UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENERÍA INDUSTRIAL INGENIERÍA INDUSTRIAL
ASIGNACIÓN #3 “SERIE DE TAYLOR Y ERROR POR TRUNCAMIENTO”
PROFESOR:
NICHOLAS BÉLIZ OSORIO
ESTUDIANTE
PAOLA SITTÓN
8-868-437
II AÑO I SEMESTRE 1-II125
FECHA DE ENTREGA:
20 DE ABRIL DE 2012
La serie de Taylor
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x , entonces el valor de la función esta dado por:
f ( x ) = f (a ) + f ' ( a )( x − a ) +
f ' ' ( a ) 2!
( x − a )
2
+
f ' ' ' ( a ) 3!
n
( x − a )
3
+
... +
f ( a ) n!
( x − a )n
Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso = x - x expresando la serie de Taylor como: i+1
i
f ( xi 1 ) = f ( xi ) + f ' ( xi ) h + +
h
f ' ' ( xi ) 2!
h
2
+
f ' ' ' ( xi ) 3!
h
3
+
... +
f n ( xi ) n!
hn
La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento matemático más importante para comprender, manejar y formular métodos numéricos que se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios.
Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los métodos numéricos se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios.
La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la vecindad de un punto dado.
Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.
El error del método numérico depende de la precisión con la que el polinomio aproxima a a la función verdadera.
Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la solución exacta.
Uso de la serie de Taylor para estimar errores de Truncamiento.
La serie de Taylor es muy útil para hacer la estimación de errores de truncamiento. Esta estimación ya la realizamos en los ejemplos anteriores. Recordemos que la serie de Taylor la podemos representar como: v (t i 1 ) = v (t i ) + v ' (t i )(t i +
+
t ) +
1 − i
v ' ' (t i ) 2!
(t i
+
t )
1 − i
2
v ' ' ' (t i )
+
3!
(t i
+
t )
1 − i
3
+
... +
v n (t i ) n!
(t i
+
t ) n
1 − i
Ahora, truncando la serie después del término con la primera derivada, se obtiene: v (t i 1 ) = v (t i ) + v ' (t i )( t i +
+
t ) + R1
1 − i
Despejando el valor de v’ , tenemos: v ' (t i ) =
v (t i 1 ) − v(t i ) +
(t i
+
t )
1 − i
−
R1 (t i
+
t )
1 − i
El primer término de la ecuación represente la aproximación de la derivada y el segundo el error de truncamiento. Note que el error de truncamiento se hace más pequeño a medida que t – t (incremento) se hace pequeño. Así que podemos hacer una buena aproximación de derivadas utilizando el primer término, siempre y cuando se utilicen incrementos pequeños i+1
i
Beneficios
La serie de Taylor nos proporciona una buena forma de aproximar el resultado de una ecuación algebraica cualquiera, por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a apreciación de quien desarrolla este método escoger cuantos términos deberá incluir en la aproximación. Es también a apreciación del desarrollador escoger la mejor aproximación para resolver una expresión algebraica, ya que se pueden incurrir en errores cada vez que se desarrolla de forma repetida el procedimiento, incurriendo en errores en el resultado.
Ejemplos
La serie de Taylor para calcular
:
Una aproximación a se obtiene al utilizar únicamente algunos de los términos de la serie, introduciendo un error. Es de esperar, que al aumentar el número de elementos de la serie en una aproximación, la aproximación obtenida tenga menos error. Ejemplo, aproximar utilizando cuatro, cinco y seis elementos de la serie usando ocho cifras significativas y comparar el resultado con el valor exacto hasta 14 cifras Aproximación con los primeros cuatro términos de la serie Aproximación con los primeros cinco términos de la serie Aproximación con los primeros seis términos de la serie Los resultados se resumen en la siguiente tabla Errores de truncamiento
Se observa un decremento en el error absoluto con el aumento del número de términos de la fórmula de la aproximación, esto es, con una fórmula mas aproximada a la exacta
