Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

MOISES VILLENA MUÑOZ

1 1 .1 1 .2 1 .3 1 .4 1 .5 1 .6 1 .7 1 .8 1 .9

Introducción Ecuaciones Lineales Ecuaciones de Bernoulli Ecuaciones separables Ecuaciones Homogéneas Ecuaciones exactas Factor I ntegrante ntegrante Estabilidad dinámica del equilibrio Aplicaciones

Se persigue que el estudiante: soluciones generales y/o • Encuentre particulares de Ecuaciones Diferenciales de primer orden • Determine Estabilidad dinámica cuantitativa y/o cualitativamente problemas de aplicaciones • Resuelva económicas

1


1.1 INTRODUCCIÓN En ciertas ocasiones resolver un problema puede conducir a plantear una ecuación que contiene derivadas. Por ejemplo, suponga que

dy = 2 xe x dx

entonces

2

;

la

razón

de

cambio

relativa

y = e

y´ y

x2

sería

2

y´ 2 xe x = x = 2 x , despejando tenemos y´−2 xy = 0 . Esta última expresión y e 2

representa una ecuación diferencial.

1.1.1 Definición de Ecuación Diferencial Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina . y´−2 xy = 0 donde

y = f ( x)

Si la función desconocida depende de una sola variable, como es el caso del ejemplo anterior, se la llama Ecuación Diferencial Ordinaria . Si la función desconocida depende de más de una variable se llama Ecuación Diferencial Parcial o en Derivadas Parciales .

∂ z ∂ z + 2 xy = xz ∂ x ∂ y

donde

z = f ( x, y)

Aquí nos dedicaremos sólo al estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

1.1.2 Orden de una ecuación ecuación diferencial El orden de una Ecuación diferencial está dado por la más alta derivada presente en la ecuación:

1.

2

dy − 2 xy = 0 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden dx


d 2 y + xy = y´ Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden 2. dx 2 d 4 y d 2 y + 3 2 = 2 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Cuarto Orden 3. dx 4 dx

1.1.3 Grado de una ecuación diferencial El grado de una Ecuación diferencial está dado por el exponente entero positivo de la más alta derivada presente en la ecuación.

3

1. y´´+5( y´) − 4 y = x Una Ecuación Ecuación Diferencial Diferencial Ordinaria de segundo orden y primer grado 2

2. ( y´) − 2 xy = 0 Una Ecuación Diferencial Diferencial Ordinaria de Primer orden y segundo grado

1.1.4 Ecuaciones Lineales Una Ecuación Diferencial es si lo es en todas sus derivadas y también en su variable dependiente. dy + 2 xy = 0 Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de primer orden dx d 2 y dy + − y = 0 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Lineal de x 2. dx dx 2 1.

Segundo Orden

Como ejemplos de Ecuaciones Diferenciales

no lineales, tenemos:

3

1. y´´+5( y´) − 4 y = x 2. yy´−2 x = 2 3. ( x + y )dx + ( x − y )dy = 0 y

4. y´− y = e 5. y´− y = cos y

3


Usualmente una Ecuación Diferencial Lineal Ordinaria se puede representar en forma polinómica de la siguiente manera:

[a n ( x)] y ( n ) + [a n−1 ( x)] y ( n−1) +  + [a 0 ( x) ] y = g ( x) 1.1.5 Solución de una Ecuación Diferencial Se dice que una función

y = f ( x )

definida en un intervalo

I ,

es

solución de una ecuación diferencial en el intervalo I , si sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una proposición verdadera; es decir, se convierte en una identidad.

1 2

4

Determinar si la función y = f ( x) = x es solución de la ecuación y´− xy = 0 . 16

SOLUCIÓN: 3 4 De y = x se obtiene y´= 4 x 16

Reemplazando resulta:

16

=

x3 4

y´− xy x

3

x

3

1 / 2

=0 1 / 2

⎛ x ⎞ − x⎜ ⎟ = 0 4 ⎝ 16 ⎠ 3 2 x ⎛ x ⎞ − x⎜ ⎟ = 0 4 ⎝ 4 ⎠ 4

4

−

x

3

4

=0

0=0 Por tanto, la función si es solución de la Ecuación Diferencial.

1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDEN

LINEALES DE PRIMER

Una Ecuación Diferencial lineal de primer orden se puede expresar de la siguiente forma:

y´+[ p ( x )] y = g ( x )

Bien, ahora determinemos su solución. Multiplicando a ambos miembros de la ecuación por la función tenemos :

4

e ∫

p ( x ) dx

,


e ∫

p ( x ) dx

[ y´+ p ( x) y ] = e ∫

p ( x ) dx

g ( x)

p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx ∫ ∫ ∫ + ye y´e p ( x) = e g ( x)

Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del

e ∫

p ( x ) dx

producto de la función buscada y ( x ) con la función

, es decir:

p ( x ) dx p ( x ) dx d ⎛ ⎜ ye ∫ ⎞⎟ = e ∫ g ( x ) ⎝ ⎠

Integrando miembro a miembro:

∫

∫

p ( x ) dx p ( x ) dx d ⎛ g ( x)dx ⎜ ye ∫ ⎞⎟ = e ∫ ⎝ ⎠

ye ∫

p ( x ) dx

∫

= e ∫

Finalmente, se obtiene

p ( x ) dx

y ( x) =

g ( x)dx + C 1

e ∫

p ( x ) dx

∫

⎡ ∫ p ( x ) dx ⎤ g ( x)dx + C ⎥ . La cual ⎢ e ⎢⎣ ⎥⎦

llamaremos Solución General.

Encontrar la solución general para y´−2 xy = x SOLUCIÓN: Para este caso tenemos: p( x) = −2 x y g ( x) = x

∫ Calculando primero, e

= e ∫

− 2 xdx

p( x) dx

⎡

Luego utilizando la formula y ( x ) = e ⎡

1 ⎢ y = ⎢ e − x 2

⎢ ⎣

1 ⎢ ⎢ ( ) p x dx ∫

⎣

∫

= e − x

e ∫

p ( x)dx

2

⎤ g ( x)dx + C ⎥ , resulta: ⎥ ⎦

⎤

∫

⎥ e− x xdx + C 2

⎥ ⎥ ⎦

⎡ 1 ⎤ y = e x ⎢− e− x + C ⎥ 2 ⎣ ⎦ 1 o lo que es lo mismo: y = − + Ce x . Solución 2 2

2

2

General General

2

Encontrar la solución general para y´− y = x 2 sen 3 x x

SOLUCIÓN: Para este caso tenemos: p( x) = −

2

x

y g ( x) = x 2 sen 3 x

5


Primeramente e Luego:

y

=

1

x

y = x

y

2

∫ − dx = e x

∫ p ( x ) dx

=−

−2

2

= eln x = x − 2 . −2

∫

x − 2 x 2 sen 3 x = x 2

⎡ ⎢⎣ −

3

3

sen 3 x

⎤ + c⎥ ⎦

cos 3 x

2 x cos 3 x

∫

+ cx 2

Encontrar la solución general para xy´+2 y = sen x SOLUCIÓN: Dividiendo para " x ", tenemos: xy´ x

+

2 y

x

2

=

sen x

x sen x

y´+ y = x x

Entonces: p ( x) =

2

∧

x

g ( x) =

sen x

x

Por lo tanto: 2

∫ dx e x

=

e 2 ln x

=

e ln x

1

= x 2

∫ ∫

⎡ ⎢ 2 x ⎢ ⎣ ⎡ 1 = 2⎢ x ⎢ ⎣

y ( x) =

2

⎤

sen x 2 x dx + C ⎥ ⎥ x

⎦

⎤

x sen xdx + C ⎥

⎥ ⎦

La integral que resulta se la encuentra empleando la técnica de integración por Partes. u

Haciendo

= x → du = 1dx

dv

∫

= sen xdx → v =

∫ ∫

sen xdx

x sen xdx = x(− cos x ) +

resulta:

cos xdx

= − x cos x + sen x

Por lo tanto: y ( x) =

1.2.1

= − cos x

1

x2

[− x cos x + sen x + C ] es la solución general

Teorema

Si las funciones p y g son continuas en un intervalo (a, b ) que contiene el punto x0 , entonces existe una función única y = f ( x) que satisface a la ecuación 6


diferencial y´+ p ( x) y = g ( x) , para x ∈ (a, b) que cumple la condición inicial y ( x 0 ) = y 0

Encontrar la solución particular xy´+2 y = 4 x 2 si y (1) = 2 SOLUCIÓN: Dividimos para " x ":

xy´+2 y = 4 x 2 2

y´+ y = 4 x x Entonces: p( x) =

2

∧

x

g ( x) = 4 x

Por lo tanto: 2

p ( x ) dx ∫ dx e ∫ = e x = e 2 ln x = e ln x = x 2 2

⎡

y =

1 ⎢

⎢

x 2 ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ x 4 xdx + C ⎥ = 2 x 4 + C ⎥ x ⎦

∫ C x 2

y = x 2 +

Con la condición y = 2 Finalmente y = x 2 +

[

2

]

SOLUCIÓN GENERAL

∧ 1

x = 1

se obtiene:

2 = 1+

C 1

⇒

C = 1

SOLUCIÓN PARTICULAR

x 2

Encontrar Encontrar la solución particular particular y´− y = 2 xe 2 x ; y( 0 ) = 1 SOLUCIÓN: g ( x ) = 2 xe 2 x Aquí tenemos que p( x) = −1 ∧

∫ ∫ =e = e − x Entonces: e Reemplazando y resolviendo resulta: −1 dx

p ( x ) dx

∫ ∫

⎡

1 ⎢ y ( x ) = e − x ⎢

2 xe

2 x

⎤

e − x dx + C ⎥ ⎥ ⎦

⎣

⎡ = e x ⎢ 2 ⎢ ⎣

⎤

xe x dx + C ⎥ ⎥ ⎦

La integral que resulta se la encuentra integrando Por Partes. u = x → du = 1dx

Haciendo

dv = e xdx → v =

∫

e xdx = e x

resulta:

7


∫

xe x dx = xe x −

∫

e x dx

= xe x − e x

(

)

Por lo tanto: y( x) = e x 2 xe x − e x + C es la SOLUCIÓNGENERAL. Empleando la condición inicial x = 0 y y = 1 , encontramos C

)

y(0) = e0 2 0e0 − e0 + C = 1 − 2 + C = 1 C = 3

)

Finalmente y( x) = e x 2 xe x − e x + 3 es la SOLUCIÓN PARTICULAR.

Encontrar Encontrar la solución particular particular y´+2 y = g ( x) ; a) g ( x) = 1 y b) g ( x ) = 0

y( 0 ) = 0 para

SOLUCIÓN: y´+2 y = 1 e ∫

2dx

= e 2 x ⎡

1 ⎢ y1 = ⎢ e 2 x

a) Si g ( x) = 1 , entonces:

y1 =

1

+

2

∫ e

2 x

⎢ ⎣ C 1

∧

e 2 x 0=

⎤ 1 ⎡ 1 2 x ⎥ ⎤ (1)dx + C 1 ⎥ = e + C 1 ⎥ 2 x ⎢⎣ 2 ⎦ ⎥ e ⎦

1 2

y1 = 0, x = 0

+ C 1

C 1 = − 12 y1 =

1

+

2

− 12 1 1 = − 2 x 2 2e 2 x e

y´+2 y = 0 e ∫

2dx

= e 2 x ⎡

1 ⎢ y2 = 2 x ⎢ e

⎢ ⎣

b) Si g ( x) = 0 , entonces:

y2 =

C 2

e 2 x

∫

;

e

2 x

⎤ ⎥ (0)dx + C 2 ⎥ ⎥ ⎦

y2 (1) = y1(1)

y1(1) = 12 − 12 e − 2 C y2 (1) = 2 e2 1 − 1 e− 2 = C e − 2 2 2 2 C 2 =

8

e2 − 1 2


Encontrar Encontrar la solución de y´=

1 y

e + x

SOLUCIÓN:

La ecuación dada NO ES LINEAL con respecto a " x " dy 1

= dx e y + x dx y = e + x dy dx − x = e y dy Pero Pero es es lineal lineal con con resp respecto ecto a " y ", enton entonces ces::

e

∫ −1dy = e− y ⎡

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 1 x( y ) = − y ⎢ e y (e− y )dy + C ⎥ = − y ⎢ e ⎢ ⎥ e ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ x( y ) = e y [ y + C ] = 1 ⎢

∫

⎤ ⎥ 1dy + C ⎥ ⎥ ⎦

∫

Segundo Método: Haciendo Haciendo cambio cambio de variable variable ⎧⎨ x → y resulta: resulta: ⎩ y → x

dy 1 = y dx e + x dx 1 = x dy e + y dy = e x + y dx y´− y = e x La última es una ecuación lineal, por lo tanto: ⎡ ⎤ 1 ⎢ x − x y ( x) = e e dx + C ⎥⎥ ⎢ −1dx e ∫ ⎢⎣ ⎥⎦

∫

⎡

x ⎢

=e ⎢ ⎢⎣

∫

⎤ dx + C ⎥⎥ ⎥⎦

y ( x) = e x [ x + C ] Finalmente, regresando la variable: x( y) = e y [ y + C ]

9


Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales: 3 y xy ' y x 9. 2 − = − x 1. y' − = 2 + x x 2 1 10. y' + y = 2 3 dy x − 2 y x x 2. = dy dx x 11. = e 2 x + 3 y dy dx 3. x + 2 y = sen x , y( 2 ) = 1 dy 1 dx 12. + y = x dy dx 1 + e 4. x + xy = 1 − y , y( 1 ) = 0 13. (2 y + 3 x )dx = − xdy dx 2 x 5. y' = e + y − 1 dy 4 2 y 14. = − dx x + 2 x + 1 dy e x − y 6. = 1 dx x 15. y' = x − 3 y y 7. y' + = x , y = 0 cuando x = 3 16. (e y + x + 3) y' = 1 x + 1 8. y' −2 y = e x

1.3. ECUACIONES DE BERNOULLI Existen Ecuaciones Diferenciales que no son lineales pero se pueden transformar en Lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli. Una Ecuación de Bernoulli tiene la forma y´+ p ( x ) y = g ( x ) y n ≠ 0 ∧ n ≠ 1 . Para encontrar su solución, se siguen los siguientes pasos:

n

donde

PASO 1: Dividir para y n .

y´ y y n + p ( x ) n = g ( x ) n y n y y y´ y − n + p ( x ) y 1− n = g ( x ) PASO 2: Cambiar de variable: v = y 1− n Además, derivando la nueva variable con respecto a obtiene:

10

x ,

se


dv dy = (1 − n) y1− n −1 dx dx dv dy = (1 − n) y − n dx dx dy 1 dv = = dx (1 − n) y − n dx y n dv y´= (1 − n) dx

Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta: y´ y − n + p ( x) y1− n = g ( x ) y n dv − n y + p ( x)v = g ( x ) (1 − n) dx 1 dv + p ( x)v = g ( x ) 1 − n dx

La última ecuación es lineal con respecto a la nueva variable

v,

Paso 3: Encontrar v( x ) . Paso 4: Encontrar y ( x ) , empleando el cambio de variable utilizado. Encontrar la solución general de x 2 y´+2 xy = y 3 SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: PASO 1: x 2 y´+2 xy = y 3

y´+

2 xy

x 2

=

2

Dividiendo para

3

y x 2

x 2

1

y´+ y = 2 y 3 x x

Ecuación de Bernoulli

y´ 2 y 1 y 3 + = y 3 x y 3 x 2 y 3 2

Dividiendo para

y 3

1

y −3 y´+ y − 2 = 2 x x PASO 2: Aquí el cambio de variable sería: v = y −2 , entonces

dv dy = −2 y − 3 o también dx dx

dy dv 1 = dx − 2 y −3 dx

2 −2 1 −3 Reemplazando en y y´+ y = 2 se obtiene:

x

x

11


dv 2 1 − 12 + v= dx x x 2 2 dv 4 − v=− dx x x 2 PASO 3: 3: Encontr Encontrar ar v . La última última ecuación es lineal lineal con respecto a v , por tanto podemos encontrarla de la manera descrita anteriormente. 4

−4 ∫ − dx e x = e− 4 ln x e = eln ( x ) = x − 4

⎡

⎤ 1 v = − 4 ⎢ x − 4 (−2 x − 2 ) dx + C ⎥⎥ = − 4 x ⎢ ⎥⎦ x ⎣ ⎡ −5 ⎤ 2 4 2 x v = x ⎢ + c ⎥ = x −1 + cx 4 ⎢⎣ 5 ⎥⎦ 5 PASO 4: 4: Encontrar y 1 ⎢

∫

2 + cx 4 5 x

Como v = y −2 entonces y −2 = Y al despejar, se obtiene:

1

y 2 =

2 5 x

+ cx 4 1

y 2 = ±

2 + cx 4 5 x 1

y ( x ) =

2

±

5 x

+ cx 4

Encontrar la solución general de y´= y ( xy 3 − 1) SOLUCIÓN: Paso 1: Primero la llevamos a la forma de Bernoulli y´= y ( xy3 − 1) = xy 4 − y y´+ y = xy 4 y´

+

y

4 4 Dividiendo Dividiendo para y 4 , se obtiene: y y

y´

y

4

dx

dx

Despejando se obtiene: dy = dx

12

1

dv

− 3 y − 4 dx

xy 4 y 4

+ y − 3 = x

Paso 2: 2: El cambio de variable sería: v = y −3 . Derivando se obtiene: dv = −3 y − 4 dy

=

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −6 x dx C 2 − + ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

∫


y´ y −4 + y −3 = x dv − 4 1 y + v = x Reemplazando se obtiene: 4 dx − − 3 y dv − 3v = −3 x dx

Paso 3: 3: Encontrando v

e∫

−3dx

= e−3 x ⎡

1 ⎢ v = −3 x ⎢ e

⎢ ⎣ Integrando por partes: v=

⎤ ⎥ e−3 x (− 3 x )dx + C ⎥ ⎥ ⎦

∫

⎤ 1 ⎡ e−3 x (− 3 x) 3 −3 x ⎢− + e + C ⎥ 3 9 ⎥ e−3 x ⎢ ⎣

v = x +

3 9

⎦

+ Ce3 x

Paso 4. Encontrando y y −3 = x +

Como v = y −3 entonces y3 = x +

1

+ Ce3 x

3 1 1 3

+ Ce3 x 1

y( x) = 3 x +

1 3

+ Ce3 x

(

)

Encontrar la solución general de y 2 dx + xy − x 3 dy = 0 SOLUCIÓN: Paso 1: Primero tratemos de llevarla a la forma de Bernoulli dx dy y 2 + ( xy − x 3 ) = 0 dx dx y 2 + ( xy − x 3 ) y´= 0 No es posible así tal como como está. Cambiando Cambiando de variable variable ⎧⎨ x → y se tiene: tiene: ⎩ y → x

)

x 2dy + yx − y 3 dx = 0 Ahora le damos la forma de Bernoulli. dy dx x 2 + yx − y 3 =0 dx dx x 2 y´+ xy − y 3 = 0

(

1

)

1

y´+ y = 2 y 3 x x

y´ y 3 3 Dividiendo Dividiendo para y , se obtiene: y´ y 3

+

1 y

x y3

=

1 y3

x 2 y3

1

1

x

x 2

+ y − 2 =

Paso 2: 2: cambio de variable v = y −2 .

13


dv dy = −2 y −3 dx dx 1 dy dv Despejando se obtiene: = dx − 2 y −3 dx

Derivando se obtiene:

1

1

y´ y −3 + y − 2 = 2 x x 1 dv −3 1 1 y v + = x x 2 − 2 y −3 dx Reemplazando se obtiene: 1 dv 1 1 − + v= 2 2 dx x x dv ⎛ 2 ⎞ 2 + ⎜ − ⎟v = − 2 dx ⎝ x ⎠ x Paso 3: 3: Encontrando v 2

∫ − dx e x = e −2 ln x = e ln x ⎡

= x −2

−2

⎤ ⎛ 2 ⎞ −2 ⎜− ⎟ x dx + C ⎥⎥ = ⎜ 2⎟ ⎢ ⎝ x ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ v( x) = x 2 ⎢− 2 x − 4 dx + C ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −3 ⎤ 2 2 x v( x) = x ⎢ + C ⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 1 ⎢ v( x) = ⎢ x −2

∫ ∫

2 x −1 + Cx 2 3 Paso 4. Encontrando y

v( x) =

v( x) =

Como v = y −2 entonces y - 2 =

2 x −1 3 2 x −1 3

y(x) = ±

+ Cx 2 + Cx 2 1

2 x −1 3

+ Cx 2

Finalmente, regresando a la variable original: x(y) = ±

14

1 −1

2 y 3

+ Cy 2


Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Bernoulli: 3. xdy − ( y + xy3 (1 + ln x))dx = 0 1. x dy − y = 2 x 2 y 2 , y (1) = 2 dx 2. xy '− y − y 2 e 2 x = 0

4.

dy y 2 + 2 xy = dx x 2

1.4 ECUACIONES SEPARABLES Son Ecuaciones Diferenciales, lineales o no lineales, que se pueden expresar de la forma:

M ( x ) dx + N ( y ) dy = 0 Entonces, el método de solución será integrando, ambos miembros.

dy x 2 Encontrar la solución general de = dx 1 + y 2 SOLUCIÓN: Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado función de y , y luego integrando integrando.. Result Resulta: a: dy x 2 = dx 1 + y 2 (1 + y 2 ) dy = x 2 dx

∫

(1 + y 2 )dy =

∫

x 2 dx

⎛ y 3 ⎞ x3 ⎜ y + ⎟= + C ⎜ 3 ⎟ 3 ⎝ ⎠

x 2 + 1 ; y (−3) = 4 Encontrar Encontrar la soluci ón particular de y´= 2 − y SOLUCIÓN: Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado función de y , y luego integrando integrando.. Result Resulta: a:

15


x 2 + 1 y´= 2 − y dy x 2 + 1 = dx 2 − y (2 − y )dy = ( x 2 + 1)dx

∫

(2 − y )dy =

2 y −

Empleando la condición Inicial 2 y −

y 2 2

=

x3

∫

( x 2 + 1)dx

+ x + C

3

x0 = −3 , encontramos C, es decir: y0 = 4 y 2

2(4 ) −

2

=

(4)2 2

x3 3

=

+ x + C

(− 3)3 3

+ (− 3) + C

C = 12

Entonces la solución particular sería: 2 y −

y 2 2

=

x3 3

+ x + 12

Existen ecuaciones diferenciable que con un cambio de variable se convierte en separable.

Encontrar Encontrar la soluci ón particular de y´= 12 tg 2 ( x + 2y ) SOLUCIÓN: La ecuación dada no es lineal y tampoco es separable directa, pero haciendo el cambio de variable u = x + 2y se podrá separar las variables. Derivando la expresión de la nueva variable se obtiene: Entonces y´ =

u´-1 . Reemplazando y resolviendo, resulta: 2 y´= 12 tg 2 ( x + 2y ) u´-1 tg 2 u = 2 2 u´−1 = tg 2 u du = 1 + tg 2 u dx du = sec2 u dx

La última ecuación es separable, resolviendo tenemos:

16

du d dy = ( x + 2y ) = 1 + 2 dx dx dx


du = sec2 u dx du = dx sec2 u

∫ ∫

cos2 udu =

∫

dx

1 [1 + cos 2u ]du 2

1 ⎡u + sen 2u ⎤ 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦

= x + C

= x + C

Y regresando de variable, queda: 1 ⎡( x + 2 y ) + sen 2( x + 2 y ) ⎤ ⎥ 2 ⎢⎣ 2 ⎦

= x + C SOLUCIÓN GENERAL

Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Separables: dy x 2 5. y' = e x + y 1. = dx y (1 + x 3 ) 6. x 2 y + xy − y dx + x 2 y − 2 x 2 dy = 0 dy 7. (2 x + 3)dx + (2 y − 2)dy = 0 = x 3 − 3 x 2 + 5 2. dx dy 8. = 5 x 4 − 3 x 2 − 2 , y (1) = 4 3 y ( x + 1) dy dx 3. = dy dx x ( y + 1)3 9. = 1 − ( x − y )2 , y (0) = 1 dx dy x 2 − 1 2 4. = , y (−1) = 1 10. tg ( x + y ) dx − dy = 0 dx y 2 + 1 11. y ' ' y ' = 1 , y (0) = 5, y ' (0) = 1

)

)

)

1.5 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Si una Ecuación Diferencial puede ser expresada de la forma

y y´= f ⎛ ⎜ x ⎞⎟ , se la denomina Ecuación Diferencial Homogénea. ⎝ ⎠ y x

Para encontrar su solución se realiza el cambio de variable v = , para convertirla en una ecuación donde se pueda separar sus variables. Para obtener

dy se hace lo siguiente: dx Despejando y tenemos: y = vx

Derivando con respecto a " x ", se obtiene:

dy dv = x + (1)v dx dx dv y´= x + v dx

17


y

1 − x

Encontrar la solución general de y´=

y

1 + x

SOLUCIÓN: Como es una ecuación homogénea hacemos el cambio de variable

v=

y de donde x

dv +v . dx Reemplazando, y resolviendo resulta: y´= x

y x y´= y 1+ x 1−

dv dx dv x dx dv x dx dv x dx dv x dx x

+v=

1− v 1+ v

1− v −v 1+ v 1 − v − v(1 + v ) = 1+ v

=

=

1 − v − v − v2 1+ v

=

1 − 2v − v 2 1+ v

1+ v

dx x 1 − 2v − v En la última ecuación están separadas sus variables y podemos proceder a integrar cada miembro: 2

∫

1+ v

1 − 2v − v

2

dv =

dv =

∫

dx x

− 12 ln(1 − 2v − v 2 ) = ln( x ) + C Finalmente, debemos debemos reemplazar v =

y x

y − 12 ln⎛ ⎜1 − 2 x − ⎝

( ) ( y x ) ⎞ ⎠⎟ = ln( x) + C SOLUCIÓN GENERAL 2

dy y y 2 = + Encontrar Encontrar la solu ción general de ; y (1) = 1 dx x x 2 SOLUCIÓN: SOLUCIÓN :

y dv de donde y´= x + v dx x Reemplazando, y resolviendo resulta: dy y y 2 = + dx x x 2 dv x + v = v + v 2 dx dv x = v 2 dx

Hacemos el cambio de variable v =

18


En la última última ecuación se pueden pueden separar separar las variables. variables. dv dx = 2 x v

∫ ∫ 1

v2

−

1

v

1

dv =

x

dx

= ln x + C −

Regresando de variable: −

1 = ln x + C y x

x = ln x + C y

Empleando la condición inicial x 0 = 1 y y 0 = 1 resulta

1 1

− = ln 1 + C

C = −1

Finalmente: −

x = ln x − 1 SOLUCIÓN PARTICULAR y

2 ⎛ y ⎞ ⎜ x ⎟ dy y + x cos ⎝ ⎠ ; y(1) = = Encontrar la solución general de dx x

π 4

SOLUCIÓN: y ⎞ y + x cos 2 ⎛ ⎜ ⎟ dy ⎝ x ⎠ = dx x dy y y ⎞ = + cos 2 ⎛ ⎜ x ⎟ dx x ⎝ ⎠ y dv Hacemos el cambio de variable v = de donde y´= x + v . x dx dv v + x = v + cos 2 (v ) dx Reemplazando, y resolviendo resulta: dv x = cos 2 (v ) dx

∫

1

cos

2

(v )

dv =

∫

dx x

tg v = ln x + C y tg = ln x + C x π 4 = ln 1 + C tg Empleando la condición inicial dada:

Separando variables:

1

C = 1 y Finalmente: tg x = ln x + 1 SOLUCIÓNPARTICULAR SOLUCIÓN PARTICULAR

19


Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Homogéneas: y x 5. x 2 + 3 xy + y 2 dx − x 2 dy = 0 1. y '− = x y x ⎞ x ⎛ x ⎞ ⎜1 + 2e y ⎟dx + 2e y ⎛ ⎜⎜1 − ⎟⎟dy = 0 6. 2 2 2. 3 y + 2 xy dx − 2 xy + x dy = 0 ⎜ ⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ ⎠ 3. ( x + y )dx + ( x − y)dy = 0 dy x + 3 y 7. , y (1) = 0 = dy y( x + y) dx x y − = 4. dx x( x − y)

(

(

) (

)

)

1.6 ECUACIONES EXACTAS Sea la función z = f ( x, y ) . Su diferencial total es df =

Si f ( x, y ) = C

∂ f ∂ f dx + dy ∂ x ∂ y

df ( x, y ) = dc ∂ f entonces ∂ f dx + dy = 0 ∂ x ∂ y

Suponga ahora que que se tiene una ecuación diferencial de la forma:

M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 que represente la diferencial total de una función desconocida z = f ( x, y ) . Entonces el asunto sería encontrar la función desconocida.

1.6.1 TEOREMA DE EXACTITUD

Una ecuación diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 ∂ M ∂ N = es exacta si y sólo si ∂ y ∂ x

dy ( y cos x + 2 xe y ) Encontrar la solución general de =− dx (sen x + x 2e y + 2) SOLUCIÓN: En este caso la forma diferencial de la ecuación es: ( y cos x + 2 xe y )dx + (sen x + x 2e y + 2) dy = 0         M ( x , y )

Veamos si que es exacta

20

N ( x , y )


∂ M = cos x + 2 xe y ∂ y

∂ N = cos x + 2 xe y ∂ x

Como las derivadas cruzadas son iguales, por tanto la ecuación diferencial si es exacta y procedemos a encontrar la función solución.

f ( x, y ) =

f ( x, y ) =

∫ ∫

M ( x, y )dx =

∫ ∫

( y cos x + 2 xe y )dx = y sen x + x 2e y + C 1

(sen x + x2e y + 2)dy = ySenx + x 2e y + 2 y + C 2

N ( x, y )dy =

ySenx + x 2e y + 2 y = C

Encontrar la solución general de: dy =0 2 xy3 + 3 x 2 y 2 y(1) = −1 dx SOLUCIÓN: La forma diferencial de la ecuación es: (2 xy3 )dx + (3 x2 y 2 )dy = 0 Veamos si que es exacta ∂ M ∂ N = 2 x3 y 2 = 6 xy 2 = 6 xy 2 ( Si es exacta) ∂ y ∂ x Encontrando la función potencial tenemos: ∂ f = 2 xy 3 → ∂ x ∂ f = 3 x 2 y 2 → ∂ y

f ( x, y ) = x 2 y 3 + C 1 3

f ( x, y ) = x 2 y 3 = x 2 y 3 + C 2 3

2 3

x y = C

Empleando la condición inicial para encontrar C, resulta: (1) 2 ( −1) 3 = C → C = -1 Por tanto la solución particular sería: x 2 y 3 = −1

21


Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Exactas: 3 2 dy 2 x + y = , y(0) = 0 5. (2 x − 2 y + y )dx + ( x − 6 xy )dy = 0 1. dx 3 + 3 y 2 − x 6. ( x + y )dx + ( x + 2 y )dy = 0; y (2) = 3

7. (2 xy 2 + 2 y ) + (2 x 2 y + 2 x ) y ' = 0

dy 2 xy + y 2 + 1 =− 2. dx x 2 + 2 xy

3. x 2 + y )dx + x + e y )dy = 0 dy 2 xy + 1 =− 4. dx x 2 + 2 y

8. y ' =

cos y x sen y − 1

9. y ' =

y y − e x e x − 2 xy

(

)

1.7 FACTOR INTEGRANTE En la ecuación diferencial M ( x, y ) dx + N ( x, y )dy

= 0,

si

∂ M ∂ N ≠ a ∂ y ∂ x

veces es posible transformarla en exacta si se la multiplica por una función R ( x, y ) ; es decir:

R ( x, y )[ M ( x, y )dx + N ( x, y )dy ] = 0 RMdx + RNdy = 0 ∂ ( RM ) ∂( RN ) = ∂ y ∂ x ∂ M ∂ N = R´ N + R R ∂ y ∂ x Suponga que R = R ( x ) entonces ∂ N ∂ M − R =0 NR´+ R ∂ x ∂ y

R´+

1 ⎛ ∂ N

∂ M ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ R = 0 − ∂ ∂ N ⎝ x y ⎠

La última expresión es una ecuación diferencial lineal li neal para R ( x)

1

R ( x ) = Por lo tanto

1 ⎛ ∂ N ∂ M ⎞

e

∫ N ⎝ ⎜⎜ ∂ x − ∂ y ⎠⎟⎟ dx 1 ⎛ ∂ M ∂ N ⎞

R ( x ) = Ce

22

∫

1 ⎛ ∂ N ∂ M ⎞ ⎡ ⎤ ∫ N ⎝ ⎜⎜ ∂ x − ∂ y ⎠⎟⎟ dx dx + C ⎥ ⎢ 0e ⎢⎣ ⎥⎦

∫ N ⎝ ⎜⎜ ∂ y − ∂ x ⎠⎟⎟ dx


Encontrar la solución general de:

dy 3 x + xy 2 = dx y + x 2 y

SOLUCIÓN: dy 3 x + xy 2 = dx y + x 2 y ( y + x 2 y ) dy = ( 3 x + xy 2 ) dx

(

)

( 3 x + xy 2 ) dx − y + x 2 y dy = 0

∂ M = 2 yx ∂ y

∂ N = − 2 xy ∂ x

≠

Hallemos R ( x ) 1 ⎛ ∂ M ∂ N ⎞

R ( x) = e

∫ N ⎝ ⎜⎜ ∂ y − ∂ x ⎠⎟⎟dx 4 xy

=e

∫ − y (1+ x ) dx 2

1

=e

∫ −( y + x y )(2 yx −(−2 xy) )dx 2

4 x

=e

∫ −(1+ x ) dx

= e− 2 ln(1+ x ) 2

2

= eln(1+ x ) = (1 + x 2 ) − 2 2

−2

(

)

2 2 2 −2 Multiplicando la ecuación (3 x + xy )dx − y + x y dy = 0 por R ( x) = (1 + x ) y resolviendo, resolviendo, resulta:

(

)

(1 + x 2 ) −2 (3 x + xy 2 ) dx − (1 + x 2 ) −2 y + x 2 y dy = 0

x y dy = 0 3 + y 2 dx − (1 + x 2 ) 2 1 + x 2

(

∂ ⎡ x 3 + y 2 ⎢ 2 2 ∂ y ⎣⎢ (1 + x )

(

En este caso

∂ ⎡ y ⎢− ∂ x ⎢⎣ 1 + x 2 Calculando f ( x, y ) , resulta:

(

f ( x, y ) = f ( x, y ) =

)

)⎤⎥ =

(

)

2 xy (1 + x 2 ) 2

⎦⎥

⎤ 2 xy ⎥= ⎥⎦ (1 + x 2 ) 2

si es exacta.

)

∫ ∫ (

(

)

x 3 + y 2 3 y 2 2 3 + y dx = − =− − (1 + x 2 ) 2 2(1 + x 2 ) 2 1 + x 2 2 1 + x 2

−

(

)

y y 2 dy = − 1 + x 2 2 1 + x 2

)

(

(

) (

)

)

Por tanto la solución general sería:

(

3

2 1 + x 2

y 2 + = C 2 1 + x 2

) (

)

Si no existe R = R ( x) , suponga suponga ahora que R = R ( y ) entonces:

23


∂ ( RM ) ∂( RN ) = ∂ y ∂ x ∂ M ∂ N R´ M + R = R ∂ y ∂ x ∂ M ∂ N MR´+ R − R =0 ∂ y ∂ x

R´+

1 ⎛ ∂ M

∂ N ⎞ ⎜⎜ ⎟ R = 0 − M ⎝ ∂ y ∂ x ⎠⎟

La última expresión es una ecuación diferencial lineal li neal para R ( y ) 1

R ( y ) = Por lo tanto

1 ⎛ ∂ M ∂ N ⎞

e

∫ M ⎝ ⎜⎜ ∂ y − ∂ x ⎠⎟⎟ dy

⎡ ⎤ 0 + dx C ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

1 ⎛ ∂ N ∂ M ⎞

R ( y ) = e

∫ M ⎝ ⎜⎜ ∂ x − ∂ y ⎠⎟⎟ dy

Encontrar la solución general de ydx + (3 + 3 x − y ) dy = 0 SOLUCIÓN: ydx + (3 + 3 x − y )dy = 0 no es exacta ∂ M ∂ N =1 ≠ =3 ∂ y ∂ x

Hallemos R ( x ) 1 ⎛ ∂ M ∂ N ⎞

∫ N ⎝ ⎜⎜ ∂ y − ∂ x ⎠⎟⎟ dx

R ( x) = e No es función x , por tanto no existe. 1 ⎛ ∂ N ∂ M ⎞

R ( y ) = e

∫ M ⎝ ⎜⎜ ∂ x − ∂ y ⎠⎟⎟ dy

1

=e

∫ 3+3 x − y (1−3) )dx

Encontremos, Encontremos, ahora R ( y ) 1

=e

∫ y (3−1)dy

2

=e

Multiplicando la ecuación ydx + (3 + 3 x − y )dy

∫ y dy

= 0 por R ( y ) = y 2 resulta:

y 3 dx + (3 y 2 + 3 xy 2 − y 3 ) dy = 0 ∂ M ∂ N = 3 y 2 = 3 y 2 ∂ y ∂ x

ya es exacta y se puede encontrar f ( x, y ) f ( x, y) =

f ( x, y) =

∫ ∫

y 3 dx = xy 3 + C

(3 y 2 + 3 xy 2 − y 3 )dy =

3 y 3 3 xy 3 y 4 + − + C 3 3 4

Por tanto la solución General sería: y 3 + xy 3 −

24

y 4 4

=c

2

= e 2 ln y = e ln y = y 2


Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales: 1. 3 x 2 y + 2 xy + y 3 dx + x 2 + y 2 dy = 0 3 x 2 y + y 2 dy =− 3. dx 2 x 3 + 3 xy dy x 2 + 3 y 2 2. = dx 2 xy

(

)

(

)

, y(1) = −2

1.8 Estabilidad dinámica del equilibrio equilibrio Se trata ahora de establecer el comportamiento de una trayectoria intertemporal y ( t ) . Determinar que ocurre con y ( t ) cuando ha transcurrido mucho tiempo

(t →

∞

).

Para esto existen dos métodos:

ANÁLISIS CUANTITATIVO. Suponga que se conoce la regla de correspondencia si

lím y ( t ) existe se dirá que y ( t ) es t → ∞

y ( t ) . Entonces,

DINÁMICAMENTE ESTABLE , es decir

se estabiliza o converge a un un valor finito, al cual denotaremos denotaremos como y y se le llamará el nivel de equilibrio intertemporal. Caso contrario, es decir si y ( t ) = ∞ se dirá que la trayectoria de y ( t ) es DINÁMICAMENTE lím t → ∞ INESTABLE o también

y ( t )

diverge del nivel de equilibrio

y

ANÁLISIS CUALITATIVO. Suponga que que se tiene una una ecuación diferencial de la forma Entonces es posible determinar si

y (t )

dy = f ( y ) dt

es dinámicamente estable o no, sin

necesidad de encontrar la regla de correspondencia de

y (t ) .

Esto se logra

analizando el gráfico y´ vs y , el cual lo vamos a llamar DIAGRAMA DE FASE. Cuando y´> 0 (positiva) entonces y es creciente; por tanto, arriba del dibuje unas flechas sobre la curva de fase moviendose de izquierda a

eje y derecha. Y cuando y´< 0 (negativa) entonces y es decreciente; por tanto, debajo del eje y dibuje unas flechas sobre la curva de fase moviendose de derecha a izquierda. Una vez hecho esto, se concluirá si de equilibrio ( y ) que ocurre cuando

y ( t )

y ´ = 0

se acerca o se aleja del nivel

.

25


Analizar la estabilidad dinámic a de y ( t ) en la ecuación diferencial

dy = y − 7 ; dt

y (0 ) = 8

SOLUCIÓN: SOLUCIÓN : ANALISIS ANAL ISIS CUANTITATIVO CUANTITATIVO

y ´ = y − 7 y por tanto es factible y ´ − y = − 7

Observe que la ecuación diferencial dada es lineal obtener su solución de manera rápida.

y ( t ) =

⎡ ⎢ − 1 dt ⎢ ∫ ⎣ e 1

∫

[ (

(− 7 )e

)

⎤

∫ − 1 dt dt + C ⎥

= e t − 7 − e − t + C

⎥⎦

]

y ( t ) = 7 + Ce t Considerando la condición inicial, resulta:

y (0) = 7 + Ce0 8 = 7 + C 1 = C Entonces: y (t ) = 7 + et

)

Tomando límite al infinito tenemos: lím y (t ) = lím 7 + et = ∞ t →∞

t →∞

Por tanto, se concluye que y ( t ) no es estable dinámicamente. dinámicamente . Además, Además, al graficar graficar y (t ) = 7 + et se observa este comportamiento. comportamiento.

Note que cuando ha transcurrido mucho tiempo la trayectoria se aleja (diverge) del nivel de equilibrio y = 7 ANALISIS CUALITATIVO. Graficando la curva de fase, tenemos:

26


Por tanto la trayectoria para y ( t ) no es estable dinámicamente. dinámicamente .

Analizar la estabilidad dinámic a de

y ( t )

dy y = 4 − ; dt 2

en la ecuación diferencial

y ( 0 ) = 15

SOLUCIÓN: SOLUCIÓN : Ahora empecemos con el análisis cualitativo para luego ir al análisis cuantitativo. ANÁLISIS CUALITATIVO. CUALITATIVO. El diagrama de fase para la ecuación dada sería:

Por tanto se observa que y ( t )

es estable dinámicamente y que tiende a estabilizarse en

y = 8 Note que la estabilidad no depende de la condición inicial ¿POR QUÉ? ANÁLISIS ANÁL ISIS CUANTITATIVO CUANTITATIVO.. Obteniendo la solución para y ´ +

1 2

y = 4 , resulta:

27


1

y ( t ) =

e ∫

y ( t ) = e

−

1 2

1 2

∫

⎡ ⎤ ⎢ 4 e t dt + C ⎥ dt ⎢ ⎥⎦ ⎣ t ⎡ ⎤ t ⎢ e 4 + C ⎥ 1 ⎢⎣ ⎥⎦ 2 1 2

1 2

y ( t ) = 8 + Ce

− t 1 2

Considerando la condición inicial tenemos: y (0) = 8 + Ce − (0) 15 = 8 + C 1 2

7 = C

Por tanto: y (t ) = 8 + 7e − t 1 2

)

Tomando límite al infinito tenemos: lím y (t ) = lím 8 + 7e − t = 8 1 2

t →∞

t →∞

estable. Por tanto, se concluye que y ( t ) es dinámicamente estable. Además, al graficar y (t ) = 8 + 7e − t se observa este comportamiento. 1 2

Analizar la estabilidad dinámic a de y ( t ) en la ecuación diferencial

dy = ( y + 1 )2 − 16 ; dt

y ≥ 0

SOLUCIÓN: Aquí lo más factible es realizar un análisis cualitativo. (¿Por qué?) El gráfico de la curva de fase sería:

dinámicamente . Por tanto , y ( t ) no es estable dinámicamente.

28


Dibujar la curva de fase y determinar determinar si y ( t ) es estable dinámic amente o no. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

dy = y − 3 dt dy = 1 − 5 y dt dy y = 4− dt 3

dy = 9 y − 11 dt dy = ( y + 2)2 − 9 ; y ≥ 0 dt dy 1 = y − y 2 ; y ≥ 0 dt 2

dy = y 2 − 8 y + 15 dt

1.9 Aplicaciones Aplicacione s de las Ecuaciones diferenciales diferenciale s de primer orden Algunas situaciones problémicas conlleva a plantear ecuaciones diferenciales para llegar a su solución.

(CURVA APRENDIZAJE) La razón a la que las personas oyen hablar acerca de un nuevo aumento en los impuestos prediales es proporcional al número de personas en el país que no ha oído hablar al respecto. a) Plantee la ecuación diferencial dif erencial que describe el modelo b) Encuentre la soluc ión general de la ecuación dif erencial planteada. c) Grafique la solución g eneral obtenida y analice analice la estabilidad dinámic a. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: Sea Q : Cantidad Cantidad de personas que han oído hablar sobre el aumento aumento B : Población Total B − Q : Cantidad de personas que no han oído hablar sobre el aumento k : Constante de proporcionalidad dQ = k ( B − Q ) a) La ecuación para el modelo sería: dt dQ + kQ = kB es lineal, por tanto su solución sería: b) La ecuación dt ⎡ ⎤ 1 kt ⎢ Q ( t ) = kBe dt + C ⎥ kdt ⎢⎣ ⎥⎦ e ∫ ⎡ ⎤ e kt Q ( t ) = e − kt ⎢ kB + C ⎥ k ⎣⎢ ⎦⎥

∫

Q ( t ) = B + Ce

− kt

29


c) la gráfica de la curva aprendizaje sería:

Se observa que cuando ha transcurr transcurrido ido mucho tiempo tiempo Q converge a B .

CURVA LOGISTICA. El ritmo a que se propaga un rumor en un país es conjuntamente proporcional a la cantidad de personas que se han enterado del rumor y al número de personas que no se han enterado enterado del rumor. a) Plantee la ecuación diferencial que describe el modelo b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial planteada. c) Grafique la soluc ión general general obtenida y analice la estabilidad dinámica. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: Sea Q : Cantidad Cantidad de personas enteradas enteradas del rumor B : Población Total B − Q : Cantidad de personas que no se han enterado del rumor k : Constante de proporcionalidad dQ = kQ ( B − Q ) a) La ecuación para el modelo sería: dt dQ − kBQ = − kQ 2 es de la forma de Bernoulli, por tanto su b) La ecuación dt solución sería: Dividiendo para Q 2 :

Q´ kBQ − Q2 Q2 Q ´Q

−2

=

− kBQ

− kQ

Q −1

2

2

= − k

Haciendo cambio de variable variable u = Q −1 entonces −u´−kBu = −k u´+kBu = k Encontrando u (t ) tenemos:

30

du = −Q − 2Q´ resulta: dx


∫ ∫

⎡ ⎤ kBdt ⎢ ke ∫ dt + C ⎥ kBdt ⎢ ⎥⎦ e ∫ ⎣ ⎤ 1 ⎡ kBt ⎢ ke dt + C ⎥ = kBt ⎥⎦ e ⎢⎣ ⎤ 1 ⎡ kekBt = kBt ⎢ + C ⎥ e ⎣⎢ kB ⎦⎥ 1

u (t ) =

u (t ) =

1

B

+ Ce − kBt

Encontrando Q(t ) tenemos: u (t ) = Q −1 =

1

B 1

+ Ce− kBt + Ce − kBt

B 1 1 + BCe − kBt = Q B B Q(t ) = 1 + BCe − kBt

c) Su gráfica sería:

Observe que Q(∞) =

B B = = B , por tanto es convergente − kB∞ 1 + BCe 1+ 0

31


(DINAMI (DINAMICA CA DE MERCADO MERCADO).). Suponga que el precio p(t ) de determinado artículo varía de modo que su razón de cambio con respecto al tiempo es proporcional a la escasez D − S donde D = 8 − 2 p y S = 2 + p son las funciones de demanda y oferta. a) Si el el pre preci cioo es es $5 cua cuando ndo t = 0 y $3 cuando t = 2 , halle p(t ) . b) Determine lo que ocurre con p(t ) a largo plazo.

SOLUCIÓN: a) La ecuación del modelo es:

dp = k ( D − S ) . dt

Reemplazando tenemos: dp = k ( D − S ) dt p´= k [(8 − 2 p ) − (2 + p )] p´= k (6 − 3 p ) p´+3kp = 6k Ahora hallando p(t ) p (t ) =

3kdt ⎡ ⎤ 6ke ∫ dt + C ⎥ ⎢ 3kdt ⎦ e ∫ ⎣

1

∫ ⎡ ⎢ ∫ ke ⎣

⎤ dt + C ⎥ e ⎦ ⎤ 1 ⎡ 6ke 3kt = 3kt ⎢ + C ⎥ e ⎢⎣ 3k ⎥⎦ p (t ) = 2 + Ce −3kt Como p (0) = 5 entonces: =

1

3kt

6

3kt

p (0) = 2 + Ce −3k (0) 5 = 2 + C C = 3

y como p(2) = 3 entonces: p (2) = 2 + 3e−3k ( 2) 3 = 2 + 3e − 6k 1 = 3e − 6 k

e6k = 3

( )

ln e6 k = ln 3 6k = ln 3

k = 0.18

Por tanto: p(t ) = 2 + 3e−3(0.18)t = 2 + 3e −0.54t Y su gráfica sería:

32


b) A largo plazo sería cuando ha transcurrido mucho tiempo, es decir: lím p (t ) = lím (2 + 3e −0.54t ) = 2 t →∞

t →∞

p(t ) se estabiliza en el precio de equilibrio p = 2

1. El número de personas implicadas en cierto escándalo gubernamental aumenta a un ritmo conjuntamente proporcional al número de personas ya implicadas y al número de personas relacionadas con el caso que aún no han sido implicadas. Suponga que 7 personas fueron implicadas cuando un periódico hizo público el escándalo por primera vez, que 9 personas más resultaron implicadas en los 3 meses siguientes y otras 12 en los 3 meses posteriores. ¿Cuántas personas aproximadamente estaban involucradas en el escándalo? 2. El ritmo a que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional al número de residentes que han sido infectados y al número de residentes propensos a la enfermedad que no ha sido infectado. Exprese el número de residentes que han sido infectados como una función del tiempo (en semanas), si la comunidad tiene 2000 residentes propensos a la enfermedad, si 500 residentes tenían la enfermedad inicialmente y si 855 residentes habían sido infectados hacia finales de la primera semana. 3. Suponga que en el Ecuador, el ritmo al que se propaga la noticia del aumento del precio de la gasolina es conjuntamente proporcional al número de personas que se enteran del aumento y al número de personas que no se han enterado todavía. Si actualmente el 5% de los habitantes sabe la noticia y una semana más tarde el 15% se han enterado de dicha noticia: a) FORMULE una ecuación diferencial para determinar la cantidad de personas que se enteran de la noticia del aumento del precio de la gasolina en cualquier tiempo. b) RESUELVA la ecuación diferencial para encontrar la cantidad de personas que se enteran de la noticia en función del tiempo. c) ¿Qué porcentaje de personas se habrán enterado de la noticia 2, 3, 4 y 5 semanas más tarde? 4. Suponga que el precio p(t) de determinado artículo varía de modo que su razón de cambio dp es proporcional a la escasez D - S donde: D = 7 − p y S = 1 + p son las funciones dt de demanda y oferta del artículo. a) Si el precio es de $6 cuanto cuanto t=0 y $4 cuando t=4 . Halle p(t). b) Demuestre que cuando t crece sin límite p(t) se aproxima al precio de equilibrio. 5. La oferta y la demanda de cierto bien están dadas en miles de unidades, respectivamente, por: D = 120 + p(t ) − 5 p ' (t ) , S = 60 − 2 p (t ) − 3 p' (t ). En t=0 el precio del bien es de 5 unidades. Considerando el equlibrio del mercado. a) Encontrar el precio en cualquier tiempo posterior y obtener su gráfico. b) Determine si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio.

33


6. La oferta y la demanda de un bien están dadas en miles de unidades, respectivamente por: D = 40 + 3 p (t ) + p ' (t ) , S = 160 − 5 p (t ) − 3 p ' (t ) . En t=0 el precio del bien es de 20 unidades. Considerando el equlibrio del mercado a) Encuentre el precio en cualquier tiempo posterior y obtener su gráfico. b) Determine si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe. 7. Para proteger sus ganancias, un productor decide que la tasa a la cual incrementará los precios debería ser numéricamente igual a 3 veces su inventario. Asumiendo que la oferta y la demanda están dadas en términos del precio p por: S = 80 + 3 p , D = 150 − 2 p y que p=20 en t=0, encuentre el precio en cualquier tiempo. 8. La oferta y la demanda de un bien están dadas en miles de unidades, respectivamente por:

(

)

D = 240 − 8 p (t ) − 2 p ' (t ) , S = 24 2 − e −2t + 16 p(t ) + 10 p' (t ) . En t=0 el precio del bien es de 12 unidades. Considerando el equlibrio del mercado a) Encuentre el precio en cualquier tiempo posterior y obtener su gráfico. b) Determine si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe. 9. En cierta zona del país el precio del pollo en la actualidad es $3 por kilogramo, se estima que dentro de t semanas semanas el precio precio crecerá a una razón de 3 t + 1 centavos por semana. ¿Cuánto costará el pollo dentro de 8 semanas?

10. Cierto pozo petrolífero que produce 600 barriles de petróleo crudo al mes se secará en 3 años. En la actualidad, el precio del petróleo crudo es $ 24 por barril y se espera que aumente a una razón constante de 8 centavos mensuales por barril. Si el petróleo se vende tan pronto como se extrae del suelo, ¿cuál será el INGRESO FUTURO TOTAL obtenido del pozo? 11. El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual y su valor residual de $ 5000. 5000. La maquinaria se compró nueva por $ r $ 40000 y valía $ 30000 después de 4 años. ¿Cuánto valdrá la maquinaria cuando tenga 8 años? 12. Una persona tiene una fortuna invertida, que aumenta a una tasa proporcional al cuadrado de su capital actual. Si tenía $ 1 millón hace un año, y ahora tiene $ 2 millones. millones. ¿Cuánto tendrá dentro de seis meses? 13. Supongamos que un fabricante calcula que un nuevo operario producirá A objetos el primer día de trabajo y que cuando va adquiriendo experiencia, producirá los objetos más rápidamente hasta que produzca un máximo de M objetos por día. Sea Q (t) la canti cantidad dad de artículos producidos el día t para t > 1, y suponga que el ritmo de producción es proporcional a M - Q (t). a) Obtenga una fórmula para Q (t). b) Suponiendo que M = 30, Q (1) = 5 y Q (2) = 8, estime el número de objetos producidos en el vigésimo día.

34


1. Encuentre la Solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales dy = y − ye3 x ; y (0) = 1 dx

1.

e2 x

2.

dy − y − y 3e 2 x = 0 dx

3.

( x

2

+ 3 xy + y 2 )dx − x 2dy = 0 ; y (1) = 1

dK = 3e 2t K 2 − 5K 4. dt

⎛ x

⎞ − sen y ⎟⎟ dy = 0 ⎝ y ⎠

dx + ⎜⎜

5.

7. 8. 9.

11.

12.

y 2 dx + xy − x 3 dy = 0

18.

y 3 + 2e x y dx + e x + 3 y 2 dy = 0

19.

( x

20.

dy y y 2 ; y (1) = 1 = + dx x x 2

)

(

2

− xy − y 2 ) dx + x 2dy = 0

(

23.

ydx + (3 x − xy + 2)dy = 0 ydx − xdy + ln xdx = 0

y y y ′ = e x +

x

y ' = y + x

27.

x 2 y ′ + 2 xy − y 3 = 0

28.

(2 x

x 1 − y + y y ′ 1 − x = 0

13.

14.

⎛ x ⎞ dx + ⎜⎜ − sen y ⎟⎟dy = 0 ⎝ y ⎠

15.

x sec 2 y dx = dy sen (2 x ) − tg y

29.

; y ( π) =

dy y 2 + 2 xy = dx x 2

26.

2

dy 1 = dx e y − x

)

y 2 dx + xy − x 3 dy = 0 dy y = 25. dx 2 x + y 3 sen 3 y

y ′ + y = x x

2

) (

24.

cos x

1

17.

dy 3 y 2 cot x + sen x cos x = 2 y dx dy 2 2 =0 22. 3 xy + y + x + xy dx

xydx + ( x 2 + y 2 )dy = 0

10.

y + (3 + 3 x − y )

21.

1 dy 1 + y − (1 − 2 x ) y 4 = 0 dx 3 3

6.

dy =0 dx

16.

30.

3

− y )dx + xdy = 0 ; y (1) = 2

−1 dy = xy 3 1 + x 2 2 ; y (0 ) = 1 dx y x dx + dy = 0 3 3 2 2 2 2 2 2 x + y x + y

(

(

)

)

(

)

π 4

2. Suponga que una persona invierte en un banco una fortuna que aumenta a una tasa proporcional a la cantidad de dinero actualizada. Si tenía $1000 hace un año y ahora tiene $1200. a) Determine la ecuación diferencial que modele el problema. b) Resuélvala y determine cuanto tiempo tiene que pasar para que la cantidad que tenía hace un año se quintuplique. 3. La demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades D = 48 − 2 p + 3 p´ y S = 30 + p + 4 p´ . Suponiendo que la tasa de cambio del precio es igual a 3 veces su excedente S-D, y que inicialmente el precio del bien es de $10, determine la trayectoria temporal de p(t) y establezca si es dinámicamente estable o no. 4. La oferta y la demanda de un bien están dadas por las ecuaciones: S = a1 p(t ) + a2 p´(t ) + a3 D = b1 p (t ) + b2 p´(t ) + b3 a) Encuentre el precio en cualquier tiempo considerando el equilibrio de mercado. b) Establezca que condiciones deberán cumplir los coeficientes para que pueda existir una estabilidad dinámica de equilibrio en su solución. c) Si a1 = 1; a2 = 4; a3 = 30; b1 = −2; b2 = 3; b3 = 48 , encuentre el precio en cualquier tiempo y el precio de estabilidad si existe.

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5. Cierto negocio aumenta su valor a una razón proporcional a la raíz cuadrada de su valor actual. Si este negocio valía $1 millón hace un año y en la actualidad vale $1.44 millones. Determine: a) La ecuación diferencial para el modelo. b) ¿cuándo valdrá $2 millones? 6. El PIB de cierto país aumenta en forma proporcional a su propia cantidad. Su tasa de proporcionalidad fue 6.4% durante el año pasado. Si continua aumentando a esa tasa. a) Modele la ecuación diferencial del problema. b) Resuélvala y determine en cuantos años el PIB se duplicará. c) Grafique Grafique la la trayectoria. 7. La tasa de crecimiento del volumen de ventas V a medida medida que decrece el precio p , es directamente proporcional al volumen de ventas e inversamente al precio menos una constante A. Halle la relación relación entre dicho volumen de ventas y el precio, si V = V o , cuando p = p o .

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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

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