1 Tipos de Errores Por razones prácticas, sólo puede manejarse una cantidad finita de bits para cada número en una computadora, y esta cantidad o longitud varía de una máquina a otra. Por ejemplo, cuando se realizan cálculos de ingeniería y ciencia, es mejor trabajar con una longitud grande; por otro lado, una longitud pequeña es más económica y útil para cálculos y procedimientos administrativos. Los errores numéricos se generan gener an con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. El error numérico es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores numéricos es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a como dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo. El concepto de error es e s consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene.
1.- Error absoluto Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor re al o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. El error absoluto de una medida no nos informa por sí so lo de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio. El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor ex acto y el valor aproximado. Hay autores que definen el error absoluto como la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto, donde la diferencia únicamente está en el signo ya que no se toma como valor absoluto. Sin embargo, podríamos tomar como fórmula general la siguiente expresión: Cuando el valor exacto no es conocido, por ejemplo, en cualquier medida física, se habla de cota del error absoluto, que será un valor superior al error absoluto que asegure que el error comet ido nunca excederá a ese valor. Si llamamos c a la cota del error absoluto de un número, se cumplirá:
2.- Error relativo El error relativo es e l cometido en la estimación del valor de un número, es el valor absoluto del cociente entre su error absoluto y el valor ex acto. El error relativo da idea de la precisión de una medida, y se suele mane jar en forma de porcentaje (%). Muchas veces conocemos el error absoluto (Ea), pero es imposible conocer el valor exacto (A), en cuyo caso, para hallar el error re lativo (Er) dividimos el error absoluto entre el valor aproximado o considerado como exacto. También puede hablarse de cota del error relativo, que, si la representamos como β, se cumplirá:
(A – A´) / A ≤ β
2 3.- Error porcentual El error porcentual es fácil de definir, es el resultado de multiplicar el e rror relativo por 100. ERP = ER X 100
4.- Error de redondeo. Se originan al realizar los cálculos que to do método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando. Existen dos tipos de errores de redondeo: * Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente. * Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular:
Para números positivos, el último dígito que se puede co nservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5. Para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.
A continuación, se analizarán brevemente algunas consecuencias de utilizar e l sistema binario y una longitud de palabra finita. Como no es posible guardar un numero binario de longitud infinita o un numero de más dígitos de los que posee la mantisa de la computadora que se está empleando, se almacena sólo un numero finito de e stos dígitos; como consecuencia, se comete automáticamente un pe queño error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser considerable. Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de re dondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar críticos e n algunos métodos numéricos. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre sí. Esto e s, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cá lculos puede ser significativo. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operac iones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que e n este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia. Redondeo Es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su repre sentación decimal, para obtener un valor aproximado. Reglas de redondeo
3 Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras ex actas de un número decimal, podemos dar una aproximación de ese número de menos cifras de dos formas: Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo, π = 3, 141592: truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π = 3,1415 Redondeo: Cortamos el número a partir de c ierta cifra, pero sumamos uno a la última c ifra que aparezca, en el caso de que la pr imera que omitamos sea mayor o igual que 5 . Por ejemplo, redondeando el número π = 3 , 141592: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor. Estimación:
Algunas veces con el fin de facilitar los cálculos, se suelen redondear los números con los que se opera, y los resultados que se obtienen no son verdaderos, sino que se consideran estimaciones.
5.- Error de truncamiento Existen muchos procesos que requieren la ejecuc ión de un número infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es tot almente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Al error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylor r. Este es independiente de la manera de r ealizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado. Cuando una expresión matemática se remplaza por una fórmula más simple, se introduce un error, conocido como error de truncamiento. Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor. Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi. Siendo el término final: Rn= ((ƒ(n+1) (ξ )) /(n+1)!) hn+1
En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exac ta par aun polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea un poco. En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el té rmino usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos. Por ejemplo, dados los números reales: 3,14159265358979... 32,438191288 6,3444444444444
4 Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal. El resultado es: 3,1415 32,4381 6,3444 Nótese que, en algunos casos, el tr uncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El er ror de truncamiento puede ser hasta el doble del e rror máximo que se puede tener usando redondeo.
6.- Estabilidad de Método En el subcampo matemático del análisis numérico, la estabilidad numérica es una propiedad de los algoritmos numéricos. Describe cómo los errores en los datos de entrada se propagan a t ravés del algoritmo. En un método estable, los errores debidos a las aproximaciones se atenúan a medida que la computación procede. En un método inestable, cualquier error en el procesamiento se magnifica conforme el cálculo procede. Métodos inestables generan rápidamente basura y son inútiles para el procesamiento numérico. La estabilidad numérica de un método junto con e l número condición (en: condition number) define cuán buen resultado podemos obtener usando métodos aproximados para calcular cierto problema matemático. Algunas veces un sólo cálculo puede ser logrado de varias maneras, que pueden ser algebraicamente idénticas en términos de números reales o complejos, pero que en la práctica producen resultados diferentes según varían los niveles de estabilidad numérica. Una de las tareas comunes del análisis numérico es tratar de seleccionar algoritmos robustos: esto es, que tienen una buena e stabilidad numérica en un amplio intervalo (range) de situaciones. Estos métodos están frecuentemente disponibles para usuarios de lenguajes de programación como bibliotecas de computación matemática (ver mathematical computing libraries). El uso apropiado de bibliotecas de computación matemática es usualmente muy superior a algoritmos numéricos "caseros". Notas Cuando se calculan soluciones numéricas a ciertas ecuaciones diferenciales parciales, la estabilidad se consigue algunas veces incluyendo la difusión numérica. La difusión numérica es un término matemático que asegura que errores de redondeo y de otro tipo en los cálculos se diseminen y no se sumen causando desbordes en el cálculo. La estabilidad numérica es la razón por la c ual no se puede normalmente testear un código numérico como la simulación del clima corriéndolo hacia atrás. Correr el código hacia adelante incluye usualmente métodos numéricos para asegurar que los errores de aproximación aleatorios se vuelvan cada vez menos importantes a medida que el cálculo procede, asegurando la est abilidad numérica. Correr el código hacia atrás causa magnifica los errores generando resultados sin utilidad práctica. Cuando se resuelve un problema numérico con un méto do aproximado, dos tipos de errores pueden ocurrir:
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Errores de truncamiento debidos a la simplificación de procesos infinitos en un número finito de cálculos. Ejemplos: calcular una función trascendente usando su serie de Taylor, integrar usando una suma finita de rectángulos. Errores de redondeo generados al guardar u operar con precisión finita, por ejemplo, al representar números irracionales o periódicos con un número limitado de cifras significativas, o al guardar en un ordenador la representación aproximada de un número, por no existir la representación exacta de este número en punto flotante.
