El primer método que se analizará no es estrictamente un método numérico, aunque algunas veces se usa con los esquemas numéricos, es de aplicabilidad general. Considérese el problema ejemplo:
La solución analítica es la siguiente:
Este resultado se utilizara para obtener los valores verdaderos de la ecuación. La relación entre ³x´ y ³y´ se obtiene al encontrar los coeficientes de la serie de Taylor en que se desarrolla ³y´ con respecto al punto x= :
Si se hace la serie puede escribirse como Debido a que , es la condición inicial, el primer término se conoce a partir de la condición inicial El coeficiente del segundo término se obtiene al sustituir en la ecuación de
la primera derivada:
Las derivadas de segundo orden se obtienen al derivar sucesivamente la ecuación de la primera derivada. Cada una de estas derivadas se evalúa de manera correspondiente a para obtener los diversos coeficientes:
Luego, se escribe la solución de la serie para y, al hacer que x=h sea el valor en que desea determinarse y:
La solución de la ecuación:
se muestra en la tabla siguiente se truncara la serie de Taylor para 3 términos y se ilustrara como tomar valores más pequeños de h es resultado se aproxima más al verdadero:
Método de la serie de Taylor truncada en tres términos
Problema:=
Solución verdadera
Yn
Xn
0.0
2.0000000
2.0000000
2.0000000
2.0000000
0.1
2.2050000
2.2051266
2.2051691
2.2051709
0.2
2.4210250
2.4213047
2.4213987
2.4212028
0.3
2.6492327
2.6496963
2.6498521
2.6498588
0.4
2.8909021
2.8915852
2.8918148
2.8918247
0.5
3.1474468
3.1483904
3.1487076
3.1487213
0.6
3.4204287
3.4216801
3.4221007
3.4221188
0.7
3.7115737
3.7131870
3.7137294
3.7137527
0.8
4.0227889
4.0248265
4.0255115
4.0255409
0.9
4.3561818
4.3587148
4.3595665
4.3596031
10.0
4.7140809
4.7171911
4.7182369
4.7182818
A
continuación se mostrara como se obtuvieron los resultados para h=0.1
Aquí
se han desarrollado los cuatro primeros términos de la tabla los demás términos se hacen de manera análoga a lo hecho aquí, la tabla muestra como al escoger h más pequeñas los valores obtenidos por la serie de Taylor se va aproximando mas al valor real.
Para
tener una idea de cómo se desarrollan los métodos de Runge-Kutta, se mostrara la obtención de un método de segundo orden simple. Aquí, el incremento en y es un promedio ponderado de dos estimaciones del incremento, denominados . Así, para la ecuación:
uede pensarse que los valores de son estimaciones del cambio en y cuando x
P
avanza por h, ya que son el producto del cambio en x y un valor de la pendiente de la curva,
.Los métodos de Runge-Kutta siempre usan la estimación de Euler simple como
la primera estimación la otra estimación se toma con x y y aproximadas por las El problema es concebir un fracciones y de la estimación anterior de esquema para elegir los parámetros de a ,b , . Lo anterior se lograra haciendo que la ecuación, anteriores coincidan lo mejor posible con la serie de Taylor, donde las derivadas
y se escriben en términos de f, a partir de
««««««««««««««««.(1) una forma equivalente es: Debido a que
Ahora
n
se escribe la ecuación anterior sustituyendo las definiciones de
««««««««(2) Para
que el ultimo término de la ecuación 2 sea comparable con la ecuación 1, se desarrolla en una serie de Taylor en términos de recordando que f es una función de dos variables, reteniendo solo términos de la primera derivada:
n«««««««.(3)
En el lado derecho de las dos ecuaciones 1 y 3, f y sus derivadas parciales, todas, deben evaluarse en
Al
sustituir la ecuación 3 en la ecuación 2, se tiene:
n
O bien reordenando,
n««««««««««««(4)
La ecuación 4 es idéntica a la ecuación 1 si
Observe que solo es necesario satisfacer tres ecuaciones por las cuatro incógnitas. Un valor puede elegirse de manera arbitraria, por tanto, se tiene un conjunto de métodos de segundo orden. Los métodos de Runge-Kutta de cuarto orden son los más utilizados y se obtienen de manera semejante. Resulta de mayor complejidad al tener que comparar términos hasta , y así se obtiene un conjunto de 11 ecuaciones en 13 incógnitas. El conjunto de 11 ecuaciones puede resolverse si dos incógnitas se escogen arbitrariamente. El conjunto de valores más utilizado conduce al algoritmo.
Ejemplo: Resolveremos la ecuación de por el método de Runge-kutta de cuarto orden:
Método de Runge-kutta de cuarto orden Problema
:
h=0.1
Solución:
0.0
2.0000000
2.0000000
0.1
2.2051708
2.2051709
0.2
2.4214026
2.4214028
0.3
2.6498585
2.6498588
0.4
2.8918242
2.8918247
0.5
3.1487206
3.1487213
0.6
3.4221180
3.4221188
0.7
3.7137516
3.7137527
0.8
4.0255396
4.0255409
0.9
4.3596014
4.3596031
1.0
4.7182797
4.7182818
Los valores restantes de la tabla se sacan de manera análoga a los ya obtenidos
En el método de Euler simple, se usa la pendiente al inicio del intervalo, para determinar el incremento de la función. Esta técnica seria correcta solo si la función fuese lineal. Lo que se necesita en vez de lo anterior es la pendiente media correcta dentro del intervalo. Esta puede aproximarse por la media de las pendientes en ambos extremos del intervalo. Algoritmo
del método de Euler
Supóngase que calcular final del intervalo:
se utiliza la media aritmética de las pendientes al inicio y al
Con esto debe obtenerse una estimación mejorada de y en . Sim embargo, no es posible aplicar directamente la ecuación, porque la derivada es una función tanto en x como en y y no es posible evaluar si se desconoce el valor verdadero de .El método de Euler modificado trabaja alrededor de este problema al estimar o predecir un valor de . Por medio de la simple relación de Euler, .Luego usa este valor para calcular se calculó usando el valor pronosticado, de exactitud menos perfecta, podría ser conveniente corregir nuevamente el valor tantas veces como sea necesario hasta obtener una diferencia significativa.
Ejemplo de Euler modificado Primero
obtendremos los valores del método de Euler normal para poder aplicar el de Euler modificado:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Usando Euler modificado: se utiliza la siguiente formula:
Se hizo primero el método de Euler normal para conseguir los valores de
(1)
(2)
(3)
(4)
La tabla muestra más valores de Euler y de Euler modificados Método de Euler y Euler modificado
Problema:
Euler
Modificado
0.0
2.0000
2.0000
2.0000
0.1
2.2000
2.205
2.2052
0.2
2.4100
2.4205
2.4214
0.3
2.6310
2.6475
2.6499
0.4
2.8641
2.8873
2.8918
0.5
3.1105
3.141
3.1487
0.6
3.3716
3.4100
3.4221
0.7
3.6487
3.6959
3.7138
0.8
3.9436
4.0004
4.0255
0.9
4.2579
4.3254
4.3596
1.0
4.5937
4.7183
Conclusión sobre los métodos para resolver las ecuaciones diferenciales
Los métodos para resolver ecuaciones diferenciales son más sencillos que algunos de los métodos analíticos que se utilizan para resolverlos pero en dos de ellos los resultados están muy alejados del valor real de la solución de la ecuación diferencial los métodos de Euler modificado y de Taylor son fáciles de realizar(complicándose el de Taylor si la derivada es sobre una función fraccionaria) pero su resultado se aleja mucho del valor real mientras que el método de Runge-Kutta es el que se aproxima mas al valor real de la ecuación.
Los métodos para la resolución de problemas de valor de frontera que contienen diferencias finitas reemplazan las derivadas en la ecuación diferencial mediante una aproximación de cocientes de diferencias. Se selecciona el cociente de diferencias para mantener un orden especificado del error de truncamiento. Pero, por la inestabilidad de las aproximaciones de diferencias finitas a las derivadas, no podemos escoger un parámetro h demasiado pequeño. El método de diferencias finitas para el problema de valor de frontera de segundo orden,
Requiere utilizar las aproximaciones del cociente de diferencias para aproximaciones del cociente de diferencias para aproximar tanto a como a Primero, seleccionamos un entero y dividimos el intervalo subintervalos iguales cuyos extremos son los puntos de malla para , donde . Al escoger h de este modo, se facilita la aplicación de un algoritmo matricial con el cual se resuelve un sistema lineal que contenga una matriz de NXN.
En los puntos red del interior de es:
para la ecuación diferencial a aproximar
Al
desarrollar y en el tercer polinomio de Taylor alrededor de
evaluada en
() ara algunas () ara alguna si se suman estas ecuaciones tenemos: tenemos, suponiendo que
P
P
Podemos
aplicar el teorema del valor intermedio para simplificar aúnmás esta expresión y transformarla en:
Para algunas
para
.
A
esto se le llama formula de las diferencias centradas
De manera semejante se obtiene una fórmula de este tipo para resultado:
que da por
Existen muchas más fórmulas para encontrar los valores de las ecuaciones diferenciales aquí expondremos algunas de ellas pero ya no las deduciremos, siendo el método de deducción muy semejante al ya mostrado
Formula progresiva Formula regresiva Formula centrada Ejemplo: Determine:
Las Formulas que ocuparemos son:
Ahora
reemplazamos en la ecuación diferencial
Ordenando términos queda:
Ahora
planteamos las ecuaciones:
En este punto podemos ocupar nuestras condiciones de frontera, que es En el caso de esta última, se debe aplicar una formula ya antes mencionada
Formula Regresiva
Entonces:
Ordenando de forma matricial:
* = Se ocupa el método de Gauss para resolver las incógnitas y el resultado queda:
Ejemplo 2
Determine
Ocuparemos la siguiente formula
Ahora
reemplazamos en la ecuación diferencial:
Ahora
plantemos las ecuaciones, según la fórmula:
En este punto podemos ocupar las fórmulas de condición de frontera, que es .En este caso, se debe aplicar una de las formulas siguientes para las dos condiciones de frontera:
Formula progresiva
Formulas Regresivas
Por
lo que nos quedan las siguientes ecuaciones:
Ordenando de Forma matricial:
Al
tratar de resolver la matriz nos da como resultado que el sistema de ecuaciones no tiene solución, así que para este problema la solución no se puede saber.
Diferencias finitas para ecuaciones diferencial parciales Para
el caso de ecuaciones diferenciales, en la que se involucran 2 o más variables independientes, el procedimiento a seguir es idéntico al empleado al aproximar problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, pero con ecuaciones diferenciales parciales.
igualmente Luego igualmente espaciados sobre el rango hora un punto típico de la grilla tiene coordenadas Primero
debemos construir el conjunto de puntos de la grilla espaciados sobre el rango , con procedemos con el conjunto de puntos de la grilla
A
APROXIMACIONES
DE DIFERENCIAS FINITAS A DERIVADAS PARCIALES:
Las formulas son prácticamente las mismas que en problemas de ecuaciones parciales ordinarias, pues mediante el teorema de Taylor para funciones de dos variables, es posible escribir en forma exacta.
Se asocia que Entonces las formulas son muy parecidas a las de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
FORMULAS
DE DIFERENCIAS FINITAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Progresivas
Regresivas
Centrales
Ejemplo 1 Aproximar
la Temperatura en una placa en estado de equilibrio, discretizando la placa con h=0.5 y con k=1
Los puntos negros son puntos conocidos, dados por las condiciones de frontera mientras que las cruces son los puntos que queremos conocer.
Como el problema consta de segundas derivadas parciales, debemos ocupar las siguientes ecuación:
Reemplazando estos datos en la ecuación diferencial, obtenemos:
Ahora
planteamos las ecuaciones, según nuestra formula:
Al
aplicar las condiciones de frontera a las ecuaciones quedan igual a:
De forma ordenada queda:
Y en forma matricial es:
À×
