ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN YOEL GUTIÉRREZ UNEXPO-PUERTO ORDAZ
1
Intr Introdu oducc cció ión n
En la ingeniería se desarrollan modelos que producen ED lineales de segundo orden. Algunos ejemplos de estos modelos son las vibraciones mecánicas. Consideremos un resorte que resiste compresión y estiramiento, sujeto a un soporte rígido. Un cuerpo de masa m se sujeta en el otro extremo del resorte y lo estira una lingitud s , llegando a una posición de equilibrio (ver Figura 1) Soporte rígido
Resorte sin estirar
m Posición de equilibrio
x
m
Figura 1: Sistema resorte-masa Denotemos con x la distanc distancia ia del cuerpo cuerpo a su posición de equilibrio equilibrio.. Tomamos omamos x > 0 cuando el resorte está por debajo de la posición de equilibrio y x < 0 cuando está por encima. La segunda ley de Newton, fuerza es igual a masa por aceleración d2 x m 2 = F; F ; dt
es una EDO de segundo que parece con mucha frecuencia frecuencia en la práctica. práctica. Aplicaremos Aplicaremos esta ley al sistema masa-resorte para obtener una EDO de segundo orden más general, 1
que gobierne el movimiento del cuerpo, tomando en cuenta las fuerzas que actían sobre él debido a la elasticidad del resorte, el peso del cuerpo, la fricción (amortiguamiento) (amortiguamiento) y las posibles fuerzas externas. Al desplazar la masa m con respecto respecto de la posición posición de equilibrio, equilibrio, el resort resortee se estira o se comprime y ejerce una fuerza que reiste al desplazamiento. Para la mayor parte de los resortes, esta fuerza es directamente proporcional a la distancia que el resorte ha sido alargado o comprimido, por lo que está dada por F r =
(1)
k (s + x + x)) ;
donde la constante positiva k es la rigidez del resorte y el signo negativo indica la natur naturale aleza za de oposic oposición ión de la fuer fuerza. za. La ecuació ecuaciónn (1), (1), conoc conocida ida como como la ley ley de Hooke, sólo es válida para desplazamientos su…cientemente pequeños. El peso del cuerpo W = mg
está equilibrado por F r : En la posición de equilibrio mg
(2)
ks = ks = 0
Prácticamente todos los sistemas mecánicos experimentan la fuerza de fricción; por lo general, para el movimiento de vibración, esta fuerza se modela mediante un término proporcional a la velocidad: F f f =
b dx ; dt
(3)
donde b 0 es el coe…ciente de amortiguamiento, y el signo negativo tiene el mismo signi…cado que en la ecuación (1). Las otras fuerzas que actúan sobre el oscilador se consideran por lo general como externas al sistema. Aunque estas pueden ser gravitacionales, eléctricas o magnéticas, lo común es que las fuerzas externas más importantes sean transmitidas a la masa sacudien sacudiendo do la base base de la que cuelga el resort resorte. e. Repres Represen entar taremo emoss todas las fuerzas fuerzas externas por una función conocida F e(t): Si no hay otras fuerzas fuerzas de retardo que actúen sobre sobre el sistema, entonces la fuerza fuerza neta o resultante es F n = F = F r + W + W + F f f + F e (t)
Aplicando la segunda Ley de Newton obtenemos d2 x m 2 = dt =
Como mg ks = ks = 0;
dx k(s + x + x)) + mg + mg b + F (t) dt dx ks kx + kx + mg mg b + F (t) dt
d2 x m 2 = dt
e
e
kx b dx + F (t) dt e
2
Así, la EDO para el sistema mecánico masa-resorte es d2 x dx m 2 + b + kx = kx = F F e (t): dt dt
(4)
Nuestr Nuestroo objetivo objetivo es obtener obtener una descripc descripción ión cualitat cualitativ ivaa de las solucion soluciones es de la EDO de la forma (4), llamada ED lineal de segundo orden con coe…cientes constantes. Para comenzar el estudio de estas ecuaciones diferenciales necesitamos ciertas de…niciones de…niciones y terminologías terminologías comúnes. comúnes. segundo orden orden De…nición 1.1 Una ecuación diferencial ordinaria es lineal de segundo si se puede escribir de la forma
d2 y dy a2 (x) 2 + a1 (x) + a + a0 (x)y = f = f ((x); dx dx
(5)
o más brevemente 00
0
a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = f = f ((x); donde a2 ; a1 ; a0 y f dependen f dependen sólo de x y no de y: Cuando a2 ; a1 ; a0 son constantes, diremos que la ecuación (5) tiene coe…cientes constantes, en caso contrario, tiene coe…cientes coe…cientes variables.
Modelaremos problemas mediantes un PVI de segundo orden que involucra un ED lineal, estos PVI son de la forma 00
0
a2 (x)y + a1(x)y + a0 (x)y = f = f ((x);
y(x0 ) = y 0 ;
y0 (x0 ) = y 1 :
(6)
Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función de…nida en algún intervalo I que contenga a x 0 , y satisfaga la ecuación diferencial y las 2 condiciones iniciales especi…cadas en x 0 : y(x0 ) = y0 ; y 0 (x0 ) = y1 . Existe un teorema de existencia y unicidad para el PVI anteior, similar al correspondiente teorema para el PVI que involucra una ED lineal de primer orden. Teorema 1.1 (Teorema de existencia y unicidad) Sean a a2 (x); a 1 (x); a 0(x) y f ( f (x) funciones funciones continuas ontinuas en un intervalo intervalo I , y sea a2 (x) = 0 para cada x del intervalo intervalo.. Si x0 es cualquier punto en I I y si y y 0 ; y1 ; son números arbitrarios, el PVI (6) tiene una y sólo una solución y (x) en el intervalo I .
6
La cuestión de existencia de una solución no constituye en realidad un problema. Sin embargo, es muy importante saber que la solución es única.
3
2
Ecuaciones lineales homogéneas: Caso general
De…nición 2.1 Una ecuación lineal de segundo orden de la forma d2 y dy + a (x) + a0 (x)y = 0 1 dx2 dx se llama homogénea , mientras que una ecuación a2 (x)
d2 y dy a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = f (x) dx dx donde f (x) nos es idénticamente cero, se llama no homogénea .
(7)
(8)
Al estudiar la ecuación no homogénea (8), es necesario considerar a la par la ecuación homogénea (7). Bajo estas condiciones se habla de (8) como una ecuación completa y de (7) como la ecuación reducida asociada a ella. En el siguiente teorema veremos que la suma o superposición de dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden también es una solución. Teorema 2.1 (Principio se superposición, ecuaciones homogéneas) Si y1 ; y2 son 2 soluciones de la ED lineal homogénea (7) de orden 2 en un intervalo I , la combinación lineal y(x) = c 1 y1 (x) + c2 y2 (x) en donde c 1 ; c2 son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en I . Prueba. Como y 1 ; y2 son 2 soluciones de la ED lineal homogénea (7) en I ; entonces d2 y1 dy1 a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y1 = 0 dx dx y
d2 y2 dy2 a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y2 = 0 dx dx en I: Por lo tanto, si c1 ; c2 son constantes arbitrarias y y = c 1 y1 + c2 y2 ; entonces
= = = =
d2 y dy a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y dx dx 2 d d a2 (x) 2 (c1 y1 + c2 y2 ) + a1 (x) (c1 y1 + c2 y2 ) + a0 (x) (c1 y1 + c2 y2 ) dx dx 2 d y1 dy1 d2 y2 dy2 c1 a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y1 + c2 a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y2 dx dx dx dx c1 :0 + c2 :0 0
en I; y el teorema queda demostrado.
4
Nótese que: 1. Un múltiplo constante y(x) = c1 y1 (x) de una solución y1(x) de una ED lineal homogénea también es una solución. 2. Una ED lineal homogénea siempre tiene la solución trivial y(x) = 0 . Sabemos que la solución general de una ED lineal homogénea de segundo orden es biparamétrica (tiene dos parámetros). Ahora, por el principio de superposición, si y1 ; y2 son 2 soluciones de la ED lineal homogénea (7) en un intervalo I , entonces y(x) = c 1 y1 (x) + c2 y2 (x)
(9)
en donde c1 ; c2 son constantes arbitrarias, también es una solución en I . Entonces nos preguntamos, ¿es la ecuación (9) la solución general de la ED lineal homogénea (7) en I ?, esto es, ¿toda solución de la ecuación homogénea (7) se puede escribir de la forma (9), para una elección adecuada de las constantes c 1; c2 ? Para dar respuesta a esta pregunta nótese que: 1. Si y 2(x) es la solución idénticamente nula en I , entoces c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = c 1 y1 (x)
tiene en realidad una sola constante y no puede esperarse que sea la solución general de la EDO (7) en I : 2. Si y2 (x) es un múltiplo constante de y1 (x) en I; digamos y2 (x) = ky1 (x) en I; entonces de nuevo c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = c 1 y1 (x) + ky1 (x) = (c1 + k)y1 (x) = C y1 (x)
tiene en realidad una sola constante. Luego, una de las condiciones que necesitamos es la independencia lineal. De…nición 2.2 Dos funciones f 1 (x) y f 2 (x) se dice que son linealmente dependientes (l.d.) en un intervalo I si existen dos constantes c 1 ; c2 no todas cero, tales que para toda x en I c1 f 1 (x) + c2 f 2 (x) = 0: (10) En caso contrario se dice que el conjunto es linealmente independiente (l.i.).
En otras palabras, dos funciones son l.i. en un intervalo si las únicas constantes para las que se cumple (10) para toda x en el intervalo son c 1 = c2 = 0:
5
Nótese que si las dos funciones f 1 (x) y f 2 (x) son l.d. en un intervalo, existen constantes, c 1 y c 1 , que no son cero a la vez, tales que, para toda x en el intervalo se cumple (10); por consiguiente, si suponemos que c 1 6 = 0 , entonces f 1 (x) =
cc f (x); 2 1
2
esto es, si dos funciones son l.d., entonces una es múltiplo constante de la otra. Al revés, si f 1 (x) = c 2 f 2 (x) para alguna constante c 2 , entonces ( 1)f 1 (x) + c2 f 2 (x) = 0
para toda x en algún intervalo. Así, las funciones son l.d. porque al menos unas de las constantes no es cero. Llegamos a la conclusión de que dos funciones son l.i. en un intervalo I cuando ninguna es múltiplo constante de la otra en I . Esto es, el cociente f f ((xx)) no es constante en un intervalo en que f 1 (x) y f 2 (x) son l.i.. Para estudiar la dependencia lineal de 2 soluciones particulares de una ED lineal homogénea podemos recurrir a un determinante, como se muestra en el siguiente teorema 1 2
Teorema 2.2 Sean y1 ; y2 ; 2 soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden 2 (7) , donde a2 ; a1 y a0 son continuas en algún intervalo dado I y an (x) = 0 para toda x en I .
6
1. y1 ; y2 ; son linealmente dependientes en I si y sólo si el Wronskiano de y1 e y2 dado por y y W (y1 ; y2 ) = 10 20 y1 y2 es idénticamente nulo en el intervalo.
2. y1 ; y2 ; son linealmente independientes en I si y sólo si W (y1 ; y2 ) = 0 para cada x en I .
6
3. W (y1 ; y2 ) = 0 para cada x
2 I , o bien, W (y ; y ) 6= 0 para cada x 2 I . 1
2
Cualquier conjunto y1 ; y2 de dos soluciones l.i. de la ED lineal homogénea (7) de segundo orden en un intervalo I se dice que es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. Semejante al hecho de que cualquier vector en dos dimensiones puede expresarse como una combinación lineal de los vectores linealmente independientes i y j; Cualquier solución de una ED lineal homegénea de segundo orden en un intervalo I puede expresarse como una combinación lineal de dos soluciones l.i en I :
6
Teorema 2.3 (Solución general, ecuaciones homogéneas) Si y1 ; y2 ; son 2 soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea de orden 2 (7), en un intervalo I , entonces (11) y = c 1 y1 + c2 y2 es una solución de (7) para cualesquiera constantes c 1 ; c2 . Recíprocamente, toda solución de (7) tiene la forma (11) para selecciones apropiadas de las constantes c1 ; c2 . Prueba. Sean y 1 ; y2 ; 2 soluciones linealmente independientes de la EDO lineal ho-
mogénea
d2 y dy a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = 0 dx dx
en un intervalo I ; por el principio de superposición es inmediato que y = c 1 y1 + c2 y2
también es una solución en I para cualesquiera constantes c 1 ; c2 . Sea (x) una solución de la EDO lineal homogénea en I ; sea x = t un punto en I y consideremos el sistema de ecuaciones
c y (t) + c y (t) = (t) 1 1
2 2
0
0
0
c1 y1 (t) + c2 y2 (t) = (t):
(12)
Como y1 ; y2 ; son soluciones linealmente independientes de la ED lineal homogénea de segundo orden en I , entonces W (y1 ; y2 ) 6 = 0 para cada x 2 I , por lo tanto, como t
2 I
y (t) y (t) 1 0
1
y2 (t) y2 (t) 0
6= 0:
Esto garantiza que el sistema (12) tiene solución única, esto es, podemos determinar c1 y c2 de manera única. Luego, toda solución de (7) se puede escribir de la forma (11) para selecciones apropiadas de las constantes c 1 ; c2 .
3
Ecuaciones lineales coe…cientes constantes
homogéneas
con
Estudiaremos con detalle las soluciones de la ED lineal homogénea ay 00 + by 0 + cy = 0
(13)
en el caso especial en que a , b y c son constantes reales. Nuestro punto de partida es la propiedad de la función exponencial emx de que sus derivadas son todas múltiplos de la propia función, lo que nos conduce a considerar y = e mx
7
como una posible solución de (13) si la constante m se escoge adecuadamente. Como y0 = me mx e y 00 = m 2 emx , sustituyendo en (13) vemos que (am2 + bm + c)emx = 0;
(14)
y puesto que e mx nunca se anula, (14) se cumple si y sólo m satisface la ecuación am2 + bm + c = 0;
(15)
llamada ecuación auxiliar o ecuación característica de la EDO (13). Examinaremos tres casos: Las soluciones de la ecuación característica que corresponden a raíces reales distintas, raíces reales e iguales y raíces complejas conjugadas. 3.0.1
Caso 1: Raíces reales distintas.
Si la ecuación (15) tiene dos raíces reales distintas, m1 y m2 , llegamos a las soluciones y1 = e m x y y 2 = e m x. Estas funciones son linealmente independientes en ( 1; 1), en efecto, como m 2 6 = m 1 1
2
e W (y ; y ) = me
m1 x
1
2
1
m1 x
em x m2 em x 2
2
= (m m ) e 2
1
(m1 +m2 )x
es no nulo para cada x 2 (1; 1); en consecuencia, la solución general de la ecuación (13) en ese intervalo es y = c 1 em x + c2 em x : 1
3.0.2
2
Caso 2: Raíces reales e iguales.
Si la ecuación (15) tiene un única raíz real, entonces b2 4ac = 0 y la raíz es m = 2ba : en este caso y1 = e mx = e
b
2a
x
es una solución de la ED lineal homogénea (13) en ( 1; 1). Se demuestra que y2 = xemx = xe
b 2a
x
es una segunda solución de la ecuación (13) en ( 1; 1), en efecto, sustituyendo y 2 ; y2 y y 2 en (13) obtenemos que 0
00
8
2
ay00 + by 0 + cy 2
2
2
=
b b b a + x e + b 1 x e a 4a 2a b b b + 4a x + b 2a x + cx e b 2b + 4ac b 2a
= =
2
b
2a
2
=
b 2a
2
2
=
x
2
4a b2 4ac xe 4a 0 x xe 4a
= 0:
xe
b 2a
b
2a
x
+ c xe b
2a
x
x
x
x
b
2a
Por otra parte, como w(y1 ; y2 )(x) =
e xe e 1 x e b bx b 2a
b
b
2a
2a
=
1
= e
b a
b 2a
x
2a x
x
b
x
2a
e
b a
x
+
2a
e
b a
b 2a
x
x
x
no se anula en (1; 1), las dos soluciones, y1 y y2 son l.i en en (1; 1): Por lo tanto (15) tiene a y = c 1 emx + c2 xemx = (c1 + c2 x) emx :
como su solución general en ( 1; 1). 3.0.3
Caso 3: Raíces complejas conjugadas.
Si la ecuación (15) tiene dos raíces complejas conjungadas, digamos m1 = + i y m2 = i , donde y son números reales; entonces, y = c 1 e(+i)x + c2 e(i )x ;
(16)
es solución de la ecuación (13) para cada elección de las constantes c1 y c2 : Sin embargo, en la práctica se pre…ere trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas. Con este objeto se usa la fórmula de Euler: ei = cos + isen;
en que es un número real. 9
Como (16) es una solución de (13) para cualquier elección de las constantes c 1 y c2 , si c 1 = c 2 = 1, obtenemos la solución y1 = e (+i )x + e(i)x = e x (eix + eix ) = 2ex cos(x);
y si c 1 = 1 y c 2 = 1, obtenemos la solución y2 = e (+i )x
(i )x
e
= e x(eix
ix
e
) = 2iex sen(x):
En consecuencia, por el principio de superposición para las ecuaciones homogéneas 1 y1 = e x cos(x) y 2
1 y2 = e x sen(x) 2i
también son soluciones de la ecuación (13). Además, se demuestra que esas soluciones son linealmente independientes en (1; 1); por tanto, la solución general de la ecuación (13) en ( 1; 1) es y = (c1 cos(x) + c2 sen(x))ex : Teorema 3.1 (Existencia y unicidad: Caso homogéneo) Para cualesquiera números reales a2 ;,a1 ;,a0 ; x0 ; y0 ; y1 ; con a2 = 0; existe una única solución del PVI
6
00
0
a2 y + a1 y + a0 y = 0; y(x0 ) = y 0 ;
y0 (x0 ) = y 1 ;
válida para toda x en (
1; 1):
Ejercicios 1 1. Veri…que que la ecuación
d2 x m 2 + kx = 0 dt
q tiene una solución de la forma x(t) = sen!t; donde ! = : k m
2. Para la ecuación
d2 x dx m 2 + b + kx = 0; dt dt
veri…que lo siguiente: (a) Si x(t) es una solución, también lo es cx(t), para cualquier constante c , (b) si x 1 (t) y x 2(t) son soluciones, también lo es su suma. 3. Veri…que que x(t) = 3sen3t + cos 3t es una solución del PVI 00
2x + 18x = 0;
x(0) = 1;
x0 (0) = 6:
Determine el máximo de jx(t)j para -1 < t < 1: 10
4. Determinar si las funciones f (x) y g(x) son linealmente independientes en el intervalo (0; 1): (a) (b) (c) (d)
f (t) = e t sen2t y g(t) = e t cos2t f (t) = tan2 t
2
sec
t y g(t) = 3
y g(t) = e t
f (t) = 0
f (t) = x y g(t) = x 2
5. Sean f (t) = t3 y g(t) = jt3 j : (a) ¿Son f (t) y g(t) linealmente independientes en los siguientes intervalos? i) (0; 1); ii) ( 1; 0); iii) ( 1; 1) (b) Calcules el wronskiano de esta dos funciones en ( 1; 1) 6. Hallar una solución general de cada ecuación (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
00
x + x
0
x = 0 2w + 7w 4w = 0 x x 11x = 0 00
0
00
0
00
0
4y + 20y + 125y = 0 00
y + y = 0 y
00
y
00
00
0
10y + 26y = 0 4y + 7y = 0 0
0
y + 4y + 8y = 0
7. Resuelva cada PVI (a) y + y = 0; y(0) = 2; y (0) = 1 (b) y 4y + 3y = 0; y(0) = 1; y (0) = 0
00
0
0
0
1 3 25 3
(c) y 6y + 9y = 0; y(0) = 2; y (0) = (d) y + 2y + 17y = 0; y(0) = 1; y (0) = 1 (e) y + 9y = 0; y(0) = 1; y (0) = 1 00
0
00
0
00
0
0
0
11
4
Ecuaciones lineales no homogéneas
El siguiente teorema será de mucha utilidad cuando consideremos los métodos para encontrar soluciones particulares de EDO lineales no homogéneas con coe…cientes constantes. Teorema 4.1 (Principio de superposición, ecuaciones no homogéneas) Si y p representa una solución particular de ED lineal no homogénea
i
d2 y dy a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = f i (x); dx dx en donde i = 1; 2; : : : ; k. Entonces y p = c 1 y p + c2 y p + : : : + ck y p 1
2
k
es una solución particular de d2 y dy a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = c 1 f 1 (x) + c2 f 2 (x) + : : : + cf k (x); dx dx para cualquier elección de las constantes c1 ; c2 ;:::;ck :
¿Qué forma tiene las soluciones generales de las ED lineales no homogéneas? La respuesta a esta pregunta la mostramos a continuación. Teorema 4.2 (Solución general, ecuaciones no homogéneas) Si y1 ; y2 son 2 soluciones linealmente independientes de la ecuación d2 y dy a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = 0 dx dx
(17)
y y p es una solución particular de d2 y dy a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = f (x) dx dx
(18)
donde f es continua en I , entonces y = c 1 y1 + c2 y2 + y p
(19)
es una solución de (18) para cualesquieras constantes c1 ; c2 . Recíprocamente, toda solución de (18) tiene la forma (19) para selecciones apropiadas de las constantes c1 ; c2 .
12
Usulamente, la solución general de la homogénea asociada c1 y1 + c2 y2 se denota por yc y se llama solución complementaria. Así, la solución general de la ecuación no homogénea (18), en un intervalo I es de la forma y = y c + y p
Para encontrar la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea (18), debemos pasar por dos momentos 1. Determinar la solución general de la ecuación homogénea asociada, y c. 2. Establecer cualquier solución particular, y p , de la ecuación no homogénea. Entonces, la solución general de (18) en un intervalo es y = yc + y p . Estudiaremos las ecuaciones lineales en donde los coe…cientes de la homogénea asociada son constantes, en este caso no existirá problema alguno para hallar yc: Pero, en tales circunstancias, ¿cómo hallar y p ? Existen muchos métodos por medio de los cuales se pueden obtener soluciones particulares, a continuación nos referiremos a dos de ellos.
4.1
El método de los coe…cientes indeterminados
Un método a menudo usado en Física e Ingeniería es el método de los coe…cientes indeterminados . La idea básica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la forma de y p originada por los tipos de funciones que forman el dato g(x). El método es básicamente directo, pero está limitado a ecuaciones lineales no homogéneas, como la ecuación (18), en que: 1. Los coe…cientes a 0 ; a1 ; a2 son constantes. 2. f (x) es una función polinomial, una función exponencial erx donde r es constante, una función seno o coseno como senrx, cos rx, o sumas y productos …nitos de estas funciones. A continuación mostramos la forma de y p originada por algunos tipos de funciones que forman el dato f (x): 1. Para un polinomio de grado n , asuma un polinomio de grado n . 2. Para términos como senrx o cos rx, asuma Asenrx + B cos rx. 3. Para términos como e rx , asuma Ae rx . 4. Para un producto …nito de términos como los anteriores, asuma una combinación lineal de todas las funciones linealmente independientes generadas por diferenciaciones repetidas de f (x) 13
5. Para una suma o diferencia …nita de términinos como los anteriores, aplique el principio de superposición. Si algunos de los términos asumidos ocurre en la solución complementaria, debemos multiplicar estos términos asumidos por una potencia de la forma xn; con n el entero positivo más pequeño, de modo que ninguno de los términos asumidos aparezca en la solución complementaria.
4.2
El método de variación de parámetros
Consideremos la ED lineal no homoénea
a2 (x)y 00 + a1 (x)y0 + a0 (x)y = f (x):
(20)
El método de los coe…cientes indeterminados, para hallar una solución particular de la ecuación (20) tiene dos serias limitaciones: puede usarse sólo cuando los coe…cientes a2 , a1 y a0 son constantes, e incluso entonces sólo funciona si el término de la derecha f (x) tiene una forma particularmente sencilla. Dentro de estas limitaciones, ese método suele ser el más simple de aplicar. Ahora desarrollaremos otro método más potente que funciona siempre, sean cuales sean a 2 , a 1 y a 0 y f (x), y supuesto sólo que la solución general de la correspondiente ecuación homogénea (21) a2 (x)y00 + a1 (x)y0 + a0 (x)y = 0; se conoce de antemano. La ED (20) se puede escribir de la forma
y00 + P (x)y0 + Q(x)y = g(x);
(22)
donde P (x) = aa ((xx)) ; Q(x) = aa ((xx)) y g(x) = af ((xx)) Supongamos que P (x); Q(x) g(x) son continuas en algún intervalo I ; y que se ha encontrado de algún modo la solución general 1
0
2
2
2
y = c 1 y1 (x) + c2 y2 (x)
de la homogénea asociada. El método de variación de parámetros permite encontrar dos funciones desconocidas, v 1 (x) y v 2 (x); de manera tal que y p = v1 y1 + v2 y2
(23)
sea una solución particular de (22). Para encontrar estas dos funciones desconocidas, empecemos calculando la derivada de (23), agrupada como sigue: y p0 = (v1 y10 + v2 y20 ) + (v10 y1 + v20 y2 ):
14
(24)
Otra derivación introduciría segundas derivadas de las incógnitas v 1 y v 2 . Evitamos esa complicación exigiendo que v10 y1 + v20 y2 = 0:
(25)
y p0 = v1 y10 + v2 y20 :
(26)
Esto da Así que
y p00 = v 1 y100 + v10 y10 + v2 y200 + v20 y20 :
(27)
Sustituyendo (23), (26) y (27) en (22) y reordenando se llega a v1 (y100 + P (x)y10 + Q(x)y1 ) + v2(y200 + P (x)y20 + Q(x)y2 ) + v10 y10 + v20 y20 = g(x):
Como y1 e y2 son soluciones de la homogénea asociada a la ecuación (22) , las dos expresiones entre paréntesis son cero, y se obtiene
v10 y10 + v20 y20 = g(x):
(28)
Teniendo en cuenta (25) y (28) conjuntamente tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas v 10 y v 20
v0 y
+ v20 y2 = 0 0 0 0 0 v1 y1 + v2 y2 = g(x); 1 1
cuya solución es v10 =
y g(x) W (y ;y ) 2
1
y
2
v20 =
y1 g(x) : W (y1 ; y2 )
(29)
Hay que hacer notar que estas fórmulas son legítimas, ya que el Wronskiano de los denominadores es no nulos por la independencia lineal de y1 y y2 . Integrando cada ecuación en (29) obtenemos. v1 =
Z
y2 g(x) dx y v2 = W (y1 ; y2 )
Z
y1 g(x) dx: W (y1 ; y2 )
Resumiendo toda la información podemos a…rmar que y p = y 1
Z
Z
y2 g(x) dx + y2 W (y1 ; y2 )
es la solución particular de (20) que buscábamos.
15
y1 g(x) dx W (y1 ; y2 )
Ejercicios 2 1. Hallar una solución general para cada ED lineal, aplicando el método de los coe…cientes indeterminados (a) y + y (b) y + y (c) y + y 00
0
00
0
00
0
4x
6y = e 6y = e 6y = 5te 2x
2t
; Sol : y = c 1 e + c2 e3t + 12 t2 15 t e2t (d) 2y + y = 1 + 2e x; Sol : y = c + c e x + 2x2 9x 2xe 2t
00
0
1
2
1
1
2
2
p (e) y + 3y = sen( 3x); p p Sol : y = c cos( 3x) + c sen( 3x) 1
2
1 2
00
1
2
(f) y 4y + 13y = 3 cos(3x) (g) 2y + y 6y = senx + 3e2x ; 00
0
Sol : y = c 1 e2x + c2 e
3 2
x
8 65 senx
(h) y + 9y = 2sen(3x) + senx; 00
Sol : y = c 1 cos(3x) + c2 sen(3x) y
00
y
00
00
p
1 p t cos( 3x) 4 3
0
00
(i) (j) (k) (l)
x
2y 2y
0
= 12x
0
+ 5y = e xsenx
1 65 cos x
3 2x 7 xe
1 1 3 x cos(3x) + 2 senx
10
0
y + y + y = xsenx 00
y + 4y = 4sen(2x); Sol : y = c 1 cos(2x) + c2 sen(2x)
(m) y + y 00
0
3x
12y = 2x + e ; Sol : c e c e x 3x
1
2
1 6
4x
x cos(2x)
1 1 3x 72 + 7 xe
2. Hallar la solución general de la homogénea asociada y determine la forma, aplicando el método de los coe…cientes indeterminados, de una solución particular de cada ecuación. (No evalúe los coe…cientes) (a) (b) (c) (d)
00
0
2y + 3y = 3 + e
3 2
t
00
y + 9y = 4t3 sen(3t) 00
y + y 00
0
2t
6y = 5te 0
y + 2y + 2y = 8t2 et sent
16
3. Resuelva por el método de variación de parámetros el PVI 2
Sol: (x4
2x
4y0 + 4y = 12x 6x e x 2x + 1) e y 00
2
0
; y(0) = 1; y (0) = 0:
2x
4. Hallar una solución general de cada ED lineal aplicando el método de variación de parámetros (a) y00 + 4y0 + 4y = e2x ln x Sol : y = c1 + c2 x + x2 12 ln x 34 e2x (b) 4y00 + 4y0 + y = x2 e Sol : y = c1 + c2 x 14 (1 + ln x) e x (c) 3y 0 + 2y = (1 + ex )1 (d) y00 + 2y0 + y = (ex 1)2 Sol : y = (c1 + c2 x ln(1 ex )) ex (e) y00 + 2y0 + y = (ex + 1)2 Sol : y = (c + c x + ln (1 + ex )) ex
x 2
1
5
1 2
2
Vibraciones mecánicas
Regresaremos al sistema masa-resorte descrito en la introducción de este tema y analizaremos su movimiento con más detalle. La ecuación que lo describe es d2 x dx m 2 + b + kx = F e (t); dt dt
(30)
donde m > 0 es la masa del cuerpo sujeta en uno de los extremos del resorte, b 0 es la constante de amortiguaiento, k > 0 es la rigidez del resorte y F e (t) es la fuerza externa que actúa sobre el sistema.
5.1
Movimiento libre no amortiguado
Primero nos centraremos en un caso sencillo, cuando b = 0 y F e (t) = 0; llamado el movimiento libre sin amortiguamiento. Entonces la ecuación (30) se reduce a d2 x m 2 + kx = 0: dt
q Dividiendo por m y haciendo ! = , la ecuación anterior se puede escribir como k m
d2 x + ! 2 x = 0 2 dt
17
(31)
Esta ecuación describe el movimiento libre no amortiguado de un cuerpo. La ecuación auxiliar de (31) es r2 + ! 2 = 0; que tiene raíces complejas conjugadas !i: Por lo tanto, su solución general es
x(t) = c 1 cos(!t) + c2 sen(!t)
(32)
Dos condiciones iniciales asociadas con la ecuación (31) son x(0) = a, la cantidad de desplazamiento inicial, y x (0) = b; la velocidad inicial del cuerpo. Por ejemplo, si a > 0 y b < 0; el cuerpo parte de un punto debajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si a < 0 y b = 0; el cuerpo se suelta partiendo del reposo desde un punto jaj unidades arriba de la posición de equilibrio. Para analizar el movimiento descrito por la ecuación (31) conviene escribir su solución general (32) de la forma 0
x(t) = Csen(!t + );
con C 0: Aplicando identidades trigonométricas obtenemos que Csen(!t + ) = C (sen(!t)cos() + sen()cos(!t)) = (Csen()) cos(!t) + (C cos()) sen(!t)
Luego, como (32) y (33) son iguales, entonces C 1 cos(!t) + C 2 sen(!t) = (Csen()) cos(!t) + (C cos()) sen(!t)
Por lo tanto y
C 1 = Csen()
Esto es sen() =
donde
C 1 C
C 2 = C cos()
y cos() =
C 2 c
C 12 + C 22 sen () + cos () = C 2 2 C 1 + C 22 1 = C 2 2
2
C =
y
8> arctag ; >>> >>< + arctag ; 2 + arctag ; = >>> 0; >>> ;; : ; c1 c2
c1 c2
c1 c2
2 3 2
18
q
c21 + c22
si C 1 > 0 y C 2 > 0 si C 2 < 0 si C 1 < 0 y C 2 > 0 si C 1 = 0 y C 2 > 0 si C 1 = 0 y C 2 > 0 si C 1 > 0 y C 2 = 0 si C 1 < 0 y C 2 = 0
(33)
Es evidente de (33) que el movimiento de una masa en un sistema libre de amortiguamiento es un onda sinusoidal, o lo que se llama un movimiento armónico simple (ver Figura 2). La constante C es la amplitud del movimiento y ; que varía de 0 a 2; es el ángulo fase. El movimiento es periódico con periodo T = 2! ; y frecuencia natural 2! : El periodo se mide en unidades de tiempo y la frecuencia natural en periodos (o ciclos) por unidades de tiempo. La constante ! es la frecuencia circular o angular para la función seno en (33) y se mide en radianes por unidad de tiempo. x
C Periodo
-Φ / ω
2π/ ω
t 2π /ω -Φ/ω
Figura 2: Movimiento libre y no amortiguado Nótese que la amplitud y el ángulo fase dependen de las constantes C 1 y C 2 ; que a su vez quedan determinadas por la posición y velocidad inicial de la masa. Sin embargo, el periodo y la frecuencia dependen sólo de k y m y no de las condiciones iniciales. Las unidades con las cuales trabajaremos en los problemas que involucran vibraciones mecánicas se resumen en la siguiente tabla Unidades
cgs Longitud cm Masa g Tiempo s Velocidad cm=s Aceleración cm=s2 Fuerza dina Gtavedad 980 cm=s2
mks m kg s m=s m=s2
fps
Pie (f t) slug s f t=s ft=s2
Newton (N ) Libra (lb) 32 ft=s2 9; 8 m=s2
Ejercicios 3 1. Se …ja una masa de 18 de Kg: a un resorte con rigides k = 16 N=m: La masa se desplaza 12 m: hacia abajo de la posición de equilibrio y luego se le 19
imparte una velocidad hacia abajo de 12 m=s: Despreciando cualquier fuerza de amortiguamiento externa que pueda esar presente, determinar la ecuación del movimiento de la masa, junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. ¿Después de cuánto tiempo pasa la masa por primera vez, por la posición de equilibrio? 2. Una masa de 1 Kg: suspendida de un resorte lo estira 3; 5 cm. Si la masa se desplaza 7 cm: por debajo de la posición de equilibrio y se la aplica una velocidad hacia abajo de 7 cm=s: Establezca una ecuación diferencial y condiciones iniciales que describan el movimiento. Encuentre la posición y velocidad de la masa en cada tiempo t:Encuentre la amplitud, período, ángulo fase y frecuencia del movimiento. Determina la posición y velocidad 1 s: después de soltar la masa. 3. Una masa de 30 gr: se une a un resorte. En equilibrio el resorte se alargo20 cm: El resorte se desplaza hacia abajo otros 10 cm: y se suelta. Establezca la ecuación diferencial para el movimiento y resuélvala para determinar el movimiento resultante ignorando las fuerzas externas y de amortiguamiento. 4. Una masa de 6 gr: se une a un sistema de masa-resorte con una constante de resorte de 30gr=s2 : ¿Cuáles deben ser las condiciones iniciales para obtener una respuesta con amplitud 3 y ángulo de fase de 4 ? Suponga que el movimiento es libre y no amortiguado. 5. Una masa de 3 K g: está unida a un resorte con rigidez K = 48 N=m: La masa se desplaza 1=2 m: hacia arriba del punto de equilibrio y recibe una velocidad de 2m=s: hacia abajo. La fuerza de amortiguamiento es despreciable. Determine la ecuación del movimiento de la masa, junto con su amplitud, período y frecuencia. ¿cuánto tiempo después de la liberación pasa la masa por primera vez por la posición de equilibrio? 6. Una masa de 2 K g: está unida a un resorte con rigidez k = 50 N=m:La masa se desplaza 1=4 m hacia arribas de la posición de equilibrio y recibe una velocidad de 1 m=s: hacia arriba. Desprecie la fuerza de amortiguamiento y determine la ecuación del movimiento de la masa, junto con su amplitud, período y frecuencia. ¿cuánto tiempo después de la liberación pasa la masa por primera vez por la posición de equilibrio? 7. Una masa unida a un resorte oscila con un periodo de 3 s: Después de agregar 2 Kg:; el período se convierte en4 s: Si se desprecian las fuerzas de amortiguamiento o externas, determine cuánta masa se adjunto originalmente al resorte.
20
5.2
Movimiento libre amortiguado
En la mayoría de las aplicaciones de las vibraciones mecánicas existe cierto tipo de fuerza de fricción o de amortiguamiento que afecta las vibraciones. Esta fuerza puede deberse a un medio que rodea el sistema o bien un amortiguador. Ahora estudiaremos los efectos del amortiguamiento sobre las vibraciones libres, de modo que la ecuación (30) se generaliza a d2 x dx m 2 + b + kx = 0 dt dt
(34)
(35)
La ecuación (34) se puede escribir como d2 x dx + 2 + ! 2 x = 0 2 dt dt
donde
b m
2 =
y
k m
!2 =
La ecuación (35) describe el movimiento libre amortiguado de un cuerpo. Su ecuación auxiliar es (36) r2 + 2r + ! 2 = 0 y las raíces correspondientes son
p r = + ! 2
1
p r = !
y
2
2
2
2
Ahora distinguiremos tres casos posible que dependen del discriminante 2 !2 : Caso 1. Movimiento sobreamortiguado (2
!
2
> 0) Existe dos raíces
reales distintas de la ecuación característica, por lo tanto, la solución general de la ecuación (35) es (37) x(t) = c 1 er t + c2 er t 1
2
p Es claro que r < 0 y que ! < ; por tanto también r < 0: Así 2
2
2
1
l{m x(t) = 0 !+1
t
Además, como 0
x (t) = c 1 r1 er t + c2 r2 er t =1 e r 1
2
1
t
(r2 r1 )t
c r + c r e 1 1
2 2
;
vemos que la derivada es idénticamente nula cuando c 1 = c2 = 0; o se anula a lo más en un valor de t que es solución de la ecuación c1 r1 + c2 r2 e(r r 2
21
1
)t
Si se ignora la solución trivial x(t) = 0, implica que x(t) tiene a lo más un máximo o un mínimo local para t > o. Por tanto x(t) no oscila. Esto deja solo tres posibilidades para el movimiento de x(t); como se muestra en la Figura 3, de acuerdo con las condiciones iniciales.
Hay un máximo
No hay máximo ni mínimo
Hay un Mínimo
Figura 3: Movimiento sobreamortiguado Caso 2. Movimiento críticamente amortiguado (2
!
2
= 0) Existe una
única raíz de la ecuación característica, por tanto la solución general de la ecuación (35) es x(t) = (c1 + c2 t) et
Para comprender el movimiento descrito por x(t); primero consideraremos el comportamiento de x(t) cuano t ! +1: Por la ragla de L´Hopital l{m x(t) = l{m t!+1 t!+1
c1 + c2 t c2 = l { m =0 t!+1 et et
(Recuerde que > 0). A continuación, como 0
x (t) = (c2
c c t) e 1
2
t
vemos de nuevo que una solución no trivial puede tener a lo más un máximo o un mínimo local para t > 0; de modo que el movimiento no es oscilatorio. Así se tiene un movimiento críticamente amortiguado. Grá…camente, los movimientos críticamente amortiguados son similares a los movimientos sobreamortiguados. Caso 3. Movimiento subamortiguado u oscilatorio (2
!
2
= 0) En este
caso existe dos raíces complejas conjugadas de la ecuación característica. Estas raíces son i; donde = y = ! 2 2
p
22
Por tanto, a solución general de la ecuación (35) es x(t) = e t (C 1 cos(t) + C 2 sen(t))
Como en el caso del movimiento libre no amortiguado, podemos expresar esta solución en la forma alternativa x(t) = C etsen
p ! t + 2
2
Ahora es evidente que x(t) es el producto de un factor de amortiguamiento exponencial cet
y un factor sinosoidal
p sen ! t + 2
2
que produce el movimiento oscilatorio. Debido a que el factor sinusoidal varía entre 1 y 1 con periodo p !2 ; la solución x(t) varía entre cet y cet con cuasiperiodo 2
2
P =
p !2 2
2
y cuasifrecuencia p1 : Además como a = < 0; el factor exponencial tiende a cero cuando t ! +1: En la Figura 4 aparece la grá…ca de una solución típica. El sistema se llama subamortiguado, porque no hay un amortiguamiento su…ciente ( es demaciado pequeño) para evitar que el sistema oscile. c
-c
Figura 4: Movimiento subamortiguado u oscilatorio Es fácil ver que cuando ! 0; el factor de amortiguamiento tiende a la constante c y la cuasifrecuencia tiende a la frecuencia natural del movimiento libre subamortiguado correspondiente. Por otra parte, los valores de t donde la grá…ca de x(t) toca a las curvas exponenciales cet no siempre son iguales, pero son cercanos, a los mismos valores de t donde x(t) alcanza, los valores máximos y mínimos. 23
Ejercicios 4 1. Una masa de 1=4 Kg: está unida a un resorte con una rigidez de 4 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es de 1 N s=m: Si la masa se desplaza 1=2 m: hacia arriba y recibe una velocidad inicial de 1 m=s: hacia arriba, determine la ecuación del movimiento.¿Cuál es el máximo desplazamiento que alcanzará la masa? 2. Una masa de 1=8 Kg: se une a un resorte con rigidez 16 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es 2 N s=m: Si la masa se mueve 3=4 m hacia arriba de la posición de equilibrio y recibe una velocidad inicial hacia arriba de 2 m=s:, determine la ecuación del movimiento del cuerpo y de su factor de amortiguamiento, cuasiperiodo y cuasifrecuencia. 3. Una masa de 20 Kg: se une a un resorte con rigidez 200 N=m. La constante de amortiguamiento para el sistema es 140 N s=m: Si la masa se mueve 25 cm:hacia abajo de la posición de equilibrio y recibe una velocidad inicial hacia arriba de 1 m=s:; ¿cuándo regresará por primera vez a su posición de equilibrio? 4. Una masa de 2 Kg . se une a un resorte con rigidez 40N=m: La constante de p amortiguamiento para el sistema es 8 5 N s=m: Si la masa se mueve 10 cm hacia abajo de la posición de equilibrio y recibe una velocidad inicial hacia abajo de 2 m=s:, ¿Cuál será el desplazamiento máximo con respecto de la posición de equilibrio? 5. Una masa de1=4 Kg: se une a un resorte con rigidez 8 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es 1=4 N s=m: Si la masa se mueve 1 m: hacia arriba de la posición de equilibrio y se libera, ¿Cuál será el desplazamiento máximo hacia abajo? 6. Una masa de 1 Kg: se une a un resorte con rigidez 100 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es 0; 2 N s=m: Si la masa se empuja hacia abajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 1 m=seg:, ¿Cuándo alcanzará su desplazamiento máximo hacia abajo? 7. Una masa de 1=4 K g: se une a un resorte con rigidez 8 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es 2 N s=m: Si la masa se mueve 50 cm: hacia arriba de la posición de equilibrio y recibe una velocidad inicial hacia arriba de 2 m=s:, ¿Cuándo alcanzará su desplazamiento máximo hacia arriba? 8. Un resorte con una constante de 8g=seg 2 tiene un objeto unido que lo alarga 245 cm. El coe…ciente de amortiguamiento es 8 g=seg: En el tiempo t = 0; la masa se encuentra en posición de equilibrio y tiene una velocidad de 3 cm=seg: hacia abajo. Suponga que el movimiento es libre y: (a) Establezca la ecuación diferencial que describe el movimiento, (b) hallar la solución de la ecuación que satisfaga las condiciones iniales consideradas, (c) establezca el tipo de movimiento, 24
(d) bosqueje la representación grá…ca del movimiento del objeto, (d) determine que tanto se aleja el objeto de su posición de equilibrio. (Sol : x(t) = 3te2t ; el objeto se aleja o,55 cm.) 9. Un resorte con una constante de 2 kg=seg 2 tiene un objeto unido con una masa de 10 kg . El coe…ciente de amortiguamiento es 9 kg=seg: En el tiempo t = 0 el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio y tiene una velocidad de 5 m=seg: hacia abajo. Suponga que el movimiento e libre y amortiguado y: (a) Establezca el PVI que describe el movimiento, (b) hallar la posición del cuerpo en cada tiempo t , (c) bosqueje la representación grá…ca del movimiento, (d) encuentre que tan lejos se mueve la masa de la posición de equilibrio. (Sol : x(t) = 50 e t e t ; la masa se mueve 4,095 m: de la posición de equilibrio.)
2
1
5
2
10. Un resorte con una constante de 226 gr=seg2 tiene un objeto unido con una masa de 25 gr. El coe…ciente de amortiguamiento es 10 gr=seg: En el tiempo t = 0 el cuerpo se encuentra 20 cm: por debajo de la posición de equilibrio y tiene una velocidad de 41 cm=seg: hacia abajo. Suponga que el movimiento e libre y amortiguado y: (a) Establezca el PVI que describe el movimiento, (b) hallar la posición del cuerpo en cada tiempo t, (c) bosqueje la representación grá…ca de la función posición del cuerpo, (d) determine el tiempo que tarda el cuerpo en pasar por primera vez por la posición de equilibrio. (Sol : x(t) = e t (20 cos(3t) + 15sen(3t)) ; el cuerpo tarda 0,74 seg en pasar por primera vez por la posición de equilibrio.) 1 5
5.3
Movimiento forzado
Ahora tomaremos en cuenta una fuerza externa F e (t), que actúa sobre una masa oscilatoria en un resorte. Esto es, investigaremos la EDO d2 x dx m 2 + b + kx = F e (t); dt dt
(38)
(39)
que puede escribirse de la forma d2 x dx + 2 + ! 2 x = F (t); 2 dt dt
donde 2 =
b ; m
!2 =
k m
y
F (t) =
F e (t) m
Es muy común que la fuerza externa de un sistema masa resorte sea armónica simple. (40) F e (t) = F 0 cos(t) o F e (t) = F 0 sen(t); 25
donde F 0 es la amplitud de la fuerza periódica y es su frecuencia angular. A continución mostraremos un ejemplo de un movimiento forzado con amortiguamiento. Ejemplo 5.1 Consideremos un sistema msa-resorte formado por una masa de 1=5 Kg:;unida a un resorte con rigidez de 2 N=m: La masa parte del reposo a 1=2 m: por debajo de su posición de equilibrio. El movimiento tiene una constante de amortiguamiento de 1; 2 N s=m: y está impulsada por una fuerza externa f (t) = 5 cos(4t) que se inicia cuando t = 0:
Solución. El PVI que modela el problema es 1 d2 x 6 dx + + 2x = 5 cos(4t); 5 dt2 5 dt
1 x(0) = ; 2
0
x (0) = 0
La solución del PVI es x(t) = xc (t) + x p (t) 38 86 25 50 = e3t cos(t) sen(t) cos(4t) + sen(4t) 51 51 102 51 2 25 = 2210e3t sen (t + 2; 73) + 17sen (4t + 6; 04) 51 102
p
p
Nótese que la solución complementaria xc (t) del ejemplo anterior tiene la propiedad de que
p
2 l{m xc (t) = l{m 2210e3t sen (t + 2; 73) = 0 t!+1 t!+1 51
Como xc(t) se vuelve insigni…cante cuando t ! +1, se dice que es un término transitorio o solución transitoria. Así, cuando el tiempo es grande, los desplazamientos de la masa del problema anterior son muy bien aproximados por la solución particcular x p (t): Esta úlmina función se llama también solución de estado estable, de estado estacionario o de estado permamente. Cuando F (t) es una función periódica como (40), la solución general de la ecuación
(39) es de la forma x(t) = parte transitoria + parte estable
Cuado se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria en la solución del problema. Si la fuerza periódica que se ejerce tiene una frecuencia que es igual o casi igual a la de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede originar un grave problema en un sistema mecánico oscilatorio
26
Ejemplo 5.2 Resuelva el PVI x00 + 9x = 5sen(t);
x0 (0) = 0;
x(0) = 0;
jj =6 3
Solución. La solución de la ecuación homogénea asociada a la EDO es xc (t) = c 1 cos(3t) + c2 sen(3t)
Aplicando el método den los coe…cientes indeterminados obtenemos la solución particular x p (t) =
5
9
Luego, la solución general de la EDO es
sen(t) 2
x(t) = c 1 cos(3t) + c2 sen(3t) +
5
sen(t) Aplicando las condiciones iniciales obtenemos c = 0 y c = ( 1
9
2
2
solución del PVI es
x(t) =
3 9 5 (sen(3t) + 3sen(t)) ; 2
5 : 3 9 2 )
Por tanto, la
jj =6 3
Para = 3; la solución del PVI se de…ne como 5 sen(3t) + 3sen(t) 5 x(t) = l{m = sen(3t) !3 3 18 9 2
Nótese que cuando t n =
n
3
56 t cos(3t)
; n = 1; 2; 3;:::;
jx(t )j = 5n ! +1 8 n
si n ! +1
Por tanto, los desplazamientos crecen cuando t ! +1: Este fenómeno se llama resonancia pura. La Figua 5 muestra un movimiento característico de este caso
27
Figura 5: Resonancia pura La solución anterior es consecuencia de resolver el PVI x00 + 9x = 5sen(3t);
x(0) = 0;
x0 (0) = 0
directamente por los métodos convencionales. Si la …gura anterior describe en realidad los desplazamientos de un sistema de resorte y masa, este sistema se destruiría. Las oscilaciones grandes de la masa forzarán al resorte a rebasar su límite elástico. Se podría decir que el modelo descrito es irreal por completo, porque no tiene en cuenta los efectos retardantes de las siempre presentes fuerzas de amortiguamiento. No se puede tener resonancia pura cuando se considera un amortiguamiento mínimo, pero si se pueden desarrollar amplitudes grandes e igualmente destructivas de vibración, pero acotadas cuando t ! +1:
Ejercicios 5 1. Un objeto con na masa de 2 kg. está suspendido del extremo de un resorte que tiene una constante de 128 kg=seg 2, suponiendo que el movimiento es no amortiguado y que se aplica una fuerza externa dada por f (t) = 40 cos(8t) para t > 0 : (a) encuentre la posición del objeto en cada tiempo t si éste se mueve 16 m: hacia abajo de la posición de equilibrio y se suelta, (b) dar una interpretación física de lo que sucede con el movimiento del objeto cuando t crece. Sol : x(t) = 16 cos(8t) + 54 tsen(8t)
2. Una masa de 8 kg: se une a un resorte que cuelga desde el techo, haciendo que el resorte se estire 1.96 m: hasta llegar al reposo en equilibrio. En el instante t = 0 se aplica una fuerza externa f (t) = cos(2t) N: al istema. La constante de amortiguamiento del sistema es 3 N seg=m: Determine la solución de estado estable para el sistema. Sol : x p (t) =
2 3 25 cos(2t) + 50 sen(2t):
3. La respuesta de un sistema sobreamortiguado a una fuerza constante queda descrita mediante la ecuación 00
0
2x + 8x + 6x = 18:
Si el sistema parte del reposo (x(0) = x (0) = 0), calcule x(t) y bosqueje su representación grá…ca. ¿Cuál es el valor de l{m x(t)? 0
!+1
t
Sol : x(t) = 12 (3e3t
t
9e ) + 3: 28
6
Circuitos en serie LRC
Si i(t) representa la corriente en un circuito eléctrico en serie LRC, de acuerdo con la segunda ley de Kirchho¤, la suma de las caídas de voltaje a través del inductor, resistor y capacitor es igual al voltaje aplicado al circuito; esto es L
di 1 + Ri + q = E (t) dt C
Pero i(t) = dq , de manera que la ecuación anterior se transforma en la ecuación dt diferencial lineal de segundo orden L
d2 q dq 1 + R + q = E (t) dt2 dt C
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La nomenclatura que se emplea en el análisis de circuitos, es similar a la que se usa en los sistemas de resorte y masa. Sistema mecánico Masa m
Sistema eléctrico Inductancia L constante de amortiguamiento Resistencia R Constante del resorte k Recíproco de la capacitancia Posición x Carga q Fuerza externa f Fuerza electromotriz E
1 C
En consecuencia, la mayoría de los resultados deducidos para los sistemas mecánicos pueden aplicarse de inmediato a circuitos eléctricos. El hecho de que la misma ecuación diferencial sirva como modelo matemático para sistemas físicos tan diferentes es una ilustración poderosa del papel uni…cador de las matemáticas en la investigación de fenómenos naturales. Si E (t) = 0, las vibraciones eléctricas del circuito se llaman libres. Como la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea asociado a la ecuación anterior es Lm2 + Rm + 1=C = 0;
habrán tres formas de la solución cuando R 6 = 0, dependiendo del valor del dis4L 2 criminante R C . Se dice que el circuito es 1. Sobreamortiguado si R 2 4C L > 0 2. Críticamente amortiguado si R 2 4C L = 0 3. Subamortiguado si R 2 4C L < 0
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