FACULTAD DE INGENIER´IA DE MINAS, GEOLOG´IA Y CIVIL ´ ESCUELA DE CIENCIAS F´ISICO MATEMATICAS
´ ´ ANALISIS NUMERICO 2 ´ SOLUCION DE SISTEMAS SISTEMAS DE ECUAC ECUACIONE IONES S DIFERENC DIFERENCIALE IALES S USANDO USANDO EL ALGORITM ALGORITMO O DE RU RUNKENKE-KUTT KUTTA A
Trabajo realizado por Juan Carlos Rios Su´arez
Profesor: Jos´ Jos ´ e Carlos Car los Ju´arez arez
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´ DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS SOLUCION Use el algoritmo algoritmo de Runge-Kutt Runge-Kutta a para sistemas sistemas y aproxime aproxime con ´ el el las soluciones soluciones de las siguiente siguientess ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales de orden superior. superior. Compare Compare despu´ despu´ es es los resultados resultados con las soluciones reales(An´ reales (An´ alisis alisis Num´erico, erico, Richard Burden y Faires, p´agina agina 322). 2y + y = te t − t, 0 t 1, y (0) = y (0) = 0, con h = 0.1; soluci´on on real: 1 y (t) = t3 et − tet + 2et − t − 2. 6
a) y
−
Soluci´ on: Primero on: Primero llevamos la EDO ED O de orden superior a un sistema de ecuaciones diferenciales. Sean y1 = y y2 = y
y1 = y ⇒ y1 = y 2 t t ⇒ y2 = y = 2y − y + te − t = 2y2 − y1 + te − t
⇒
y = y ; con y (0) = 0, y (0) = 0 Entonces Entonces tenemos el sistema: sistema: y = 2y y + te t dx dt = y ; con x(0) = 0, y(0) = 0 De manera conveniente conveniente lo podemos escribir as´ as´ı: dy = 2y x + te t
1
2
2
2 −
1
1
2
t
−
dt
−
t
−
Ahora mostraremos la tabla valores que se obtiene al usar el algoritmo de Runge-Kutta de orden 4, teniendo en cuenta que h = 0.1, t0 = 0, tf = 1, y n = 10, y adem´as as tambi´en en mostraremos mostra remos las soluciones exactas para as´ı poder p oder compararlos con las soluciones aproximadas.
b) t2 y
2ty + 2y = t 3 ln(t), 1 t 2, y (1) = 1, y (1) = 0, con h = 0.1; soluci´on on real: 7 1 3 3 3 y (t) = t + t ln(t) − t . 4 2 4
−
Soluci´ on: Primero on: Primero llevamos la EDO ED O de orden superior a un sistema de ecuaciones diferenciales. 2 Tenemos: y = y
t
y1 = y
⇒
y1 = y
−
⇒
2 t2
y + t ln(t) entonces sean
y1 = y 2
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y = y ; con y (1) = 1, y (1) = 0 Entonces Entonces tenemos el sistema: sistema: y = 2 y 2 y + t ln(t) t t dx = y ; con x(1) = 1, y(1) = 0 dt De manera conveniente conveniente lo podemos escribir as´ as´ı: dy 2 2 = y x + t ln(t) 2
1
1
2 −
2
2
1
2
dt
−
t
t2
Ahora mostraremos la tabla valores que se obtiene al usar el algoritmo de Runge-Kutta de orden 4, teniendo en cuenta que h = 0.1, t0 = 1, tf = 2, y n = 10, y adem´as as tambi´en en mostraremos mostra remos las soluciones exactas para as´ı poder p oder compararlas con las soluciones aproximadas.
c) y + 2y − y − 2y = e t , 0 t 3, y (0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 0 con h = 0.2; soluci´on on real: 43 t 1 t 4 2t 1 t + te . y (t) = e + e − e 36 4 9 6
−
−
Soluci´ on: Primero on: Primero llevamos la EDO ED O de orden superior a un sistema de ecuaciones diferenciales. Tenemos: y = −2y + y + 2y + et entonces sean
y1 = y ⇒ y1 = y ⇒ y1 = y 2 y2 = y ⇒ y2 = y ⇒ y2 = y 3 y3 = y ⇒ y3 = y = −2y + y + 2y + et = −2y3 + y2 + 2 y1 + et
y = y ; con y (1) = 1, y (0) = 2, y (0) = 0 Entonces Entonces tenemos el sistema: sistema: y = y y = 2y + y + 2y + e dx dt = y ; con x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 0 dy De manera conveniente conveniente lo podemos escribir as´ as´ı: dt = z dz = 2z + y + 2x + e
2
1
2
3
0
2
3
3
−
3
2
1
dt
t
−
t
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Ahora mostraremos la tabla valores que se obtiene al usar el algoritmo de Runge-Kutta de orden 4, teniendo en cuenta que h = 0.2, t0 = 0, tf = 3, y n = 15, y adem´as as tambi´en en mostraremos mostra remos las soluciones exactas para as´ı poder p oder compararlas con las soluciones aproximadas.
El ejercicio ejercicio d) d) es an´alogo alogo al anterior.
´ GRACIAS POR SU ATENCION