E C U A C I O N E S D I F E R E N C I AL E S D E S E G U N D O ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES
Se trata de las de la forma ay ' 'by 'cy d ( x) , en donde a, b y c son constantes (con una función. Como en casos anteriores si d es es la nula la ecuación diferencial se a 0 ) y d una llama homogénea y en caso contrario se llama no homogénea. En relación a la función d , ésta puede ser cualquiera, cualquiera, nosotros pediremos que que sea continua en un intervalo. intervalo. Este tipo de ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales es de gran utilidad en distintos fenómenos físicos, principalmente en los oscilatorios. Más adelante trataremos algunos ejemplos, de todos modos en el curso de física usted tendrá una muestra más completa. Este tema se retoma y profundiza en el curso de segundo. En lo que respecta al programa de primer año se trata de una introducción y el objetivo es que el estudiante aprenda a resolver los ejercicios y sus inmediatas aplicaciones. De esta manera es que dejaremos para segundo año la demostración de los principales teoremas y en este curso tan solo los enunciaremos. Para resolver una ecuación diferencial lineal tenemos que resolver completamente la ecuación diferencial diferencial homogénea homogénea (las representamos representamos por y h ) y luego encontrar una solución particular de la ecuación ecuación diferencial diferencial no homogénea homogénea (que la representaremos representaremos por y p ). La solución general de la ecuación diferencial no homogénea tiene la forma: y y h y p
Por ese motivo apuntaremos a dos objetivos: hallar y h y hallar una y p . Resolución de la homogénea:
ay ' 'by 'cy 0
Al aparecer la segunda de derivada de la función y parece razonable que vayamos a tener en la solución general a dos constantes constantes arbitrarias y por lo tanto hará falta dos condiciones iniciales para determinarlas. Para resolver esta ecuación diferencial se considera el polinomio de segundo segundo grado que tiene 2 los mismos coeficientes de la ecuación, es decir: p( x) ax bx c . Este polinomio puede tener dos raíces reales distintas, una raíz real doble o dos raíces complejas conjugadas. Según cada caso será la solución de la ecuación diferencial, según según el 1 siguiente detalle.
1
Este resultado se generaliza para ecuaciones ecuaciones diferenciales lineales homogéneas ho mogéneas con coeficientes constantes de cualquier orden.
Teorema Sea ( E ) : ay ' 'by 'cy 0 ( a 0 ) y sea p( x) ax 2 bx c . Entonces: 1) Si p( x) tiene dos raíces reales distintas y , la solución de ( E ) es: yh k 1e x k 2 e x , en donde k y k son dos constantes cualesquiera. 1
1
2
2
1
2
2) Si p( x) tiene una raíz doble 2, la solución de ( E ) es: y h e x k 1 x k 2 , en donde k y k son dos constantes cualesquiera. 1
2
3) Si p( x) tiene dos raíces complejas conjugadas i , la solución de ( E ) es: y h e x k 1 cos x k 2 sin x , en donde k y k son dos constantes cualesquiera. 1
2
Ejemplos:
1) Resuelva la ecuación diferencial 2 y' '5 y '3 y 0 . El polinomio asociado a esta ecuación diferencial es p( x) 2 x 2 5x 3 . Sus raíces son 1 y
3
2
(verifíquelo). Por lo tanto (según lo que afirma el
teorema anterior en la parte 1) ), tenemos que la solución es: x y h k 1e k 2 e
23 x
.
2) Sea ahora y' '6 y'9 y 0 . El polinomio asociado a esta ecuación diferencial es p( x) x 2 6x 9 , que tiene una raíz doble 3 (no se olvide de corroborarlo). Por ese motivo (parte 2) del teorema anterior), tenemos que: 3 y h e x k 1 x k 2 . 3) Por último veremos un ejemplo que se corresponde con el tercer caso. Sea y' '2 y'2 y 0 . Su polinomio asociado es p( x) x 2 2x 2 . Buscando sus raíces llegamos a que: x
2 48 2
2 4 2
2 2i 2
1 i .
Por lo que (como 1 y 1 ) llegamos a que la solución es: y h e x k 1 cos x k 2 sin x .
2
Dicha raíz doble es b . Analice por qué. 2a
Solución particular de la no homogénea:
Para encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea hay varias maneras. Las más conocidas son: El método de los coeficientes indeterminados. El método de variación de parámetros (o del wronskiano). En este apartado veremos algunos ejemplos de aplicación del primero, en el próximo curso se retomará el tema y se completará viendo el segundo.
El método de los coeficientes indeterminados. Básicamente se trata de encontrar una solución particular de ay ' 'by 'cy d ( x) usando el sentido común. Se busca por lo que denominamos habitualmente como “tanteo”, es dec ir: según cual sea la función d buscamos cuál tendría que ser una y p sencilla. En diversos libros
aparecen listados que sugieren qué búsqueda hacer según sea d una función polinómica, exponencial, trigonométrica, etc. Veamos algunos ejemplos: 1) Resolvamos la ecuación diferencial y ' '3 y '4 y 8x 6
Resolución de la homogénea. Tomamos p( x) x 2 3x 4 y hallamos sus raíces. Éstas 1 y -4. Por lo tanto la solución general de la homogénea tiene la forma: y p k 1e k 2 e x
4 x
Encontremos una solución particular de la no homogénea. Para eso observemos que la y p que buscamos deberá ser tal, que al ser sustituida en la ecuación diferencial deberá verificarla. Si bien esto no es ningún descubrimiento, significa que al ser sustituida en el primer miembro deberá dar como resultado 8x 6 . Parece razonable que una función polinómica pudiera ser una y p . Como al derivar, sumar y multiplicar por constantes, las funciones polinómicas no pueden aumentar su grado, la y p que buscaremos será polinómica de primer grado. Veamos qué ocurre. Tomando y p Ax B , tenemos que y' p A y que y' ' p 0 . Al sustituir en la ecuación queda que: 3 A 4 Ax B 8x 6 . 4 A 8 , cuya solución es 3 A 4 B 6
Obtuvimos3 el sistema de ecuaciones
En consecuencia, una solución particular es y p 2 x Luego, la solución general de la ecuación diferencial es:
3
Al trabajar con los coeficientes (como en este caso A y B) es que se le denomina “coeficientes
indeterminados”.
2,0.
y 2 x k 1e x k 2 e 4 x , con k 1 y k 2 reales
cualesquiera.
2) Resolvamos la ecuación diferencial y ' '3 y '4 y e 2 x . Hemos “repetido” la homogénea para ir directamente a lo que más nos interesa en este momento: encontrar una y p .
La solución de la homogénea es: y p k 1e x k 2 e 4 x
Para encontrar y p lo haremos de la manera que más fácil parece. Buscaremos una de la forma y p Ae2 x (analice por qué). Tomando y p Ae2 x , tenemos que y' p 2 Ae 2 x y que y' ' p 4 Ae 2 x . Al sustituir en la ecuación queda que: 4 Ae 2 x 3 2 Ae 2 x 4 Ae 2 x e 2 x . Por lo que: Y entonces A
e 2 x 4 A 6 A 4 A e 2 x 1 1 , por lo que llegamos a que y p e 2 x . 6 6
Luego, la solución general de la ecuación diferencial es: y
1 6
e 2 x k 1e x k 2 e 4 x , con k 1 y k 2 reales
cualesquiera.
3) Resolvamos ahora la ecuación diferencial y ' '3 y '4 y e x . Parece muy similar a la anterior y un lector inexperto no notaría la peculiar diferencia, ésta radica en que la función d (en este caso d : d ( x) e x ) es solución de la homogénea y el método no sirve ya que ninguna y p podrá ser de la forma y p Ae x porque daría cero al ser sustituida en el primer miembro de la ecuación. Para casos como éste se sugiere buscar una solución particular de la forma y p Axe x . Claro está que podría ocurrir que también ésta fuera solución de la homogénea (¿en qué caso?). Esto no es lo que ocurre en este ejemplo. Prosigamos entonces: Con y p Axe x tenemos que y' p Ae x x 1 y que y' ' p Ae x x 2 . Al sustituir en la ecuación nos queda: Ae x x 2 3 Ae x x 1 4 Ae x x e x
Operando (se cancelan los términos que tienen xe x ) y llegamos que: 5 Ae x e x y entonces A
1
5
.
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es: 1 y x e x k 1e x k 2 e 4 x 5
Hemos notado que dentro de lo simple del método tenemos que tomar ciertas precauciones. Debemos tener en cuenta si la función d es solución de la homogénea, es caso de serlo
multiplicamos a la y p por x y si ésta continuara siendo solución de la homogénea lo haremos con x . 2
4) Por último resolvamos la ecuación diferencial y ' '3 y '4 y 25 cos2 x . Buscaremos una y p de modo que al derivarla, sumarla y multiplicarla por constantes siga dando trigonométrica. Esa es de la forma y p A cos2 x B sin2 x . 3
Complete el procedimiento y compruebe que y p 2 cos2 x sin2 x 2
Y que finalmente
y 2 cos2 x
Ejercicios
3 2
sin2 x k 1e x k 2 e 4 x .
