(Cálculo Científico, Aproximaciones Aproximaciones y Errores) Vaca Kevin, Guerrero Sara, Cellere Jonathan
ANÁLISIS NUMÉRICO
Series de Taylor
En el presente informe, se exponen los aspectos más importantes en el desarrollo de un polinomio de Taylor y su aplicación en la aproximación de series infinitas, la deducción de su fórmula general aplicando criterios matemáticos, de la misma manera se expone su aplicación en sistemas computacionales gracias a la utilización de software que permite realizar reali zar el cálculo de un valor por aproximación de Taylor aplicando los conocimientos adquiridos en la asignatura de Métodos Numéricos, la serie de Taylor en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre. El polinomio de Taylor es un método que permite aproximar los valores de funciones no lineales mediante polinomios, al hallar la derivada n-ésima de dicha función en torno a un punto determinado, la diferencia entre la función de partida y su polinomio de Taylor se conoce como el resto de Taylor y se refiere al error e rror cometido en dicha aproximación. Entre las aplicaciones de este método tenemos el cálculo de límites, aproximaciones con acotación de error, estudio de extremos relativos y clasificación de series numéricas.
3. Resultado del aprendizaje
Objetivo General: 1
Recopilar información acerca de las series de Taylor desde su demostración hasta sus aplicaciones para ser implementado en el programa Matlab y sea de provecho para la catedra.
Objetivos Específicos
Identificar las características esenciales de un polinomio de Taylor, y su aplicación en métodos de modelación matemática. Deducir la ecuación del polinomio de Taylor, utilizando conceptos matemáticos, para su posterior utilización a nivel informático. Señalar los comandos más importantes en el programa informático Matlab para desarrollar el polinomio de Taylor.
SERIE DE TAYLOR
Casos Especiales
Teoría de errores
¿Qué es?
Demostración matemática
Programación
¿Para qué sirve?
Formulación matemática
Aplicaciones
Ventajas y desventajas
Propiedades
La serie de Taylor, es de gran valor en el estudio de los métodos numéricos, proporciona un medio para predecir el valor de una una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. En particular el teorema establece que cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio.
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Recopilar información acerca de las series de Taylor desde su demostración hasta sus aplicaciones para ser implementado en el programa Matlab y sea de provecho para la catedra.
Objetivos Específicos
Identificar las características esenciales de un polinomio de Taylor, y su aplicación en métodos de modelación matemática. Deducir la ecuación del polinomio de Taylor, utilizando conceptos matemáticos, para su posterior utilización a nivel informático. Señalar los comandos más importantes en el programa informático Matlab para desarrollar el polinomio de Taylor.
SERIE DE TAYLOR
Casos Especiales
Teoría de errores
¿Qué es?
Demostración matemática
Programación
¿Para qué sirve?
Formulación matemática
Aplicaciones
Ventajas y desventajas
Propiedades
La serie de Taylor, es de gran valor en el estudio de los métodos numéricos, proporciona un medio para predecir el valor de una una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. En particular el teorema establece que cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio.
2
Ofrece una estimación perfecta si la función que se va a aproximar es una constante sin embargo si en el intervalo, entonces se requieren los términos adicionales de la serie de Taylor, para obtener una mejor aproximación. Las sumas parciales de la serie de Taylor se van calculando hasta que se consigue una aproximación a la función que tiene la precisión deseada. En otro orden de cosas, en los campos de la ingeniería y la física es habitual encontrarse con soluciones expresadas como series.
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación: Funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...
() ( )
( 1)
Sea una función y tiene sus primeras derivadas son continuas en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor el valor de la función está dado por:
()
a.
() () ′′() () () ()( ) ! () ! () ⋯ () () ! ( ) b. Que puede ser escrito de una manera compacta de la siguiente manera:
() ()
! ( ) = Donde:
!: es el factorial de . 3
()(): denota la n-ésima derivada de para el valor de la variable respecto de la cual se deriva. el residuo se define como: (+) (−) () c. ∫ ! Donde: es una variable muda. La ecuación (1) se llama serie de Taylor. Si se omite el residuo, el lado derecho de la ecuación (1) es la aproximación del polinomio de Taylor para (). En esencia, el teorema establece que cualquier función suave puede aproximarse mediante un polinomio. (“Métodos numéricos para ingenieros - 5a edición - Chapra.pdf,” n.d.)
La ecuación (3) se denomina forma integral, la cual expresa el residuo. Se obtiene una formula basándose en el teorema del valor me dio de las integrales.(“Serie de Taylor,” 2017)
VENTAJAS Es una serie funcional. Aproximar el valor de una función en un punto en términos. Resuelve por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. Radica en el uso de un número finito de términos.
DESVENTAJAS Tiene que surgir de una ecuación Se basa en operaciones de una ecuación general. Se desarrolla por un binomio.
Restricción del método para funciones como cotangente, cosecante.
La serie de Taylor es aplicable para las siguientes funciones:
ℝ
- Función exponencial: Dominio , Recorrido
ℝ
4
Figura 1:Grafica de la función
- Función logaritmo natural: Dominio Recorrido
[0,∞]
Figura 2: Grafica de la función ln(x)
ℝ
- Función seno: Dominio , Recorrido [-1,1]
Figura 3: Grafica de la función seno.
ℝ
- Función coseno : Dominio , Recorrido [-1,1]
Figura 4: Grafica de la función coseno.
5
- Función tangente : Dominio Recorrido
ℝ
ℝ {(2 1) ∗ , ∈ ℤ} ,
Figura 5: Grafica de la función tangente.
- Función secante : Dominio Recorrido
]∞,1[
ℝ {(2 1) ∗ , ∈ ℤ} ,
Figura 6: Grafica de la función secante.
6
ℝ
- Función Arco seno: Dominio , Recorrido [-1,1]
Figura 7: Grafica de la función arco-seno.
ℝ
- Función Arco tangente : Dominio , Recorrido
[ , ]
Figura 8: Grafica de la función arco-tangente.
7
ℝ
- Función senh: Dominio , Recorrido
ℝ
Figura 9: Grafica de la función seno-hiperbólico.
8
ℝ
- Función cosh : Dominio , Recorrido
[1,∞]
Figura 10: Grafica de la función coseno-hiperbólico
ℝ
- Función tanh: Dominio , Recorrido [-1,1]
Figura 11: Grafica de la función tangente- hiperbólica.
9
ℝ
- Función Arco senh: Dominio , Recorrido
ℝ
Figura 12: Grafica de la función arcoseno-hiperbolica
ℝ
- Función Arco tanh : Dominio , Recorrido [-1,1]
Figura 13: Grafica de la función arcotanegnte-hiperbolica.
10
()
( 1)
Sea una función y tiene sus primeras derivadas son continuas en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor e l valor de la función está dado por:
()
() () ()( ) ′′() ( 2! () () ! ( )
)
() ()
⋯ ( ) 3!
Que puede ser escrito de una manera compacta de la siguiente manera:
∑= ()!() ( )
Serie de Taylor
Donde:
!: es el factorial de . ()(): denota la n-ésima derivada de para el valor de la variable respecto de la cual se deriva. el residuo se define como () () () (+)! ( )+
11
Teorema de Rolle
AFIRMACIÓN
JUSTIFICACIÓN
Sea f(x) una función tal que:
Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
f(a)=f(b)=0
entonces existe un número tal que a
c
Figura 14: Grafica de una función continua en un intervalo [a, b].
Mediante la gráfica de una función f(x) Fig.14, podemos decir que se satisfacen las condiciones del teorema de rolle, el mismo que nos asegura que existe un punto c entre a y b tal que la recta tangente a la curva en el punto ( f(c), c), tiene una pendiente f’(c)=0 es decir que es paralela al eje x. L.Q.Q.D
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Teorema del Valor medio
AFIRMACIÓN
JUSTIFICACIÓN
Sea f(x) Fig.15, es una función tal que:
Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) f(a) ≠ f(b)
se cumple que:
∃ ∈ ( ,) tal que
‘() ()−() −
Figura 15: Grafica de una función continua en un intervalo [a, b], y diferenciable.
g(x) = f(x)-f(a)-k(x-a)
(1)
g’(x)= f’(x)-k
Definimos una función auxiliar g(x)
Derivada de la función
g(a)= f(a)-f(a)-k(a-a)=0
Si x=a
g(b)= f(b)-f(a)-k(b-a)=0
Determinamos k para un valor g(b)=0
)−() (−
Despejamos k
g’(c)=f’(c)-k=0
(2)
() ‘() ()
Aplicamos el teorema de Rolle y el valor de k en (1) L.Q.Q.D
13
Serie de Taylor AFIRMACIÓN
+
() () = f (x)= () () ( ) … () ( ) () .( ) . .( ) … .()− ⋯
() . ..( )−..( ) ⋯ ( ).() ⋯ () .. ...( −) … ( )().() ⋯ () () () ! ! ! !() !() + () !( ) () = + () !() () = ()( ) () () ! () ⋯ () ! ( ) ⋯ + () !() () =
JUSTIFICACIÓN -Sea f una serie de potencias en (x-a) -Si el radio de convergencia es R f es infinitamente diferenciable en (a - R, a + R). -Desarrollo de la serie de potencias
-Primera derivada.
-Segunda derivada.
-Tercera derivada y el proceso continuo hasta la N-ésima derivada. -Se considera x=a en la representación de serie de potencias y sus respectivas derivadas.
-Realizamos la sustitución de potencias.
en la serie de
-Desarrollo de la serie L.Q.Q.D. (“Métodos Numéricos con MATLAB - John Mathews, Kurtis Fink - 3ed.pdf,” n.d.)
-Si a=0 esta serie es conocida como la serie de Maclaurin.
14
En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en el área de las series y publico varias series de Maclaurin, pero no fue hasta que en el siglo XVIII Colín Maclaurin Publio el caso especial de las series de Taylor. “La serie de Taylor de una función f real o compleja f(x) infinitamente diferencial en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias”.(math93, 2015)
()
() ! =
AFIRMACIÓN
JUSTIFICACIÓN
() ′() ( () () ! ) ! ( ) ⋯… () ! ( )
() () ⋯. ´() ⋯
´() ´() ⋯ ( )
-Si expresamos la serie en términos de un polinomio p(x), cuando aes cero.
-Si derivamos la ecuación anterior obtenemos. -Si x=0.
() () !
-Desarrollamos la serie de Taylor en un punto a.
() → !
-Si derivamos por segunda vez obtenemos.
-Si x=0.
-Generalizando el termino enésimo obtenemos.
15
() ′() () () ! () ! () ⋯… () ! () () !() =
-Sumando cada termino obtenemos.
-Se puede expresar la formula anterior como sumatoria. L.Q.Q.D.
Este tipo de series de Maclaruin se ven especialmente en ecuaciones tipo trigonométricas como el seno y coseno, además de funciones exponenciales y logarítmicas. Tabla 1. (“Serie de Taylor.pdf,” n.d.) Tabla 1: Series de Taylor casos especiales de algunas funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Función Seno
Coseno
Exponencial Logarítmica
Serie de Taylor
(1) () () (21)! + = (1) () cos() (2)! = () ) ()! = − (1) () ln( 1) ()! =
Al utilizar la aproximación a una función mediante el Polinomio de Taylor, el error que se comete es la diferencia entre la función de partida (la función a la que se busca aproximar mediante el método) y el Polinomio de Taylor, a este error se lo conoce como resto de Taylor y es un error de truncamiento, estos errores surgen al utilizar una aproximación en lugar del procedimiento matemático exacto. Se evidencio que el número de términos del polinomio es inversamente proporcional error, ya que a mayor cantidad de términos el error es más pequeño.(“Métodos numéricos para ingenieros - 5a edición Chapra.pdf,” n.d.)
16
Figura 16: Resto de Taylor
La expresión que define el error al aplicar el Polinomio de Taylor es:
(+)() () ( 1)! ( )+ El termino es un punto que se encuentra entre + , y este marca el valor x donde se presenta la pendiente ′() es paralela a la línea que una ( ) y (+ ),
gracias a ello podemos utilizar el teorema del valor medio el cual indica que si se viaja entre dos puntos a una velocidad promedio, habrá al menos un punto en este caso
(), en el que se mueva a esta velocidad promedio. Obteniendo () ℎ, .(“Métodos numéricos para ingenieros - 5
donde h será el recorrido es decir edición - Chapra.pdf,” n.d.)
AFIRMACIÓN
() ≅ ()
a
JUSTIFICACIÓN -Debido a que el polinomio de Taylor es una aproximación.
() = () + ()
-Si se le suma el error se obtendrá la función a aproximar.
′′
() () ′()( ) !() ( ) ⋯ () ( ) . !
-Si tomamos la formula expandida de la serie de Taylor.
17
() ≅ ()
-Si se trunca esta anterior serie en cero se tendría.
() ′′(!) ….
-El residuo o error se obtiene de la serie infinita que fueron truncados .
′() (+) () (+)() + () ( )! ( ) ( )! ()+
-Por ello el signo de equivalencia y para hacer que esa equivalencia se convierta en una igualdad se reordena la ecuación del valor medio. -Por tanto, se obtendrán las consecuentes versiones con la ecuación. L.Q.Q.D.
La implementación computacional se realizó a través del software de Matlab, se dividió el programa en tres archivos, dos de ellos contienen las funciones y uno el menú principal del programa que se detallara más adelante. El software a implementar se visualizará dando clic, en los respectivos iconos de adobe, en primera instancia se utilizó una función Polinomio de Taylor que contiene todo el código matemático respecto al polinomio de Taylor, incluyendo gráficas y archivos tipo Excel, generados automáticamente por Matlab.
Polinomio de Taylor función.pdf Archivo 1: Dar clic sobre icono para visualizar el código.
En segundo lugar, se elaboró un próximo script, el cual contendrá una función referente al error propio del método, el cual se calculará mediante una función, elaborada con nuestro algoritmo, la cual posteriormente será llamada.
Polinomio de T aylor Error.pdf Archivo 2: Dar clic sobre icono para visualizar el código.
18
Luego de la elaboración de estas funciones, se procedió a elaborar un menú, el cual contiene algunas restricciones del método, opciones para ingreso de datos, además que es aquí donde son ingresados los datos, que posteriormente se convierten en parámetros para llamar a las funciones antes definidas y así obtener nuestro programa.
Polinomio de Taylor Menu.pdf Archivo 3: Dar clic sobre icono para visualizar el código.
Diagrama de Flujo-Programa.pdf
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Abrimos el archivo llamado PolinomioTaylor, en él está contenido todo el código fuente, es decir el programa, podremos ejecutarlo de dos maneras, la primera es dar un clic en la opción Run Fig.17, la cual compilara ejecutara el programa, la segunda opción, debido a que se diseñó el programa por funciones se llamara a la función es decir en la ventana de comandos se digitara PolinomioTaylor Fig.18.
Figura 17: Opción Run para ejecutar el programa.
Figura 18: Llamado de la función desde la ventana de comandos.
Posteriormente se desplegará una serie de datos como son, Nombre de la universidad, grupo y nrc, se pedirá ingresar una f unción Fig.19, esta función deberá ser una función continua, se podrán ingresar funciones del tipo exponenciales, trigonométricas, logarítmicas y polinomiales, que presenten el argumento x es como: x.^5, arctan(x), sin(x), exp(x), etc. Si se ingresa una función para la cual el polinomio de Taylor no es aplicable como acos(x), el programa automáticamente pedirá que ingrese de nuevo, una nueva función Fig.20.
20
Figura 19: Pantalla de inicio del Programa e ingreso de la función.
Figura 20: Ingreso de una función, no permitida en el programa.
Una vez ingresada la función el programa nos solicitara ingresar el punto de aproximación es decir el punto a del polinomio de Taylor a obtener Fig.21, este valor debe ser real, en caso que el valor introducido sea imaginario el programa automáticamente tomara solo la parte real por ejemplo si introducimos el valor 0+i, a =0.
Figura 21: Ingreso de un punto imaginario como punto de aproximación.
iv.
Luego de haber ingresado correctamente los datos solicitados en los anteriores pasos, el programa nos desplegara un menú en el cual tenemos tres opciones Fig.22, 1 elegir el grado del polinomio de Taylor que deseamos, 2 elegir el error que deseamos en nuestro calculo, 3 salir.
Figura 22: Menú de opciones.
21
v.
Si elegimos la opción 1 el programa, nos solicitara ingresar el grado del polinomio de Taylor, es decir el número de iteraciones que realizara el programa. Fig.23. Se debe recalcar que este debe ser un numero entero positivo, si es un numero fraccionario el programa ingresara el inmediato superior.
Figura 23: Ingreso del número de términos del polinomio.
vi.
Posteriormente el programa realizara los cálculos y mostrara el tiempo de ejecución del programa (este tiempo podría variar dependiendo del ordenador a utilizar), aparecerá una ventana que contenga en primer lugar la gráfica de la función ingresada y en secuencia la gráfica de cada una de las iteraciones Fig.24.
Figura 24: Ventana de Graficas y tiempo de ejecución.
22
vii.
Si elegimos la Opción 2 nos pedirá que ingresemos el error y el programa designara automáticamente el número de iteraciones, este valor debe estar entre 0 y 1. Fig.25.
Figura 25: Ingreso del Error.
viii.
Posteriormente sea elegida y ejecutada la opción 1 u 2, se obtendrá el polinomio de Taylor deseado y programa nos pedirá un punto para evaluar este nuevo polinomio, y mostrara el resultado en pantalla. Fig.26.
Figura 26:Polinomio de Taylor.
ix.
En caso de elegir e ingresar los datos tanto de la opción 1 o 2, posterior a la gráfica el programa nos mostrara el error de nuestro algoritmo frente a la función “taylor (f,var,a)”, propia de MATLAB, este proceso lo realizara para cada iteración.Fig27. (“Taylor series - MATLAB taylor - MathWorks España,” n.d.).
23
Figura 27: Proceso de ejecución y comparación de Errores.
x.
Al final el programa nos mostrara el Polinomio de Taylor obtenido.Fig.28.
Figura 28: Polinomio de Taylor
xi.
Si la opción tres es elegida el programa terminara automáticamente. Fig29.
Figura 29: Opción Salir del Programa.
24
Ejercicio de aplicación: Calcular la función de transferencia del péndulo de la figura:
El momento que ejerce la masa será:
() () Esta expresión relaciona el momento
con el ángulo de desviación respecto de la
vertical . Esta relación viene expresada mediante una ecuación no lineal ya que dicho momento
depende del seno del ángulo .
Aplicando el desarrollo en serie de Taylor se obtiene una aproximación lineal de la función:
() ( ) ( ) () |= 1! |= 2! ⋯ Suficiente con los dos primeros términos:
() |=
(−) ; ∆ ∆ !
() () 25
Ahora esta expresión ya es lineal y tomando transformadas con condiciones iniciales nulas:
() 1 ()
26
27
|
Texto/Descripción de la Pregunta
1
La serie de Taylor igual a la serie de Maclaurin?
Verdadero Falso
✔
La serie de Maclaurin se obtiene a partir del valor de a=0?
Verdadero
✔
2
Opciones de Respuesta
Respuesta correcta
Justificación Respuesta La serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor. Esta es la característica principal de este caso especial, Su centro es cero.
Fuente
(“el calculo - leithold 7ma edicion.pdf,” n.d.)
(“el calculo - leithold 7ma edicion.pdf,” n.d.)
Falso 3
4
La serie de Taylor se obtiene a partir de la serie de Potencias?
Verdadero
El termino residual de las series de Taylor es Rn
Verdadero
La serie de Taylor presenta un error de tipo:
5
Falso
La serie de ________ proporciona un medio para ________ el valor de una función en un punto en término del valor de sus________ .
✔
Falso
Polinomial Incremental Truncamiento
6
✔
Potencias, función, primos Taylor, Predecir, negativos Taylor, predecir, derivadas Mclaurin, serie, puntos
Se puede obtener, o deducir matemáticamente esta serie, a través de serie de potencias. Rn, representa todos los polinomios de grado superior que no son tomados en cuenta. Es un error típico de estos métodos.
(“el calculo - leithold 7ma edicion.pdf,” n.d.)
(“Chapra.pdf,” n.d.)
(“Chapra.pdf,” n.d.)
✔
(“Chapra.pdf,” n.d.) ✔
28
7
8
9
10
Para la realización de una serie de Taylor se debe usar de manera correcta el proceso de:
Derivación
Sistemas de Ecuaciones Newton Raphson
Según su definición: En particular el teorema establece que cualquier función suave puede _____________ por un polinomio.
elevarse
En que se basa el residuo de la serie de Taylor:
Método de Laplace
En general la serie de Taylor de n-ésimo orden será general para
✔
Integración
Ya que si erramos al momento de derivar todo el proceso será inválido.
(“Chapra.pdf,” n.d.)
(“Chapra.pdf,” n.d.)
aproximarse
✔
sumarse restarse
Teorema de la bisección Teorema de valor medio para integrales Serie de Maclaurin
✔
Polinomio-enésimo
✔
Nunca Una función n-ésima
El método de la serie de Taylor trata de aproximarse por un polinomio con el fin de llevar acabo la serie. Es una formulación alternativa de la integral.
La serie de Taylor se expresa como un polinomio
(“Chapra.pdf,” n.d.)
(“Chapra.pdf,” n.d.)
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7
8
9
10
Para la realización de una serie de Taylor se debe usar de manera correcta el proceso de:
Derivación Integración Sistemas de Ecuaciones Newton Raphson
Según su definición: En particular el teorema establece que cualquier función suave puede _____________ por un polinomio.
elevarse
En que se basa el residuo de la serie de Taylor:
Método de Laplace
En general la serie de Taylor de n-ésimo orden será general para
✔
Ya que si erramos al momento de derivar todo el proceso será inválido.
(“Chapra.pdf,” n.d.)
(“Chapra.pdf,” n.d.)
aproximarse
✔
sumarse restarse
Teorema de la bisección Teorema de valor medio para integrales Serie de Maclaurin
✔
Polinomio-enésimo
✔
Nunca Una función n-ésima
El método de la serie de Taylor trata de aproximarse por un polinomio con el fin de llevar acabo la serie. Es una formulación alternativa de la integral.
La serie de Taylor se expresa como un polinomio
(“Chapra.pdf,” n.d.)
(“Chapra.pdf,” n.d.)
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Chapra.pdf. (n.d.). Retrieved from http://curso.unach.mx/~rarceo/docs/Chapra.pdf el calculo - leithold 7ma edicion.pdf. (n.d.). Retrieved May 19, 2017, from https://drive.google.com/file/d/0B5QOvYcg8anFNWY3NjY1ZGQtZmE0ZC00YmN hLTgyNDQtYzEzNmRkOTcwNmE1/view?usp=drive_web&ddrp=1&hl=es&usp=em bed_facebook math93. (2015, January 28). Series de Taylor. Retrieved May 6, 2017, from https://demostracionpy.wordpress.com/2015/01/28/series-de-taylor/ Métodos Numéricos con MATLAB - John Mathews, Kurtis Fink - 3ed.pdf. (n.d.). Métodos numéricos para ingenieros - 5 a edición - Chapra.pdf. (n.d.). Retrieved May 5, 2017, from http://curso.unach.mx/~rarceo/docs/Chapra.pdf Serie de Taylor. (2017, April 22). In Wikipedia, la enciclopedia libre . Retrieved from https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Serie_de_Taylor&oldid=98552349
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