Investigacion de Serie de Taylor

INTRODUCCIÓN

En el presente presente informe hablaremos hablaremos y analizaremos analizaremos un poco más acerca de la importancia importancia de las series de Taylor y de aclaurin! tanto sus rese"as hist#ricas como la rele$ancia de las series %ue ellos lle&aron a desarrollar! utilizaremos forma de series de potencias! Teorema de Taylor! Teorema de con$er&encia de una serie de Taylor! y apro'imaciones mediante el poli polino nomi mio o de Taylor ylor!! y tamb tambi( i(n n reso resol$ l$ere eremo moss e)erc e)ercic icio ioss poni ponien endo do en práct práctic ica a lo ante antess mencionado*

arco Teorico Rese"a +istorica ,-ui(n in$ent# las series de Taylor. Las famosas series de Taylor que se utilizan en matemática para representar ciertas funciones no fueron desarrolladas por Taylor, pues ya habían sido utilizadas cuando él era un niño.

Cuando /roo0 Taylor 12345627829 )u&aba ale&remente en su casa! :* ;re&ory! matemático y astr#nomo escoc(s ya traba)aba con las series del ni"o Taylor* Tampoco las series de aclaurin 123<4627=39 fueron desarrolladas por (l* >as series de aclaurin son un caso particular de las series de Taylor y hab?an sido tratadas con anterioridad* >a familia de /roo0 ten?a una buena posici#n econ#mica@ esto le permiti# a Taylor estudiar con tutores particulares hasta 27A8! donde obtu$o una e'celente educaci#n tanto en matemática como en otras áreas* En 272B fue ele&ido miembro de la Royal ociety de >ondres y particip# de la disputa entre Neton y >eibniz para determinar %ui(n hab?a sido el primero en in$entar el Cálculo En 2725 Taylor edit# su libro ethodus incrementorun directa et in$ersa! donde all? mostraba las series sin saber sobre las in$esti&aciones de ;re&ory* En 27=B! aclaurin escribi# un libro de cálculo y cit# el traba)o de su cole&a@ donde hizo famosas esas series conocidas actualmente como series de TaylorF* Descripcion >a importancia del teorema de Taylor reside en %ue pueden realizarse apro'imaciones polin#micas de ciertas funciones y permite acotar el error %ue se comete en dichas apro'imaciones* No obstante! su teorema tom# rele$ancia reci(n en 277B! cuando el eminente matemático :* >a&ran&e proclam# al teorema como el principio fundamental del cálculo* ,Gara %u( sir$e. >a serie de Taylor proporciona una buena forma de apro'imar el $alor de una funci#n en un punto en t(rminos del $alor de la funci#n y sus deri$adas en otro punto* Gor supuesto! para hacer esta apro'imaci#n s#lo se pueden tomar unas cuantas e'presiones de esta serie! por lo %ue el resto resulta en un error conocido como el t(rmino residual! es a criterio del %ue aplica la serie en numero de t(rminos %ue ha de incluir la apro'imaci#n*

,C#mo funciona. >a serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones se&Hn una ecuaci#n &eneral y mientras mas operaciones ten&a la serie mas e'acto será el resultado %ue se esta buscando* Dicha ecuaci#n es la si&uiente

o e'presado de otra forma

Donde nJ es el factorial de n K1n9 es la en(sima deri$ada de f en el punto a Como se puede obser$ar en la ecuaci#n! hay una parte en la cual hay %ue desarrollar un binomio 1'6a9 n por lo %ue para simplificar el asunto se i&ualara a LaL siempre a A* Gara fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie* ,Cuántos t(rminos se re%uieren para obtener una apro'imaci#n razonableF. >a ecuaci#n para el t(rmino residual se puede e'presar como

i&nifica %ue el error de truncamiento es de orden hnM2* El error es proporcional al tama"o del paso h ele$ado a la 1nM296(sima potencia* ,-u( es. >a serie de Taylor es una serie funcional y sur&e de una ecuaci#n en la cual se puede encontrar una soluci#n apro'imada a una funci#n* El $alor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un nHmero finito de t(rminos %ue darán una apro'imaci#n lo suficientemente cercana a la soluci#n $erdadera para prop#sitos prácticos* Teorema de Taylor  >a serie de Taylor de una funci#n f real o comple)a ƒ(! infinitamente diferenciable en el entorno de un nHmero real o comple)o a es la si&uiente serie de potencias

"ara encontrar un polinomio apropiado, con#iene antes eaminar las funciones polin$micas más detenidamente.

Demostraci#n Grimeramente! $emos %ue es interesante 6y muy importante6 notar %ue los coeficientes pueden e'presarse en t(rminos del polinomio p1'9 y de sus distintas deri$adas en A 1cero9* Obser$emos %ue

 ea

un polinomio de &rado n 1por ende! a lo sumo n ra?ces9@ al deri$ar esta e'presi#n se obtiene

por lo tanto!

>ue&o! al deri$ar dos $eces

por lo tanto!

Gor lo %ue obtenemos &eneralizando! cada 06(simo t(rmino del polinomio deri$ado o bien!

Entonces! podemos sumar cada t(rmino! donde %&'&n! y obtenemos finalmente la e'presi#n buscada donde puede reducirse a la notaci#n de sumatoria

Con$er&encia de una serie de Taylor  upon&a %ue  es una funci#n %ue posee deri$adas de todos los #rdenes sobre un inter$alocentrado en el nHmero a* i lim  Rn ( x ) =0

a→∞

para toda ' en el inter$alo! entonces la serie de Taylor &enerada por  con$er&e a 1'9! ∞

f  ( x )=

∑ = k 

0

( k )

f 

(a )

k!

( x − a)k 

 pro'imaciones Cuando el $alor de  es cercano al centro a (  x ≈ a ) de una serie de Taylor!puede usarse el  Pn ( x ) polinomio de Taylor  de una funci#n f en a para apro'imar el $alor de lafunci#n f 1  9* El ¿ error en esta apro'imaci#n está dado por 

| Rn ( x )|=|f  ( x ) − Pn ( x )| E)emplos 2* Encuentre la serie de Taylor de f 1  9 P ln  centrada en a P 2* Determine su inter$alo de con$er&encia* >a funci#n ƒ! sus deri$adas y sus $alores en 2 son

Guesto %ue

produce

>a prueba de las proporciones

uestra %ue la serie con$er&e para 'PA y 'PB las series

o sobre el inter$alo 1A!B9 en los puntos e'tremos

on con$er&ente y di$er&ente respecti$amente* El inter$alo de con$er&encia de estas series es 1A!BQ* El radio de con$er&encia es R P 2*