Ecuaciones Diferenciales Lineales Una ecuación diferencial lineal es una ecuación en la que la derivada de orden superior es una expresión lineal de la función y sus otras derivadas de orden inferior. Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma:
Es decir: Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente. Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación. Si g(x) = 0 la ecuación lineal se llama homogé nea y si g(x) ≠ 0 se llama completa. Ecuación Lineal de Primer Orden
Tal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuación de este tipo. Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma:
Donde P(x) y Q(x) son funciones reales, se llama ecuación diferencial lineal.
Aplicaciones:
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
Calentamiento de Edificios: El calor es energía en tránsito debido a la variación de temperaturas. Transferencia de calor es el área de ingeniería que trata los mecanismos encargados de la transferencia de energía de un lugar a otro cuando existe una diferencia de temperatura. En ingeniería se encuentra un gran número de problemas debidos a la transferencia de calor, en ingeniería civil se debe ser cuidadoso para no producir esfuerzos térmicos en las estructuras ya que se pueden producir expansiones diferenciales en los elementos estructurales. En el caso del control de temperatura de un edificio, se deben hacer balances de temperatura que igualen la adición de calor debido a luces, aires acondicionados, máquinas, energía solar que entra a la construcción con la pérdida de calor a través de paredes, techos, rendijas y puertas. La razón de cambio de la temperatura está dada por todos los factores que generan o disipan el calor. Es necesario tomar en cuenta tres factores: llamaremos al calor generado por las personas, computadoras, luces y demás artefactos H(t); también hay que considerar el calentamiento o enfriamiento provocado por la calefacción o aire acondicionado. A dicha función la llamaremos U(t) (las podríamos llamar razones respecto al tiempo). El tercer factor es el efecto de la temperatura exterior sobre el edificio; este factor se puede modelar mediante la ya conocida ley de enfriamiento de Newton, que establece que hay una razón de cambio de la temperatura T(t) que es proporcional a la diferencia
entre
la
temperatura
exterior
M(t)
menos
la
interior
T(t), es decir: dT/dt = K[M(t)-T(t)]
(1)
La constante K depende de las propiedades físicas del edificio, es decir, de la cantidad de puertas, ventanas, etc. Pero no depende de M, T o t. Por lo tanto vemos que cuando M es mayor que T, la temperatura del edificio aumenta, y si M es menor que T, la temperatura del edificio disminuye. Resumiendo vemos que: dT/dt = K[M(t)-T(t)] + H(t) + U(t)
(2)
H(t) es siempre positiva (porque aporta calor) y U(t) puede ser positiva si es un calefactor o negativa si es aire acondicionado. Como la ecuación (2) es lineal podemos resolverla con los métodos ya conocidos. Al escribir (2) en la forma canónica tenemos: dT/dt + P(t)T(t) = Q(t)
(3)
Donde P(t)= K y Q(t)= KM(t) + U(t) + H(t) Encontramos el factor de integración: udT/dt + uP(t)T(t) = u Q(t)
(4)
Al resolver encontramos que u= ekt; y al sustituir u y P(t)=K en la ecuación (4): ektdT/dt + ekt KT(t) = ektQ(t)
(5)
d/dt [ektT(t)]= ektQ(t)
(6)
ektT(t)= ∫ ektQ(t)dt +c
(7)
Al despejar T(t) obtenemos: T(t)= e- kt ∫ ektQ(t)dt +c
(8)
Y al sustituir Q(t) en (8) tenemos la ecuación deseada: T(t)= e-kt ∫ ekt*KM(t) U(t) H(t)+dt c
Un modelo más sofisticado consideraría todos los compartimientos del edificio, pero el modelo presentado toma al edificio como un solo compartimiento.
Bibliografía:
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node9.html
http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Analisis/guia/teoria/12Lineales.pdf
http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/8729/Capitulo2.pdf
