ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DEFINICIÓN: Una
ecuación
que
puede
escribirse
en
la
forma
dy dx
+ P ( x) y = Q ( x)
Donde P(x) y Q(x) son funciones dadas de x, se llama una ecuación diferencial de primer
orden lineal. Es fácil verificar que la ecuación tiene como factor integrante a que al multiplicar ambos lados de la ecuación
dy dx
μ ( x) = e∫
P (x )dx
puesto
+ P ( x ) y = Q ( x ) por este factor se
EJEMPLO 1 Resolver
dy dx
+ 5 y = 50
Solución: Esto está en la forma
dy dx
∫ El factor integrante es μ ( x ) = e
Q = 50. + P ( x ) y = Q ( x ) con P= 5, Q =
5 dx
= e5 x
Multiplicando por e5 x podemos escribir la ecuación
d
5 5 ye ) = 50e ( dx x
x
dy dx
+ 5 y = 50 como
⇒ ∫ d ( ye5 x ) = ∫ 50e5 x dx ⇒ ye5 x = ∫ 50 e5 x dx
5 5 5 ye x = 10e x + c ⇒ y = 10 + ce− x
Se podría haber usado también el método de separación de variables.
EJEMPLO 4. Resuelva
dy dx
+
10 y = 10 2x + 5
Solución: La ecuación tiene la forma
dy dx
+ P ( x ) y = Q ( x ) donde: p ( x ) =
10
El factor integrante es μ ( x ) = e Multiplicando
dy dx
+
∫ ( 2 x +5 ) dx
5
10 2 x + 5
; Q( x) = 10 5
= e5 ln( 2 x +5) = e ln( 2 x + 5) ⇒ μ ( x) = ( 2 x + 5 ) .
10 y 5 = 10 por ( 2t + 5) , encontramos 2x + 5
d ⎡ 5 5 5 5 2 x + 5) y ⎤ = 10 ( 2x + 5) ⇒ d ⎡( 2x + 5) y ⎤ = 10( 2x + 5) dx ( ⎦ ⎣ ⎦ dx ⎣
5 ( 2 5)
6
Nota: Debe tomar en cuenta la continuidad de las funciones P ( x ) , Q ( x ) EJEMPLO 6. Determinar la solución general de ( x 2 + 9 ) xy Solución: Se escribe la ecuación en la forma adecuada La función p ( x ) =
x
( x 2 + 9 )
;Q = 0
es continua en
dy dx
dy dx
+
= 0. x
x2 + 9
y = 0.
( −∞, ∞ )
Entonces, el factor integrante para la ecuación es: x
∫ ( x2 + 9 ) dx
=
dy
x
μ ( x ) = e
1 ln ( x 2 + 9 ) 2 e
=e
ln
d
( x2 +9)
(
=
( x2 + 9) )
∫
(
)
EJEMPLO 8. Resolver el problema de valor inicial x Solución Escribimos la ecuación dada en la forma:
dy dx dy dx
+ y = 2 x, y (1) = 0.
1
+ y = 2, x
Y observamos que p ( x ) = 1 x es continua en cualquier intervalo que no contenga al origen. En vista de la condición inicial, resolvemos el problema en el intervalo
( 0, ∞ )
dx d c ∫ x El factor integrante es μ ( x) = e x = eln = x y así [ xy ] = 2 x ⇒ xy = x 2 + c = y = x +
dx
Pero y (1) = 0 ⇒ c = −1 ⇒ y = x −
1 x
x
, 0< x < ∞
La grafica de la ecuación, se presenta en la figura 2.5. La solución del problema de valor inicial indica la línea la gráfica
Por lo tanto
∫ e dt = te − e + c t
t
t
Paso 3: Revertir los cambios de variable y despejar la variable "y"
ye senx = senxesenx − e senx + c ⇒ y = senx − 1 + ce
− senx
EJEMPLO 10 y′ + e x y = e 2 x Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el F.I. e dx = ee P( x ) = e ⇒ Q( x) = e ⇒ FI = e∫
2x
x
x
x
Paso 2: Aplicar la formula ye ∫
P( x ) dx
= ∫ e∫
P( x )dx
Q( x ) dx + c ⇒ ye
e x
= ∫ ee e2 x dx + c x
⇒ ye∫ 2 3 x
yx e
P( x )∂x
=
= ∫ e∫
P( x )∂x
∫
Q( x) ∂x + c ⇒ yx 2e 3 x = x 2e 3 xe
−3x
dx + c
x3
⎛x c ⎞ + c ⇒ y = ⎜ + 2 ⎟ e −3 x 3 ⎝ 3 x ⎠
EJEMPLO 13. x 2 y ′ + 2 xy = senh(3x ) x
2
dy dx
2
xy se nh ( 3 x ) ⇒ + 2 xyse
x dy 2
+
2 xy 2
=
s e n h (3 x )
x dx x x dy 2 y sen h (3 x ) dy + = ⇒ + P ( x) y = Q ( x) 2 dx x x dx 2 s e n h (3 x ) P ( x) = ; Q ( x) = 2 x x
2
dy dx d
− 2 y = x(e3 x − e2x ) ⇒ e−2x
dy dx
− 2e−2x y = xe−2x (e3x − e2x )
⎡⎣e−2 x y] = (xex − x) ⇒ ∫ d ⎡⎣e−2x y] = ∫ (xex − x)dx ⇒ e−2x y = ∫ xex dx − ∫ xdx dx por part partes es) u = x ⇒ du = dx , ∫ dv = ∫ e dx ⇒ v = e ∫ xe dx (por x
x
x
2
x
∫ xe dx = xe − ∫ e dx ⇒ xe − e ; ∫ xdx = 2 ⇒ e x
−2 x
e
x
x
x
x
2
y = e ( x −1) + (c − x
3 x
y = e
2x
x
2 x2
)⇒ y=
e x ( x −1) −2 x
e
+(
−2x
c−
2
y = xe − e − x
x
x
2
+c⇒
2
x
2)
−2 x
e
(x −1) + e (c − ) , com como y (0) = 2 , sust sustit itu uimos imos y encon ncontr tram amos os el valo valorr de la cons ons tante c 2
2) x dy dx
dy dx
+
+ 2 y = x −3
2y x
2
dx
d ( x y) =
3)
dr d θ
2
dx dy = x ⇒ μ ( x ) = e ∫ x = x 2 ⇒ x 2 + 2 xy = x −2
−4
dx x
2
⇒ ∫ d (x2 y) = ∫
dx x
2
⇒ y = −x −3 + C x −2
+ r tg θ = sec θ sen θ
d θ tg θ d θ μ (θ ) == e ∫ = e ∫ cosθ ⇒ u = cos θ ;
secθ
dr d θ
du 1 1 ∫ du = − sen θ dθ ⇒ e u = e − ln u = =
−
u
cosθ
tg θ = sec 2 θ ⇒ d ( r secθ ) = sec 2 θ dθ ⇒ ∫ d ( r secθ ) = ∫ sec 2 θ dθ + r sec θ tg θ
C
= secθ
7) ( x 2 + 1)
dy dx
= x 2 + 2 x −1 − 4 xy
4 x 2 2 ln x 2 +1 4 xy x 2 + 2 x − 1 ∫ x2 +1dx 2 μ + 2 = ⇒ = = = + ( ) 1 x e e x ( ) dx x + 1 x2 +1
dy
( x 2 + 1)
2
dy dx
+ 4 xy ( x 2 + 1) = ( x 2 + 2 x −1) ( x 2 +1)
) ( dx ∫ d ( y ( x + 1) ) = ∫ ( x d
y =
y ( x 2 + 1)
2
2
2
1 5 5 x
(
= x 4 + 2 x 3 − x/ 2 + x/ 2 + 2x −1 ⇒ d y ( x 2 +1) 4
+ 12 x 4 + x 2 − x + C
( x2 + 1)
2
2
+ 2 x + 2 x −1) dx ⇒ y ( x + 1) = 3
2
2
x5
5
) = (x +
x4
2
4
+ 2x 3 + 2x −1) dx ;
+ x 2 − x +C
11) xdy = ( xsenx − y )dx xdy = ( xsenx − y )dx ⇒ x
dy dx
+ y = xsenx ⇒ −1
d dx
y = x senx − cos x + cx
12) dy dx
dy dx
dy dx
+
y x
( xy ) = xsenx ⇒ xy = senx − x cos x + c −1
+ yctgx = 2cos x
+ yctgx = 2 cos x ⇒ μ ( x ) = e ∫
senx
dx
= senx ⇒ μ (x ) = e ∫ x = x
dy
ctgxdx
+ ysenxctgx = 2 cos xsenx ⇒
= senx d
( ysenx ) = 2 cos xsenx
16) dy dx
dy dx
+ y cosh x = 10 cosh x ⇒ μ ( x) = e ∫
e senhx
∫ d (e 17) dy dx
= (10 − y ) cosh x
dy dx
dx
= e senhx
+ e senhx y cosh x = 10 cosh x( e senhx ) ⇒
senhx
dy
cosh xdx
y ) = 10
∫ cosh x(e
senhx
d dx
(e senhx y ) = 10 cosh x(e senhx )
− )dx d x ⇒ e senhx y = 10(e senhx ) + c ⇒ y = 10 + ce senhx
+ (tan x ) y = cos 2 x; donde y (0) = −1
+ (tan x) y = cos 2 x ⇒ μ ( x ) = e ∫
tan xdx
= sec x
En los problemas 1 a 37, determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Especifique un intervalo en el cual este definida la solución general.
1)
dy
= 5 y
dx dy 4) x + 2 y = 3 dx
7) y '+ 3x 2 y = x 2 10) ( x 2 − 1)
dy dx
2) 5)
dy dx dy dx
+ 2y = 0
3)
+ y = e3 x
6)
8)y ' = 2 y + x 2 + 5
+ 2 y = ( x + 1)
2
(
dx dy
+ 12 y = 4
dx
= y + ex
9) ( x + 4 y 2 ) dy + 2 y dx = 0
11)dx = ( 3e y − 2 x ) dy
13) (1 + x2 ) dy + ( xy + x3 + x ) dx = 0
12) x dy = ( xsenx xsenx − y ) dx dx
dy
)
dy
(
3
)
dy
2
En los problemas 41 a 50 resuelva la ecuación respectiva sujeta a la condición inicial indicada.
41)
dy
46)
dQ
+ 5 y = 20, y (0 ) = 2
42) y ' = 2 y + x ( e 3 x − e 2 x ) , y (0 ) = 2
dx di 43) L + Ri = E; L , R y E son constantes, i ( 0) = i0 dt dx 44) y − x = 2 y 2 , y (1) = 5 45) y '+ ( tan x ) y = cos 2 x , y ( 0 ) = −1 dy dx
= 5 x 4Q, Q ( 0 ) = −7
47)
dT dt
48) x dx + ( xy + 2 y − 2e − x ) dx = 0, y (1) = 0
= k (T − 50 ) ; , T ( 0 ) = 200
49) ( x + 1)
x
dx
+ y = ln x, dy y (1) = 10