Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden SISTEMA RESORTE-MASA

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden SISTEMA RESORTE/MASA BSR

Contenido 





Sistemas resorte /masa: Movimiento libre no amortiguado Sistemas resorte amortiguado

/masa:

Movimiento

Sist Si stem emas as re reso sort rte e /m /mas asa: a: Mo Movi vimi mien ento to fo forz rzad ado o

libre

Movimiento de un resorte

Sistemas resorte /masa: Movimiento libre no amortiguado 

Ley de Hooke:

 =   =  

Segunda ley de Newton:

 =  

Movimiento libre:

    =       =      =  

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 

      = 0



Discriminante<0



−±  − 



Soluciones:   ,   



 =   +     − 



 =           − =    cos        cos     



 =      cos      



 =   ( cos    )

− = 



±

− 

= 


    

  = 0

    = 0  = ±   = ±   =  cos    

Condiciones:

 ′ 0 = 

 0 =  

Periodo y frecuencia:

=

 



=


Ejemplo.

Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t=0 se libera la masa desde un punto que está 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3 pie/s. determinar la ecuación de movimiento.

 2 1  = = =   32 16

 =  = 2 = 

 

 = 4 

1   4 = 0 16  

  64 = 0  


Condiciones: x(0)=2/3, x’(0)=-4/3



Ecuación auxiliar:



  64 = 0







 = ± 64 = ±8

  =  cos 8    8  =   ′  =

8  8  8 cos8







  = 8



  =  cos8    8



 =   

Sistemas resorte /masa: Movimiento libre amortiguado 

ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

m

d 2 x



2

dt

kx  

dx

β ≥ 0 es una constante de amortiguamiento

dt

 dx d 2 x k   m dt m x  0 dt 2 d 2 x 2

dt

s 2





2

2 s



dx dt

2



 2 x



0



2



k m

,

0

ecuación auxiliar

2 2  2 4 2

2



 m

Sistemas resorte /masa: Movimiento libre amortiguado ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO



s 1



t 

2

 

s 1 t

 c1 e

t 



t 

 e

como

c1e



 2

s 2

s 2 t

 c2e

  2  2 t

t c e 1 

 2  2 t



0,



2

 

 2

Solución general



c 2 e

 c2e

t

  2  2 t



 2  2 t

t 

0




CASO I:



2



2



0,

2 4m 2



k m



0,

1

m

2 4m

 k



0

El sistema está sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento β es grande comparado con la constante del resorte k.

t 

 e

t

t c e 1





 2  2 t

xt 

 c2 e



0



 2  2 t




CASO II:



2



2



1

0

m

2 4m

 k



0

Este sistema está críticamente amortiguado porque cualquier ligera disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio.

t 

 e

t 



t 

t c e 1

 2  2 t

 c2 e



 2  2 t

c 1 e t  c 2 te t



c 1



 c 2 t e

t




CASO III:



2



2



1

0,

m

2 4m

 k



0

El sistema está subamortiguado puesto que el coeficiente de amortiguamiento β es pequeño comparado con la constante del resorte k .  2  2 t

 2  2 t

t 



e

t c e i 1

t 



e

t c cos 1

2

  2 t  ic 1 sin

2

  2 t

e

t c cos 2

2

  2 t  ic 2 sin

2

  2 t



c2e

i


CASO III:

t 

t 

 e



t

e



t

c3

2



c 1

cos

t



2



2



1

0,

c 2  cos

m

2

  2 t  c 4 sin



xt 



2 4m

 k



  2 t  ic 1  ic 2  sin

2

0

  2 t

0 2

  2 t

Sistemas resorte /masa: Movimiento forzado 

ED DE MOVIMIENTO FORZADO (O DIRIGIDO) CON AMORTIGUAMIENTO

f t 

f(t) podría representar una fuerza motriz que causa un movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte.

m

m

d 2 x dt 2



kx  

dx t   f dt

2

d x dx    kx  2 dt dt

f t 

f t   dx d 2 x k x    m dt m m dt 2 d 2 x 2

dt



2

dx dt



 2 x



F t 

β 

0 

2



2

t 





k m

,

 m

f t  m


ED DE MOVIMIENTO FORZADO (O DIRIGIDO) CON AMORTIGUAMIENTO d 2 x 2

dt



2

dx dt



 2 x



F t 

Resolver primero la ED Homogénea. d 2 x 2

dt



2

dx dt



 2 x



0

Solución general: xt  c

t 

 e

t c e 1



 2  2 t

x c t   x p t   c2 e



 2  2 t


Caso 1: movimiento forzado sobreamortiguado



2  2  0 Caso 2: movimiento forzado críticamente amortiguado





2

 2



2

 2



0 Caso 3: movimiento forzado subamortiguado 0 Caso especial: movimiento forzado sin amortiguamiento





0


Ejemplo.

m



0 m



0 m,

x





2. 0 kg / s, k

0

/

 v 0 m s

d 2 x dx    kx  2 dt dt

d 2 x dt 2

2

1. 0 kg , β



  2

2

dx dt





2 x



2. 0 N /m, f t 



cos2t N

v 0  cte

f t  2

 cos 2t

1  2



0





2

2,

 1





0

2

F t 



cos2t

Caso 3:


Ejemplo. c

t 

 e

t c e 1

c

t 



e

it t  c1e

c

t 

 e

c

t 



c

v



t  c



t c

3

 2  2 t



c2e

 c2e

 c 4 sin t  e t  dt x

x0 

0

t

d



 2  2 t

it 

cos t  c 4 sin t 

c 4 sin t  e



t 



c 4 e t cos t  sin t 

v sin t e t

x  0



v0

Sistemas resorte /masa: Movimiento forzado Ejemplo.



p t   

p t   

p t   d 2 x 2

dt



A cos 2t  B sin2t

coeficientes indeterminados

2 A sin2t  2 B cos 2t

4 A cos 2t  4 B sin2t

2

dx dt



2 x

 cos 2t

4 A cos 2t  4 B sin2t  22 A sin2t  2 B cos 2t   2 A cos 2t  B sin2t 

2 A  4 B cos 2t  4 A  2 B sin2t  cos 2t

 cos 2t


Ejemplo.

2 A  4 B 4 A  2 B p

t 



t 



t 



t







1



0

1 10



1

cos 2t 

5

1 10

B



1 5

sin2t

x c t   x p t  v0

sin t 

e

t



v 0 sin t  e

t

1

cos2t  10 

0

1 sin2t 5


Ejemplo.

t 



v 0 sin t  e

t

estado transitorio



1

cos 2t  10

1 5

sin2t

estado estable

Gráfica característica de la solución x(t) = estado estable + estado estable

Bibliografía 



Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 9na Edición. Peter V. O’Neil. Advanced Engineering Mathematics. 7th edition.

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden SISTEMA RESORTE-MASA

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