PROBABILIDAD DE ERROR Y TASA DE ERROR DE BIT La probabilidad de error P(e). Es una expectatia te!rica ("ate"#tica) de la tasa de error de bit para un siste"a deter"inado. La probabilidad probabilidad de error es una $unci!n de la relaci!n de potencia de la portadora a ruido (o ruido (o ta"bi%n& el pro"edio de la relaci!n de densidad de potencia de ener'a por bit a ruido) el n* "ero de posibles condiciones de codi+caci!n utili,adas (-ario) Tasa Tasa de error de de bits. Es un re'istro e"prico (/ist!rico) del erdadero rendi"iento rendi"iento de error de bits de un siste"a. Relaci!n Relaci!n de potencia de la portadora a ruido . Es la relaci!n de la potencia pro"edio de la portadora (la potencia co"binada de la portadora sus bandas laterales) a la potencia de ruido t%r"ico. C ( dBm )=10log
C 0.001
la potencia de ruido t%r"ico se expresa "ate"#tica"ente N = KTB (Watts) (Watts)
. . . . (α) en donde:
N=potencia de ruido térmico (Watts) (Watts)
K=proporcionalidad de la constante de Boltzmann (1.381!"#3 $%K)
T=Temperatura. B=&nc'o de anda (z).
* de otra +orma indicado en dBm. N (dBm)= 1!lo,KTB%!.!!1 -ntonces la relacin de potencia de portadora a ruido es:
C C = ( relacion sin unidades ) N KTB de la portadora ()
/onde: 0=potencia
N=potencia de ruido () 2ndicando en dB C C ( dB )= 20log N N &'ora la ener,a de un solo it es: Eb =C T b
($%it)
donde
Eb
: ener,a de un solo
it ($%it)
T b : tiempo deun solo bit ( seg) 0: potencia de la portadora &'ora lo epresamos en dB$ Eb ( dBJ ) =20log E b
4 por5ue
T b=1 / f b
6
donde + es la tasa de it6 its por se,undo6 - se
puede reescriir tamién como Eb =C / f b
($%it)
/ensidad de potencia de ruido. -s la potencia de ruido normalizada a un anc'o de anda de 1 z N N o= ( W / Hz ) B
. . . . (7) donde
N o : densidad de potencia deruido
N : potenciade ruidotermico ( W ) 2ndicando en dBm
( ) W Hz
B : Ancho de banda( Hz )
N o=10 log
N −10 logB 0.001
¿ N ( dBm)−10 logB
0ominando la ecuacin (α) en (7) N o=
KTB = KT ( W / Hz ) B
2ndicando en dBm N o ( dBm ) =10log
KTB + 10 logT 6 0.001
esta ecuacin se utiliza para
comparar dos o mas sistemas de modulacin di,ital 5ue utilizan di+erentes tasas de transmisin. -ntonces la relacin de la densidad de potencia de ener,a por it a ruido es:
E b N o
C / f b
CB N / B N f b 6
=
=
relacin de la ener,a de un solo it a la potencia de
ruido presente en 1z E b N o E b N o
C B N f c
= ×
en donde
: relac ion dela densidad de potenciadeenergia por bit a ruido
C : relacionde potencia de portadora a ruido N B : relacion deanc h o debandade ruidoa la tasade bits f c
E b 2ndicando en dB
N o
( dBm )=10log C + 10log B N
f c
* tamién E b N o
( dBm )=10log Eb−10 log N o
-ntonces mientras mas alto sea el niel de codi9cacin ms alta es la relacin de la potencia de la portadora a ruido mnimo ;endimiento de error <K.(modulacin por desplazamiento de +ase) -l rendimiento de error de it para distintos sistemas de modulacin di,ital multi+ase est directamente relacionado a la distancia entre los puntos en un dia,rama de espacio de estado de la se>al
?N = ector de ruido ? = ector de se>al ?- = ector de se>alizacin
Región de error de BPSK
! "
/onde @ es el nAmero de estados de se>al.
alizacin se da por: sen# = sen
360 $ d / 2 = s" %
/onde: d = distancia de error
@ = numero de +ases / = amplitud pico de la se>al /espeando d tenemos: &'ora emos: tolera un camio de +ase de CDE F@ re5uiere6 maGor relacin de densidad de potencia de ener,a por it a ruido para H el e+ecto de la inter+erencia de ruido. G H I6 H error
Región de error QPSK Ja proailidad de error del it de un sistema <K de +ase @ es: P ( e ) =
1 erf ( z ) log 2 "
/onde er+ es la +uncin de error (tamién conocida como +uncin de
error de ,auss)
! z = sen ( √ log 2 " ) ( √ Eb / N o ) " z
1 − ( / 2 erf ( z )= e d( √ 2 ! −'
∫
2
;endimiento de error de &@.(modulacin de amplitud en cuadratura) alizacin en u n sistema de <K6 es mas pe5ue>a 5ue la distancia entre puntos en un sistema &@ comparale. la distancia entre puntos de se>alizacin adGacentes para un sistema &@ con un niel J es cada ee es:
√ 2 × % d= )−1
/onde d = distancia de error J = numero de nieles en cada ee.
/ = amplitud pico de la se>al. Ja epresin ,eneral para la proailidad de error de it de un sistema &@ de niel J es: P ( e ) =
( )
1 ) −1 efrc ( z ) log 2 ) )
en donde:
er+c es la +uncin de error
complementaria z =
√
√ log2 ) E b )−1 N o '
1 − ( erfc ( z )= e √ 2 ! z
∫
2
/2
d(
erf c ( z )+ erf ( z ) =1
efrc ( z ) *
1
( )
1 − z / 2 1− 2 e z √ 2 ! z 2
Para ,01
El error de esta aproxi"aci!n es de 234 para ,51 es "enor de 24 para ,06 ;endimiento de error del LK.(modulacin por desplazamiento de +recuencia) se ealAa un poco di+erente a las anteriores6 'aG dos tipo de LK
FSK coherente (síncrono)." a5u las se>ales de re+erencia del receptor local estn cerradas en +recuencia G +ase con las se>ales transmitidas. u proailidad de error es: P ( e ) =efrc
√
E b N o
FSK no coherente (asíncrono)." no estn sincronizados en +recuencia G +ase. u proailidad de error es :
( )
− Eb 1 P ( e ) exp 2 2 N o
?entaas del LK
LK es una modulacin de enolente constante G6 por consi,uiente6 insensile a ariaciones de amplitud (,anancia) en el canal G compatile con sistemas transmisores G receptores no lineales. Ja deteccin de LK puede estar asada en camios de +recuencia relatios entre estados de smolos G6 por tanto6 no re5uiere una precisin de +recuencia asoluta en el canal. (LK -s as relatiamente tolerante a la deria del oscilador local G al desplazamiento doppler) /esentaas del LK LK es li,eramente menos e9ciente en anc'o de anda 5ue &K o <K (ecluGendo la realizacin @K). -l comportamiento de la proporcin de its%smolos es peor 5ue <K
-l 0omportamiento B-; para LK. -l comportamiento terico para LK (0*LK) G no co'erente (N*0LK) se muestra a5u para un canal limitado por ruido ,ausiano lanco aditio (&WMN). i la +recuencia de smolos LK se enco,en para 5ue sean orto,onales de tal modo 5ue los dos detectores co'erentes puedan en esencia traaar independientemente uno de otro6 entonces el comportamiento ?-; para LK co'erente es idéntico al de &K co'erente. E b
N o
del método ms simple de deteccin no
co'erente es alrededor de 1dB a proporciones de its de error prcticas. 0omo resultado el ms simple detector LK no co'erente +orma la ase de muc'os @odem tele+nicos G de radio de ,ama aa (por eemplo de 1#!!ps) en el mercado interesantemente6 el comportamiento no co'erente de LK no es casi tan malo como el de &K.
Tasa de error para los sistemas de modulación FSK
&plicaciones para la modulacin di,ital " e usan en sistemas de radio G satélites modulados di,italmente con +recuencias de portadora desde decenas de @z 'asta arios Mz. " tamién se usan para modems de datos de anda de oz con +recuencia de portadora entre 3!! G 3!!! z. " tamién se usan en red J&N inalmrica el IEEE 731.22b2888& usa una ariedad de "odulaciones PS9& dependiendo de la elocidad de trans"isi!n. A 2-bps usa DBPS9& a 1-bps e"plea D:PS9. Para ;&;-bps 22-bps& usa :PS9. El est#ndar IEEE 731.22'1336& para LAue son "oduladas con BPS9 para elocidades de ? 8-bps& :PS9 para 21 27-bps " La "odulaci!n BPS9 es utili,ada en est#ndares R=ID co"o el ISO 2@@@6& >ue se /a adoptado en pasaportes bio"%tricos o taretas de cr%dito.
