1) 2
2 arctan arctan
3
= C 2 ( x − y + 2)
1
20) ( x + y + 1) dx + ( x + y − 1) dy
= 0;
res. 4 x
21) ( x + y + 1) dx + ( 2 x + 2 y − 1) dy
= 0;
res. 4 − x
2
= − ( x + y ) + 2( x + y ) − ln x + y +C 2
− 2y = 3 ln 2 − x − y +C
22) ( x + y − 2 ) dx + ( x − y + 4 ) dy = 0; 0; res. C = 2 ( x + 1) ( y − 3 ) + ( x + 1) 23) ( x − y − 5 ) dx − ( x + y − 1) dy 24) ( 2 x + y ) dx − ( 4 x + 2 y − 1) dy
